专题05 【五年中考+一年模拟】几何压轴题-山西中考数学真题模拟题分类汇编（解析版）

专题05几何压轴题1．（2022•山西）综合与实践问题情境：在中，，，．直角三角板中，将三角板的直角顶点放在斜边的中点处，并将三角板绕点旋转，三角板的两边，分别与边，交于点，．猜想证明：（1）如图①，在三角板旋转过程中，当点为边的中点时，试判断四边形的形状，并说明理由；问题解决：（2）如图②，在三角板旋转过程中，当时，求线段的长；（3）如图③，在三角板旋转过程中，当时，直接写出线段的长．【答案】见解析【详解】（1）四边形是矩形，理由如下：点是的中点，点是的中点，，，，，，四边形是矩形；（2）如图2，过点作于，，，，，点是的中点，，，，，，，又，，，，；（3）如图③，连接，，过点作于，，，，，点，点，点，点四点共圆，，，，，，，，，，，，，，．解法二：如图，延长到，使得，连接，．设．证明，，，由，可得，解得．解法三：也可以通过向和分别作垂线和，通过相似来算．2．（2021•山西）综合与实践问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在中，，垂足为，为的中点，连接，，试猜想与的数量关系，并加以证明．独立思考：（1）请解答老师提出的问题；实践探究：（2）希望小组受此问题的启发，将沿着为的中点）所在直线折叠，如图②，点的对应点为，连接并延长交于点，请判断与的数量关系，并加以证明．问题解决：（3）智慧小组突发奇想，将沿过点的直线折叠，如图③，点的对应点为，使于点，折痕交于点，连接，交于点．该小组提出一个问题：若此的面积为20，边长，，求图中阴影部分（四边形的面积．请你思考此问题，直接写出结果．【答案】见解析【详解】（1）结论：．理由：如图①中，作交于．四边形是平行四边形，，，，，，，，，，．（2）结论：．理由：如图②中，连接．是由翻折得到，，，，，，，，，四边形是平行四边形，，，，，．（3）如图③中，过点作于，过点作于．，，四边形是平行四边形，，，，，，，四边形是矩形，，，，设，则，，，，，，，，，．3．（2020•山西）综合与实践问题情境：如图①，点为正方形内一点，，将绕点按顺时针方向旋转，得到（点的对应点为点．延长交于点，连接．猜想证明：（1）试判断四边形的形状，并说明理由；（2）如图②，若，请猜想线段与的数量关系并加以证明；解决问题：（3）如图①，若，，请直接写出的长．【答案】见解析【详解】（1）四边形是正方形，理由如下：将绕点按顺时针方向旋转，，，，又，四边形是矩形，又，四边形是正方形；（2）；理由如下：如图②，过点作于，，，，，四边形是正方形，，，，，又，，，，将绕点按顺时针方向旋转，，四边形是正方形，，，；（3）如图①，过点作于，四边形是正方形，，，，，，，，由（2）可知：，，，．4．（2019•山西）综合与实践动手操作：第一步：如图1，正方形纸片沿对角线所在的直线折叠，展开铺平．在沿过点的直线折叠，使点，点都落在对角线上．此时，点与点重合，记为点，且点，点，点三点在同一条直线上，折痕分别为，．如图2．第二步：再沿所在的直线折叠，与重合，得到图3．第三步：在图3的基础上继续折叠，使点与点重合，如图4，展开铺平，连接，，，．如图5，图中的虚线为折痕．问题解决：（1）在图5中，的度数是，的值是．（2）在图5中，请判断四边形的形状，并说明理由；（3）在不增加字母的条件下，请你以图中5中的字母表示的点为顶点，动手画出一个菱形（正方形除外），并写出这个菱形：．【答案】见解析【详解】（1）由折叠的性质得：，，，，四边形是正方形，，，，，，，是等腰直角三角形，，；故答案为：，；（2）四边形是矩形；理由如下：四边形是正方形，，由折叠的性质得：，，，，，由折叠可知：、分别垂直平分、，，，，，，，，，，，四边形是矩形；（3）连接、，如图所示：由折叠可知：、分别垂直平分、，同时、也分别垂直平分、，四边形与四边形是菱形，故答案为：菱形或菱形．5．（2018•山西）综合与实践问题情境：在数学活动课上，老师出示了这样一个问题：如图1，在矩形中，，是延长线上一点，且，连接，交于点，以为一边在的左下方作正方形，连接．试判断线段与的位置关系．探究展示：勤奋小组发现，垂直平分，并展示了如下的证明方法：证明：，．，．四边形是矩形，．．（依据，．．即是的边上的中线，又，．（依据垂直平分．反思交流：（1）①上述证明过程中的“依据1”“依据2”分别是指什么？②试判断图1中的点是否在线段的垂直平分线上，请直接回答，不必证明；（2）创新小组受到勤奋小组的启发，继续进行探究，如图2，连接，以为一边在的左下方作正方形，发现点在线段的垂直平分线上，请你给出证明；探索发现：（3）如图3，连接，以为一边在的右上方作正方形，可以发现点，点都在线段的垂直平分线上，除此之外，请观察矩形和正方形的顶点与边，你还能发现哪个顶点在哪条边的垂直平分线上，请写出一个你发现的结论，并加以证明．【答案】见解析【详解】（1）①依据1：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例（或平行线分线段成比例）．依据2：等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线及底边上的高互相重合（或等腰三角形的“三线合一”）．②答：点在线段的垂直平分线上．理由：由问题情景知，，四边形是正方形，，点在线段的垂直平分线上．（2）证明：过点作于点，四边形是矩形，点在的延长线上，，．四边形为正方形，，，．．．，四边形是矩形，．，，，．垂直平分．点在的垂直平分线上．（3）答：点在边的垂直平分线上（或点在边的垂直平分线上）．证法一：过点作于点，过点作于点．．四边形是矩形，点在的延长线上，，四边形为矩形．，．．四边形为正方形，，．．．，．．．四边形是矩形，．，．．．垂直平分．点在边的垂直平分线上．6．（2022•山西模拟）综合与实践问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题．如图1，在正方形中，，分别以，为边在正方形内部作等边三角形与等边三角形，线段与交于点，线段与交于点．猜想与的数量关系，并加以证明．数学思考：（1）请解答老师出示的问题．深入探究：（2）试判断四边形的形状，并加以证明．问题拓展：（3）将从图1的位置开始沿射线的方向平移得到△，连接，．当四边形是矩形时，得到图2．请直接写出平移的距离．【答案】见解析【详解】（1），证明：四边形是正方形，，，是等边三角形，，，是等边三角形，，，，，，，，，；（2）四边形是菱形，证明：由（1）知，，，，，，，四边形是平行四边形，，是菱形；（3）如图，过点作于，交于，，四边形是正方形，，，四边形是矩形，，，是等边三角形，，，，由平移知，，四边形是矩形，，，在中，，，即平移的距离为．7．（2022•山西模拟）综合与实践问题情境：四边形是正方形，对角线，相交于点，是正方形内一点，．将绕点按顺时针方向旋转一定角度得到，点，的对应点分别为点，，直线经过点．特例分析：（1）如图1，当点与点重合时，判断四边形的形状，请说明理由，并直接写出与的数量关系．深入探究：（2）如图2，当点与点不重合时，试判断，，之间的数量关系，并说明理由．类比迁移：（3）如图3，将正方形改为菱形，对角线，相交于点，是菱形内一点，．将绕点按顺时针方向旋转得到，点，的对应点分别为点，．请直接写出，，之间的数量关系．【答案】见解析【详解】（1）四边形是正方形，理由如下，四边形是正方形，，，，，将绕点按顺时针方向旋转一定角度得到，，，，四边形是菱形，又，四边形是正方形，即四边形是正方形，；（2），理由如下：如图2，延长至，使，连接，，，，，，，将绕点按顺时针方向旋转一定角度得到，，，，，，，，，，，即：；（3），理由如下，如图3，过点作，交的延长线于点，连接，并延长交的延长线于点，于点，将绕点按顺时针方向旋转得到，，，，，，都是等边三角形，，，，，，又，，，，，四边形是菱形，，，，，，，，，，，，，又，，，，．也可以通过证明点，点，点，点四点共圆，可求的度数，其他一样．8．（2022•山西模拟）综合与实践问题情境数学课上，老师提出如下问题：如图1，四边形和四边形均为正方形，且点在边上，点在边上．请判断与的数量关系和位置关系．初步探究（1）请你回答老师提出的问题：与的数量关系是，位置关系是；数学思考（2）“兴趣小组”在老师所提问题的基础上，又进行了深入探究：如图2，他们将正方形以点为中心，按逆时针方向进行旋转，使得点落在边上，他们认为（1）中得到的结论仍然成立．请你思考：他们的认识是否正确？请说明理由；拓展深入（3）“智慧小组”在图2的基础上，过点作于点，如图3，若，，请直接写出线段的长度．【答案】见解析【详解】（1）如图1，四边形和四边形均为正方形，，，，，，，点在边上，点在边上，，故答案为：，．（2）正确，理由如下：如图2，延长、交于点，由旋转得，，，，，，，，，（3）如图3，作于点，，，，，，，，，，，，，，，线段的长度为．9．（2022•山西一模）综合与实践（1）如图1，为的角平分线，，点在上，，求证：平分；（思考探究）（2）如图2，在（1）的条件下，为上一点，连结交于点．若，，，求的长；（拓展延伸）（3）如图3，在四边形中，对角线平分，点在上，，．若，，，求的长．【答案】见解析【详解】（1）证明：平分，，，，，，，，即平分；（2）解：，，，，，，．，；（3）解：如图3，在上取一点，使得，连结．平分，，，，，．，．，，．，，．，又，，，，．10．（2022•临汾二模）在等腰中，，点是边上一点（不与点、重合），连结．（1）如图1，若，点关于直线的对称点为点，连结，，则；（2）若，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连结．①在图2中补全图形；②探究与的数量关系，并证明；（3）如图3，若，且．试探究、、之间满足的数量关系，并证明．【答案】见解析【详解】（1），，是等边三角形，，点关于直线的对称点为点，，；故答案为：；（2）①补全图形如下：②，证明如下：，，是等边三角形，，，线段绕点顺时针旋转得到线段，，，，，即，在和中，，，；（3），证明如下：连接，如图：，，，，，，，，，即，，，在和中，，，，，而，，即．11．（2022•榆次区一模）综合与实践问题情景：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，将（其中，绕正方形的顶点旋转，连接，，试猜想线段与的数量关系和位置关系，并加以证明；独立思考：（1）请解答老师提出的问题；实践探究：（2）希望小组受此问题的启发，如图2，连接，，分别取，，的中点，，，连接，，请判断线段与的数量关系，并加以证明；问题解决：（3）智慧小组突发奇想，在（2）的条件下，如图3，将旋转至，交于点，若，，则线段的长为4．【答案】见解析【详解】（1），，证明：如图1，延长交于点，交于点，四边形是正方形，，，，，，，，，，，，．（2），证明：如图2，、、分别是、、的中点，，，由（1）得，，．（3）如图3，延长交于点，交于点，由（1）得，，，，，，，，，，，，，，，，线段的长为4，故答案为：4．12．（2022•交城县模拟）综合与实践．问题情境和如图1放置，点与点重合，，，，分别与，交于点，点，点是的中点．数学思考（1）连接，求证：点是的中点；并计算的面积；操作探究（2）如图2，先将沿的方向平移，使点与点重合，再沿的方向平移到点为的中点时停止；过点作交于点，连接，，．试判断四边形的形状，并说明理由；（3）在图2的基础上，将绕着点顺时针旋转，仍然存在，延长交于点，交于点，如图3．请直接写出三角形的面积．【答案】见解析【详解】（1）过点作于点，过点作于点．，，，，，，，，，，，点为的中点，，，，，，点是的中点，，，，，，，，，，，，，，，，，，，；（2）四边形为菱形证明：连接，点为的中点，点为的中点，，，，，，，，，在与中，，，，是的中点，，，，四边形是菱形；（3）如图，以为原点，所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系，连接，过点作于，过作于，过作于，过作轴于，设与交于，，，，，，是的中点，是的中点，，是的中位线，，，，在图2的基础上绕点顺时针旋转，，，，，，，，为的中点，，，，，，，，是的中点，，，设直线的解析式为，根据点点坐标可得，解得，直线的解析式为，当时，，，，，，，，，，，设，则，，设直线的解析式为，根据坐标可得，，直线的解析式为，联立，解得，，，，，三角形的面积为．13．（2022•晋中一模）综合与实践问题情境在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．操作发现某数学小组对图1的矩形纸片进行如下折叠操作：第一步：如图2，把矩形纸片对折，使与重合，得到折痕，然后把纸片展开；第二步：如图3，将图2中的矩形纸片沿过点的直线折叠，使得点落在上的点处，折痕与交于点，然后展开纸片，连接，，．问题解决（1）请在图2中利用尺规作图，作出折痕；（保留作图痕迹）（2）请你判断图3中的形状，并说明理由；（3）如图4，折痕与交于点，的延长线交直线于点，若，，请你直接写出的长．【答案】见解析【详解】如图2，为所求．（2）是等边三角形．理由如下：由折叠的性质可得，，，是的垂直平分线，，，是等边三角形；（3）如图4，是等边三角形，，，在中，，，，在中，，，，，四边形是矩形，，，，，设，，解得，．14．（2022•云冈区一模）综合与探究问题情境：数学实践课上，老师要求同学们先制作一个透明的菱形塑料板，然后在纸上画一个与透明的菱形相似的菱形．把透明的菱形放在上面记作菱形，它们的锐角顶点重合，且，连接，．操作发现：（1）如图1．当边在边所在的射线上，直接写出与的数量关系；探究发现：（2）如图2．将菱形绕点按逆时针方向旋转，使点落在边上，连接和．你认为（1）中的结论是否还成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；探究拓广：（3）如图3，在（2）的条件下，当时，探究并说明线段和的数量关系和位置关系．【答案】见解析【详解】（1）菱形菱形，，四边形是菱形，四边形是菱形，，，在和中，，，；（2）仍然成立，理由如下：由（1）得：，，，，即，在和中，，，；（3）如图，数量关系是：，位置关系是：，理由如下：延长，，交于点，由（2）得：，，，四边形是正方形，，，四边形是正方形，，，，，，即．15．（2022•山西模拟）综合与实践问题情境：有两块全等的矩形纸片和，其中，，，现将它们按如图1所示的方式放置，顶点与顶点重合，点，分别落在，上，与相交于点，连接，．特例感知：（1）①判断图1中四边形的形状，并说明理由；②直接写出与的位置关系；深入探究：（2）如图2，将矩形绕点逆时针旋，则（1）②中与的位置关系是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立．请说明理由；解决问题：（3）如图3，若矩形的面积为30，当点是的中点时，，请直接写出此时的长．【答案】见解析【详解】（1）①如图1中，四边形是正方形．理由：四边形，四边形都是矩形，，，四边形是矩形，，，四边形是正方形；②结论：．理由：延长交于点．四边形是正方形，，，，，，，，，；（2）结论仍然成立．理由：如图2中，延长交于点．在和中，，，，，，，，，，，，即．（3）如图3中，延长交于点，过点作于，，，，，，，，，，，，，，．16．（2022•盐湖区模拟）如图，和是等边三角形，连接，，，．（1）如图1，若，若，，求的长度；（2）如图2，点在内，点是的中点，连接、、，若且．求证：；（3）如图3，的边且过点，，是直线上一动点，连接，将沿翻折得到，当最大时，过作的垂线，是垂线上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，直接写出的最小值．【答案】见解析【详解】（1）解：和是等边三角形，，，，，，即：，在和中，，，，，，，，；（2）证明：如图，延长至，是，是的中点，，在和中，，，，，，，同理（1）可得：，，，在和中，，，；（3）如图2，作于，作于，和是等边三角形，，，，点、、、共圆，，，，在中，，，由（1）知：，，，点在以为圆心，2为半径的圆上运动，延长交于，当点运动到时，最大，在中，，，，在中，，，，如图3，连接，以为边在的作等边三角形，，，是等边三角形，同理（1）得：，，点在与过点，与垂直的直线运动，作于，当运动到时，最小，在中，，，的最小值是：．17．（2022•吕梁模拟）综合与实践问题情境：如图1，在矩形中，，，点，分别在边，上，，，点为矩形的对称中心，连接，，易知四边形为矩形．矩形保持不动，矩形绕点按顺时针方向旋转，旋转角为．实践探究：（1）如图2，当点恰好在上，延长，交于点，则；（2）如图3，当的延长线恰好经过点时，，分别与交于点，．则：①；②；（3）如图4，若点在的延长线上，连接，．①此时；②探究与之间的数量关系，并加以证明；③此时点，，是否在同一条直线上？请说明理由；④求证：平分．【答案】见解析【详解】（1），，，，又，，，，，故答案为：；（2）①，，，，，，，，，故答案为：；②，，，，，，，故答案为：；（3）①，，，故答案为：60；②，理由如下：，，又，，，；③点，，在同一条直线上，理由如下：，，，点，点，点三点共线，④，，，，，平分．18．（2022•山西二模）综合与实践问题情境如图1，在正方形中，点是对角线上一点，且，将正方形绕点按顺时针方向旋转得到正方形（点，，，分别是点，，，的对应点）．探究发现（1）如图2，当边与在同一条直线上，与在同一条直线上时，点与分别落在正方形的边与上．求证：四边形是矩形．（2）如图3，当边经过点时，猜想线段与的数量关系，并加以证明．问题拓展（3）如图4，在正方形绕点按顺时针方向旋转过程中，直线与交于点，连接．当点在边的左侧时，请直接写出的度数．【答案】见解析【详解】（1）证明：四边形是正方形，，四边形是正方形，，四边形是矩形；（2）如图1，线段与的数量关系为：，理由如下：连接，，作于，作于，可得△为等腰直角三角形，，，四边形是矩形，，，，，△，，，；（3）如图2，连接，，，，，△，，，，，，，，点、、、共圆，．19．（2022•阳高县校级一模）如图1，在中，，，点为边的中点，直线经过点，过作，垂足为，过作，垂足为，连接、．（1）当点、在直线的异侧时，延长交于点，猜想线段和的数量关系为；（2）如图2，直线绕点旋转，当点在直线的同侧时，延长交于点，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）直线绕点旋转一周的过程中，当线段的长度最大时，请判断四边形的形状为，并求出它的面积为．【答案】见解析【详解】（1），理由如下：，，，，，点为边的中点，，，，，，，故答案为：；（2）（1）中的结论还成立，证明如下：延长交的延长线于，如图2所示：同（1）得：，，，，；（3）连接，如图3所示：，点为边的中点，，，，设线段的中点为，，，点、都在以线段为直径的圆上，当时，取得最大值，此时四边形是正方形，则四边形是矩形，，四边形的面积正方形的面积．故答案为：矩形，4．20．（2022•平定县模拟）综合与实践：问题情境：（1）如图1，点是正方形边上的一点，连接、，将绕点顺时针旋转，旋转后角的两边分别与射线交于点和点．①线段和的数量关系是；②写出线段、和之间的数量关系，并说明理由；操作探究：（2）在菱形中，，点是菱形边所在直线上的一点，连接、，将绕点顺时针旋转，旋转后角的两边分别与射线交于点和点．①如图2，点在线段上时，请探究线段、和之间的数量关系，写出结论并给出证明．②如图3，点在线段的延长线上时，交射线于点，若，直接写出线段和的长度．【答案】见解析【详解】（1）①绕点顺时针旋转，如图（1）由旋转可知，，四边形是正方形，，，，，，，；故答案为：②，理由如下：由旋转可知，，四边形是正方形，，，，，，，，，，即；（2）①，理由如下：在菱形中，，由旋转得，，在中，，，，，，，过点作于点，如图（2），，在中，，．设，则，，，，，②过点作，，如图（3），由①中同理可得：，．21．（2022•太原二模）综合与实践问题情境在中，，，点是直线上一动点．连接，将线段绕点逆时针旋转得到．操作证明（1）如图1，当点与点重合时，连接，判断四边形的形状，并证明；（2）如图2，当点与点重合时，连接，判断四边形的形状，并证明；探究猜想（3）当点不与点，点重合时．①试猜想与的位置关系，并利用图3证明你的猜想；②直接写出，和之间的数量关系．【答案】见解析【详解】（1）四边形是正方形，证明：将线段绕点逆时针旋转，点与重合，，，，，四边形是平行四边形，，，四边形是正方形；（2）四边形是平行四边形，证明：将线段绕点逆时针旋转，点与重合，，，，，，，，四边形是平行四边形；（3）①．证明：过点作交于点，连接，则，，，，，，，将线段绕点逆时针旋转得到，，，，，，在和中，，，，，，，，，，四边形是平行四边形，，四边形是矩形，，；②设的中点为，如图3，当点在射线上时，，由①可知，，又，，为等腰直角三角形，，；当点在射线上时，．如图4，过点作交于点，连接，则，同理可得，，四边形是矩形，，．，和之间的数量关系为或．22．（2022•运城一模）综合与实践如图1，在矩形中，对角线与交于点，将绕点顺时针旋转，点对应点为点，点对应点为点．（1）当点落在的延长线上时，请解答以下两个问题：①如图1，若，，连接，则（用含的代数式表示）；②如图2，延长交于点，试猜想与的位置关系并加以证明；（2）如图3，在图1的基础上继续绕点旋转，点对应点为点，点对应点为点．当点落在的延长线上时，已知，求证：四边形是菱形．【答案】见解析【详解】（1）解：①如图，过点作于点，四边形为矩形，，，点是矩形对角线的交点，为的中点，，，由旋转可知，，在中，，故答案为：；②，证明：由旋转可知，即，，，，，，即；（2）证明：四边形是矩形，，，由旋转可知，，，，，，，，，，，即，，，，四边形是平行四边形，，平行四边形是菱形．23．（2022•山西模拟）综合与实践在数学综合实践课上，老师让同学们探究等腰直角三角形中的折叠问题．问题情境：如图，在中，，，点在边上运动，点在边上运动．探究发现：（1）如图2，当沿折叠，点落在边的点处，且时，发现四边形是菱形．请证明；探究拓广：（2）如图3，奇异小组同学的折叠方法是沿折叠，点落在点处，延长交于点，，点在边上运动，沿折叠使点落在线段的中点处，求线段的长；探究应用：（3）沿折叠，点的对应点恰好落在边的三等分点处，请借助图1探究，并直接写出的长．【答案】见解析【详解】（1）证明：由翻折的性质可知，，，，，，，，四边形是菱形．（2）解：如图3中，，，，，，，，，，由（1）可知四边形，四边形是全等的菱形，设，，，，，，，，，；（3）解：如图中，当时，设，在中，，，，．如图中，当时，设，则有，，．综上所述，满足条件的的值为或．24．（2022•平遥县一模）综合与实践问题情境：在中，，点为斜边上的动点（不与点，重合）．操作发现：（1）如图①，当时，把线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，．①的度数为；②探究发现和有什么数量关系，请写出你的探究过程；探究证明：（2）如图2，当时，把线段绕点逆时针旋转后并延长为原来的两倍，记为线段．①在点的运动过程中，请判断与有什么数量关系？并证明；②若，在点的运动过程中，当的形状为等腰三角形时，直接写出此时的面积．【答案】见解析【详解】（1）①线段绕点逆时针旋转得到线段，，，，，，，，故答案为：；②，理由如下：由①知，；（2）①，理由如下：，，，，，，，，；②过作于，于，如图：，，，，，，，，，，四边形是矩形，，，（Ⅰ）当时，如图：，的面积为；（Ⅱ）当时，如图：此时，，的面积为（Ⅲ）当时，如图：设，则，在中，，解得，，的面积为，综上所述，的面积为或或8．25．（2022•山西模拟）综合与实践：无盖正三棱柱任务一：如图1，一块边长为的正三角形纸板，在它的三个角处分别截去一个彼此全等的筝形，再沿图中的虚线折起，做成一个无盖的直三棱柱纸盒（纸盒厚度忽略不计）．（1）请在图1的正三角形纸板中，画出示意图，其中视线表示剪切线，虚线表示折痕；（2）当所做的无盖盒子的侧面积最大时，其底面积为多少？任务二：如图2是边长为6的正方形，以正方形的边为边，在正方形内作正三角形，连接，．（3）证明，并计算的长；（4）如图3，底面边长为6，高为1的无盖三棱柱盒子的平面图正好在矩形中，直接写出矩形的面积．【答案】见解析【详解】（1）如图所示：（2）设，则，，，由题意知，无盖盒子的侧面积为，当时，纸盒侧面积最大，此时，底面积为；（3）四边形是正方形，是等边三角形，，，，，，，作于，，，，，，在中，由勾股定理得，；（4）如图，作于，交于，在中，，，，，在中，，，，，，，矩形的面积为．26．（2022•迎泽区校级模拟）综合与实践：如图，在正方形中，点是边上的一个动点（点与点，不重合），连接，过点作于点，交于点．（1）如图1，求证：；（2）如图2，当点运动到中点时，连接，求证：；（3）如图3，若，连接，当点在边上运动的过程中．是否存在最小值，若存在，请直接写出最小值，及此时的值；若不存在，请说明理由．【答案】见解析【详解】（1）证明：四边形是正方形，，，，，，，在和中，，，（2）证明：如图2，延长，交于点，点是的中点，，四边形是正方形，，，，，，，，又，，，，，，，，在和中，，，，又，，．（3）解：存在最小值．如图3，以为直径作，连接，，，，点在以为直径的上，在中，，当点在上时，有最小值，此时：如图4，，点是中点，，，，，，，，，，由（2）可得，．27．（2022•运城二模）如图，将矩形对折，使与重合，得到折痕，展开后再一次折叠，使点落在上的点处，并使得折痕经过点，得到折痕，连接，如图1问题解决：（1）试判断图1中是什么特殊的三角形？并说明理由；（2）如图2，在图1的基础上，与相交于点，点是的中点，连接并延长交于点，求的值．【答案】见解析【详解】（1）等边三角形．理由：由折叠可知：垂直平分，，，，为等边三角形．（2）取的中点，连接，则，由折叠可知：，是△的中位线，，，为的中点，，，．28．（2022•侯马市模拟）综合与实践问题背景：如图1，在四边形中，，，，连接，，过点作于点，且．（1）求证：．操作探究：如图2，将沿直线方向向右平移一定距离，点，，的对应点分别为点，，，且点与点重合．（2）①连接，试判断四边形的形状，并说明理由；②求出平移的距离．（3）若将继续沿直线方向向右平移，当点恰好落在边上时，请在图1中画出平移后的图形，并求出继续平移的距离．拓展创新：如图3，在（2）的条件下，将△绕点按顺时针方向旋转一定角度，在旋转的过程中，记直线分别与边，交于点，．（4）当时，请直接写出的长．【答案】见解析【详解】（1）证明：，，．在和中，，．．（2）解：①四边形是菱形．理由：将沿直线方向向右平移一定距离，点，，的对应点分别为点，，，，，四边形是平行四边形．由（1）得．四边形是菱形．②，，．，在中，．，解得．平移的距离为．（3）解：所作图形如图所示．由平移的性质，得，，．，．由（1），得，，．，．由（2），得，．．继续平移的距离为．（4），，．．．．．．，．．将△绕点按顺时针方向旋转，，．设，则．在△中，根据勾股定理，．解得．．29．（2