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文档简介
2022-2023学年高三上数学期末模拟试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.下列函数中,既是偶函数又在区间上单调递增的是()A. B. C. D.2.已知函数,则()A.函数在上单调递增 B.函数在上单调递减C.函数图像关于对称 D.函数图像关于对称3.把函数的图象向右平移个单位,得到函数的图象.给出下列四个命题①的值域为②的一个对称轴是③的一个对称中心是④存在两条互相垂直的切线其中正确的命题个数是()A.1 B.2 C.3 D.44.已知直线过圆的圆心,则的最小值为()A.1 B.2 C.3 D.45.对于函数,定义满足的实数为的不动点,设,其中且,若有且仅有一个不动点,则的取值范围是()A.或 B.C.或 D.6.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出的结果为()A. B.6 C. D.7.《易·系辞上》有“河出图,洛出书”之说,河图、洛书是中华文化,阴阳术数之源,其中河图的排列结构是一、六在后,二、七在前,三、八在左,四、九在右,五、十背中,如图,白圈为阳数,黑点为阴数,若从阴数和阳数中各取一数,则其差的绝对值为5的概率为A. B. C. D.8.已知集合,则()A. B.C. D.9.第24届冬奥会将于2022年2月4日至2月20日在北京市和张家口市举行,为了解奥运会会旗中五环所占面积与单独五个环面积之和的比值P,某学生做如图所示的模拟实验:通过计算机模拟在长为10,宽为6的长方形奥运会旗内随机取N个点,经统计落入五环内部及其边界上的点数为n个,已知圆环半径为1,则比值P的近似值为()A. B. C. D.10.设全集为R,集合,,则A. B. C. D.11.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的有系统的数学典籍.其中记载有求“囷盖”的术:“置如其周,令相承也.又以高乘之,三十六成一”.该术相当于给出了由圆锥的底面周长与高,计算其体积的近似公式.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么近似公式相当于将圆锥体积公式中的圆周率近似取为()A. B. C. D.12.设等差数列的前项和为,若,则()A.10 B.9 C.8 D.7二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知集合,,则____________.14.在中,,,则_________.15.在正方体中,为棱的中点,是棱上的点,且,则异面直线与所成角的余弦值为__________.16.若函数为偶函数,则________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)△的内角的对边分别为,且.(1)求角的大小(2)若,△的面积,求△的周长.18.(12分)某市环保部门对该市市民进行了一次垃圾分类知识的网络问卷调查,每一位市民仅有一次参加机会,通过随机抽样,得到参加问卷调查的人的得分(满分:分)数据,统计结果如下表所示.组别频数(1)已知此次问卷调查的得分服从正态分布,近似为这人得分的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表),请利用正态分布的知识求;(2)在(1)的条件下,环保部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案.(ⅰ)得分不低于的可以获赠次随机话费,得分低于的可以获赠次随机话费;(ⅱ)每次赠送的随机话费和相应的概率如下表.赠送的随机话费/元概率现市民甲要参加此次问卷调查,记为该市民参加问卷调查获赠的话费,求的分布列及数学期望.附:,若,则,,.19.(12分)已知椭圆的离心率为是椭圆的一个焦点,点,直线的斜率为1.(1)求椭圆的方程;(1)若过点的直线与椭圆交于两点,线段的中点为,是否存在直线使得?若存在,求出的方程;若不存在,请说明理由.20.(12分)在中,角、、所对的边分别为、、,角、、的度数成等差数列,.(1)若,求的值;(2)求的最大值.21.(12分)已知倾斜角为的直线经过抛物线的焦点,与抛物线相交于、两点,且.(1)求抛物线的方程;(2)设为抛物线上任意一点(异于顶点),过做倾斜角互补的两条直线、,交抛物线于另两点、,记抛物线在点的切线的倾斜角为,直线的倾斜角为,求证:与互补.22.(10分)已知函数(),且只有一个零点.(1)求实数a的值;(2)若,且,证明:.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】
结合基本初等函数的奇偶性及单调性,结合各选项进行判断即可.【详解】A:为非奇非偶函数,不符合题意;B:在上不单调,不符合题意;C:为偶函数,且在上单调递增,符合题意;D:为非奇非偶函数,不符合题意.故选:C.【点睛】本小题主要考查函数的单调性和奇偶性,属于基础题.2、C【解析】
依题意可得,即函数图像关于对称,再求出函数的导函数,即可判断函数的单调性;【详解】解:由,,所以函数图像关于对称,又,在上不单调.故正确的只有C,故选:C【点睛】本题考查函数的对称性的判定,利用导数判断函数的单调性,属于基础题.3、C【解析】
由图象变换的原则可得,由可求得值域;利用代入检验法判断②③;对求导,并得到导函数的值域,即可判断④.【详解】由题,,则向右平移个单位可得,,的值域为,①错误;当时,,所以是函数的一条对称轴,②正确;当时,,所以的一个对称中心是,③正确;,则,使得,则在和处的切线互相垂直,④正确.即②③④正确,共3个.故选:C【点睛】本题考查三角函数的图像变换,考查代入检验法判断余弦型函数的对称轴和对称中心,考查导函数的几何意义的应用.4、D【解析】
圆心坐标为,代入直线方程,再由乘1法和基本不等式,展开计算即可得到所求最小值.【详解】圆的圆心为,由题意可得,即,,,则,当且仅当且即时取等号,故选:.【点睛】本题考查最值的求法,注意运用乘1法和基本不等式,注意满足的条件:一正二定三等,同时考查直线与圆的关系,考查运算能力,属于基础题.5、C【解析】
根据不动点的定义,利用换底公式分离参数可得;构造函数,并讨论的单调性与最值,画出函数图象,即可确定的取值范围.【详解】由得,.令,则,令,解得,所以当时,,则在内单调递增;当时,,则在内单调递减;所以在处取得极大值,即最大值为,则的图象如下图所示:由有且仅有一个不动点,可得得或,解得或.故选:C【点睛】本题考查了函数新定义的应用,由导数确定函数的单调性与最值,分离参数法与构造函数方法的应用,属于中档题.6、D【解析】
用列举法,通过循环过程直接得出与的值,得到时退出循环,即可求得.【详解】执行程序框图,可得,,满足条件,,,满足条件,,,满足条件,,,由题意,此时应该不满足条件,退出循环,输出S的值为.故选D.【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用,正确依次写出每次循环得到的与的值是解题的关键,难度较易.7、A【解析】
阳数:,阴数:,然后分析阴数和阳数差的绝对值为5的情况数,最后计算相应概率.【详解】因为阳数:,阴数:,所以从阴数和阳数中各取一数差的绝对值有:个,满足差的绝对值为5的有:共个,则.故选:A.【点睛】本题考查实际背景下古典概型的计算,难度一般.古典概型的概率计算公式:.8、C【解析】
由题意和交集的运算直接求出.【详解】∵集合,∴.故选:C.【点睛】本题考查了集合的交集运算.集合进行交并补运算时,常借助数轴求解.注意端点处是实心圆还是空心圆.9、B【解析】
根据比例关系求得会旗中五环所占面积,再计算比值.【详解】设会旗中五环所占面积为,由于,所以,故可得.故选:B.【点睛】本题考查面积型几何概型的问题求解,属基础题.10、B【解析】分析:由题意首先求得,然后进行交集运算即可求得最终结果.详解:由题意可得:,结合交集的定义可得:.本题选择B选项.点睛:本题主要考查交集的运算法则,补集的运算法则等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11、C【解析】
将圆锥的体积用两种方式表达,即,解出即可.【详解】设圆锥底面圆的半径为r,则,又,故,所以,.故选:C.【点睛】本题利用古代数学问题考查圆锥体积计算的实际应用,考查学生的运算求解能力、创新能力.12、B【解析】
根据题意,解得,,得到答案.【详解】,解得,,故.故选:.【点睛】本题考查了等差数列的求和,意在考查学生的计算能力.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
由于,,则.14、【解析】
先由题意得:,再利用向量数量积的几何意义得,可得结果.【详解】由知:,则在方向的投影为,由向量数量积的几何意义得:,∴故答案为【点睛】本题考查了投影的应用,考查了数量积的几何意义及向量的模的运算,属于基础题.15、【解析】
根据题意画出几何题,建立空间直角坐标系,写个各个点的坐标,并求得.由空间向量的夹角求法即可求得异面直线与所成角的余弦值.【详解】根据题意画出几何图形,以为原点建立空间直角坐标系:设正方体的棱长为1,则所以所以,所以异面直线与所成角的余弦值为,故答案为:.【点睛】本题考查了异面直线夹角的求法,利用空间向量求异面直线夹角,属于中档题.16、【解析】
二次函数为偶函数说明一次项系数为0,求得参数,将代入表达式即可求解【详解】由为偶函数,知其一次项的系数为0,所以,,所以,故答案为:-5【点睛】本题考查由奇偶性求解参数,求函数值,属于基础题三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(I);(II).【解析】
试题分析:(I)由已知可得;(II)依题意得:的周长为.试题解析:(I)∵,∴.∴,∴,∴,∴,∴.(II)依题意得:∴,∴,∴,∴,∴的周长为.考点:1、解三角形;2、三角恒等变换.18、(1);(2)见解析.【解析】
(1)根据题中所给的统计表,利用公式计算出平均数的值,再利用数据之间的关系将、表示为,,利用题中所给数据,以及正态分布的概率密度曲线的对称性,求出对应的概率;(2)根据题意,高于平均数和低于平均数的概率各为,再结合得元、元的概率,分析得出话费的可能数据都有哪些,再利用公式求得对应的概率,进而得出分布列,之后利用离散型随机变量的分布列求出其数学期望.【详解】(1)由题意可得,易知,,,;(2)根据题意,可得出随机变量的可能取值有、、、元,,,,.所以,随机变量的分布列如下表所示:所以,随机变量的数学期望为.【点睛】本题考查概率的计算,涉及到平均数的求法、正态分布概率的计算以及离散型随机变量分布列及其数学期望,在解题时要弄清楚随机变量所满足的分布列类型,结合相应公式计算对应事件的概率,考查计算能力,属于中等题.19、(1)(1)不存在,理由见解析【解析】
(1)利用离心率和过点,列出等式,即得解(1)设的方程为,与椭圆联立,利用韦达定理表示中点N的坐标,用点坐标表示,利用韦达关系代入,得到关于k的等式,即可得解.【详解】(1)由题意,可得解得则,故椭圆的方程为.(1)当直线的斜率不存在时,,不符合题意.当的斜率存在时,设的方程为,联立得,设,则,,,即.设,则,,,则,即,整理得,此方程无解,故的方程不存在.综上所述,不存在直线使得.【点睛】本题考查了直线和椭圆综合,考查了弦长和中点问题,考查了学生综合分析,转化划归,数学运算的能力,属于较难题.20、(1);(2).【解析】
(1)由角的度数成等差数列,得.又.由正弦定理,得,即.由余弦定理,得,即,解得.(2)由正弦定理,得.由,得.所以当,即时,.【方法点睛】解三角形问题基本思想方法:从条件出发,利用正弦定理(或余弦定理)进行代换、转化.逐步化为纯粹的边与边或角与角的关系,即考虑如下两条途径:①统一成角进行判断,常用正弦定理及三角恒等变换;②统一成边进行判断,常用余弦定理、面积公式等.21、(1)(2)证明见解析【解析】
(1)根据题意,设直线方程为,联立方程,根据抛物线的定义即可得到结论;(2)根据题意,设的方程为,联立方程得,同理可得,进而得到,再利用点差法得直线的斜率,利用切线与导数的关系得直线的斜率,进而可得与互补.【详解】(1)由题意设直线的方程为,令、,联立,得,根据抛物线的定义得,又,故所求抛物线方程为.(2)依题意,设,,设的方程为,与联立消去得,,同理,直线的斜率=切线的斜率,由,即与互补.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用,直线斜率的应用,考查分析问题解决问题的能力,属于中档题.22、(1)(2)证明见解析【解析】
(1)求导可得在上,在上,所以函数在时
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