高中数学数列综合练习题及答案

（完整版）高中数学数列综合练习题及答案

一、单选题

1.在自然界中，树木的分叉、花瓣的数量、植物种子的排列等都遵循了某种数学规律，直到

13世纪意大利数学家莱昂纳多・裴波那契从免子繁殖问题发现了一组神奇的数字1,1,2,

3,5,8,13,21,34,它揭示了植物生长的规律，我们将其称为裴波那契数列，该数

列也可以表示为也,｝,=a2=1,an+2=an+an+t（neN,）,下面结论：

①q+4+…+=an+2-1,②a：+a；+.•■+.：=anan+l,③q+a3+.•.+a2n_,=a2n,

④出+能+…=出向-1，则以上正确结论的个数是（）

A.4B.3C.2D.1

2.己知数列｛q｝满足：qeN*,6+产］芥j（［可］表示不超过的最大整数）.设

当确定q=左（二eN,）时得到q可能的值的个数记为力（%）,下列四个命题：

①力（同1）=1②若此N*且公eN*,“任）=力（阴③若丘N*,则

/信）=为+2&+1④源（1）=1+［工（2）+/⑵+…+力⑵］+［工（3）+&⑶+…+/⑶］.正

确的命题个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

3.设正项等比数列｛叫的前"项和为S”，且〃“•­=5，则卜（）

9%

9

W竺

U

--28一

A.9B.8D.

2727

4.在等差数列｛〃〃｝中，见=1，。5=5,则4=（）

A.13B.14C.15D.16

5.数列3,8,15,24,35,…的一个通项公式4等于（)

A.n2+2B.A?一〃+3C.nr+2nD.2/72+n

6.在等差数列｛q｝中，若4一%+%-3+45=（，则tan（%+%）=（)

A.B.旧C.-V3D.

3~T

7.记S〃为等比数列的前〃项和,若包+@=8（4+火）,。2+4+60=1。，则兀=

)

A.45B.75C.80D.90

8.已知等差数列｛q｝的前〃项和为S〃，若%=2,且、4=邑，则下列说法中正确的是

（）

A.｛〃”｝为递增数列B.当且仅当〃=5时，S.有最大值

C.不等式S〃>0的解集为｛〃£N*|〃wio｝D.不等式可>。的解集为无限集

9.在等差数列｛/｝中，若4+2a2+34+4%=50,则6=()

A.2B.3C.5D.7

10.已知数列｛“,｝的前"项和为5“，若4=1,«„+1=25„(n>l),则々022=()

A.2x32021B.32⑼C.32WUD.2x32020

11.一张报纸，其厚度为。，面积为。，现将报纸对折5次，这时报纸的厚度和面积分别是

()

hb

A.32a—B.64a,——

93264

bb

C.128a，D.256。，

128256

12.在等比数列｛a“+1｝中，/=8,%=26,则%=()

2197

A.80B.242C,-------D.244

8

13.设等比数列｛q｝的前〃项和为5.，且有％-2%=5,$3=3,则｛4｝的公比为()

A.g或58.2或勺C.-万或-5D.—2或一g

14.若等差数列｛4｝的公差为小前〃项和为S",则"d<0"是"S"有最大值”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

15.在等差数列｛4｝中，若4+%=18,则4=()

A.9B.18C.27D.36

二、填空题

16."中国剩余定理"又称"孙子定理"，可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷

下中的“物不知数”问题，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七

七数之剩二.问物几何？现有一个相关的问题：将1到2022这2022个自然数中被3除余2

且被5除余4的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列14,29,44...,则该数列

的项数为.

17.如图①，1个白色圆圈对应1个黑色圆圈和1个白色圆圈，1个黑色圆圈对应2个黑

色圆圈和1个白色圆圈，如果按照这种规律进行下去，图②中第7行的黑色圆圈的个数为

第।行

O第2行

八小

oe«第3行

①

18.已知数列｛4｝与也｝满足4用-4=2(%-2).若』=3〃+5,且q=l,则数列｛4｝

的通项公式为.

19.已知等差数列｛%｝满足4=1,g=2,则｛%｝的前5项和醺=.

20.已知数列｛4｝满足＜=%=0，|%+L%|=2,则｛4｝前5项和的最大值为.

三、解答题

21.已知数列｛an｝各项均为正数，且对任意“GN,均满足

("1)%=#+23+33+…+〃3.

2

⑴计算S,02,的值；

⑵试根据(D的计算，利用合情推理归纳出｛an｝的通项公式.

22.已知数列｛4“｝中，4=1,%=2,4,+2=机，(kwl)，〃eN*，a2+a3,a,+a4,

4+为成等差数列.

⑴求k的值和｛%｝的通项公式；

⑵设4=「"’〃粕，求数列出｝的前n项和5“.

log2a„,“为偶数

23.为了方便出行，缓解交通压力，保护环境，推进生态文明建设，市政府大力推行共享

交通工具出行.某企业根据市场发展情况推出共享单车和共享电动车两种产品，市场调查

发现，由于两种产品中共享电动车速度更快，故更受市民欢迎.一般使用共享电动车的概

率为使用共享单车的概率为该企业为了促进市民消费，使用共享电动车一次记2

分，使用共享单车一次记1分，每个市民各次使用共享交通工具选择意愿相互独立，市民

之间选择意愿也相互独立.

⑴从首次使用共享交通工具的市民中随机抽取3人，记总得分为随机变量X,求X的分布

列和数学期望；

(2)记某一市民已使用该企业共享交通工具的累计得分恰为〃分的概率为。(比如：C表示

累计得分为1分的概率，2表示累计得分为2分的概率，〃eN*),试探求匕与4T之间

的关系，并求数列｛2｝的通项公式.

,、(4+1,〃为奇数，

24.已知等差数列｛%｝中，4=3,6=6,且勿头

[2"”,〃为偶数.

⑴求数列出｝的通项公式及前20项和；

(2)若c“=也”，记数列仁｝的前n项和为5„，求S,.

【参考答案】

一、单选题

1.A

【解析】

【分析】

利用累加法求解计算并判断.

【详解】

由己知at+a2=a3,a2+a3=a4a„+an+i=a„+2,

累加得q+42+…+4"=。"+2-1>

由q=a2,a2+a,=a4,a4+a5=a6，…，a2n_2+a2n_t=a2„,

累加得4+4+…+。2,1=。2”；

由q+〃2=%，%+%=%，…，”2“T+，“=，

累加整理得。+4+~+。2“=出“+1-1;

aa

因为n+2=„+4用，4+2（%+。向）=

a；+a；+,••+%=%+玲+%+”•+《；=。3a4+%，,,+a；

=a4a5+a；+..•+a；=•••=an_{an+a：=anan+l,

故选：A

【点睛】

求解本题的关键是利用递推关系%+2=a“+a,,M（〃eN*）,由累加法求解.

2.D

【解析】

【分析】

根据/，伏）定义，即对a,,=%确定的可能值，利用归纳法得出生的个数，即<（&）的值，

从而判断各命题.

【详解】

①人（而可=1,即用=闻1,因此出=2021（若,任N*,则6eN*,因此由只能

是整数），所以4=202-,只有一种可能，因此人（、丽）=1,正确；

②若人W且AeW,以伙）=力俨）

aH*,所以a“+i=%,反之若a.x=k壬N*,因此a.eN*一定成立，所以必有

an=k\从而以⑻=力（3）成立，正确；

③若力化）=2公+2&+1,

对力（%），a&=kwN*,则为=%2或%="","2+2，收+2k，

若％=，公+i（i=L2,…,2幻,则。2=公+"于是4=（/+i>,共2人种,

若见=公，则生=/或%=犷1，M3,…，，这里对应任何一种情况，

必有q=a；,因此共有2^+1种，

所以力（幻=2r+1+2%,正确；

④源。）=1+［以2）+以少…+J⑵］+［工（3）+丁（3）+…+J（3）］

若4+2=1，则4+i=l或4+1=血，”"+|=6，

若an+l=>/2,则。0=2,若4用=,则。“=3,

若”.+1=1，则％=i或75,

同样若q=血，则%-|=2,若q=豆，贝|J《I=3,

因此加式I）=£+1⑴+工⑵+力（3）=力⑴+九⑵+九⑶+力⑵+力（3）=…,

依此类推，源⑴=仅）+"（2）+力（2）+…+£,（2）］+［＜⑶+&3）+…+£（3）］

又出=1时,只能有6=1,即4⑴=1,

所以源⑴=1+［力（2）+右（2）+…+＜（2）］+［工（3）+人（3）+…+力（3）］成立，命题④正

确.

正确命题有4个.

故选：D.

【点睛】

本题考查数列新定义，解题难点是确定数列的项，方法是归纳法（数学归纳法的思想），

关键是数列的定义，当。“任N*时，。向="」为正整数，a.eN*时，。,用=疯可能为整

数也可以不是整数，这样才能正确明的取值确定%一的取值，从而得出结论，本题属于难

题.

3.D

【解析】

【分析】

由已知求出公比夕后，结合等比数列前〃项和公式可得结论.

【详解】

因为的,用=白，所以的*=焉，所以鬻&=八!，又数列是正项数列，所以

yUnUn+l）

1bt［S.邑+/S、31328

q=1所以，：n=i+/=i+q）=方.

jJ3»3n//

故选：D.

4.A

【解析】

【分析】

利用等差数列的基本量，即可求解.

【详解】

设等差数列的公差为d,%=%+2"=1+2"=5,解得：d=2,

则为=%+4〃=13.

故选：A

5.C

【解析】

【分析】

用排除法对选项逐一分析即可.

【详解】

本题为选择题，可用排除法，对选项逐一分析,

对于A答案,展开可得数列为3,6,11……，不符合题意，故A错误，

对于B答案,展开可得数列为3,5,9......,不符合题意，故B错误，

对于D答案,展开可得数列为3,10,21.…，不符合题意，故D错误,

对于C答案,展开可得数列为3,8,15,24.......符合题意，故C正确，

故选：C

6.C

【解析】

【分析】

TT

先由等差数列的性质求得为=g,再由处+%=2%代入计算即可求解.

【详解】

由等差数列性质知q+a”=%+%，.,.勾-丹+生-%+4=%=(，

/.tan(%+%)=tan(2%)=lan笄=-tany=一6.

故选：C.

7.B

【解析】

【分析】

设等比数列｛q｝的公比为4,根据已知条件求出夕的值，利用等比数列的求和公式以及基

本性质可求得几的值.

【详解】

设等比数列｛4｝的公比为夕，由4+4=8(4+%)可知4心+“543=8(4+4),所以

q=2,

S[2=(4+%+勾)+(生+&+4o)+(%+%+4I)+(。4+6+42)

=!(«,+«6+"“>)+(%+«6+“">)+4(“2+4+《0)+/(%+。6+《0)

(a2+%+4(>)]—nl+q+q-=10x^—+14-2+4^=75,

故选：B.

8.C

【解析】

【分析】

利用J=跖可求得％=。，结合等差数列通项公式可得4，4；由此可求得“”S“；根据S,的

二次函数性和可,的一次函数性依次判断各个选项即可.

【详解】

由S,=S7得：%+4+%=57-$4=0，，36=0,即4=0；

/、f&=4+2d=2

设等差数列｛”“｝的公差为d,则5+5d=0，解得：.

对于A,•.々〈O,，｛4｝为递减数列，A错误；

,.•"cN",，当〃=5或〃=6时，S.取得最大值，B错误；

对于C,由-g〃2+?〃>o得：...”GO,C正确；

in22

对于D,,：an=--—(»-1)=--n+4,，由。”>0得：n<6,

则不等式为>0的解集为｛1,2,3,4,5｝,为有限集，D错误.

故选：C.

9.C

【解析】

【分析】

根据等差数列的通项公式直接计算可得.

【详解】

设等差数列｛4｝的公差为d,

则由q+24+343+44=50可得10q+20d=50,即q+24=5,即%=5.

故选：C.

10.D

【解析】

【分析】

利用。向=5向-S“得出⑸｝是等比数列，求得通项公式52以后可得/竣.

【详解】

«„+,=25„(«>1),得S“r-S”=2S,,,所以S“"=3S",又因为$=q=l,

所以｛5“｝为等比数列，其中首项为1，公比为3,

20212020

所a2022=2s2021=2x1x3'-=2x3.

故选：D.

11.A

【解析】

【分析】

根据对折一次后所得厚度和面积与此前厚度和面积的比例关系可直接得到结果.

【详解】

每对折一次，厚度变为原来的2倍，则对折5次后的报纸厚度为25a=32〃；

每对折一次，面积变为原来的;，则对折5次后的报纸面积为d6=2.

232

故选：A.

12.B

【解析】

【分析】

根据题意求出等比数列｛4+1｝的公比和首项，即可求出生+1,从而求出生.

【详解】

等比数歹J也,+1｝的公比4==y=3,

a5+1=(/+1)/=9x3,=243,

/.a5=242.

故选：B.

13.C

【解析】

【分析】

由等比数列的基本量法求解.

【详解】

设公比为。，由%-24=5,$3=3,得

f2c<q=41

%q-2qq=5a=-

i2c，解得，1或，｝7,

面+a闻+他=3[^=--[g=_5

故选：C.

14.A

【解析】

【分析】

根据等差数列前n项和的函数性质及4=0的等差数列，判断题设条件间的推出关系，结合

充分、必要性定义即可知答案.

【详解】

由等差数列前n项和：5“=，〃2+(4_1).〃，

当d<0时，由品对应的二次函数性质：开口向下，即S,有最大值；

若等差数列仅“｝是各项为。的常数列，5.最大值也为0,此时"=0；

所以"d<0"是"S“有最大值〃的充分不必要条件.

故选：A

15.A

【解析】

【分析】

根据等差中项，可知/+%=2%，由此即可求出结果.

【详解】

因为数列｛q｝是等差数列，由等差中项可知4+%=2%=18,

所以4=9.

故选：A.

二、填空题

16.134

【解析】

【分析】

被3除余2的数构成以首项为2,公差为3的等差数列被5除余4的数构成以

首项为4,公差为5的等差数列％=5〃-1,分析观察可知所得数列以首项为14,公差为

15的等差数列%=15〃-1.

【详解】

自然数中被3除余2的数从小到大依次构成以首项为2,公差为3的等差数列，即

an=2+3（〃-=

自然数中被5除余4的数从小到大依次构成以首项为4,公差为5的等差数列，即

bn=4+5（n-l）=5n-l

所得数列以首项为14,公差为15的等差数列，即4=14+15（n-1）=15”—1

丁cn=3（5”）一1=%,，J=5（3”）一1=%,

；.%=15〃-1满足题意，则15”—142022

2023

即“4第，则〃=134

故答案为：134.

17.144

【解析】

【分析】

设为第"行中黑色圆圈的个数，2为第〃行中白色圆圈的个数，则。,出=2q+2，

bn+l=a„+hn,即可推出结果.

【详解】

设为第n行中黑色圆圈的个数，2为第”行中白色圆圈的个数，因为每个白色圆圈对应

下一行的一白一黑两个圆圈，一个黑色圆圈对应下一行的1个白色圆圈和2个黑色圆圈，

所以4川=24+b„,bll+l=a„+bn,

又q=0,々=1,则的=1,方2=1;%=2x1+1=3,

4=1+1=2；q=2x3+2=8,“=3+2=5；a5=2x8+5=21,b5=8+5=13；

a6=2x21+13=55,h6=21+13=34；%=2x55+34=144.

故答案为：144.

18.«„=6n-5

【解析】

【分析】

判断出数列｛q｝为4=1,公差为6的等差数列，直接写出通项公式.

【详解】

因为么=3〃+5,所以也用-2=3(〃+1)+5-(3“+5)=3,

所以4+1-%=6,

所以数列｛《,｝为4=1,公差为6的等差数列，

所以q=q+(n-l)6=6/i-5.

故答案为：«„=6/1-5.

19.15

【解析】

【分析】

根据题意，求出等差数列的基本量，然后，利用等差数列的求和公式直接求解.

【详解】

设等差数列｛q｝的公差为d,所以，d=a2-a,=\,所以，可得见=4+(〃-l)d=〃，进而

有原=5(4；%)=56=]5.

故答案为：15

20.8

【解析】

【分析】

由题，,,用-4,|=2去绝对值得a“+|=勺±2,又4=a5=0,故4,%间需要两个+2和两个

-2,要使｛4/前5项和最大，只需使生、%、%尽可能大即可.

【详解】

由|。向一4,|=2得4+1=4,±2,又q==0，

即％=%±2±2±2±2=±2±2±2±2=0,所以需要两个+2和两个-2,

｛%｝前5项和$5=4+%+毋+4+%=。2+%+%，要得到最大值，%、%、肉需要尽可能

大，故的=2,4=2,从而出=4,则另有最大值，为8,

故答案为：8

三、解答题

21.(1)4=1；生=2；%=3

(2)«„=«

【解析】

【分析】

(1)直接将“=1,2,3代入即可得结果；

(2)通过卬，%的值即可得结果.

⑴

因为对任意"GN,an>0,

当n=l时，解得％=1；

2

当"=2时，(2+1)%=7^77,解得“2=2；

2

当”3时，任旭=17777,解得％=3.

2

(2)

根据(1)所计算出6,02,S的值，

利用合情推理可归纳出｛an｝的通项公式为q=〃.

”一1

2~,〃为奇数

22.⑴2=2,«„="

2乙〃为偶数

2"-1(〃+2)2,〃为偶数

3+-r-

⑵s“=

2"+l-ln2-l

------1-----，〃为奇数

38

【解析】

【分析】

(1)由的+生，4+4，4+生成等差数列，可求得。2=。3=2,即可求出A值和通项公

式.

(2)由(1)可求出也｝的通项公式，分类讨论即可求出数列色｝的前。项和S,.

⑴

解：a2+a3,a,+aA,%+%成等差数列，

所以2(03+4)=02+6+4+6，

得%-%=%-七，得仕-1)%=(左一1)里，

因为上工1,所以〃2=%=2,

2个,〃为奇数

所以k=&=2,得

q2之〃为偶数

(2)

2"1〃为奇数

由⑴知’或=3〃为偶数

2

当。为偶数时，设"=2k,

可得S"=S2k=b[+,+…+〃2+4+,•，+%

=20+22+---+22A-2+^(2+4+---+2A:)

1-4*1(2+2fc)fc4*-1(^+1)*

=-------H-X-------------=---------1------------，

1-42232

2"1+(〃+2)”

即

38

当“为奇数时，设〃=2k—1,

可得s“=%-i=〃+4+…+%-i+以+%+…+%.2

=20+22+---+2M-2+|(2+4+---+2JI-2)

1-4*1(2+2Z-2)(k-l)4*-1上仕一1)

=--------1---X------------------------=---------1------------,

1-42232

2n+'-ln2-\

即S〃=----------1--------.

38

2”一1n+2)/?

-------+/为偶数

38

综上所述，S„=<

2旬7n2-

4----，-〃-为奇数

38

23.⑴分布列见解析，E(X)=4.8

⑵3，"弓93「V

【解析】

【分析】

(1)X的取值为3,456,讨论每个取值的具体情况即可求出分布列和数学期望；

⑵当得分为n-1时，下一个得分为2则与得分为n构成对立事件，利用对立事件的性质,

可以求得与与之间的关系.

⑴

X=3,则三人首次都是使用共享单车，P(X

则有一人使用电动车，另外两人使用共享单车，P(X=4)=C；|x2丫—36

X=4,