第4讲 乘法公式一完全平方公式-基础班

第4讲乘法公式一完全平方公式

r完全平方公式

［利用完全平方公式进行整式及数的运算

乘法公式-完全平方公式］-

［完全平方式

-I完全平方公式的几何背景］

知识点1完全平方公式

(a+b)2-a2+2ab+b2;(a-b)2=a2-2ab+b2,

即两数和(或差)的平方，等于它们的平方和加上(或减去)它们积的2倍.

【典例】

例1(2020秋•前郭县期末)已知：a+b=4,ab=2,求下列式子的值：

①(?+/；

②(a-b)2.

【解答】解：：a+b=4,ab=2,

.,.①/+/=(a+b)2-2ab=42-2X2=16-4=12；

②(a-b)2—a2-lab+b2—Ca+b)4而=42-4X2=16-8=8.

【方法总结】

题考查完全平方公式的应用，根据题中条件，变换形式即可.

例2(2020秋•越秀区期末)已知“+〃=5,ab=6,则/+廿的值等于()

A.13B.12C.11D.10

【解答】解：'：a+b=5,ab=6,

.'.c^+b2—(a+b)2-2ab=25-12=13,

故选：A.

【方法总结】

此题主要考查了提公因式法分解因式和完全平方公式,关键是掌握:（4±人）2=/±2而+廿.

例3（2020秋•岭崛区期末）若（x+胆）2=*+依+]6,则根的值为（）

A.4B.±4C.8D.±8

【解答】解：G+%）2=/+履+16=（x±4）2,

.\/n=±4.

故选：B.

【方法总结】

本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟

记完全平方公式对解题非常重要.

【随堂练习】

1.（2020秋•涪城区校级期末）已知（〃+/?）2=7,（a-/））2=4,则而的值为（）

1135

A.-B.-C."D.一

4244

【解答】解：（〃+/?）2-（a-b）之

=c^+2ab+b2-（P+2ab-b1

=4ab

=7-4

=3,

ab=1.

故选：c.

2.（2020秋•永吉县期末）若ab=-2,则（ci-%）2的值为9.

【解答】解：・.・必=-2,/+廿=5,

:.（a-b）2=a2-2ah+h2,

=a2+b2-lab

=5-2X（-2）

=9.

故答案为：9.

3.（2020秋•金昌期末）已知岫=2,贝I」（4+6）2-（a-b）]的值是8.

2

【解答】解：当ab=2时，原式=〃2+2必+/?2-a+2ab-/=4"=8,

故答案为：8

知识点2利用完全平方公式进行整式与数的运算

利用完全平方公式进行整式与数的运算是完全平方公式的一种实际应用，主要考察对公式

(。+与2=/+2必+/；(。-份2=。2—2ab+b2的掌握情况

【典例】

例1(2020春•怀宁县期末)已知实数机，〃满足〃?+〃=3,〃?〃=-3.

(1)求(nj-2)(n-2)的值；

(2)求加-〃的值.

【解答】解：(1)V/??+n=3,mn=-3,

/.Cm-2)(〃-2)=mn-2(m+n)+4

=-3-2X3+4

=-5；

(2)*.*\m-n\=y/(m—ri)2

=y/(m+n)2-4mn

=V32-4x(-3)

=V21,

:.m-〃=±V21.

【方法总结】

本题考查了完全平方公式：灵活运用完全平方公式是解决此类问题的关键.完全平方公

式为：(。±b)2=a2±2ab+b2.

【随堂练习】

1.(2020秋•武都区期末)若(〃+6)2=17,(a-b)2=11,则.2+"=14.

【解答】解：(〃+力)2=〃2+.+2"=]7①，

(a-b)2=a2+b1-2ab=\\(2),

①+②得：2(廿+/)=28,

a1+b1=\4.

故答案为14.

2

2.(2020春•江宁区月考)若(x+y)2=u,(x-y)=1,则/-xy+vz的值为3.5.

【解答】解：（x+y）2=/+y2+"y=ll①，（x-y）2=/+夕-"y=l②，

.•.①+②得：2（7+y2）=12,即/+/=6,

①-②得：4xy=10,即肛=2.5,

则原式=6-2.5=3.5.

故答案为：3.5.

知识点3完全平方式

完全平方式的定义:对于一个具有若干个简单变元的整式A，如果存在另一个实系数整式B,

使A=B2,则称A是完全平方式.

a2±2ab+b2=（a±b）2

完全平方式分两种，一种是完全平方和公式，就是两个整式的和括号外的平方.另一种是完

全平方差公式，就是两个整式的差括号外的平方.算时有一个口诀“首末两项算平方，首末

项乘积的2倍中间放，符号随中央.（就是把两项的乘方分别算出来，再算出两项的乘积，

再乘以2,然后把这个数放在两数的乘方的中间，这个数以前一个数间的符号随原式中间的

符号，完全平方和公式就用+,完全平方差公式就用-,后边的符号都用+厂’

【典例】

例1（2020秋•静安区期末）下列多项式中，是完全平方式的为（）

A./一刀+耳B.7+y+不C.彳D./+4

【解答】解：A、x2-x+|=（x-i）2,故原式是完全平方式，故本选项符合题意；

B、产+2刀+/不是完全平方式，故本选项不符合题意；

C、—J不是完全平方式，故本选项不符合题意；

D、+杯是完全平方式，故本选项不符合题意；

故选：A.

【方法总结】

本题主要考查了完全平方式，完全平方式分两种，一种是完全平方和公式，就是两个整

式的和的平方.另一种是完全平方差公式，就是两个整式的差的平方，算时有一个口诀

“首末两项算平方，首末项乘积的2倍中间放，符号随中央.

例2（2020秋•肇州县期末）已知/+H+36是一个完全平方式，则k的值为（）

A.6B.±6C.12D.±12

【解答】解：•；/+H+36是一个完全平方式，

:.k=+n,

故选：D.

【方法总结】

此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.

【随堂练习】

1.（2020秋•集贤县期末）已知4/+12<7〃+m是一个完全平方式，那么相为（）

A.3b2B.廿C.9b2D.36b2

【解答】解：,.,4/+1246+/77是一个完全平方式，

12ab=:2X2axyfm,

'.m=9h2.

故选：C.

2.（2020秋•双阳区期末）已知--8x+a可以写成一个完全平方式，则”可为（）

A.4B.8C.16D.-16

【解答】解：-8x+“可以写成一个完全平方式，

二则a可为：16.

故选：C.

3.（2020秋•上海期末）下列各式是完全平方式的是（）

A.7-x+JB.1+47C.c^+ah+b1D.x^+2x-1

【解答】解：A、是完全平方式，故本选项正确；

8、不是完全平方式，故本选项错误；

C、不是完全平方式，故本选项错误；

。、不是完全平方式，故本选项错误；

故选：A.

知识点4完全平方公式的几何背景

(1)运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对

完全平方公式做出几何解释.

(2)常见验证完全平方公式的几何图形

(a+b)2=a，+2ab+b：(用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个

长宽分别是a,b的长方形的面积和作为相等关系)

【典例】

例1(2020春•滨湖区期中)有一张边长为a的正方形桌面，因实际需要，需将正方形边长

增加〃，木工师傅设计了如图所示的方案，该方案能验证的等式是()

A.(a+匕)2—a2+2ab+b1B.a2-b2—(a+6)(a-b)

C.(a-b)2—a2-lab+b1,D.(a+26)(«-/>)—a2+ab+b2

【解答】解：如图：大正方形的面积为(a+8)2,图中四部分的面积和为：c^+ah+ab+tr,

即cl^+2,ab+b~t

因止匕有(a+b)2—cT+2ab+b2,

故选：A.

【方法总结】

考查完全平方公式的几何背景，通过不同方法计算面积，通过面积之间的关系得出等式

是常用的方法.

例2（2020秋•丛台区校级期末）如图，两个正方形边长分别为a,b,如果a+b=10,ab=

18,则阴影部分的面积为（）

B.22C.23D.24

【解答】解：如图，三角形②的一条直角边为“，另一条直角边为6,因此S△②=*（“

-b）b—%〃一,

SG△O①=21。2，

•二S阴影部分=s大正方形-s△①-s△②，

121.1,2

=2a-72^，

2

=$（。+〃）~3ab]f

=2（100-54）

=23,

故选：C.

【方法总结】

考查完全平方公式的意义，适当的变形是解决问题的关键.

例3（2020秋•福田区期末）如图，矩形ABC。的周长是10a”，以AB,为边向外作正

方形A8EP和正方形AOGH,若正方形ABE尸和AOG”的面积之和为17CT«2,那么矩形

4BC£）的面积是（）

HG

BC

A.3cm2B.4c〃PC.5cm2D.6c/n2

【解答】解：设AB=x,AD=y,

,：正方形ABEF和ADGH的面积之和为11cm2

.".jc2+y2=17,

:矩形ABCD的周长是10cm

：.2(x+y)=10,

(x+y)2=/+2盯+9，

.,.25=17+2xy,

.'.xy=4,

矩形ABC。的面积为：xy=4cnr,

故选：B.

【方法总结】

本题考查正方形与矩形的性质，解题的关键是设AB=x,AD=y,利用完全平方公式求出

xy的值.

例4（2020秋•南关区校级期末）如图①所示是一个长为2m，宽为2〃的长方形，沿图中虚

线用剪刀均分成相等的四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形.

（1）图②中阴影部分的正方形的边长等于」

（2）请用两种不同的方法列代数式表示图②中阴影部分的面积：

方法一：（团-〃）2；

方法二：2-痴"；

（3）根据（2）,直接写出（机-〃）2,（m+〃）2,加〃这三个代数式之间的等量关系.

（4）根据（3）中的等量关系，解决如下问题：

对于任意的有理数x和y,若x+y=9,肛=18,求x-y的值.

【解答】解：（1）图①被分割的四个小长方形的长为小，宽为〃，拼成的图②整体是边

长为，的正方形，中间是边长为机-〃的小正方形，

故答案为：，"-〃；

（2）方法一：阴影部分是边长为机-〃的正方形，因此面积为（〃?-〃）2,

方法二：大正方形的面积减去四个长方形的面积，即Cm+n）2-4/nn,

故答案为：（〃?-〃）2,（m+n）2-4wn；

（3）由（2）得，（.m-n）2—（〃?+〃）2-4mn；

2

答：（m-〃）2,（m+n）,mn这三个代数式之间的等量关系为（机-〃）2=（m+n）~-

4mn；

（4）由（3）得，（x-y）2=（x+y）2-4盯,

所以（x-y）2=92-4X18=9,

因此x-y=3或x-y=-3>

答：x-y的值为3或-3.

【方法总结】

本题考查完全平方公式的几何背景，用不同方法表示同一个图形的面积是得出结论的关

键.

【随堂练习】

1.（2020•密云区二模）如图所示的四边形均为矩形或正方形，下列等式能够正确表示该图

形面积关系的是（）

A.(a+b)2=a2+2ab-^b2B.(a+b)2：=a2+2ab-序

C.(a-b)2=$-2疝+序D.(a-b)2=a2-lab-G

【解答】解:计算大正方形的面积:方法一：（〃+力）2,方法二：四部分的面积和为/+2〃计序,

222

因止匕：（a+b）=a+2ab+bf

故选：A.

2.（2020秋•莘县期中）如图，将长方形A8CO的各边向外作正方形，若四个正方形周长之

和为24,面积之和为12,则长方形ABC。的面积为（

3

A.4B.-C.5D.6

2

【解答】解：设AB=o,AD=b,由题意得，

8。+昉=24,勿2+2廿=12,

即a+b=3,a2+h2=6,

，，（a+bj-d+l9-6_3

・・他一2一2一2，

3

即长方形MS的面积为T

故选：B.

3.（2020春♦济南期末）如图是用4个相同的小长方形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图

案，已知图案的面积为25,小正方形的面积为9,若用x,y长示小长方形的两边长（x

＞）》请观察图案，以下关系式中不正确的是（）

B.x+y=5C.x-y=3D./+『=16

【解答】解：大正方形的面积=4个小长方形面积+1个小正方形面积,

二4孙+9=25；

大正方形的边长为5,

5=x+y；

小正方形的边长为3,

-)=3；

故选：

4.(2020秋•侬同区期末)请认真观察图形，解答下列问题:

(1)根据图①中条件，请用两种不同方法表示两个阴影图形的面积的和；

(2)在(1)的条件下，如图②，两个正方形边长分别为a,b,如果a+b=ab=9,求

阴影部分的面积.

图①图②

【解答】解：(1)方法一：两个正方形的面积和，即『+必，

方法二：边长为的正方形的面积减去两个空白的长方形的面积，即(a+b)2-2ab,

因止匕有cr+b1—(a+b)2-2ab,

(2)图②阴影部分的面积是两个边长分别为a、6的正方形的面积和减去两个直角三角

形的面积,

rr11

即2。Xa—2(a+b)Xb

=+i/?2—^ab

=i(『+/,帅)

=(a+b)2-3〃b],

当a+b=ab=9时，

原式=1x(81-27)=27,

答：阴影部分的面积为27.

综合运用

1.（2020秋•金昌期末）如果4/+加计9是完全平方式，则加的值是.±12.

【解答】解：・.・4/+m+9是完全平方式，

•,*///=i12,

故答案为：±12

2.（2020秋•江汉区期末）如果f+16x+k是一个完全平方式，那么2的值是64.

【解答】解：；/+16x+火是一个完全平方式，

，16=2依

解得k=64.

故答案是：64.

3.（2019秋•石狮市期末）如图所示的图形可以直接验证的乘法公式是（）

A.aCa+b)=a2+abB.(,a+b)(a-b)=a2-b1

C.(a-b)2=a1-2ab+trD.(a+6)2=a2+2ab+b2

【解答】解：图中左下角的正方形面积可以表示为：(a-6)2,也可以表示为/-2必+廿,

(a-b)2—a2-2ab+b2,

故选：C.

4.(2020秋•偃师市期中)已知/+/=29,x+y=l,求各式的值：

(1)xy；

(2)x-y.

【解答】解：(1)Vx+y=7,

:.(x+y)2=49,

，/+2xy+y2=49,

VX2+/=29,

**•2x),=20,

：.xy=iO.

(2)(x-y)2=？-2xy+y2=29-20=9,

Ax-y=±3.

5.(2020•裕华区校级模拟)已知多项式4=(x+2)，x(1-x)-9.

(1)化简多项式A时，小明的结果与其他同学的不同，请你检查小明同学的解题过程.在

标出①②③④的几项中出现错误的是①，并写出正确的解答过程；

(2)小亮说：“只要给出7-2x+l的合理的值，即可求出多项式A的值.”小明给出7

-2x+l的值为4,请你求出此时A的值.

小明的作业

-：A=(x-2)、x(l-x)一9=x?+1卷等卷=32,

【解答】解：(1)错误：①，

正确解答过程为：A=(x+2)2+x(1-x)-9=/+4x+4+x-W-9=5x-5；

故答案为：①；

(2)由题意得：~2x+l—4»

/.(X-1)2=4,

Ax-1=±2,

由(1)得A=5x-5,

.\A=5x-5=5(x-1),

・・・5(x-1)=±10.

・•・此时A的值为±10.

6.(2020秋•朝阳区期中)如图1,是一个长为4队宽为力的长方形，沿图中虚线用剪刀平

均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形(如图2).

(1)图2中的阴影部分的边长为K-a；

(2)观察图2请你写出(”+6)2、(«-b)2、ab之间的等量关系是2一3-b)

2=4";

(3)根据(2)中的结论，若x+y=5,孙=3,则(x-y)*2=13.

(4)实际上通过图形的面积可以探求相应的等式，通过观察图3写出一个等式(a+b)

(3〃+b)=342+44/?+。2.

【