高中数学必修二第六章第2节《平面向量的运算》解答题 (三)(含答案解析)

必修二第六章第2节《平面向量的运算》解答题(3)

一、解答题(本大题共30小题，共360.0分)

1.设向量五=(cos2x,cosx),b=(2sinx,V3)-c=(1—2sinx,—3>/3)>xG[0,.

(1)若五〃8,求|2五+人的值;

(2)设/(x)=限(3+0，求/(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.

2.设。为回力BC内任一点，且满足&+2b+3e=0,若。，E分别是BC,G4的中点.

(1)求证：D,E,。共线；

(2)求圈48。与440C的面积之比.

3.已知或二⑶一2)，b=(2,1),0为坐标原点.

(1)若山&+%与展_2了的夹角为钝角，求实数m的取值范围；

(2)设&OB=b'求回。AB的面积.

4.如图，在固4BCD中，CF=2FD，CE=3EB，若前=xA€+y寿，f

则％+y的值为：.

AB

5.如图，在同一平面内，Z.A0B=150°,AAOC=120°,\0A\=2,\0B\=3,\0C\=4.

AD

C

(1)用旗和灰表示瓦?；

(2)若初=a前，荏，前，求；i的值.

6.如图，在中，已知C4=1,CB=2,4ACB=60°.

c

⑴求府

(2)已知点力是AB上一点，满足同=/L4B，点E是边CB上一点，满足就=4阮.

①当；1=泄，求荏.前；

②是否存在非零实数人使得屈1而？若存在，求出的4值；若不存在，请说明理由

7.如图，在AOAB中，已知P为线段A8上的一点，OP=xOA+yOB.

(1)若丽=万求x，y的值：

(2)若前=2前，|0A|=4.|而|=2，且就与丽的夹角为60。时，求丽•丽的值.

8.已知单位向量”，n»且眄-可=V3,求:

(1)向量m，n的夹角;

(2)12nl-n|；

(3)若向量2蓝-曾与向量蔡+k■垂直，求实数A的值.

9.已知三点0(0,0),4(-2,1),8(2,1),曲线C上任意一点M(x,y)满足|拓？+说|=丽.(瓦？+

0B)+2.

(1)求曲线C的方程;

(2)点(2(4,小)(-2<与<2)是曲线C上动点，曲线C在点。处的切线为/,点P的坐标是(0,-1),

i与PA,P8分别交于点£),E,求AQAB与APDE的面积之比.

10.在44BC中，AC=2,BC=6,zACB=60。，点。为2MBC所在平面上一点，满足流：=加后+

nOBfjn,nGR且瓶+n彳1).

(1)证明：CO=二一。4+-^—CB;

m+n-1m+n-1

(2)若点。为44BC的重心，求〃?、〃的值;

⑶若点。为zUBC的外心，求加、〃的值.

11.△48。的面积5=2值，且布・瓦^4

(1)求角B的大小;

(2)若|荏|=2|比I，且同=2沆，求而•乔.

12.求证:

(1)对于任意两个向量而，n,恒有|记・元||记||元|,并确定等号成立的条件；

(2)对于任意的a,b,c,deR,恒有(ac+bd)2<(a24-h2)(c2+d2),并确定等号成立的条件.

13.已知向量五、E满足|卸=|1|=1，且|"+1|=遮|五一已办(k£R)

(1)求五•方关于k的解析式/(k)

(2)若正〃3且方向相同，试求k的值

14.如图在平行四边形A8C。中，AB=4,AD=2,^BAD=60°,E为CD的中点，H为线段8E

上靠近点E的四等分点，记/=1AD=b-

(1)用房了表示4E,AH<

(2)求线段A”的长.

(3)求丽与同夹角的余弦值.

15.如图，在平面斜坐标系xOy中，ArOy60,平面上任一点P在该斜坐标系中的斜坐标是这

样定义的：若赤=x^+y石(其中可、五分别为与x轴、y轴正方向同向的单位向量)，则P点

斜坐标为(x,y).

y

人60。_

/o*

(1)若尸点斜坐标为(2,-2),求P到。的距离|P0|；

(2)若AABC三个顶点的斜坐标分别为4(1,4),8(4,2),C(3,5),求三角形的内角NA.

16.已知向量万？=(4cosa,As讥a)(2w0),OB=(<—sinp,cosp)<其中。为坐标原点.

(1)若夕=aj,求向量力?与面的夹角；

(2)若|荏|22|布|对任意实数a,0恒成立，求实数4的取值范围.

17.在平面直角坐标系中，。为坐标原点，A,B,C三点满足元=：雨+|丽.

(1)求证：A,B,C三点共线.

(2)已知4(l,cosx),fi(l+sinx,cosx),xG[0,,/'(x)=市・小一(2病+|).|四|的最小值

为;,求实数机的值.

18.已知椭圆C：,+日=l(a>b>0)过点律,J,离心率为圣

(1)求椭圆C的方程；

(2)已知点”(竽,4)，设O为坐标原点，若椭圆C的弦AB的中点在线段OM(不含端点O,M)

上，求初•南的取值范围.

19.已知向量莅=(1,2),b=(-3,/c).

(1)若有〃a求।石।的值；

(2)若百10+2W，求实数k的值；

(3)若五与B的夹角是钝角，求实数k的取值范围.

20.已知，同=1,同=2且向量五与石不共线

⑴若4与方的夹角为45。，求(21一至)・0+尤)

(2)若向量上口一3与%日+石的夹角为钝角，求实数k的取值范围

21.如图，在ACMB中，已知P为线段4B上的一点，OP=x-OA+y-OB.

B

(1)若前=词，求x,y的值；

(2)若丽=3同，|雨|=4，|而|=2，且65与面的夹角为60。时，求赤•而的值.

22.已知△ABC的面积S满足再<S<3,且而•BC=6,近与灰的夹角为。.(I)求。的取值范围；

(II)求函数/(0)=sin20+2sin0cos0+3cos的最值及相应的。的值.

23.已知向量捅夹角为120。，且鬲=i,|b|=2,当向量a+助与花+%的夹角为钝角B寸，求4的

取值范围.

24.如图所示，在小”。中，OC=\OA,00=108,A。与BC相交于点M.设瓦？=之，而=%.

(1)试用向量2,7表示而；

(2)在线段AC上取点E,在线段8。上取点凡使E尸过点M,设屈=4成，而=林林,求"押

值.

25.己知圆C的圆心在y轴上，且圆C与直线\：y=x相切于点(1,1).

(1)求圆C的方程；

(2)若线段AB为圆C的直径，点P为直线％:4%一3丁+21=0上的动点，求同•丽的最小值.

26.在①V5cosA(ccosB+bcosC)=asinA,②cos24-cos2B=2sinC(sinB-sinC),③沅=

(2,1),n=(2cos2p—cos2/l+l),m-n=|

这三个条件中任选一个，补充到下面问题中，并解答问题.

在ZL4BC中，内角4,B,C的对边分别为a,b,c,且.

⑴求4

(2)若a=3,求2L4BC周长的取值范围.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

27.已知|弓|=1,|B|=四.

⑴若向量行与向量方的夹角为135。，求|8+石|及方在之上的投影向量；

(2)若向量方-方与向量五垂直，求向量五与石的夹角.

28.如图，在AOAB中，己知2.=2x/3)NAOB=90。，单位圆。与OA交于C,

Abf［五入€(().1)，P为单位圆。上的动点.

(1)若元+诃=而，求4的值；

(2)记］而|的最小值为f(4),求/(A)的表达式及/(4)的最小值.

29.已知点力(m,2),C(2,4).

(1)若|石？+而|最小，求实数，"的值：

(2)若方与方夹角的余弦值为管，求实数m的值.

30.在团ABC中，CA=CB=2,记2==8,且|k五+B|=百|百一k瓦(k为正实数),

(1)求证：(Z+b)l(a—b)；

(2)将五与石的数量积表示为关于k的函数/Xk)；

(3)求函数f(k)的最小值及此时角A的大小.

【答案与解析】

1.答案:解：(1)因为向量a=(cos2居cos%),b=(2sinx,V3)，且五〃至，

所以\；：L=2sin/cos«r,即、=si“2/•

若cos2x=0,则sin2x=0,与sin‘2/+coe/lr1矛盾，故cos2%H0.

于是tan2x=V3.

又xeJo,],

所以2x=p%=p

所以2a=(1,V3),c=(1-2sinx,-3V3)=(0,-3①

则2为+3=(l,-2V3),|2a+c|="+12=713.

(2)因为E=(2sinx,遮)，c=(1—2sinx,—3V3),所以E+芸=(1,—2次)，

f(x)=a-(b+c)=(cos2x,cosx)■(1,—273)=cos2x—275cosx

„,„2>/3?5

=2rsF—2v3cosJ*—1=2(cusT.....-)--

又XC阂

所以cosxe[I，ij,

所以当cosx=与即X=软寸，/(x)取到最小值一*

V3V31

V1----<------

222

・•・当COST=：,即X=g时，/(%)取到最大值一:一遍.

解析：本题考查向量的数量积的应用，三角函数的化简求值，考查转化思想以及冲算能力.

(1)通过3〃石，推出百cos2x=sin2x.得到tan2x=疯求解X,然后求解|2五+4的值.

(2)通过/(x)=a.(K+c)=2(cosx-^)2-1,然后利用三角函数的最值求解即可.

2.答案：(1)证明：如图，OB+OC20D，OA+OC=20F.

•■•OA+2OB+3OC=(OA+OC)+2(0B+OC)=2(0E+2OD)=0>

即2而+症=d,.•.而与症共线.

又时与旗有公共点。，

­■D,E,。三点共线.

(2)解：由⑴知2|彷|=|赤卜

SAA℃=2S&COE=2x-ShCDE=2x-x-S&ABC=-S&ABC,

.SA48c_3

S"OC

解析：本题考查平面向量的加减、数乘运算，三点共线的证明，利用向量的模的关系求三角形面积

的比.

(1)由平面向量的加减、数乘运算，结合题意可得2证+症=6,证明而与灰共线，而与旗有公

共点O,从而证明D、E、。三点共线；

(2)由(1)知2|前|=|0E|«根据三角形面积之间的关系可得S—OC=2sAeOE=2x|SACDE=2X|X

:SAABC=：SAA"，即可得出△ABC与△40C的面积之比•

3.答案：解：(1),:a=(3,-2),b=(2,1)，

Ama+K=(3m+2,—2m+1),a—2b=(—1,—4)，

令(m五4-K)•(a-2K)<0，

即一3TTI-2+87n—4V0,解得mV->

•.,当m=-U^,ma+b=一旨+3,6五+B与日-2至方向相反，夹角为平角，不合题意，m+一；，

・•・若znE+石与五一23的夹角为钝角，m的取值范围为(—X,-：)U(—：•

(2)a.—(3,—2),b-(2,1)>

|a|=V32+(-2)2=V13,\b\=V22+I2=V5.a-b=6-2=4.

设NAOB-0,△0A3面积为S,

则S=^|a|•间sin9,

万"h

sin29=1—cos26=1—(同.面)?,

4s2=\a\2\b\2-sm2e

=\a\2\b\2-(a-b)2=65-16=49.

•S=2

2

解析：本题考查向量数量积的坐标运算以及三角形面积公式的应用，属于中档题.

(1)若m五+石与五一2万的夹角为钝角，则(m为+B)•@-23)<0且两向量不共线即可求出"，的范围;

(2)根据数量积定义结合三角形面积公式即可求解.

4.答案：<

解析：

本题考查平面向量基本定理的简单应用，属于中档题.

运用平面向量基本定理和平行向量的知识可解出.

解：由而=2而，CE=3EB-

可得丽工前=工和DF=-DC=-AB,

4433

所以荏=超+而=四+;而，①

AF=AD+DF=AD+^AB,②

由①②可解得荏=得（4荏_而），而=（（_荏+3肝），

因此而=而+而=（（4荏一而）+2（-荏+3前）=卷荏+^AF,

又因为丽=%丽+、养，可得x=V，y=《，

所以x+y=1，

故答案为*

5.答案：解：由题意，得NBOC=90。，以0C所在的直线为x轴，以80所在的直线为），轴建立平

面直角坐标系，

如图所示，贝10（0,0）,71（-1,73）,8（0,-3）,C（4,0）.

(1)设市=%函+%元，

则(-1,次)=21(0,-3)+A2(4,0)=(4心,一3/11)，

■­.0A=--0B--0C.

34

(2)设。(%,y),

vAV=AAC，,(x+1,y-V3)=2(5,—V3)»

(x=SA—1,

ly=-V3A+V3,

:.0(5"1,-图+遮),

FD=(5A-1,3-V3A+V3).

•­•AC-JD=O,A(5A-1)x5+(3+V3-V3A)x(一遮)=0，

解得4=8+3V3.

28

解析：本题考查向量的坐标表示及坐标运算，考查向量的垂直与数量积的关系，难度属于中档.

求解可以先根据OB与OC垂直的条件建立平面直角坐标系，得到OA为终边的角的大小，利用三角

函数定义，求出A点坐标，在此基础上，

(1)可以利用基本定理，用待定系数法，用而和云表示函完成求解；

(2)先设。点坐标，利用A,D,C三点共线，完成参数转移，再利用向量垂直，则数量积为0,列

式求出2的值.

6.答案：解：(1)A4BC中，CA=1,CB=2,44cB=60。，

由余弦定理得，

AB2=CA2+CB2-2CA-CB-cos^ACB

=12+22-2xlx2xcos60°

=3.

:.AB=V3>

即|画二V3;

(2)①4=凯寸，AD^^AB,BE=^BC,

•・.£>、E分别是BC,AB的中点，

,'一,一，，>1,

AE=AC+CE=AC+-CB,

2

CD=；(C4+CB),

1]__»__»

.••荏.而=(前+-CF)--(CX+CB)

1—>—>1—>—»1—>—>1—>2

=~AC,CA+~AC,CB+—CB,CA+—CB

2244

191

=--xl24--xlx2xCOS120°

22

11

+-x2x1xcos6004--x22

44

———1.

4，

②假设存在非零实数人使得荏1而，

由而=2四，得而=4(诙—石?)，

.-.CD=CA+AD=CA+A(CB-丽

=ACB+(1-A)C^;

又屁=ABC>

•.AE=AB+BE=(CB-CA)+A(-CB)

=(1-A)CB-6^4;

AAE-CD=A(1-A)CB2-ACB-

2

+(1-A)2CB-CX-(1-A)CA，

=4A(1—A)—4+(1—4)2—(1—A)

=-3A2+22=0,

解得;1=1或；l=0(不合题意，舍去)；

即存在非零实数4=|,使得荏±CD.

解析：本题考查了平面向量的线性表示与数量积的应用问题，也考查了余弦定理的应用问题，是综

合性题目.

(1)利用余弦定理求出AB的长即得|荏|；

(2)①;1=］时，。、E分别是BC,A8的中点，求出荏、而的数量积即可；

②假设存在非零实数人使得荏JL前，利用方、方分别表示出而和荏，求出荏•前=0时的2值

即可.

7.答案：解：(1)由乔=百?，得丽-而=就-而,

所以前=*市+而)=^OA+^OB,

所以x=y=1；

(2)由就=2万，得而-丽=2画-而),

所以而=|a+［而；

又|瓦？|=4，|而|=2，且次与函的夹角为60。，

则丽•AB=(|o7+■(OB-OA)

2―a1——>21—>——，

=--0A+-0B+-0A-OB

333

211

=——X424--X224--X4X2XCOS600

333

=-8.

解析：本题考查了平面向量的线性表示与数量积运算问题，是中档题.

(1)由前=方得而一而=就一声，用成、而表示而即可；

(2)由乔=2万得加-胡=2(瓦？一赤)，求出赤，再计算赤•南的值.

8.答案：解：(1)设向量沅,五的夹角为仇由己知得，|玩|=|元|=1；

•••\m-n\2=(m—n)2=m2—2m-n+n2=2­2m-n=3s

—>->1

Am-n=--；

八mn1

:.cose=———=——；

I河同2'

V0<0<7T；

2n

•.•(n7---,

3

(2)v\2m-n\2=(2m—n)2=4rn2—4m-n4-n2=44-2+1=7;

・•・|2沆一五|=V7

(3),向量2沅一为与向量沆+k丘垂直，

:.(2m—n)-(m4-kn)=0.

・・・2rn+(2/c-l)m-n-kn2=2+(2/c-1)(-1)-fc=0,

解得

k=p4

解析：本题考查向量的模、向量的夹角、向量垂直的判断与证明以及向量的数量积，属于中档题;

(1)设向量记，元的夹角为。：由已知得，I记I=I元I=1;

由I沆一五I=百可得沅♦乃=一：，再由cos。=言三=一：；即可求解；

N1叫1叫N

(2)|2m-n|2=(2m-n)2=4m2-4m-n+n2=4+2+1=7;即可求解;

(3)向量2沆一元与向量记+k记垂直，可得(2沅-•麻+kH)=0.即可求解；

9.答案：解：(1)由而7=(-2-x,l—y)，AW=(2-x,l-y)>

可得拓？+MB=(-2x,2-2y).

|AM+MB|=，(-2x)2+(2-2y)2,

OM-(0A+0B)+2=(x,y)-(0,2)+2=2+2y，.

由题意可得'(-2x)2+(2-2y)=2+2y,化简可得/=4y.

(2)由题意可得直线PA,尸8的方程分别为y=-x-l、y=x-l,且％=［诏，Qx2)^^%

曲线C在点Q(xo，yo)(-2<%0<2)处的切线斜率为k=|%0,

曲线C在点Q(X0,y())(-2<x0<2)处的切线方程为y=1xox-^XQ,且与y轴的交点G(0,-］裾).

y=­X—1

1就求得出=”，

{y=2x°x~^

(y=x-1

由|V_*。支就求得=美

(y-■7%一12

故|冲一孙1=2,\GP\=1—

2

11x24-x

故SAPOE=］|PG||HE-XD|=2(1一半？.。，

而SAQ4B=：X4X(1-今=誓,

2,即AQAB与APDE的面积之比等于2.

SGPDE

解析：本题重点考查数量积、直线与抛物线的位置关系和与抛物线有关的面积问题，属于较难题.

(1)利用数量积的运算性质和平面向量的坐标运算代入|前X+加|=0而・(e+而)+2,化简整理

即可；

(2)求出曲线C在点Q(出,yo)(-2<x0<2)处的切线方程，求得%。和也，得4PDE^AQAB的面积,

即可得面积比.

10.答案：解：(1)OC=mOA+nOB=m(0C+CA')+n(0C+CBy

.­.Cd=-^-CA-^—CB,

m+n-1+m+n-1

(2)点。为△ABC的重心，

o7+oe+oc=o>

・•・m=—1,n=—1；

(3)点。为△ABC的外心，

CO-CB=1|CB|2=18,CO-CX=||G4|2=2,

CA-CB=2x6xl=6,

■.■Cd-CB=-^-CA-CB+-^—CB-CB,

m+n-1n+m-1

Cd.CA-^CA.CA_^.CA.CB,

=m+n-1n+m-1+

.(2m-3n=3

tm+2n=-1，

(3

m=-

-75«

解析：本题考查向量的加减运算和数量积的定义和性质，考查化简运算能力，属于一般题.

(1)由配=mOA+nOB=m(OC+CA)+n(0C+CBy整理即可求解;

(2)由三角形重心性质可知力+而+记=6,代入即可求解；

⑶由0为△ABC的外心，可求而.方函之=18,CO-CA=^\CA\2=2,CA-~CB=2X6X^=

6,然后根据已知分别求方•由，COCA，根据平面向量的基本定理可求小，〃.

11.答案：解：(1)••・△4BC的面积S=2百，且荏.瓦:=4,由题意知，

i|fi7||BC|sinF=2百，\BA\\BC\cos(n-=4.

即|瓦？||近|cosB=-4-

:,tanB=—V3,0<B<n,••B=张

(2)如图所示:

lA^I=2|W|

联立

|B^||W|-co«勺=-4

3

解得|明|=2\BC\=4，

"AD=2DC.■■-AD=l'AC,

-»--->--->7---»---»

・・・BD=AD-AB=-AC-AB,

3

又前=就一就

22

.■，AD-JD=-(BC-BAy\-(BC-BA)-AB]

•J

2’..,一—♦、/.,»、2/.>2,一’2,,,■>

=g(BC-B4)・(2BC+BA)=g(2BC-BA-BA•BC)

=|(2X22-42+4)=-5.

解析：本题主要考查了三角形的面积计算公式和数量积的定义及其运算法则、向量的三角形法则,

属于中档题.

(1)利用三角形的面积计算公式和数量积的定义即可得出；

(2)由已知和数量积的定义可得|而|再利用三角形法则和数量积的运算法则即可得出.

12.答案：证明:(1)①当记，记为一个为6时,显然|沆•元|=0是|利同=0.

此时际•宿=I此II词结论成立

②当沅，元为非6时，若沆，云的夹角为。，。£[0,初

则|记•宿=|m||n||cos0|

其中|cos6|<1,A|7n||n||cos0|<|m||n|

|m•n|<|m||n|.

当|COS6|=1即8=0或7T时等号成立，即此时沆,元共线.

综合①②知记，五恒立|记•元|<|沅||元

当记，记共线时等号成立.

(2)设沆=Qb),记=(c,d),则布•诂=ac+bd,\m\•|n|=Va2+b2-Vc2+d2

由(1)知|沅•利<|rn||n|,则|ac+bd|<y/a2+b2-Vc2+d2

结论(ac+bd)2<(a2+b2)(c2+d2)

当记〃记即Qd=be时取

.,•结论成立.

解析：本题重点考查向量的数量积，属于一般题.

(1)分沅，记为一个为6时和南，元为非6时求证即可；

(2)设沅=(a,b),(=(c,d),利用数量积的坐标运算和(1)即可求证.

13.答案：解：(1)平方得N+2L■•石+1=3—•石+

8ka-b=2k2+2,

(2)五〃石且方向相同,\a\=\b\=1.

所以3＜丁丁’=丽

所以k=2±V3.

解析：本题主要考查平面向量的数量积和共线的性质.

(1)平面向量的数量积的应用，把生石+石|=6鼻-卜3|平方即可得到答案.

(2)平面向量共线的应用，万〃3且方向相同，|阖=|另|=1，所以

co«<育，b>=1,即可求出答案.

14.答案：解：（1）由己知得荏=而+屁=/+：觉=赤+：而=3苍+方，

AH^AB+JH^AB+-^E=AB+-（BC+CE）=a+-（b--a'）=-a+-b,

44、）4v2784

所以荏=三日+反AH=-a+-b；

284

⑵由⑴得第7=|五+洱

222

所以而2=（-a+-K）=-a+-b+2x-x-|a|-|K|xcos600=->

k84764168411114

所以线段AH的长为：

⑶万T而=囹+泞）彳=为不+汕|2=gx4x2x*2x22=，3=l,

、）\84/841182422

设而与正夹角的余弦值为。，3。=磊=姜=*

解析：本题考查向量的几何应用，向量的加法、减法、数乘运算，向量夹角，属于中档题.

(1)利用向量线性运算即可求出结果；

(2)利用向量平方结合向量数量积即可求出结果；

(3)利用向量夹角公式求出结果.

15.答案：解：(1);P点斜坐标为(2,-2),

.••赤=2司-2或二|两2=Q/-2荀2=8-8区电=8-8xcos60°=4.

：.\OP\=2,即|OP|=2.

(2)依题意，三角形的内角乙4为荏，前的夹角，

又荏=(3,—2),正=(2,1).

所以荏=3百一2孩，近=2瓦+直，

,AB-AC(36]—2.2'),(2.1'+62')6eJ-Ze?2-

所以COSA=隔面i=扇而而两=向，同二2陪鼠一，用五

=S=LNAe(().7T),所以乙4=：.

y/7Xy/72<5

解析：本题考查斜率的几何运用，考查斜率的数量积运算。属基础题.

(1)依题意，加=2久一2£,|诃|2=(2瓦一2日)2,计算即可.

(2)依题意，三角形的内角乙4为通，前的夹角，求得荏=3百一2可，而=2瓦*+可,

(3久-2初・(2可+可)

根据cosA=ABAC,运算即可.

iw?f13可一2可,|2可+药|

16.答案：解：(1)设向量次与函的夹角为。,

OA^OB_Asin(a-0)_A

则cos。—\OA\\OB\~~W--2W

当A>0时，cosO=p6=g;

当A<0时,cosd=-I，6=拳

故当2>o时，向量而与面的夹角为条当；i<o时，向量瓦5与成的夹角为早.

(2)1话I22]而I对任意的a,0恒成立，

即(一sin/?—Acosa)2+(cos£—Asina)2>4对任意的a,0恒成立,

即於+1+2as出(/?-a)>4对任意的a,£恒成立，

所噂」+1“啜工+124解撕？39W-3.

故所求实数;I的取值范围是(一8,-3]U[3,+8).

解析：本题考查向量的数量积的定义和坐标表示，以及向量的平方即为模的平方，同时考查三角函

数的恒等变换公式的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题.

(1)由题意利用两个向量的夹角公式求得向量

与

的夹角.

(2)先求出

AB

，再根据条件求得l+M+24sinGS—a)24,分类讨论，求得2的范围.

17.答案：解：•••(1)元=：耐+|而，

，,，・'一‘♦2—••，2,,一3”•♦>,,

AC=OC-OA=-—OA+—OB,AB=OB—OA>

------»7------*

••.AC=--AB

3t

・•・前7/四，即4,B,C三点共线.

(2)由4(1,cos%),8(1+sinx,cosx),xG[0,­],

•・,AB=(sinx,0),

A|AB|=Vsin2%=sinxy

・.・OC=i0^4+|o^=(1+|sinx,cosx),

从而/(%)=OA-OC—(2m2+1)•|~ABI=1+|smx+cos2%—(2m2+|)smx

=—sin2%—2m2sinx+2=—(sinx+m2)2+m4+2.

又％6[。，自，则t=sinx6[04],/(%)=g(t)=-(£+m2)24-m44-2.

由于一TH?<0,

・・.g(£)=-(t+m2)2+m44-2在[0,1]上是减函数，

当t=1,即％=]时，/(x)=g(C)取得最小值为一(1+m2)2+m44-2=

解得m=i|,

综上，m=±|.

解析：本题主要考查两个向量共线的条件，两个向量的数量积公式的应用，两个向量的坐标形式的

运算，二次函数的性质应用，属于中档题.

⑴由条件求得四和前，可得而=|•四，从而得到就〃荏，即A,B,C三点共线.

(2)先求出四=(s讥%,0)，从而求得/(%)=1+sinx+cos2%-(2m2+|)sinx,由x的范围求得sin%G

[0,1],利用二次函数的性质求出/(%)的最小值，即可求得实数m的值.

—+—=1

18.答案：解：(1)由条件知，厂2，

J-T

所以a-V2，b=1,

因此椭圆C的方程为9+必=1;

(2)设点A、(的坐标为4(右,%),B(x2,y2),

则A8中点(空,左/)在线段0M上，且kOM=%

•••Xt+x2=25+旷2)，

又9+资=1，:+以=1，

两式相减得任以誓区+(为一先)(为+丫2)=0，

易知%1一%2H0，%+力工易

%一尸241+42

所以=-1.即JB

Xi-x22(%+及)

设AB方程为y=—x4-m,代入㊀+y2=1并整理得3/—4mx4-2m2—2=0,

2

由4=8(3一m)>0,解得瓶2<3,由韦达定理得与+犯=等，xrx2=迎上

33

又由警=争(。,分

0<m<V3>

故瓦？-OB~xrx2+yry2=xrx2+(-x1+m)(—x2+m)

—222

=2x62讥Qi+x2)+m=4(工-。—iy-+m=m—

而0<m<V3,

所以就.质的取值范围是(—土|).

解析：本题主要考查了向量的数量积、椭圆的性质及几何意义和直线与椭圆的位置关系，考查了学

生的计算能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力.

(―+—=1

(1)由条件知,解方程组，进而即可求出椭圆的方程；

LT

(2)设点A、B的坐标为40：1，%)，fi(x2,y2),联立椭圆方程，得3/一4mx+2/-2=0,4=8(3-

小)>0解得/<3,又由空=等6(0,卦由此能求出训•话的取值范围.

19.答案：解:(1)：向量五=(1,2),b=(-3,k),且司〃b，

1x/c-2x(-3)=0,解得k=-6,

同=，(-3)2+(-6)2=3V5.

(2)a+2b=(-5,2+2k)，且五1(a+2b),

1x(-5)+2x(2+2k)=0,解得k=%

(3)•••若为与方的夹角是钝角，.•.港另<0，.•.1x(-3)+2k<0,

k<l，又k=—6时，a,方共线且反向，不合题意，

所以实数k的取值范围是k<|且k丰-6.

解析：本题考查的是平面向量的坐标运算，平面向量平行和垂直的性质，平面向量的数量积，平面

向量的模.

(1)由乙〃B，可得Ixk—2x(-3)=。，即可解得A,从而得出石的模；

(2)因为五+2G=(一5,2+2卜)，且11@+23)，所以lx(-5)+2x(2+2k)=0,即可得出A；

(3)因为方与有的夹角是钝角，则五不<0且苍与石不共线，由平面向量数量积运算即可得出答案.

20.答案:解：(1)・.•苍与方的夹角为45。,

a-b=|a||h|cos45°=1-2-y=V2,

^2a-b)-(a+b)=2a2+a-b-b2

=2+V2—4=V2—2.

(2)•••向量■+E与k五-通夹角为钝角，

(ka-b)■(fca+K)<0,且不能反向共线，故k于0,

k2a2-b2=/C2-4<0>

解得一2<k<2.所以一2<k<2且k力0,

・•・实数k的取值范围是(-2,0)U(0,2).

解析：本题考查了向量的数量积定义及其运算，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

(1)由3与3的夹角为45。，可得日方的值，展开(2力_尤).0+石)=2片+日了_方2,代入即可得出；

(2)由向量k五+坂与卜五一方的夹角为钝角，可得(卜五一3>0元+石)<0,且不能反向共线，即可得

出.

21.答案：解：(1)因为丽=同，所以P为线段AB的中点.

所以前="罚+屈)=^OA+^OB.

所以x=y=1;

(2)因为乔=丽一南，PA=OA-OP.

又乔=3万，所以前一而=3(不？一声).

解得赤=三a+二砺，

44

因为屈=而一万?，

所以前.而=(^OA+^OB)■(OB-OA)

1—>——>3—>21—>2

=-OAOB--OA-V-OB

244

=-x4x2x---xl6+-x4=-9.

2244

解析：本题考查了数量积的运算性质、向量三角形法则、向量共线定理，考查了推理能力与计算能

力，属于中档题.

(1)根据相等向量的定义及向量的运算法则求出m，利用平面向量的基本定理求出X,y的值.

(2)利用向量的运算法则将加，而用血与而表示，然后求解即可.

22.答案：解：(1)四•瓦|荏|•|比|-cos。=accosO=6，

故：cos9=总S4ABe=gacsinB=|acsin(?r-0)=3tan0；

又因为百<S<3.即百<3tan9<3-即，<tanO<1.

艮吗工”也

所以。咪,*

(2)/(0)=sin204-2sin0cos6+3cos20

=sin20+1+2COS20

=sin20+1+(1+cos20)

=sin20+cos20+2

=V2sin(20+^)+2

OO4J.4*TT*

即当e=E时，f(e)的最小值为3.

解析：本题主要考查解三角形、三角公式、三角函数的性质等基本知识，考查推理和运算能力.属

于中档题.

(1)根据向量的数量积公式得出accos。=6,由三角形的面积得出SMBC=3tan0,然后求出。的取值

范围；

(2)利用二倍角公式、两角差的正弦函数，化简函数f(0)=si/。+2s讥。cos。+3cos2。为一个角的

一个三角函数的形式，根据(1)的范围，求出函数最小值.

23.答案:解：因为向=1,亩=2,a>湎夹角为120。，

所以a•b=|a||6|cosl20°=1x2x(—?=-1.

因为向量之+a；与4：+了的夹角为钝角，

所以(a+Ab)-(2a+b)<0,且两向量不共线.

又(a+又)•(2a+b)=Aa2+(A2+l)a•b+Ab2，

所以A—(A2+1)+4A<0>

解得％<匕"或%>壬包.

22

又；+应与K+1共线时,存在tER使得Q+劝=t(Aa+b),

所以{；：；'，解得4=±1，

综上所述：A＜三百或;I＞史3红且2丰-1

22

解析：本题考查求向量的模，向量的数量积，向量的夹角问题，属于中档题.

求出两向量的数量积为负时k的取值范围，但要去除两向量反向的情形.

24.答案：解：(1)由A,M,。三点共线，可设而=m列+(1-m)而=?71元+等反

由B,M,C三点共线，可设砺=71元+(1-?2)布=9丘+(1-几)反

因为五，石不共线，

m=-n[A

一m4，解得沆=an=

{产=1-n77

故两=工方+三太

77

(2)因为E,M,尸三点共线，

设丽=kOE+(1-k)OF=Ua+(1-k)/,

由(1)知=(1-k)n=I，

即：=7k,-=7-7k,

所以：+：=7,为定值.

解析：本题考查了平面向量基本定理，属中档题.

(1)由A,M,。三点共线，可设丽=ma+^b,由B,M,C三点共线，可设丽=^a+(l-n)K,

由平面向量基本定理即可解得m=号n=；,

(2)由向量表示三点共线得：设而=卜赤+(1—/0赤=-五+(1—外〃石，由(1)知kA=，(1-

k)fi=I，代入即可得解

25.答案:解：(1)设圆心的坐标为C(O,b),则衿=-1,得b=2,

0—1

•••C(0,2),半径r=J(0—+(2-1下=近

•••圆C的方程为％2+(y-2)2=2;

(2)•.・线段43为圆C的直径，

\AC\=\BC\=r=y/2

.■.PA-'PB=(PC+CA)-(PC+CB}=(PC+CA')-(PC-CA)

=\PC\2-\CA\2=|画2-2，

|正|的最小值就是点C(0,2)到直线l:4x-3y+21=。的距离，

即I定lmin=d=3,

PA■丽的最小值为IPCI3