高一数学必修2第二章教案

（必修二）

高

中

数

学

第

章

教

案

2.1.1平面

二、教学重点、难点

重点：1.平面的概念及表示；

2.平面的基本性质，注意他们的条件、结论、作

用、图形语言及符号语言.

难点：平面基本性质的掌握及运用.

观察并思考以下问题：

1.长方体由哪些基本元素构成？答：点、线、面.

2.观察长方体的面，说说它的特点？答：是平的.

指出：长方体的面给我们以平面的印象；生活中常见

的如黑板、平整的操场、桌面、平静的湖面等等，都给我

们以平面的印象.

（二）探究新知

1.平面含义

指出：以上实物都给我们以平面的印象，几何里所说

的平面，就是从这样的一些物体中抽象出来的。平面是没

有厚薄的，可以无限延伸，这是平面最基本的属性常见的

桌面，黑板面，平静的水面等都是平面的局部形象；一个

平面把空间分成两部分，一条直线把平面分成两部分.

2.平面的画法及表示

①平面的画法：和学生一起,老师边说边画，学生跟着

画.

在立体几何中，常用平行四边形表示平面，当平面水

平放置时，通常把平行四边形的锐角画成45。，且横边长画

成邻边长的两倍；画两个平面相交时，当一个平面的一部

分被另一个平面遮住时，应把被遮住的部分画成虚线或不

画.②平面的表示方法

平面通常用希腊字母a、B、丫等表示，如平面a、

平面B等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点

或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC、平面

ABCD等.

3.点及平面的关系及其表示方法

指出：平面内有无数个点，平面可以看成点的集合.

点A在平面CL内，记作：Aea

点B在平面a夕卜，记作：Bea

想一想：点和平面的位置关系有几种？

4.平面的基本性质

思考：如果直线及平面有一个公共点P,直线是否在

平面内？如果直线及平面有两个公共点呢？要让学生充

分发表自己的见解.

观察理解：把一把直尺边缘上的任意两点放在桌边，

可以看到，直尺的整个边缘就落在了桌面上.

得出结论:

公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内，那么

这条直线在此平面内

（教师引导学生阅读教材P42前几行相关内容，并加

以解析）

符号表示为

公理1作用：判断直线是否在平面内

师：生活中，我们看到三脚架可以牢固地支撑照相机

或测量用的平板仪等等……

引导学生归纳出公理2

公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平

面.符号表示为：A、B、C三点不共线二》有且只有

一个平面e使A£a、B£a、CGa

公理2作用：确定一个平面的依据.

补充3个推论:

推论1:经过一条直线及直线外一点，有且只有一个

平面.

推论2：经过两条平行直线，有且只有一个平面.

推论3：经过两条相交直线，有且只有一个平面.

教师用正（长）方形模型，让学生理解两个平面的交线的

含义.

引导学生阅读P42的思考题，从而归纳出公理3

公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么

它们有且只有一条过该点的公共直线.符号表示为：P

ean0=>aGB=L,且PEL

公理3作用：判定两个平面是否相交的依据

二、教学重、难点：

1.重点：（1）空间中两条直线的位置关系的判定；

（2）理解并掌握公理4.

2.难点：理解异面直线的概念、画法.

四、教学过程：

（一）复习引入

1.前面我们已学习了平面的概念及其基本性质.

回顾一下，怎样确定一个平面呢？（公理3及其三个

推论）

2.在一个平面内，两直线有哪几种位置关系呢？在空

间中呢？

（二）新课推进

以学生身边的实例引出空间两条直线位置关系问题

共面直,相交：同一平面内，有且只有一个

公共点

平行：同一平面内，没有公共点

异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点

(1)概念：不同在任何一个平面内的两条直线.

让学生直观判断异面直线，既加深了对概念的理解,

又可引出异面直线的画法，还为下面的辨析作好铺垫.

(3)画法：用一个或两个平面衬托

m

（4）辨析

①空间中没有公共点的两条直线是异面翼线，

②分别在两个不同平面内的两条直线是异面直线.

③不同在某一平面内的两条直线是异面直线.

④平面内的一条直线和平面外的一条直线是异面直线.

⑤既不相交，又不平行的两条直线是异面直线.

（5）结合实例小结判断异面直线的关键

①例1:在正方体ABCD-4与£口中，哪些棱所在的直线及

网成异面直线？

②合作探究

如右图所示是一个正方体的展开

图，如果将它还原成正方体，那么AB、

F

CD、EF、GH这四条线段所在的直线是

异面直线的有几对?

让学生根据异面直线的定义判断在几何体上的具有异

面直线位置关系的两条直线.培养学生的空间想象能力，

加深对异面直线概念的理解.

③判断异面直线的关键：既不相交，又不平行.

3.公理4的教学

⑴思考：在同一平面内，如果两条直线都及第三条直线

平行,那么这两条直线平行。空间中，如果两条直线都及第

三条直线平行,是否也有类似的规律？

(2)观察:如图2.1.2-2,长方体ABCD-A4GA中,

AAJ/BB,,AA1//DDt,那么叫及平行吗?

D1_____________

公理4：平行于同一条直线的两条直线互修八一曲1

符号表示为：设a、b、c是三条直线1^""I/0

AB

注：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间此

性质都适用;

公理4作用：判断空间两条直线平行的依据.

⑶讲解例2,让学生掌握公理4的运用

例2：如图在空间四边形ABCD中,E、F、G、H分别是AB、

BC、CD、DA的中点.

求证：四边形EFGH是平行四边形.力

考虑到学生第一次接触空间四边形，E先

结自制模型X\

简单介绍什么叫空间四边形，再分

析如何证明)F

分析：如何判定一个四边形是平行四边形？

怎样证明EH〃FG?证明关键是什么？

提问：有没有其它证明方法呢？(EF〃HG,且EF=HG)

变式练习：

⑴在例2中，如果再加上条件AC=E),那么四边形

EFG”是什么图形？

(2)把条件改为：E、H分别是边AB、AD的中点，F、G

分别是边CB、CD上的点，且则四边形EFG”是什

么图形?为什么？

（四）小结

Cl）空间中两直线有何位置关系？（平行、相交、异面）

（2）怎样判断两直线是异面直线？（判断关键：既不平

行又不相交）

（3）什么是平行公理?它的作用是什么？

（平行同一条直线的两条直线互相平行，作用：判断

两直线平行它将空间平行问题转化为平面内的平行问题）

（五）作业

（1）

⑵在正方体ABC。-44CQ中，及对角线。4成异面直线的

棱共有几条?

§2.1.3空间中直线及平面

§2.1.4平面及平面之间的位置关系

二、教学重点、难点

重点：空间直线及平面、平面及平面之间的位置关系。

难点：用图形表达直线及平面、平面及平面的位置关系。

三、教学设计

空间中直线及平面有多少种位置关系？

（二）研探新知

1.引导学生观察、思考身边的实物，从而直观、准确地

归纳出直线及平面有三种位置关系:

(1)直线在平面内有无数个公共点

(2)直线及平面相交一一有且只有一个公共点

(3)直线在平面平行一一没有公共点

指出：直线及平面相交或平行的情况统称为誉线在平面

外，可用aa来表示

〃a

例4:加深了学生对这几种位置关系的理解.

2.引导学生对生活实例以及对长方体模型的观察、思考,

准确归纳出两个平面之间有两种位置关系：

(1)两个平面平行一一没有公共点

(2)两个平面相交有且只有一条公共直线

用类比的方法，学生很快地理解及掌握了新内容，这两种

位置关系用图形表示为

a〃BaGB二L

指出：画两个相互平行的平面时，要注意使表示平面

的两个平行四边形的对应边平行.

二、教学的重点及难点：

教学重点：通过直观感知、操作确认，归纳出直线和平面

平行的判定及其应用。

教学难点：直线和平面平行的判定定理的探索过程及其应

用O

三、教学过程设计：

（二）温故知新

直线及平面平行的定义是什么？

如果一条直线和一个平面没有公共点，那么我们就说这条

直线及这个平面平行.

这里所说的直线是向两方无限延伸的，平面是向四周无

限延展的.

那么，直线及平面的位置关系有几种？

直线及平面的位置关系有三种：

①直线在平面内一一有无数个公共点；

②直线及平面相交一一有且只有一个公共点；

③直线及平面平行一一没有公共点.

问：我们把直线及平面相交或直线及平面平行的情况

统称为直线在平面外。今后凡谈到直线在平面外，则有两

种情况：直线及平面相交，直线及平面平行。直线及平面

的三种位置关系的图形语言、符号语言各是怎样的？

（三）讲解新课

直线a在平面a外，是不是能够断定a//c呢？

直线及平面平行将如何判定呢？

直线无限延伸，平面无限延展，如何保证直线及平面

有没有公共点呢？请同学们将一本书平放

在桌面上，翻动书的硬皮封面，封面边缘//

AB所在直线及桌面所在平面具有什么样的

位置关系？

如图:直线a及平面平行吗？若a内有直线b及a平行，

那么a及a的位置关系如何？是否可以保证直线a及平

面a平行？

判定定理告诉我们直线及平面平行应具备几个条件？

符号语言表示：

这个定理可以简述为：“线线平行，则线面平行”，不过要

注意，前面的线线有什么区别？

例1求证：空间四边形相邻两边中点的连线平行于经过另

外两边所在的平面.

因为EF<z平面BCD,BDu平面BCD

由直线及平面平行的判定定理得EF〃平面BCD

2.2.2平面及平面平行的判定

二、教学重、难点：

1.重点：平面和平面平行的判定定理的探索过程及应用。

2.难点：平面和平面平行的判定定理的探究发现及其应

用。

三、教学过程：

(-)创设情景

1.你知道建筑师是如何检验屋顶平面是及水平面平

行的吗？

2.三角板的一条边所在直线及地面平行，这个三角板所

在平面及地面平行吗？三角板的两条边所在直线及地面

平行，情况又如何呢？

(二)温故知新

线面平行的判定方法有几种？

(1)定义法：若直线及平面无公共点，则直线及平面

平行.

(2)面面平行定义的推论：若两平面平行，则其中一

个平面内的直线及另一平面平行.

(3)判定定理：证明面外直线及面内直线平行.

(三)探求新知

平面及平面平行的定义是什么？如何判断两平面平

行？

如果两个平面平行,那么其中一个平面内的直线及另一

个平面关系如何？为什么？

若一个平面内所有直线都和另一个平面平行，那么这两

个平面会平行吗？

由此将判定两个平面平行的问题可以转化为线面平行

的问题来解决，可是最少需要几条线及面平行呢？

平面厂内有一条直线及平面a平行，a、£平行吗？请

举例说明.

如右图，借助长方体模型，我们

可以看出，平面AADD中直线

4A〃平面DCCD',

但平面AADD'与平面DCCD’相交.

若平面a内有两条直线a、b都平行于平面B，能保证

a〃B吗？

如上图，借助长方体模型，在平D，

面内，有一条及A'A平行一的直A岑T----旷

[.」一»c

线EF,显然A'4及EF都平行及平面AB

DCCD',但这两条平行直线所在的平面AADD及平面DCCD,相

交.

如下图，平面夕内有两条相交直线及平面a平行，情况

如何?

一般地，我们有如下的判定平面平行的定理：

如果一个平面内的两条交直线及另一个平面平行，则这两

个平面平行.

以上是两个平面平行的文字语言表述，你能写出定理的符

号语言吗？

若au/3,bu/3、acb=P,且@〃。,b〃/则a〃/?.

利用判定定理证明两个平面平行，必须具备哪些条件？

(1)由两条直线平行及另一个平面，(2)这两条直线必

须相交.

从转化的角度认识该定理就是：线线相交，线面相交n

面面平行.

（四）拓展应用

例1.已知正方体ABCD-A4GA，求证：平面ABQ〃平面

QBD.

证明：因为ABCD-AACQ为正方体,

所以AB=A4,D\CJ!A圈£>G=A4，

又ABH%B\,=所以AG〃A8，

RG=AB,所以RG8A为平行四边形.

所以GBu平面GBD,D\A/!C\B.

又2Az平面C|5O,G6u平面GB£）,

由直线及平面的判定定理得。①〃平面£8。，同理

。4〃平面C15O,又AAc£>4=〃，所以平面ABQ//平面G3D.

拓展1.已知正方体ABCD-ABCDM、N分别为A】A、CC.的

中I占/、、、♦

求证:平面NBD〃平面MBD.

拓展2.已知正方体ABCD-ABCDP、Q、R分别为A.A.AB、

AD的中点.

求证：平面PQR〃平面CBD.

例2.点P是4ABC所在平面外一点，M、N、G分别是△PBC、

△PCA、ZkPAB的重心.求证:平面MNG〃平面ABC

分析：连结PM,PN,PG则PM:PD=PN:PE=PG:PF故

MN〃DE,MG〃EF

2.2.3平面及平面平行的判定

二、教学重点、难点、疑点及解决方法

1.教学重点：掌握两个平面平行的性质及其应用；

掌握两平行平面间的距离的概念，会求两个平行平面间的

距离.

2.教学难点：掌握两个平行平面的性质及其应用.

三、教学设计

(-)复习两个平面的位置关系及两个平面平行的

判定

两个平面的位置关系有哪几种？

两个平面平行的判定方法有哪几种？

(二)两个平面平行的性质

根据两个平面平行直线和平面平行的定义可知：两个平

面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面.因

此，在解决实际问题时，常常把面面平行转化为线面平行

或线线平行.这个结论可作为两个平面平行的性质1：

aHB，aua贝a〃月.

1.两个平面平行的性质定理

如果两个平行平面同时和第三个平面〃//

相交，那么它们的交线平行./4/

图1-111

已知：a〃B,yna=a,yGB

二b.

求证：a//b.

直接证法：•・•a〃B,a及B没有公共点.

又•；auy,buy

.\a〃b

这个结论可作为性质2：若。〃自，any=a,BA

Y=b,则a//b.

2.例题

例2一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它

也垂直于另一个平面.

已知：a〃B,/±«,/na=A.

求证：11/3.

证明直线及平面垂直的方法有几种?

方法一，证明直线及平面内的任何一条直线都垂直；

方法二，证明直线及平面内两条相交的直线垂直；方法

三，证明直线的一条平行线及平面垂直.

我们可以试着用第一种方法来证明.

证明：在平面B内任取一条直线b,平面丫是经过点A

及直线b的平面，设YAa=a.

a“BJ

>=a"b

an1=ai

PA7=blb

aua]

,Hila

Ila

J

因为直线b是平面B内的任意一条直线，所以

这个例题的结论可及定理“一个平面垂直于两条平行

直线中的一条直线，它也垂直于另一条直线.”联系起来

记忆，它也可作为性质3：若a〃0,l±a,贝！

3.两个平行平面的公垂线、公垂线段和距离

及两个平行平面a,B同时垂直的直线L叫做这两个

平行平面a,B的公垂线，它夹在这两个平行平面间的部

分叫做这两个平行平面的公垂线段.

如图a〃B.如果AAJBB'都是它们的公垂线段，那

么AA'〃BB',根据两个平面平行的性质定理有A'B，//

AB,所以四边形ABB'A'是平行四边形，AA'=BB\

由此，我们得到，两个平行平面的公垂线段都相等，

公垂线段的长度具有唯一性.及两平行线间的距离定义相

类似，我们把公垂线段的长度叫做两个平行平面的距

离.两个平行平面间距离实质上也是点到面或两点间的距

离，求值最后也是通过解三角形求得

练习.夹在两个平行平面间的平行线段相等.

已知：如图a〃B,AB〃CD,Aea,

Cea,Be3,DeP.

求证：AB=CD.

证明：VAB/7CD,

.,.过AB、CD的平面y及平面a和B分别交于AC'

和BD.

：a〃B,.,.BD/7AC.

二.四边形ABCD是平行四边形，，AB=CD.

这个练习的结论可作为性质4：夹在两个平行平面间

的平行线段相等.

二、教学重、难点:

1.重点：两个平面平行的性质定理的探索过程及应

用.

2.难点：两个平面平行的性质定理的探究发现及其

应用.

三、教学过程：

(一)温故知新

1.两个平面的位置关系？

2.面面平行的判定方法：

(1)定义法：若两平面无公共点，则两平面平行.

(2)判定定理：

如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个

平面，那么这两个平面平行.

(二)创设情景

两个平面平行，那么其中一个平面内的直线及另一

平面有什么样的关系？

通过分析可以发现，若平面。和平面£平行，则两面

无公共点，那么就意味着平面a内任一直线a和平面夕也

无公共点，即直线a和平面夕平行.

用语言表述就是：如果两个平面平行，那么其中一

个平面内的直线平行及另一个平面.用式子可表示为：

a/1（3,aua=>all[3。

两个平面平行，那么其中一个平面内的直线及另一

平面内的直线有何关系？

（三）探求新知

如图，设all/3,acy=a，Bcy=b,我们研究两条交线的位

置关系。

因为口〃广，所以a,b内有公共点，而a,b又同在平面?

内，于是有a//b.

两个平面平行的性质定理：

如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交

线平行.

用符号表示为:

（五）归纳整理

面面平行的性质，

面面平行的判定”

2.3.1直线及平面垂直的判定.

二、教学重点、难点一

重点：（1）直线及平面垂直的定义和判定定理;

（2）直线和平面所成的角.一

难点：直线及平面垂直判定定理的探究.

三、教学过程

(-)新课导入

问题：直线和平面平行的判定方法有几种？

(二)探索新知

1.直线和平面垂直的定义、画法一

如果直线,及平面a内的任意一条直线都垂直，我们说

直线,及平面a互相垂直，记作ALa.直线/叫做平面的

垂线，平面a叫做直线/的垂面.直线及平面垂直时，它们

惟一的公共点尸叫做垂足.一

画直线及平面垂直时，通常把直线画成及表不平面的平

行四边形的一边垂直，如图.一

(1)试验如图，过△/比1的顶点/翻折纸片，得到折痕

AD,将翻折后的纸片竖起放置在桌面上QBD、〃。及桌面接

触).

折痕及桌面垂直吗？/\

£DC

如何翻折才能使折痕AD及桌面所在

平面a垂直？一

3.直线及平面垂直的判定定理：

一条直线及一个平面内两条相交直线都垂直，则该直

线及此平面垂直.一

思考：能否将直线及平面垂直的判定定理中的“两条相

交直线”改为一条直线或两条平行直线？

例1如图，已知a//b,a_La,求证：ab

b.La._Jy/

证明：在平面a内作两条相交直线以n._

因为直线a,a,根据直线及平面垂直的定义知一

a.Lni,a.Ln..

又因为b//a,

所以blm,bln.

乂因为mu«,〃ua,m、刀是两条相父直线,

Z?J_a.

如图，一条直线必和一个平面a相交，但不及这个平

面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线的平面的交

点APO,过垂足0和斜足A的直线40叫做斜线在这个平面

上的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐

角，叫做这条直线和这个平面所成的角.

一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；一

条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是

0°的角.

例2如图，在正方体ABCD-ABCD

中，求48和平面44⑦所成的角.

分析：找出直线48在平面4区缪内

的射影，就可以求出48和平面43缪所成的角.

解：连结BG交6c于点0,连结4〃

设正方体的棱长为a,因为A山」BB所

以44，平面BCCB.

所以8G.

又因为因_L3C,所以8C_L平面486ZZ

所以4。为斜线4方在平面/山⑦内的射影，/BAW为

48及平面442所成的角.

在中，9=扃，，

所以，ZBAO=30°

因此，直线48和平面力山⑦所成的v

角为3。。.O

四、课堂练习

1.如图，在三棱锥V-/■中，VA=VC,AB=BC,求

证：VBA.AC.

2.过△/%所在平面a外一点R作尸O，a,垂足为0,

连接用，PB,PC.

(1)若P归PB=PC,Zr=90°,则点。是”边的

心.

⑵若PA=PB=PC,则点。是△力%的心.

(3)若以，阳，阳_L/T,如,为，则点。是△/国的

心.

3.两条直线和一个平面所成的角相

等，这两条直线一定平行吗？

4.如图，直四棱柱卬B'CD'

/aZ?(侧棱及底面垂直的棱柱称为直棱柱)中，底面四边

形力跄?满足什么条件时，A'C±B'D'?

五、归纳总结

1.直线和平面垂直的定义判定

2.直线和平面所成的角定义及解答步骤、完善.

3.线线垂直u线面垂直

二、教学重、难点

重点：平面及平面垂直的判定.

难点：找出二面角的平面角.

三、教学过程：

（一）创设情景，揭示课题

问题1:平面几何中“角”是怎样定义的？

问题2：在立体几何中，“异面直线所成的角”、“直线

和平面所成的角”又是怎样定义的？它们有什么共同的特

征？

在生产实践中，有许多问题要涉及到两个平面相交所

成的角的情形，你能举出这个问题的一些例子吗？如修水

坝、发射人造卫星等，而这样的角有何特点，该如何表示

呢？

（二）研探新知

1、二面角的有关概念

展示一张纸面，并对折让学生观察其状，然后引导学

生用数学思维思考，并对以上问题类比，归纳出二面角的

概念及记法表示（如下表所示）

角二面角

A

图形

顶点0B才

边Ba

从平面内一点出发的从空间一直线出发的

定义两条射线（半直线）所两个半平面所组成的图

组成的图形形

射线一点(顶点)半平面一线(棱)一

构成

一射线半平囿

ZAOB二面角a-1-B或a

-AB-3

2、二面角的度量

二面角定义反映了两个平面相交的位置关系，如我们

常说“把门开大一些”，是指二面角大一些，那我们应如

何度量二两角的大小呢？二面角中在其棱上任取一点为

顶点，在两个半平面内各作一射线，如图探究二面角大小

的度量方法——二面角的平面角.

特别指出：八

(1)表示二面角的平面角时，要求前域\oB±L：

(2)NAOB的大小及点0在L上位置4必B/

(3)当二面角的平面角是直角时，这两个平

面的位置关系怎样?

观察，类比得两个平面互相垂直的判定定理:

一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。

（三）实际应用，巩固深化

例1、设AB是圆0的直径，PA垂直于圆0所在平面，C

是圆周上的任意点，求证：面PAC_L面PBC.

例2、已知直线PA垂直正方形ABCD所在的平面，A为

垂足。求证：平面PAU平面PBD.

说明：这两题都涉及线面垂直、面面垂直的性质和判定，

其中证明况工平面为。和应江平面必。是关键.从解题

方法上说，由于“线线垂直”、“线面垂直”及“面面垂直”

之间可以相互转化，因此整个解题过程始终沿着“线线垂

直o线面垂直=面面垂直”转化途径进行.

（五）小结归纳，整体认识

（1）二面角以及平面角的有关概念；

(2)两个平面垂直的判定定理的内容，它及直线及平

面垂直的判定定理有何关系？

二、教学重、难点

重点：直线和平面垂直的性质定理和推论的内容和简单

应用.

难点：直线和平面垂直的性质定理和推论的证明，等价

转化思想的渗透.

三、教学过程

复习引入

判断直线和平面垂直的方法有几种？

各判定方法在何种条件或情形下方可熟练运用？

若能确定直线及平面内任意一直线垂直,则运用定义说

明.

若能说明所证直线和平面内的一条直线平行，则可运用

例题结论说明.

若能说明直线和平面内两相交直线垂直，则可运用判定

定理去完成判定.

在空间，过一点，有几条直线及已知平面垂直？过一点,

有几个平面及已知直线垂直？

判断下列命题是否正确:

1.在平面中，垂直于同一直线的两条直线互相平行.

2.在空间中，垂直于同一直线的两条直线互相平行.

3.垂直于同一平面的两直线互相平行.

4.垂直于同一直线的两平面互相平行.

这节课我们来共同探讨直线和平面垂直,则其应具备的

性质是什么？

创设情景

如图，长方体ABCD—A'B'C

>中，棱AA，、BB，、CC，、

DI）'所在直线都垂直于平面ABCD,它们之间具有什么位

置关系？

（三）讲解新课

例1已知：

证：b〃a

分析：此问题是在a，吟的条件下，研究a和b

是否平行，若从正面去证明1）〃2,则较困难。而利用反证

法来完成此题，相对较为容易，但难在辅助线6的作出，

这也是立体几何开始的这部分较难的一个证明.

证明：假定b不平行于a,设ac〃=O,〃是经过点0的两

直线a平行的直线.

*/a〃Z?,a-L0,：.b±a

即经过同一点0的两直线b,6都及a垂直,这是不可能

的，因此b〃a.

得到结论：

直线和平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一

个平面,那么这两条直线平行,也可简记为线面垂直,线线

平行.

万，求证a〃夕

（四）课堂练习

课本79页第1、2题.

拓展练习：设直线a,b分别在正方体ABCD—A'B'C'

D'中两个不同的平面内，欲使b〃a,则a、b应满足什么

条件？

分析：结合两直线平行的判定定理，考虑a、b满足的

条件。

解：a、b满足下面条件中的任何一个，都能使b〃a

(1)a>b同垂直于正方体的一个面.

(2)a、b分别在正方体两个相对的面内且共面.

(3)a、b平行于同一条棱.

(4)E、F、G、H分别为B'C、CC7、AA'、

AD的中点，

EF所在直线为a,GH所在直线为b.

(五)课堂小结

直线和平面垂直的性质定理，定理的证明用到反证法,

证明几何问题常规的方法有两种：直接证法和间接证法。

直接证法长依据定义、定理、公理，并适当引用平面几何

知识；用直接法证明比较困难时，我们可以考虑间接证法,

反证法就是一种间接证法。关于直线及平面垂直的