2015-2016学年重庆八中高二数学下册期末数学试卷（理科）（含答案和解析）

2015.2016学年重庆八中高二（下）期末数学试卷（理科）

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1.（5分）命题Vx>0,不等式x-1..仇x成立”的否定为（）

A.3x0>0,不等式飞-1..A/成立

B.3x0>0,不等式/-1v/叫成立

C.Vx,,0,不等式成立

D.Vx>0,不等式x—1〈配v成立

2.（5分）下列函数中，定义在R上的增函数是（）

A.y=x~—B.y=lg\x\C.y=y/xD.y=

9

3.（5分）若Q=2°S,b=log万3,c=log2sin—,贝U（）

A.a<b<cB.c<a<bC.b<a<cD.c<b<a

4.（5分）已知随机变量X服从正态分布N（3,l）,且P（原狱4）=0.6826,贝!!?（x>4）=（

）

A.0.1588B.0.1587C.0.1586D.0.1585

5.（5分）给出下列三个命题

①若“P或9”为假命题，则r均为真命题；

②命题“若X..2且y..3,则x+y..5”的逆否命题为假命题；

③在AABC中，“A>45。”是“sinA>交”的充要条件，

2

其中正确的命题个数是（）

A.3B.2C.1D.0

6.（5分）数列｛4｝满足q=1,a”=2（4_i+a〃_2+3+4）（〃>1），则4=（）

A.54B.81C.162D.243

7.（5分）在利用随机模拟方法估计函数y=f的图象、直线尤=_1,无=1以及x轴所围成

的图形面积时，做了1000次试验，数出落在该区域中的样本点数为302个，则该区域面

积的近似值为（）

A.0.604B.0.698C.0.151D.0.302

8.（5分）设二次函数-尤+a（a>0）,若/（㈤<0,贝！I的值为（）

A.正数B.负数

C.非负数D.正数、负数和零都有可能

9.（5分）从重量分别为1,2,3,4,…，10,11克的磋码（每种祛码各一个）中选出若

干个，使其总重量恰为9克的方法总数为机，下列各式的展开式中%9的系数为机的选项

是（）

A.（1+%）（1+^2）（1+%3）...（1+%"）

B.（1+x）（l+2x）（1+3x）...（1+1l.r）

C.（1+x）（l+2X2）（1+3x3）...（1+llx11）

D.（1+无）（1+龙+尤）2（1+X+X2+x，）...（1+x+无2+...+龙”）

10.（5分）函数/（无）是定义在火上的偶函数，且“1-尤）=-Ax）,当xe[2,3）时,f（.x）=x,

则当xe（-l,0]时，/（x）的解析式为（）

A.x+4B.x—2C.x+3D.—%+2

11.（5分）设[A]表示不超过x的最大整数,如[1]=1,[0.5]=0,已知函数/（%）=区-依尤>0）,

若方程/（%）=0有且仅有3个实根，则实数k的取值范围是（

12.（5分）已知关于x的方程2ax=0有唯一解，则实数a的值为（）

A.1B.-C.-D.-

234

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.（5分）集合A=[xwR|^^,,o1,B={尤—2无2+7X+4>0},则AB=

14.（5分）某微信群中有甲、乙、丙、丁、戊五个人玩抢红包游戏，现有4个红包，每人

最多抢一个，且红包全部抢完，4个红包中有两个2元，1个3元，1个4元（红包中金

额相同视为相同红包），则甲、乙都抢到红包的情况有种.（用数字作答）

15.（5分）设曲线y=*在点（0,1）处的切线与直线x+2y+l=0垂直，贝Ua=.

16.（5分）已知/（尤），g（无）都是定义在7?上的函数，并满足：

(1)f(x)=2axg(x),(a>0,aw1)；

(2)g(%)wO；

（3）/（彳次，（%）＜1（盼8（幻且碑+仁|=5,贝____.

g⑴g（-D

三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.（12分）如图，点尸在AABC内，AB=CP=2,BC=3,ZP+ZB=TT,记NB=tz.

（1）试用。表示AP的长；

（2）求四边形ABCP的面积的最大值，并写出此时夕的值.

18.（12分）某课题组对春晚参加“咻一咻”抢红包活动的同学进行调查，按照使用手机系

统不同（安卓系统和/OS系统）分别随机抽取5名同学进行问卷调查，发现他们咻得红

包总金额数如表所示：

手机系统一二三四五

安卓系统（元）253209

IOS系统（元）431897

（1）如果认为“咻”得红包总金额超过6元为“咻得多”，否则为“咻得少”，请判断手机

系统与咻得红包总金额的多少是否有关？

（2）要从5名使用安卓系统的同学中随机选出2名参加一项活动，以X表示选中的同学中

咻得红包总金额超过6元的人数，求随机变量X的分布列及数学期望E（X）.

下面的临界值表供参考:

P(K2..k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

独立性检验统计量K2=-----------------------其中〃=o+6+c+d.

（a+b）（c+d）（Q+c）（b+d）

19.（12分）如图所示，平面ABC_L平面BCDE,BC//DE,BC,DE=2,BE=CD=2,

2

ABYBC,M,N分别为DE,AD中点.

（1）证明：平面MNC_L平面BCDE；

（2）若EC1CD，点尸为棱的三等分点（近A）,平面PMC与平面ABC所成锐二面角

20.（12分）已知定点M（-点,0）,N是圆C:（x-0y+y2=i6（C为圆心）上的动点，MN

的垂直平分线与NC交于点E.

（1）求动点E的轨迹方程G；

（2）直线/与轨迹G交于P，。两点，与抛物线C2：f=4y交于A,5两点，且抛物线C?

在点A,3处的切线垂直相交于S,设点S到直线/的距离为d,试问：是否存在直线/,

使得d=J|A2||PQI?若存在，求直线/的方程；若不存在，请说明理由.

21.（12分）已知/（无）=/（依-1）,g（x）=a（尤-1）,acR.

（I）讨论/（x）的单调性；

（II）若有且仅有两个整数x,（i=l,2）,使得了（占）＜g（占）成立，求实数a的取值范围.

［选修4-1：几何证明选讲］

22.（10分）如图，四边形ABCD中，AB^AC=AD,AHLCD于H,BD交AH于P,

且尸C_L3C

（I）求证：A,B,C,尸四点共圆；

（II）若/C4D=生，AB=1,求四边形ABC?的面积.

3

［选修4-4：坐标系与参数方程］

\X=2+ZCOS6Z

23.在直角坐标系xOv中，直线/的参数方程为：厂”为参数，其中。＜&＜工7r)，

[y=V3+tsina2

椭圆M的参数方程为尸=2c。：为为参数)，圆。的标准方程为(i)2+丁=1.

[y=sinp

(1)写出椭圆加的普通方程；

(2)若直线/为圆C的切线，且交椭圆M于A,3两点，求弦回的长.

[选修4-5：不等式选讲]

24.已知函数/(x)=|x-2|+|x-a|.

(1)当(7=2时，求不等式了⑺..4的解集；

(2)不等式/(x)＜4的解集中的整数有且仅有1,2,3,求实数。的取值范围.

2015-2016学年重庆八中高二（下）期末数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1.（5分）命题“Vx>0,不等式x-1..伍x成立”的否定为（）

A.>0,不等式%-1../%,成立

B.3x0>0,不等式%-1<历与成立

C.V%,0,不等式成立

D.Vx>0,不等式成立

【解答】解：命题为全称命题，

则命题的否定是t：0>0,不等式毛-1〈仇X。成立，

故选：B.

2.（5分）下列函数中，定义在R上的增函数是（）

A.y=x--B.y=lg\x\C.y=取D.y=

x

【解答】解：对于A,函数y=的定义域是{x|xw0},不满足题意；

X

对于8,函数y=/g|x|的定义域是{X|XMO},不满足题意；

对于C,函数y=也是定义域R上的增函数，满足题意；

对于。，函数y=77=1x1在定义域R上不是单调函数，不满足题意.

故选：C.

9

3.（5分）若〃=2°$,b=log^3,c=log2sin—,贝!J（）

A.a<b<cB.c<a<bC.b<a<cD.c<b<a

【解答】解：，=2。5>2。=1,

0=log〃i<b=log»3<log〃7i=l,

2

c=log2sin—1<log21=0,

:.c<b<a.

故选：D.

4.（5分）已知随机变量X服从正态分布N（3,l）,且尸（德*4）=0.6823贝1］尸（>>4）=（

）

A.0.1588B.0.1587C.0.1586D.0.1585

【解答】解：P（W4）=；P（2融：4）=0.3413,

观察上图得，

P（X>4）=0.5一P（W4）=0.5-0.3413=0.1587.

①若"p或4”为假命题，则力，r均为真命题；

②命题“若X..2且y..3,则x+y..5”的逆否命题为假命题；

③在AABC中，“A>45。”是“sinA>遮”的充要条件，

2

其中正确的命题个数是（）

A.3B.2C.1D.0

【解答】解：①若"p或q”为假命题，则°,q都是假命题，则刃，人均为真命题；

故①正确，

②命题“若乂.2且y..3,则x+y..5”为真命题，根据逆否命题的真假性相同得命题的逆否

命题为真命题，故②错误；

③在AABC中，若4=150。满足A>45。，但如4=l，则sin4>也不成立，即充分性不成

22

立，故③错误，

故选：C.

6.（5分）数列｛〃〃｝满足4=1,%=2（a〃_i+a〃_2+…+%）（〃>1），则％=（）

A.54B.81C.162D.243

【解答】解：设数列｛4｝的前〃项和为s“，

4=1，=2（%+an-2+…+%）=25._］（〃>1）,

%=25,，可得an+x-an=2an,即an+l=3an,

〃=2时，a2=2%=2.

，数列｛%｝从第二项起为等比数列，公比为3.

牝=x34=2x3,=162.

故选：C.

7.（5分）在利用随机模拟方法估计函数>=炉的图象、直线彳=一1,x=l以及x轴所围成

的图形面积时，做了1000次试验，数出落在该区域中的样本点数为302个，则该区域面

积的近似值为（）

A.0.604B.0.698C.0.151D.0.302

【解答】解:设区域面积为X,

由概率的几何概型知，则胆=',

10002

解得彳=0.604.

则该区域面积的近似值为0.604,

故选：A.

8.（5分）设二次函数/（%）=%2一%+〃（］>（））,若机）<0,则/1On-l）的值为（）

A.正数B.负数

C.非负数D.正数、负数和零都有可能

【解答】解：因为函数/0）=尤2-尤+。3>0）的对称轴为犬=工，

2

又因为a>0,故/对应的大致图象如图：

由f（m）<0=>0<m<l=>m—1<0=>于（m—1）>0.

故选：A.

2

9.（5分）从重量分别为1,2,3,4,10,11克的祛码（每种祛码各一个）中选出若

干个，使其总重量恰为9克的方法总数为7",下列各式的展开式中V的系数为机的选项

是（）

A.（1+尤）（1+f）（1+彳3）.（1+产）

B.（1+x）（l+2x）（1+3x）...（1+1lx）

C.（1+尤）（1+2尤2）（1+3无3）…（1+11产）

D.（1+无）（1+龙+尤2）（1+x+X?+X，）...（1+龙+尤2+...+无”）

【解答】解：V是由X、/、/、/、/、/、/、胪、肝中的指数和等于9

的那些项的乘积构成，有多少种这样的乘积，就有多少个V.

各个这样的乘积，分别对应从重量1,2,3,...10,11克的祛码（每种祛码各一个）中，

选出若干个表示9克的方法.

故”从重量1,2,3,…10,11克的祛码（每种祛码各一个）中选出若干个.

使其总重量恰为9克的方法总数”，

就是“（1+无）（1+马（1+三）…（1+/）（1+/）”的展开式中炉的系数，，，

故选：A.

10.（5分）函数/（尤）是定义在尺上的偶函数，且/（l-x）=-/（x）,当xe[2,3）时，/（尤）=x,

则当xe（—l,0]时，八＞）的解析式为（）

A.x+4B.x—2C.x+3D.—%+2

【解答】解：/（尤）是定义在A上的偶函数，且/'（1-尤）=-/0）,

.-.f（l-x）=-/（x）=/（x-l）,

则f（x-2）=-/（x-1）=-（-/（x））=/（%）,

则函数/(x)是周期为2的周期函数，

则若xe(-l,0],则-xe[0,1),-x+2e[2,3),

即/(%)=/(-%)=/(-%+2),

当xe[2,3)时，/(%)=x,

.•.当xe(-l,0]时，f(x)=f(-x+2)=-x+2,

故选：D.

11.(5分)设印表示不超过x的最大整数，如国=1,[0.5]=0,已知函数/(x)=四一>0),

若方程/(尤)=0有且仅有3个实根，则实数%的取值范围是()

【解答】解：由/(x)=虫一4=0得虫=左，

若x>0,设g(x)=—,

贝!J当0<%vl,[x]=0,止匕时g(x)=0,

当L,xv2,[x]=1,此时g(x)=L,此时L<g(x),,1,

,x2

22

当2,x<3,[x]=2,此时g(%)=—,此时一vg(x),,1,

x3

当3,,x<4,[幻=3,此时g(%)='，此时

x4

44

当4,,x<5,[x]=4,此时g(%)=—,此时一vg(球,1,

x5

作出函数g(x)的图象，

要使/(X)=支—4有且仅有三个零点，

即函数g(x)=k有且仅有三个零点,

24

则由图象可叫女丁

故选：C.

12.(5分)已知关于x的方程£一2a/nx-2以=0有唯一解，则实数a的值为()

A.1B.-C.-D.-

234

【解答】解：由选项知。>0,

设g(x)=/一2alnx-2ax,(%>0),

若方程炉-2a/nx-2ax=0有唯一解，

即g(%)=。有唯一解，

贝Ug\x)=2x---2a=2(♦-内-a),

XX

令g'(x)=0,可得x2—依―a=0,

„ca+yja1+4a„+目4■土、

a>0,x>0,x.=-----------(另一■根舍去)，

2

当xw(0,%)时，g'(x)<0,g(x)在。再)上是单调递减函数；

当xe(X[,+00)时，g'(x)>0,g(x)在(占，+CO)上是单调递增函数，

.,.当x=x，时，g'(xl)=0,g(x),痴=g(药)，

g(x)=0有唯一解，

，8(西)=0，

g（占）=。

g'G）=o

Xy-2alnx{-2ax1=0

2，

xx-ax{-a=Q

2alnx{+ax1—a=0

a>0,

21nxi+%—1=0,

设函数/z(X)=2/nx+%-l,

%>0时，//(%)是增函数，

/z(%)=0至多有一解，

h(1)=0,

方程2阮V]+芯一1=0的角军为玉=1,

.•.当a>0,方程/(%)=2依有唯一解时a的值为g.

故选：B.

二、填空题(每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上)

13.(5分)集合A=[xeR[^1,,0，，B={xeR|—2/+7x+4>0},贝UAB=_(-l,4)_.

【解答】解：由A中不等式变形得：(x-2)(x+l),,0,且x+lwO,

解得：-l<x,,2,即4=(-1,2],

由5中不等式变形得：2/一7x一4<0,即(2x+l)(x-4)<0,

解得：一!<彳<4,BPB,4),

22

贝|A8=(-1,4),

故答案为：(-1,4).

14.(5分)某微信群中有甲、乙、丙、丁、戊五个人玩抢红包游戏，现有4个红包，每人

最多抢一个，且红包全部抢完，4个红包中有两个2元，1个3元，1个4元(红包中金

额相同视为相同红包)，则甲、乙都抢到红包的情况有36种.(用数字作答)

【解答】解：若甲乙抢的是一个2元和一个3元的，剩下2个红包，被剩下的3人中的2

个人抢走，有ME=12种，

若甲乙抢的是一个2和一个4元的，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有

&&=12种，

若甲乙抢的是一个3和一个4元的，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有&C；=6

种，

若甲乙抢的是两个2元，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有耳=6种，

根据分类计数原理可得，共有36种，

故答案为：36.

15.(5分)设曲线y=e口在点(0,1)处的切线与直线x+2y+l=0垂直，则。=2.

【解答】解：＞=6口

曲线y=e"在点(0,1)处的切线方程是y-l=“(x-0),即6-y+l=0

直线ar-y+l=0与直线x+2y+l=0垂直

—a——1,即a=2.

2

故答案为：2

16.(5分)已知/(X),g(尤)都是定义在R上的函数，并满足：

(1)f(x)=2axg(x),(a>0,a1)；

(2)g(x)w0；

/wa)<ra)g(x)且瑞+得

(3)=5,则a=2

【解答】解：由(1)、(2)得，皿=2",

g(x)

因为&+^^=5,所以2。+2。7=5,解得。或a=2,

g⑴g(T)2

由/(尤)g，(x)〈r(x)g(x),得［笔，＞0,

g(x)

所以幺砂单调递增，故

g(尤)

所以o=2,

故答案为：2.

三、解答题(本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

17.（12分）如图，点尸在AABC内，AB=CP=2,BC=3,NP+NB=TT,记NB=（Z.

（1）试用夕表示AP的长；

（2）求四边形ABCP的面积的最大值，并写出此时"的值.

【解答】解：(1)AA2C与WC中，AB=CP=2,BC=3,ZB=a,ZP=7r-a,

由余弦定理得，AC2=22+32-2X2X3COS6Z,①

AC2=AP2+22-2xAPx2cos(^--a),②

由①②得：AP2+4APcos«+12costz-9=0,ae(0,,

解得：AP=3—4cos<z；

(2)AP=3-4cosa>ae(0,Tt),

=-x2x3sin(z--x2xAPsin(7r—cr)

22

=3sina—(3—4cosa)sina

=4sinacosa=2sin2a,aG（0,71）,

则当a=生时，Smai=2.

VTICIA

18.（12分）某课题组对春晚参加“咻一咻”抢红包活动的同学进行调查，按照使用手机系

统不同（安卓系统和/os系统）分别随机抽取5名同学进行问卷调查，发现他们咻得红

包总金额数如表所示：

手机系统一二三四五

安卓系统（元）253209

/OS系统（元）431897

（1）如果认为“咻”得红包总金额超过6元为“咻得多”，否则为“咻得少”，请判断手机

系统与咻得红包总金额的多少是否有关？

（2）要从5名使用安卓系统的同学中随机选出2名参加一项活动，以X表示选中的同学中

咻得红包总金额超过6元的人数，求随机变量X的分布列及数学期望E（X）.

下面的临界值表供参考:

P(K2..k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

独立性检验统计量K2=---------一姐2-----------,其中〃=a+6+c+d.

(Q+b)(c+d)(Q+c)(Z?+d)

【解答】解：（1）根据题意列出2x2列联表如下:

咻得多少咻得少咻得多合计

手机系统

安卓325

IOS235

合计5510

片』"一2X2)Z4<2706,

5x5x5x5

所以没有足够的理由认为手机系统与咻得红包总金额的多少有关.（6分）

（2）随机变量X的所有可能取值为0,1,2,

2

P(X=O)TC=33

C；10

CKi3

Cj5

C21

p(X=D=T=—(9分)

故X的分布列为:

X012

P331

W510

331

...数学期望E(X),E(X)=0x—+lx-+2x—=0.8.(12

10510

分)

19.(12分)如图所示，平面ABC_L平面3CDE,BC//DE,BC=-DE=2,BE=CD=2,

2

AB±BC,M,N分别为DE,AD中点.

(1)证明：平面MNC_L平面3CDE；

(2)若£C_LCD，点P为棱曲的三等分点(近A),平面与平面ABC所成锐二面角

【解答】证明：(1)连结ON,

由题意四边形是菱形，是80中点，

N是中点，:.ON//AB,

ABLBC,平面ABC_L平面3CDE,.•.AB_L平面3CDE,

.1ON_L平面3CDE,

ONu平面ACVC,平面ACVC_L平面BCDE.

解：(2)以C为原点，CE为x轴，CD为y轴，过C作平面3cDE的垂线为z轴，建立空

间直角坐标系，

设A(岔，-1,f),。＞0)由题意。(0,2,0),尸(苧，。，1)，EQ币,0,0),

0(0,2,0),M(后1,0),B(区-1,0),C(0,0,0),

CP=(竿，0,争，CM=(后1,0),CB=(6-1,0),CA=(y/3,-l,t),

设平面尸MC的法向量机=(%,y,z),

.mCP=^^-x+—z=0厂/厂3

则＜33，取x=百，得加=(m,—3,——)，

mCM=y/3x+y=0

设平面ABC的法向量〃=(a,b,c),

则4，取Q=y/3,得几=(v3,3,0),

nCA=y[3a-b+tc=O

平面PMC与平面ABC所成锐二面角的余弦值为叵，

13

..\mn\I-6|739

cos<m,n>=------解得t-3.

\m\\n\13

.•.棱AB的长度为3.

20.（12分）已知定点M（-正,0）,N是圆C:（x-0>+y2=i6（C为圆心）上的动点，MN

的垂直平分线与NC交于点E.

（1）求动点E的轨迹方程C1；

（2）直线/与轨迹G交于尸，。两点，与抛物线C2：f=4y交于A,3两点，且抛物线C?

在点A,3处的切线垂直相交于S,设点S到直线/的距离为d,试问：是否存在直线上

使得d=J|AB||PQ|?若存在,求直线/的方程；若不存在，请说明理由.

【解答】解：（1）依题意有：|EM|+|EC|=|EN|+|EC|=|NC|=4,故动点E的轨迹为以

C为焦点，长轴为4的椭圆.

22

于是：a=2,c=^/2,从而b=故动点石的轨迹方程G为：—+—=1-

42

（2）设直线/:y=Ax+m,,%）,B（X2,%），尸（七，为）。（/，%），由12yl，

2

得：x—4Ax-4m=0,^xl+x2=4kfjqx2=-Am.

由f=4y得：y=%2,即切线斜率左=y，=^.

于是：kpA=],kpB=5，

由PA_LPB得；kpAkpB=—x—=——fYi=—1,

PAPB22"42

解得：m=l,

Mx.2

y='x——-

这说明直线/过抛物线C?的焦点尸，由.24,

X,X：

》=^±^=2左,'=±2%_二=2_4=^±^芯_日=必=_1即5（2匕_1）.

224142744

于是：点S（2匕-1）到直线/:依-y+1=0的距离d=冬==2717。，

^y/1+k2

由（[="：1得：（1+2廿）/+4代一2=0,

[x+2y=4

从而附uk叵三尸巨一行国巨，

2

1+2左2l+2k

同理：|A8|=4（l+r）,

22

由d=^\AB\\PQ\得2j（l+2〃2）=4（1+k）（1+k）加+丫）,

Y1+2k

化简整理，得：28/+36后2+7=0,此方程无解，

所以不存在直线人使得d=J|A8||/。|.

21.（12分）已知/（尤）=6工（依-1）,g（x）=a（尤-1）,awR.

（I）讨论/（x）的单调性；

（II）若有且仅有两个整数无,（i=1,2）,使得了（占）＜g（占）成立，求实数a的取值范围.

【解答】解：（I）因r（x）=e'3+a-l）.…（1分）

所以，当a=0时，/0）＜0在R上恒成立，

即/（x）在（TO,y）上单调递减；…（2分）

当a＞0时，/（彳）＞0的解为

即/（x）在（2-1,+00）上单调递增，在（-00」-1）上单调递减；…（4分）

aa

当a＜0时，/（*）＞0的角军为[无|彳＜!一1],

即〃x)在(-00--1)上单调递增，在d-l,+oo)上单调递减.…(6分)

aa

(II)法一：当a=0时，f(x)=-ex,g(x)=0,

此时f(x)<g(x)的解集为R,所以此情况舍去；…(7分)

当avO时，/(0)=—lvg(O)=—a,f(1)=e(a-I)<g(1)=0,f(2)=e2(2a-l)<g

(2)=a.

可见了a)vga)的解集不仅仅两个整数解，此情况舍去；…(8分)

当a>。时，

由(I)可知/(X)的极值点为L-1,

a

1i

又f(0)=—1,g(1)=0,/(——l)=ea(-a),而且，f(x)仅有一个零点—.

aa

若0<1,,1,即a..1时，

a

由(I)知/(%)的单调性，以及/4-1)=€工(一々)<0,

a

有了(X)与g(x)的草图如下：

a

所以在(-8,-1］上/(%)单调递减，g(%)单调递增，

所以=/(-I)=--•g(x)2=g(-l)=-2t?,

e

所以在(-00,-1］上/(x)>g(x)恒成立.

X/(0)=-1>g(0)=-a,在兀£口，+8)上，又所以，ex>1,ax-1..0,

所以/(x)=ex(ax-1)>ax-1=a(x-1)+〃一1..a(x-1)=g(x)

所以在时，在R上没有使得了(%)<g(x)的整数解存在；…(10分)

而由上知在(-oo,-l)上/(x)>g(N)恒成立，

/一

下证明在xc[2,+8)上，一-——,,〃<1时，/(x)..g(x)恒成立，

2e-1

令函数/z(%)=/(%)-g(x),xe[2,+8),则//(%)=e"(QX—l+〃)一〃，

、e21

因为％6[2,+oo),--——„a<1,所以依-1+a..；-——+〃>0,

2e2-l2e2-l

月f以cx{cix—1+ci)—a..f(----Fci)—a>—----Fci—ci——--->0，

2e—12e—12e—1

即/(x)>0在％w[2,+oo)上恒成立,

所以函数■%)在[2,+00)上单调递增，所以/?(%)../?(2)=(2e2-l)a-e2..O

2

所以在％w[2,+00)上，一-——,,Q<1时，/(%)..g(%)恒成立.

2e-1

2

综上：—：—„a<l....(12分)

2e2-l

法二：若有且仅有两个整数%(i=1,2),使得/5)<g@)成立,

则a{xex-x+l)</有两个整数解.

因为y=x(e'-l)+l,当x>0时，ex-l>0,x(e'-l)+l>0；

当x<0时，ex-l<0,x(ex-l)+l>0,

所以，a<—-——有两个整数解…（8分）

xe-x+\

ex(2-x-ex)

设g（x）=K7T则g'(x)=

x

(xe—x+1)2

h(x)=2-x—ex,则〃(%)=-l-e”<0,

又/z(0)=l>0,h((1)=1—evO,

所以现£(0,1),使得已/o)=。，

在（-8,%0）为增函数,在（飞，+8）为减函数,

—有两个整数解的充要条件是：

xe-x+1

a<g（0）=1

a<g（l）=1

,g0)=&

［选修4-1：几何证明选讲］

22.（10分）如图，四边形ABCD中，AB^AC=AD,AH_LCD于H,BD交AH于P,

且尸C_L3C

（I）求证：A,B,C,P四点共圆；

（II）若NC4D=生，AB=1,求四边形ABCP的面积.

3

【解答】证明：(I)AC=AD,AHLCD,:.ZCAD=ZDAP,

从而AACP三AADP,得NACP=NADP.

又AB=AD,故/4DP=NABP,

从而NABPnNACP,可知A,B,C,P四点共圆；

(II)由AC=AT),ZCAD=~,从而AACD是边长为1的等边三角形,

3