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文档简介
2015.2016学年重庆八中高二(下)期末数学试卷(理科)
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只
有一项是符合题目要求的.
1.(5分)命题Vx>0,不等式x-1..仇x成立”的否定为()
A.3x0>0,不等式飞-1..A/成立
B.3x0>0,不等式/-1v/叫成立
C.Vx,,0,不等式成立
D.Vx>0,不等式x—1〈配v成立
2.(5分)下列函数中,定义在R上的增函数是()
A.y=x~—B.y=lg\x\C.y=y/xD.y=
9
3.(5分)若Q=2°S,b=log万3,c=log2sin—,贝U()
A.a<b<cB.c<a<bC.b<a<cD.c<b<a
4.(5分)已知随机变量X服从正态分布N(3,l),且P(原狱4)=0.6826,贝!!?(x>4)=(
)
A.0.1588B.0.1587C.0.1586D.0.1585
5.(5分)给出下列三个命题
①若“P或9”为假命题,则r均为真命题;
②命题“若X..2且y..3,则x+y..5”的逆否命题为假命题;
③在AABC中,“A>45。”是“sinA>交”的充要条件,
2
其中正确的命题个数是()
A.3B.2C.1D.0
6.(5分)数列{4}满足q=1,a”=2(4_i+a〃_2+3+4)(〃>1),则4=()
A.54B.81C.162D.243
7.(5分)在利用随机模拟方法估计函数y=f的图象、直线尤=_1,无=1以及x轴所围成
的图形面积时,做了1000次试验,数出落在该区域中的样本点数为302个,则该区域面
积的近似值为()
A.0.604B.0.698C.0.151D.0.302
8.(5分)设二次函数-尤+a(a>0),若/(㈤<0,贝!I的值为()
A.正数B.负数
C.非负数D.正数、负数和零都有可能
9.(5分)从重量分别为1,2,3,4,…,10,11克的磋码(每种祛码各一个)中选出若
干个,使其总重量恰为9克的方法总数为机,下列各式的展开式中%9的系数为机的选项
是()
A.(1+%)(1+^2)(1+%3)...(1+%")
B.(1+x)(l+2x)(1+3x)...(1+1l.r)
C.(1+x)(l+2X2)(1+3x3)...(1+llx11)
D.(1+无)(1+龙+尤)2(1+X+X2+x,)...(1+x+无2+...+龙”)
10.(5分)函数/(无)是定义在火上的偶函数,且“1-尤)=-Ax),当xe[2,3)时,f(.x)=x,
则当xe(-l,0]时,/(x)的解析式为()
A.x+4B.x—2C.x+3D.—%+2
11.(5分)设[A]表示不超过x的最大整数,如[1]=1,[0.5]=0,已知函数/(%)=区-依尤>0),
若方程/(%)=0有且仅有3个实根,则实数k的取值范围是(
12.(5分)已知关于x的方程2ax=0有唯一解,则实数a的值为()
A.1B.-C.-D.-
234
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.(5分)集合A=[xwR|^^,,o1,B={尤—2无2+7X+4>0},则AB=
14.(5分)某微信群中有甲、乙、丙、丁、戊五个人玩抢红包游戏,现有4个红包,每人
最多抢一个,且红包全部抢完,4个红包中有两个2元,1个3元,1个4元(红包中金
额相同视为相同红包),则甲、乙都抢到红包的情况有种.(用数字作答)
15.(5分)设曲线y=*在点(0,1)处的切线与直线x+2y+l=0垂直,贝Ua=.
16.(5分)已知/(尤),g(无)都是定义在7?上的函数,并满足:
(1)f(x)=2axg(x),(a>0,aw1);
(2)g(%)wO;
(3)/(彳次,(%)<1(盼8(幻且碑+仁|=5,贝____.
g⑴g(-D
三、解答题(本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.(12分)如图,点尸在AABC内,AB=CP=2,BC=3,ZP+ZB=TT,记NB=tz.
(1)试用。表示AP的长;
(2)求四边形ABCP的面积的最大值,并写出此时夕的值.
18.(12分)某课题组对春晚参加“咻一咻”抢红包活动的同学进行调查,按照使用手机系
统不同(安卓系统和/OS系统)分别随机抽取5名同学进行问卷调查,发现他们咻得红
包总金额数如表所示:
手机系统一二三四五
安卓系统(元)253209
IOS系统(元)431897
(1)如果认为“咻”得红包总金额超过6元为“咻得多”,否则为“咻得少”,请判断手机
系统与咻得红包总金额的多少是否有关?
(2)要从5名使用安卓系统的同学中随机选出2名参加一项活动,以X表示选中的同学中
咻得红包总金额超过6元的人数,求随机变量X的分布列及数学期望E(X).
下面的临界值表供参考:
P(K2..k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001
k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828
独立性检验统计量K2=-----------------------其中〃=o+6+c+d.
(a+b)(c+d)(Q+c)(b+d)
19.(12分)如图所示,平面ABC_L平面BCDE,BC//DE,BC,DE=2,BE=CD=2,
2
ABYBC,M,N分别为DE,AD中点.
(1)证明:平面MNC_L平面BCDE;
(2)若EC1CD,点尸为棱的三等分点(近A),平面PMC与平面ABC所成锐二面角
20.(12分)已知定点M(-点,0),N是圆C:(x-0y+y2=i6(C为圆心)上的动点,MN
的垂直平分线与NC交于点E.
(1)求动点E的轨迹方程G;
(2)直线/与轨迹G交于P,。两点,与抛物线C2:f=4y交于A,5两点,且抛物线C?
在点A,3处的切线垂直相交于S,设点S到直线/的距离为d,试问:是否存在直线/,
使得d=J|A2||PQI?若存在,求直线/的方程;若不存在,请说明理由.
21.(12分)已知/(无)=/(依-1),g(x)=a(尤-1),acR.
(I)讨论/(x)的单调性;
(II)若有且仅有两个整数x,(i=l,2),使得了(占)<g(占)成立,求实数a的取值范围.
[选修4-1:几何证明选讲]
22.(10分)如图,四边形ABCD中,AB^AC=AD,AHLCD于H,BD交AH于P,
且尸C_L3C
(I)求证:A,B,C,尸四点共圆;
(II)若/C4D=生,AB=1,求四边形ABC?的面积.
3
[选修4-4:坐标系与参数方程]
\X=2+ZCOS6Z
23.在直角坐标系xOv中,直线/的参数方程为:厂”为参数,其中。<&<工7r),
[y=V3+tsina2
椭圆M的参数方程为尸=2c。:为为参数),圆。的标准方程为(i)2+丁=1.
[y=sinp
(1)写出椭圆加的普通方程;
(2)若直线/为圆C的切线,且交椭圆M于A,3两点,求弦回的长.
[选修4-5:不等式选讲]
24.已知函数/(x)=|x-2|+|x-a|.
(1)当(7=2时,求不等式了⑺..4的解集;
(2)不等式/(x)<4的解集中的整数有且仅有1,2,3,求实数。的取值范围.
2015-2016学年重庆八中高二(下)期末数学试卷(理科)
参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只
有一项是符合题目要求的.
1.(5分)命题“Vx>0,不等式x-1..伍x成立”的否定为()
A.>0,不等式%-1../%,成立
B.3x0>0,不等式%-1<历与成立
C.V%,0,不等式成立
D.Vx>0,不等式成立
【解答】解:命题为全称命题,
则命题的否定是t:0>0,不等式毛-1〈仇X。成立,
故选:B.
2.(5分)下列函数中,定义在R上的增函数是()
A.y=x--B.y=lg\x\C.y=取D.y=
x
【解答】解:对于A,函数y=的定义域是{x|xw0},不满足题意;
X
对于8,函数y=/g|x|的定义域是{X|XMO},不满足题意;
对于C,函数y=也是定义域R上的增函数,满足题意;
对于。,函数y=77=1x1在定义域R上不是单调函数,不满足题意.
故选:C.
9
3.(5分)若〃=2°$,b=log^3,c=log2sin—,贝!J()
A.a<b<cB.c<a<bC.b<a<cD.c<b<a
【解答】解:,=2。5>2。=1,
0=log〃i<b=log»3<log〃7i=l,
2
c=log2sin—1<log21=0,
:.c<b<a.
故选:D.
4.(5分)已知随机变量X服从正态分布N(3,l),且尸(德*4)=0.6823贝1]尸(>>4)=(
)
A.0.1588B.0.1587C.0.1586D.0.1585
【解答】解:P(W4)=;P(2融:4)=0.3413,
观察上图得,
P(X>4)=0.5一P(W4)=0.5-0.3413=0.1587.
①若"p或4”为假命题,则力,r均为真命题;
②命题“若X..2且y..3,则x+y..5”的逆否命题为假命题;
③在AABC中,“A>45。”是“sinA>遮”的充要条件,
2
其中正确的命题个数是()
A.3B.2C.1D.0
【解答】解:①若"p或q”为假命题,则°,q都是假命题,则刃,人均为真命题;
故①正确,
②命题“若乂.2且y..3,则x+y..5”为真命题,根据逆否命题的真假性相同得命题的逆否
命题为真命题,故②错误;
③在AABC中,若4=150。满足A>45。,但如4=l,则sin4>也不成立,即充分性不成
22
立,故③错误,
故选:C.
6.(5分)数列{〃〃}满足4=1,%=2(a〃_i+a〃_2+…+%)(〃>1),则%=()
A.54B.81C.162D.243
【解答】解:设数列{4}的前〃项和为s“,
4=1,=2(%+an-2+…+%)=25._](〃>1),
%=25,,可得an+x-an=2an,即an+l=3an,
〃=2时,a2=2%=2.
,数列{%}从第二项起为等比数列,公比为3.
牝=x34=2x3,=162.
故选:C.
7.(5分)在利用随机模拟方法估计函数>=炉的图象、直线彳=一1,x=l以及x轴所围成
的图形面积时,做了1000次试验,数出落在该区域中的样本点数为302个,则该区域面
积的近似值为()
A.0.604B.0.698C.0.151D.0.302
【解答】解:设区域面积为X,
由概率的几何概型知,则胆=',
10002
解得彳=0.604.
则该区域面积的近似值为0.604,
故选:A.
8.(5分)设二次函数/(%)=%2一%+〃(]>()),若机)<0,则/1On-l)的值为()
A.正数B.负数
C.非负数D.正数、负数和零都有可能
【解答】解:因为函数/0)=尤2-尤+。3>0)的对称轴为犬=工,
2
又因为a>0,故/对应的大致图象如图:
由f(m)<0=>0<m<l=>m—1<0=>于(m—1)>0.
故选:A.
2
9.(5分)从重量分别为1,2,3,4,10,11克的祛码(每种祛码各一个)中选出若
干个,使其总重量恰为9克的方法总数为7",下列各式的展开式中V的系数为机的选项
是()
A.(1+尤)(1+f)(1+彳3).(1+产)
B.(1+x)(l+2x)(1+3x)...(1+1lx)
C.(1+尤)(1+2尤2)(1+3无3)…(1+11产)
D.(1+无)(1+龙+尤2)(1+x+X?+X,)...(1+龙+尤2+...+无”)
【解答】解:V是由X、/、/、/、/、/、/、胪、肝中的指数和等于9
的那些项的乘积构成,有多少种这样的乘积,就有多少个V.
各个这样的乘积,分别对应从重量1,2,3,...10,11克的祛码(每种祛码各一个)中,
选出若干个表示9克的方法.
故”从重量1,2,3,…10,11克的祛码(每种祛码各一个)中选出若干个.
使其总重量恰为9克的方法总数”,
就是“(1+无)(1+马(1+三)…(1+/)(1+/)”的展开式中炉的系数,,,
故选:A.
10.(5分)函数/(尤)是定义在尺上的偶函数,且/(l-x)=-/(x),当xe[2,3)时,/(尤)=x,
则当xe(—l,0]时,八>)的解析式为()
A.x+4B.x—2C.x+3D.—%+2
【解答】解:/(尤)是定义在A上的偶函数,且/'(1-尤)=-/0),
.-.f(l-x)=-/(x)=/(x-l),
则f(x-2)=-/(x-1)=-(-/(x))=/(%),
则函数/(x)是周期为2的周期函数,
则若xe(-l,0],则-xe[0,1),-x+2e[2,3),
即/(%)=/(-%)=/(-%+2),
当xe[2,3)时,/(%)=x,
.•.当xe(-l,0]时,f(x)=f(-x+2)=-x+2,
故选:D.
11.(5分)设印表示不超过x的最大整数,如国=1,[0.5]=0,已知函数/(x)=四一>0),
若方程/(尤)=0有且仅有3个实根,则实数%的取值范围是()
【解答】解:由/(x)=虫一4=0得虫=左,
若x>0,设g(x)=—,
贝!J当0<%vl,[x]=0,止匕时g(x)=0,
当L,xv2,[x]=1,此时g(x)=L,此时L<g(x),,1,
,x2
22
当2,x<3,[x]=2,此时g(%)=—,此时一vg(x),,1,
x3
当3,,x<4,[幻=3,此时g(%)=',此时
x4
44
当4,,x<5,[x]=4,此时g(%)=—,此时一vg(球,1,
x5
作出函数g(x)的图象,
要使/(X)=支—4有且仅有三个零点,
即函数g(x)=k有且仅有三个零点,
24
则由图象可叫女丁
故选:C.
12.(5分)已知关于x的方程£一2a/nx-2以=0有唯一解,则实数a的值为()
A.1B.-C.-D.-
234
【解答】解:由选项知。>0,
设g(x)=/一2alnx-2ax,(%>0),
若方程炉-2a/nx-2ax=0有唯一解,
即g(%)=。有唯一解,
贝Ug\x)=2x---2a=2(♦-内-a),
XX
令g'(x)=0,可得x2—依―a=0,
„ca+yja1+4a„+目4■土、
a>0,x>0,x.=-----------(另一■根舍去),
2
当xw(0,%)时,g'(x)<0,g(x)在。再)上是单调递减函数;
当xe(X[,+00)时,g'(x)>0,g(x)在(占,+CO)上是单调递增函数,
.,.当x=x,时,g'(xl)=0,g(x),痴=g(药),
g(x)=0有唯一解,
,8(西)=0,
g(占)=。
g'G)=o
Xy-2alnx{-2ax1=0
2,
xx-ax{-a=Q
2alnx{+ax1—a=0
a>0,
21nxi+%—1=0,
设函数/z(X)=2/nx+%-l,
%>0时,//(%)是增函数,
/z(%)=0至多有一解,
h(1)=0,
方程2阮V]+芯一1=0的角军为玉=1,
.•.当a>0,方程/(%)=2依有唯一解时a的值为g.
故选:B.
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.(5分)集合A=[xeR[^1,,0,,B={xeR|—2/+7x+4>0},贝UAB=_(-l,4)_.
【解答】解:由A中不等式变形得:(x-2)(x+l),,0,且x+lwO,
解得:-l<x,,2,即4=(-1,2],
由5中不等式变形得:2/一7x一4<0,即(2x+l)(x-4)<0,
解得:一!<彳<4,BPB,4),
22
贝|A8=(-1,4),
故答案为:(-1,4).
14.(5分)某微信群中有甲、乙、丙、丁、戊五个人玩抢红包游戏,现有4个红包,每人
最多抢一个,且红包全部抢完,4个红包中有两个2元,1个3元,1个4元(红包中金
额相同视为相同红包),则甲、乙都抢到红包的情况有36种.(用数字作答)
【解答】解:若甲乙抢的是一个2元和一个3元的,剩下2个红包,被剩下的3人中的2
个人抢走,有ME=12种,
若甲乙抢的是一个2和一个4元的,剩下2个红包,被剩下的3人中的2个人抢走,有
&&=12种,
若甲乙抢的是一个3和一个4元的,剩下2个红包,被剩下的3人中的2个人抢走,有&C;=6
种,
若甲乙抢的是两个2元,剩下2个红包,被剩下的3人中的2个人抢走,有耳=6种,
根据分类计数原理可得,共有36种,
故答案为:36.
15.(5分)设曲线y=e口在点(0,1)处的切线与直线x+2y+l=0垂直,则。=2.
【解答】解:>=6口
曲线y=e"在点(0,1)处的切线方程是y-l=“(x-0),即6-y+l=0
直线ar-y+l=0与直线x+2y+l=0垂直
—a——1,即a=2.
2
故答案为:2
16.(5分)已知/(X),g(尤)都是定义在R上的函数,并满足:
(1)f(x)=2axg(x),(a>0,a1);
(2)g(x)w0;
/wa)<ra)g(x)且瑞+得
(3)=5,则a=2
【解答】解:由(1)、(2)得,皿=2",
g(x)
因为&+^^=5,所以2。+2。7=5,解得。或a=2,
g⑴g(T)2
由/(尤)g,(x)〈r(x)g(x),得[笔,>0,
g(x)
所以幺砂单调递增,故
g(尤)
所以o=2,
故答案为:2.
三、解答题(本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.(12分)如图,点尸在AABC内,AB=CP=2,BC=3,NP+NB=TT,记NB=(Z.
(1)试用夕表示AP的长;
(2)求四边形ABCP的面积的最大值,并写出此时"的值.
【解答】解:(1)AA2C与WC中,AB=CP=2,BC=3,ZB=a,ZP=7r-a,
由余弦定理得,AC2=22+32-2X2X3COS6Z,①
AC2=AP2+22-2xAPx2cos(^--a),②
由①②得:AP2+4APcos«+12costz-9=0,ae(0,,
解得:AP=3—4cos<z;
(2)AP=3-4cosa>ae(0,Tt),
=-x2x3sin(z--x2xAPsin(7r—cr)
22
=3sina—(3—4cosa)sina
=4sinacosa=2sin2a,aG(0,71),
则当a=生时,Smai=2.
VTICIA
18.(12分)某课题组对春晚参加“咻一咻”抢红包活动的同学进行调查,按照使用手机系
统不同(安卓系统和/os系统)分别随机抽取5名同学进行问卷调查,发现他们咻得红
包总金额数如表所示:
手机系统一二三四五
安卓系统(元)253209
/OS系统(元)431897
(1)如果认为“咻”得红包总金额超过6元为“咻得多”,否则为“咻得少”,请判断手机
系统与咻得红包总金额的多少是否有关?
(2)要从5名使用安卓系统的同学中随机选出2名参加一项活动,以X表示选中的同学中
咻得红包总金额超过6元的人数,求随机变量X的分布列及数学期望E(X).
下面的临界值表供参考:
P(K2..k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001
k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828
独立性检验统计量K2=---------一姐2-----------,其中〃=a+6+c+d.
(Q+b)(c+d)(Q+c)(Z?+d)
【解答】解:(1)根据题意列出2x2列联表如下:
咻得多少咻得少咻得多合计
手机系统
安卓325
IOS235
合计5510
片』"一2X2)Z4<2706,
5x5x5x5
所以没有足够的理由认为手机系统与咻得红包总金额的多少有关.(6分)
(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,
2
P(X=O)TC=33
C;10
CKi3
Cj5
C21
p(X=D=T=—(9分)
故X的分布列为:
X012
P331
W510
331
...数学期望E(X),E(X)=0x—+lx-+2x—=0.8.(12
10510
分)
19.(12分)如图所示,平面ABC_L平面3CDE,BC//DE,BC=-DE=2,BE=CD=2,
2
AB±BC,M,N分别为DE,AD中点.
(1)证明:平面MNC_L平面3CDE;
(2)若£C_LCD,点P为棱曲的三等分点(近A),平面与平面ABC所成锐二面角
【解答】证明:(1)连结ON,
由题意四边形是菱形,是80中点,
N是中点,:.ON//AB,
ABLBC,平面ABC_L平面3CDE,.•.AB_L平面3CDE,
.1ON_L平面3CDE,
ONu平面ACVC,平面ACVC_L平面BCDE.
解:(2)以C为原点,CE为x轴,CD为y轴,过C作平面3cDE的垂线为z轴,建立空
间直角坐标系,
设A(岔,-1,f),。>0)由题意。(0,2,0),尸(苧,。,1),EQ币,0,0),
0(0,2,0),M(后1,0),B(区-1,0),C(0,0,0),
CP=(竿,0,争,CM=(后1,0),CB=(6-1,0),CA=(y/3,-l,t),
设平面尸MC的法向量机=(%,y,z),
.mCP=^^-x+—z=0厂/厂3
则<33,取x=百,得加=(m,—3,——),
mCM=y/3x+y=0
设平面ABC的法向量〃=(a,b,c),
则4,取Q=y/3,得几=(v3,3,0),
nCA=y[3a-b+tc=O
平面PMC与平面ABC所成锐二面角的余弦值为叵,
13
..\mn\I-6|739
cos<m,n>=------解得t-3.
\m\\n\13
.•.棱AB的长度为3.
20.(12分)已知定点M(-正,0),N是圆C:(x-0>+y2=i6(C为圆心)上的动点,MN
的垂直平分线与NC交于点E.
(1)求动点E的轨迹方程C1;
(2)直线/与轨迹G交于尸,。两点,与抛物线C2:f=4y交于A,3两点,且抛物线C?
在点A,3处的切线垂直相交于S,设点S到直线/的距离为d,试问:是否存在直线上
使得d=J|AB||PQ|?若存在,求直线/的方程;若不存在,请说明理由.
【解答】解:(1)依题意有:|EM|+|EC|=|EN|+|EC|=|NC|=4,故动点E的轨迹为以
C为焦点,长轴为4的椭圆.
22
于是:a=2,c=^/2,从而b=故动点石的轨迹方程G为:—+—=1-
42
(2)设直线/:y=Ax+m,,%),B(X2,%),尸(七,为)。(/,%),由12yl,
2
得:x—4Ax-4m=0,^xl+x2=4kfjqx2=-Am.
由f=4y得:y=%2,即切线斜率左=y,=^.
于是:kpA=],kpB=5,
由PA_LPB得;kpAkpB=—x—=——fYi=—1,
PAPB22"42
解得:m=l,
Mx.2
y='x——-
这说明直线/过抛物线C?的焦点尸,由.24,
X,X:
》=^±^=2左,'=±2%_二=2_4=^±^芯_日=必=_1即5(2匕_1).
224142744
于是:点S(2匕-1)到直线/:依-y+1=0的距离d=冬==2717。,
^y/1+k2
由([=":1得:(1+2廿)/+4代一2=0,
[x+2y=4
从而附uk叵三尸巨一行国巨,
2
1+2左2l+2k
同理:|A8|=4(l+r),
22
由d=^\AB\\PQ\得2j(l+2〃2)=4(1+k)(1+k)加+丫),
Y1+2k
化简整理,得:28/+36后2+7=0,此方程无解,
所以不存在直线人使得d=J|A8||/。|.
21.(12分)已知/(尤)=6工(依-1),g(x)=a(尤-1),awR.
(I)讨论/(x)的单调性;
(II)若有且仅有两个整数无,(i=1,2),使得了(占)<g(占)成立,求实数a的取值范围.
【解答】解:(I)因r(x)=e'3+a-l).…(1分)
所以,当a=0时,/0)<0在R上恒成立,
即/(x)在(TO,y)上单调递减;…(2分)
当a>0时,/(彳)>0的解为
即/(x)在(2-1,+00)上单调递增,在(-00」-1)上单调递减;…(4分)
aa
当a<0时,/(*)>0的角军为[无|彳<!一1],
即〃x)在(-00--1)上单调递增,在d-l,+oo)上单调递减.…(6分)
aa
(II)法一:当a=0时,f(x)=-ex,g(x)=0,
此时f(x)<g(x)的解集为R,所以此情况舍去;…(7分)
当avO时,/(0)=—lvg(O)=—a,f(1)=e(a-I)<g(1)=0,f(2)=e2(2a-l)<g
(2)=a.
可见了a)vga)的解集不仅仅两个整数解,此情况舍去;…(8分)
当a>。时,
由(I)可知/(X)的极值点为L-1,
a
1i
又f(0)=—1,g(1)=0,/(——l)=ea(-a),而且,f(x)仅有一个零点—.
aa
若0<1,,1,即a..1时,
a
由(I)知/(%)的单调性,以及/4-1)=€工(一々)<0,
a
有了(X)与g(x)的草图如下:
a
所以在(-8,-1]上/(%)单调递减,g(%)单调递增,
所以=/(-I)=--•g(x)2=g(-l)=-2t?,
e
所以在(-00,-1]上/(x)>g(x)恒成立.
X/(0)=-1>g(0)=-a,在兀£口,+8)上,又所以,ex>1,ax-1..0,
所以/(x)=ex(ax-1)>ax-1=a(x-1)+〃一1..a(x-1)=g(x)
所以在时,在R上没有使得了(%)<g(x)的整数解存在;…(10分)
而由上知在(-oo,-l)上/(x)>g(N)恒成立,
/一
下证明在xc[2,+8)上,一-——,,〃<1时,/(x)..g(x)恒成立,
2e-1
令函数/z(%)=/(%)-g(x),xe[2,+8),则//(%)=e"(QX—l+〃)一〃,
、e21
因为%6[2,+oo),--——„a<1,所以依-1+a..;-——+〃>0,
2e2-l2e2-l
月f以cx{cix—1+ci)—a..f(----Fci)—a>—----Fci—ci——--->0,
2e—12e—12e—1
即/(x)>0在%w[2,+oo)上恒成立,
所以函数■%)在[2,+00)上单调递增,所以/?(%)../?(2)=(2e2-l)a-e2..O
2
所以在%w[2,+00)上,一-——,,Q<1时,/(%)..g(%)恒成立.
2e-1
2
综上:—:—„a<l....(12分)
2e2-l
法二:若有且仅有两个整数%(i=1,2),使得/5)<g@)成立,
则a{xex-x+l)</有两个整数解.
因为y=x(e'-l)+l,当x>0时,ex-l>0,x(e'-l)+l>0;
当x<0时,ex-l<0,x(ex-l)+l>0,
所以,a<—-——有两个整数解…(8分)
xe-x+\
ex(2-x-ex)
设g(x)=K7T则g'(x)=
x
(xe—x+1)2
h(x)=2-x—ex,则〃(%)=-l-e”<0,
又/z(0)=l>0,h((1)=1—evO,
所以现£(0,1),使得已/o)=。,
在(-8,%0)为增函数,在(飞,+8)为减函数,
—有两个整数解的充要条件是:
xe-x+1
a<g(0)=1
a<g(l)=1
,g0)=&
[选修4-1:几何证明选讲]
22.(10分)如图,四边形ABCD中,AB^AC=AD,AH_LCD于H,BD交AH于P,
且尸C_L3C
(I)求证:A,B,C,P四点共圆;
(II)若NC4D=生,AB=1,求四边形ABCP的面积.
3
【解答】证明:(I)AC=AD,AHLCD,:.ZCAD=ZDAP,
从而AACP三AADP,得NACP=NADP.
又AB=AD,故/4DP=NABP,
从而NABPnNACP,可知A,B,C,P四点共圆;
(II)由AC=AT),ZCAD=~,从而AACD是边长为1的等边三角形,
3
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