湘教版高中数学选择性必修第一册第2章平面解析几何初步2-2直线的方程课件

2.2直线的方程1|

直线的方程形式与适用条件名称点斜式斜截式两点式截距式方程一般式方程形式y-y0=k(x-x0)y=kx+b(y2-y1)(x-x1)-

(x2-x1)·(y-y1)=

0

=

(x2≠x1且y2≠y1)

+

=1(ab≠0)Ax+By+C=0

(A,B不同时

为0)已知条件直线上一定

点(x0,y0),斜

率k

斜率k,直线在y轴上的截距b直线上两点(x1,y1),(x2,y2)直线在x轴上的非零截距a,直线在y轴上的非零

截距b系数A,B,C适用范围不垂直于x轴的直线不垂直于x

轴的直线过任意两点

的直线不平行于x

轴和y轴的

直线不平行于x

轴和y轴,且

不过原点的

直线任何位置的

直线1.与直线平行、垂直的非零向量分别称为该直线的方向向量、法向量,直线的方

向向量和法向量不唯一.2.斜率为k的直线的方向向量为(1,k)的非零实数倍,直线Ax+By+C=0的法向量可取

(A,B).2

|

直线的方向向量、法向量1.方程k=

与y-y0=k(x-x0)表示的意义相同吗?不相同.方程k=

表示的图形中不含点(x0,y0).2.直线y-3=k(x+1)是否恒过定点?是.恒过定点(-1,3).3.直线l在y轴上的截距是直线l与y轴交点到原点的距离吗?不是.直线l在y轴上的截距是直线l与y轴交点的纵坐标,而不是距离.4.直线y=kx+b一定是一次函数y=kx+b的图象吗?不一定.当k≠0时,y=kx+b为一次函数;当k=0时,y=b,不是一次函数,所以只有直线

方程y=kx+b中的k≠0时,该直线才是一次函数的图象.知识辨析5.直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程在任何情况下都可以与一般式方程进行互化吗?不是.直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程均可以化为一般式方程,但

一般式方程转化为其他形式时,必须要在适用范围内.直线方程的几种常见设法(1)若已知一点的坐标,则一般选用点斜式,再由其他条件确定直线的斜率.(2)若已知直线的斜率,则一般选用斜截式,再由其他条件确定直线在y轴上的截距.(3)若已知两点坐标,则一般选用两点式或点斜式,当两点是直线与坐标轴的交点

时,选用直线的截距式方程.无论选用怎样的直线方程,都要注意各自方程的适用范围,对特殊情况下的

直线要单独讨论.1直线方程的选择和求解

典例写出满足下列条件的直线的方程:(1)经过点(2,-3),倾斜角是直线y=

x的倾斜角的2倍;(2)经过点(5,-2),且与y轴平行;(3)过P(-2,3),Q(5,-4)两点;(4)过点A(3,4),且在两坐标轴上的截距互为相反数.解析

(1)∵直线y=

x的斜率为

,∴直线y=

x的倾斜角为30°,∴所求直线的倾斜角为60°,∴所求直线的斜率为

.∴所求直线方程为y+3=

(x-2),即

x-y-2

-3=0.(2)与y轴平行的直线,其斜率不存在,但直线上点的横坐标均为5,故直线方程为x=

5.(3)解法一:所求直线方程为

=

,整理得x+y-1=0.解法二:kPQ=

=

=-1.∵直线过点P(-2,3),∴所求直线方程为y-3=-(x+2),即x+y-1=0.(4)①当直线在两坐标轴上的截距互为相反数且不为0时,可设直线方程为

+

=1.又直线过点A(3,4),所以

+

=1,解得a=-1.所以直线方程为

+

=1,即x-y+1=0.②当直线在两坐标轴上的截距互为相反数且为0,即直线过原点时,设直线方程为

y=kx,因为直线过点(3,4),所以4=k·3,解得k=

,所以直线方程为y=

x,即4x-3y=0.综上,直线方程为x-y+1=0或4x-3y=0.易错警示

若题目中出现直线在两坐标轴上的“截距相等”“截距互为相反

数”“在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上截距的m(m>0)倍”等条件时,可采用

直线的截距式方程,但一定要注意考虑截距为0的情况.1.对于含参数的直线方程,可将方程整理成点斜式或斜截式,利用系数的几何意

义,结合图形探求和证明过定点问题.2.根据斜截式中k,b的几何意义,可确定对应函数的大致图象.2如何利用直线方程中系数的几何意义解决相关问题

典例已知直线l:5ax-5y-a+3=0.(1)求证:无论a为何值,直线l总经过第一象限;(2)为使直线l不经过第二象限,求a的取值范围.解析

(1)证明:将直线l的方程整理为y-

=a

,∴直线l的斜率为a,且过定点

,设为A,又点A在第一象限,∴无论a为何值,直线l总经过第一象限.(2)由(1),知k