第6章平面向量及其应用 滚动练习1-人教A版（2019）高中数学必修第二册（含解析）

2020-2021学年高一数学人教A版(2019)必修第二册

第六章滚动练习1

学校:姓名：班级：学号：

一.选择题

1.已知M(3,—2),N(—5,—1)且丽=|而，则点P的坐标为()

A.(-8,1)B.(1,|)C.D.(8,-1)

2.已知点4(1,3),B(-2,7),则与向量荏方向相反的单位向量是()

A.©一|)B.(3,-4)C.(-|)|)D.(|,-3

3.已知五，另是单位向量，且五+3=(a,—1),则—1|=()

A.1B.V2C.V3D.2

4.若五=(x,2),3=(—3,5),且N与3的夹角是钝角，则实数x的取值范围是()

A.(-8与B.(—8日C.揩,+8)D.冷+8)

5.已知平面直角坐标系内的两个向量五=(1,2),3=(巾,3小一2)，且平面内的任一向

量不都可以唯一的表示成不=21+(儿〃为实数)，则根的取值范围是()

A.(-00,2)B.(2,+oo)

C.(-CO,+CO)D.(—00,2)U(2,+00)

6.点2(3,0)、B(0,3)、(<>.->(i.sinn)、0(0,0),若|初+沆|=g,ae(0,7T),则

方，灰的夹角为()

A71

B.7D-

A・24c.i

7.已知向量优加满足五4=0,I初=\b\=24，若te[0,1],则花(石一瓦)+初+

1(1—t)(a—b)+|的最小值为()

A.2V193B.24V2C.24D.26

c

8.如图，在圆O中，若弦AB=3,弦AC=5,则正•前的值等于()

AT…(A

C.lD.8

9.下列说法正确的是()B

A.若非零向量(盆+备)•瓦：=0,且磊•£=抑的BC为等边三角形

B.已知力＜=落南=瓦芯=冷前=Z,且四边形ABC。为平行四边形，则五+

b—c—d=0;

C.已知正三角形ABC的边长为2b，圆。是该三角形的内切圆，尸是圆o上的任

意一点，则pa.PB的最大值为1；

D.已知向量证=(2,0),沆;=(2,2),方=(&cosa,asina),则瓦5与南夹角的

范围是内朗

10.在△ABC中，G是△ABC的重心，边AB,AC的长分别为2,1,ABAC=60。，则前.前=

()

A.--B.--C.2D.-X

9999

在△中，尸为线段上的动点，

11.ABCAB-AC=9,sinB=cosAsinC,SAABC=6,A5

且无=x,符+y谶，贝的最小值为()

A.2+理B.1+组C.\D.5

63123612

12.如图，正方形ABCD的中心与圆。的圆心重合，P是圆。上的动点，则下列叙述

不正确的是()

A.PA-PC+PB­而是定值.

B.PA-PB+PB-PC+PC-PD+PD-同是定值.

C.|西|+|两|+|正|+|4|是定值.

D.与2+而2+京2+而2是定值.

13.(多选题)在平面直角坐标系中，已知三点4(a,2),B(3,b),C(2,3),O为坐标原点.若

向量南1万，则。2+62的取值可能是()

A.YB.YC.12D.18

二.填空题

14.已知向量五=(2,—3),b=(1,2),p=(9,4)，若方=小。+几3,则m+几=.

15.如图，半径为1的扇形AOB的圆心角为120。，点C在六上，S.^COB=30%若

OC=AOA+^OB,则；1+〃=.

c

o

16.在A4BC中，已知而=2而，尸为线段上的一点，且满足墨=：无+加而,

若AABC的面积为2b，^ACB=p则|而|的最小值为.

17.在矩形ABCD中，AB=1,BC=2,P是线段AD（包括端点）上的动点，则前•标的

取值范围是.

18.设区石是两个不共线的非零向量，若向量kN+21与81+卜］的方向相反，则

k=；若方向相同，则/c=.

三.解答题

19.如图，4(0,5),0(0,0),8(4,3),OC=^OA,OD=

AD与BC相交于点求点M的坐标.

20.已知点。为AABC所在平面内一点，且南+2南+3近=1则下列选项正确的

是

A.AO=-AB+-AC

24

B.直线AO必过BC边的中点

CS“OB-SMOC=3-2

D.|0B|=|0C|=1,且而_LU?,则=V13

21.如图，在AaBC中，已知C4=l,CB=2,^ACB=60°.

(1)求|力I；

(2)已知点£)是A3上一点，满足同=AAB,点£1是边CB上一点，满足丽=ABC.

①当4=1时,^AE-CD；

②是否存在非零实数九使得荏，而？若存在，求出4的值；若不存在，请说明理

由.

22.在直角梯形ABCD中，已知AB〃CD,^DAB=90°,AB=6,AD=CD=3,对

角线AC交BO于点O,点M在AB上，且。ML80.

(1)求前•前的值；

(2)若N为线段AC上任意一点，求丽•初7的取值范围.

答案和解析

一.选择题

1.【答案】C

【解析】

【分析】本题考查了平面向量的坐标运算，设PQ,y),得出凝和丽的坐标，得出方程

组，解出即可.

【解答】

解：设P(x,y),则丽=(x—3,y+2).

又而=(-8,1),故由而=|而,得0-3/+2)=*-8,1),

(x—3=-4,3

•••\n1.*.%=—1,7y=—2.

3+2=5，

2.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查了单位向量、相反向量，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

与向量而方向相反的单位向量是一篇，即可得出.

【解答】

解：与向量四方向相反的单位向量是—=-旅|分/=(|,一(),

故选：D.

3.【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查了单位向量的定义，向量数量积的运算及计算公式，向量长度的求法，考查了

计算能力，属于基础题.

根据条件进行数量积的运算即可求出本3=也从而得出|五-3|=1.

【解答】

解：「I司=|||=1万+7=(短,一1),

\a+b\=(a+b)2=Ja2+2a-b+b2=^2+2a-b=VT+T=V3>

1

a-b=

2

\a-b\=J(a-K)2=Ja2-2a-b+K=V2^I=1-

故选A.

4.【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查向量的数量积的应用，向量的坐标运算，考查计算能力，属于基础题.

若反与3夹角为钝角，则向量的数量积小于0且两个向量不共线，求出X的范围即可.

【解答】

解:因为N=(x,2),3=(—3,5),且五与石夹角为钝角，

所以屋方=—3%+10<0,且为与另不共线，解得%>三且％大—!

则实数x的取值范围是(g,+8).

故选C.

5.【答案】D

【解析】解：根据题意，向量息另是不共线的向量

"a=(1,2),b=(m,3m—2)

由向量五、后不共线oF力也产

解之得m*2

所以实数m的取值范围是{小阿eR且zn丰2}.

故选：D.

平面向量基本定理：若平面内两个向量优了不共线，则平面内的任一向量H都可以用向

量方、石来线性表示，即存在唯一的实数对不it,使m=23+43成立.根据此理论，结

合已知条件，只需向量五、3不共线即可，因此不难求出实数机的取值范围.

本题考查了平面向量坐标表示的应用，着重考查了平面向量基本定理、向量共线的充要

条件等知识点，属于基础题.

6.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查向量的坐标运算、数量积以及向量夹角，属于基础题.

利用向量坐标形式进行运算求出C点坐标，然后求出南,小的夹角的余弦值，最后结

合夹角的范围求出夹角的大小.

【解答】

解：•・,A(3,0),Ccosn.sinc),0(0,0),

/.?5-3+OC=(3+co6c.siim),\0A+Uc|=J(3+cosa)2+sin2a=V10+6cosa=

V13,

1

ccwn=,),

■:aE(0,兀),

,,a，即呜抒

加,灵夹角余弦值为晅丝=遥=包

\OB\\OC\3X12

•.•布，品夹角范围为［0,兀］,

南,无夹角为质.

故选D

7.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查平面向量运算以及向量共线，模，数量积的意义，考查坐标法思想的应用，考

查点关于直线的对称点的求法，考查创新意识，考查运算能力，属于难题.

根据已知条件的特征,可考虑利用坐标法来处理,建立平面直角坐标系，在坐标平面上，

找出与可以及得3+(1—t)@—另)对应的向量，将问题等价转换成在直线(线段)

上找一点，使得它到直线外两定点的距离之和最小问题.然后根据平面解析几何的基础

知识容易解决问题.

【解答】

解：在如图所示的平面直角坐标系中，2(24,0),8(0,24),C(0,14),

记方=0A=(24,0)>b=OB=(0,24)>—b=CB=(0,10).

设俞=武3_五)，则的=(1_。0_方)，te[0,1],

OM=a+t{b—a),CM=+(1-t)0-b),

\t(b-a)+a\+|(l-t)(a-K)+^K|=\OM\+\CM\.

.响题等价于当点加在线段AB：y=f+24上运动时，求|而I+的最小值.

易知点C(0,14)关于直线AB：y=-x+24的对称点D的坐标为(10,24),

•­•\OM\+\CM\=\OM\+\DM\》[OD\=J(10—0)2+(24—0)2=26,

当且仅当M成为直线OD与线段AB的交点N(詈，等)时取得最小值.

这时由祠=前=(—詈，瑞)=t(—24,24),知"H，符合条件.

故答案为：D.

8.【答案】D

【解析】

【分析】本题考查平面向量的数量积，取芯中点连接OD,AD,则诟•品=0,

然后得出而=同-诟，AD=^(AB+AC),然后由平面向量的数量积公式进行计算

即可求解.

【解答】

解：取近中点。，连接OD,AD,

则说•BC=0且4+OD^AD,即而=AD-OD,

而而=式存+而)，

—,>>>>>>>>>*|------>>...一»-->1-->2

所以4。,BC=AD•BC—OD•BC=AD•BC=-{AB+AC)-{AC-AB)=一

___>21

AB)=j(52-32)=8.

故选。.

9.【答案】AC

【解析】

【分析】

本题考查向量的坐标运算及向量的数量积与夹角，属于较难题目.

本题应采用向量的坐标运算、向量的数量积与夹角及数形结合的知识来解题，对每一项

进行具体分析即可.

【解答】

4因为黑为与南同向的单位向量，

\AB\

备为与正同向的单位向量，

因为+慨1）表示向量四，前角平分线所在的向量，

根据+看）.BC=O,知向量荏，前角平分线所在的向量垂直于品，所以为等

腰三角形.

根据黑.M=3知荏，刀的夹角为60°，所以是等边三角形•

故A正确

B:因为在平行四边形ABCD中

OA=a>OB=b，OC=c,OD=d，

所以a+b-c~~d=a+b—（c+d）=2（04+OB）丰0

故3错误

C:在正三角形ABC中，内切圆半径

r=1.^.2V3=1,AO=BO=2,^AOB=120°,

32

乙POD=0（0e[0/TT]）,

~PA-~PB=（PO+OA）（PO+OB）

=PO2+（OA+OB）PO+OA-OB

=OP2+2OD-PO+OAOB

=OP2-2OD-OP+OA-OB

=1+2cos0+4cosl20°

=2cos0—1,

(PA-丽)max=1)故答案为L

故c正确

D：建立如下图所示的直角坐标系.

因为次=(2,2),0B=(2,0),CA=(&cosa,asina),

所以点A的轨迹是以C(2,2)为圆心，鱼为半径的圆.

过原点。作此圆的切线，切点分别为N,连接CM,CN,

如图所示，则向量61与砺的夹角范围是NMOB<(OA,OB)<乙NOB.

v|OC|=2V2，-.\CM\=\CN\=l\OC\,知/COM="ON=/

但NCOB=J.

；.4MOBz_NOB=—,(OA.OB)<—.

121212'z12

故D错误

故选AC

10.【答案】A

【解析】

【试题解析】

【分析】

本题考查两个向量的数量积的运算，三角形的重心的性质，属于中档题.

在△ABC中，由余弦定理可得BC=V5,可得△ABC为直角三角形，可得8=30。.建立

平面直角坐标系，求得A、B、C的坐标，再求出重心G的坐标，可得正，前的坐标,

从而求得万•面的值.

【解答】

解：•.•在AABC中，AB=2,AC=1,ABAC(ill

.•.由余弦定理可得BC2=4B2+AC2-2AB-AC-cosA

=4+1-4OJ«600=3

BC=V3,

AC2+BC2=AB2,

••・C=90°,

・•・B=30°,

以CA所在的直线为x轴，以CB所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，

则C(0,0)、4(1,0),B(。诋,

故△48C的重心G(t号，

二布=(/务前=Q符》

――,2V31-2V3

AG-BG=---)

-21-68

=---1---=----,

999

故选A.

11.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查向量的数量积，三角形面积公式，考查正弦定理、余弦定理的应用，考查利用

基本不等式求最值，属于难题.

依题意，求得c=5,b=3,a=4,得出CP=|-CX+^-CB,可得:+(=l,(x>0,y>

0),根据基本不等式求最值即可.

【解答】

解：由题意，设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,

由丽•前=9,得bccosA=9,

又S&ABC=6,得bcsinA=12,

可得tan力=

根据同角三角函数的基本关系得，sin^=|,cosi4=I，

由sinB=cos/sinC,根据正弦定理得b=-c,

9

又从='=15,

cos-4

解得c=5,b=3,

所以a=yjb2+c2—2bccosA=4,

因为方="筒+、•赢，

所以方=:•瓦+(•通，

又A,B,P三点共线，且尸为线段AB上的动点,

所以：+：=1，(%>0,y>0),

所以打；=G+；)G+9

7xy

=---1----1---

123y4x

”+2尸=7,

12J3y4x123

当且仅当成=E，即y=8百—12,x=12—6百时，等号成立,

所以;+§的最小值为Z+如，

xy123

故选艮

12.【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查平面向量的数量积运算，平面向量的模，平面向量的坐标运算以及平面向量的

几何应用，属于较难题.

建立合理的坐标系，得出各点的坐标，利用平面向量的坐标运算分析选项即可.

【解答】

解：由题意，以点。为原点，AD的垂直平分线为x轴，A3的垂直平分线为了轴建立直

角坐标系，如图所示：

不妨记正方形边长为2,即4(1,1),8(—1,1),C(-l,-l),

令圆。的半径为a(a＞鱼)，点尸的坐标为(X,y),则有/+y2=a2.

则有P4=(%—l,y—1),PB=Q+l,y—1),PC=(%+l,y+1),PD=(x—l,y+1).

对于A选项:同•PC+JB-PD=2(x-1)(%+1)+2(y-l)(y+1)=2a2-4是定值，

故A正确；

对于B选项：PA-PB+PB-PC+PC-TD+PD-PA

=(X-l)(x+1)+(y-l)2+(%+l)2+(y-l)(y+1)

+(尤—1)(%+1)+(y+l)2+(x-l)2+(y—l)(y+1)=4a2为定值,故B正确；

对于C选项，令a=5,W(O,5)0t,\'PA\+\PB\+\PC\+\PD\=2V17+2737;

再取P(3,4)时，|同|+|而|+|正|+|而|=V13+5+V41+V29-

显然I与I+I而I+I定I+I而I不是定值，故C错误；

对于。选项:同2+两2+正2+而2=2["_1)2+(%+1)2+(y-1)2+(y+1)2]=

4a2+8是定值，故。正确；

故选C.

13.【答案】BCD

【解析】

【分析】

本题主要考查平面向量的坐标表示和坐标运算，以及向量垂直的判断与应用，属于基础

题.

首先根据A,B,C三点表达出南，AC,再根据向量垂直数量积为零得出a,b的关系式,

并代入。2+人2,利用配方求出其范围，即可得出选项.

【解答】

解：题意得加=(3,b),XC=(2-a,1),

,•响量方五LN，

•••OB-AC=3(2—a)+b=O,

•••b=3a—6,

口2—10a2—36a+36=10(a——+三)

当且仅当a=［时，取等号.

故选BCD.

14.【答案】7

【解析】

【分析】本题考查向量的坐标运算，向量相等条件的应用，考查计算能力，属于基础题.

直接利用向量的坐标运算，求解即可.

【解答】

解：•・•a=(2,-3),b=(1,2)，

ma+nb=m(2,—3)+n(l,2)=(2m+n,—3m+2九).

i^p=ma+nb，得匕黑';必解得｛:m=2,

n=5.

故m+n=7.

15.【答案】V3

【解析】

【分析】

本题主要考查了向量的坐标运算和相等向量的定义.建立平面直角坐标系，利用向量相

等的条件求出尢〃的值，进而求解.

【解答】

解：以。为原点，以质为x轴的正方向建立如图所示的平面直角坐标系,

•・•(BOC=30°,OC=1,

・"(羽，

•・•乙AOB=120°,OA=1,

5(/务

OC=XOA+OB?

"(T(l)=Z(_PT)+/Z(1-O),

..吴+广与

l22

(”隹

则2V3-

I2V3

•■•A+jU=V3-

故答案为次.

16.【答案】2

【解析】

【分析】

本题主要考查平面向量的基本定理，向量的数量积，向量的模，向量的加法，三角形的

面积公式，利用基本不等式求最值，综合性强，有一定难度.

根据题意用ZT、板表示出声，通过对应系数相等求出m,利用三角形的面积公式,

利用基本不等式即可求出最终答案.

【解答】

解：设存=x而,

因为而=2而，所以而=|通，

根据题意得，~CP^~CA+AP

=CA+xAD=CA+久（AC+CD）

又因为丽=|CX+mCB,

（1—x=-（x=-

所以k2,解得1a1，

I—=mIm=-

又因为区口=：甲卜四"n60P=26，解得|可|函=8,

所以不入加：西卜点/仪）1，

所以|方匚Ji|CX|2+|cX-CB+i|CB|2

N4+2X[函周函=2,

当且仅当|国=子,|函=2百时等号成立.

故答案为2.

17.【答案】[0,1]

【解析】

【分析】

本题主要考查平面向量的几何应用，考查向量的数量积，平面向量加法运算，二次函数

的性质，属于中档题.

作图，设。P=x,则4P=2—x.即可得到丽•丽=（瓦？+而）.（次+丽）

=BA-CD+AP-OP=1X1XcosO°+（2-x）XxXcosl800=（x—l）2,再根据

XG[0,2],即可得到（工一1）2e[0,1],进而得解.

【解答】

解：如下图所示：设。p=%,则ap=2—x.

~BP-~CP=(BA+AP)•(CD+DP)=~BA-CD+~BA-~DP+AP-~CD+AP-~DP

=BA-CD+AP-DP=1X1XcosO°+(2-x)X%Xcosl80"

=1+(%—2)xx=(x—1)2,

因为久e[0,2],所以(x-1)2e[0,1].

故前•方的取值范围是[0,1].

18.【答案】—4；4

【解析】

【分析】

本题考查向量共线的条件，属于基础题.

根据共线向量的充要条件求解即可.

【解答】

解：,响量,+2征与83+〃的方向相反，

kN+23=4.(83+k石)=£二2'解得卜=±%

当方向相反时，有卜＜0取k=-4；

同理，方向相同时，k=4.

19.【答案】解：OC=^OA=

・"(2,J

设M(x,y),则俞=(x,y_5),15=(2-0,|-5)=(2,-0.

■■-AM//AD,

1%—2(y—5)=0,即7x+4y=20.①

又•.•丽=(x,y_£),CB=(4,0,且由〃下，

二彳%—4(y—I)=0,即7%一16y=-20.②

联立①②，解得x=£,y=2,

.••点M的坐标为仔,2).

【解析】本题考查平面向量的坐标运算以及平面向量共线的充要条件，属于基础题,

首先求得C、方的坐标，再设M(x,y),

得到宿和前的坐标。再由•标//AD，得到7久+4y=20,

由屈=1,丫-3,CB=(4,^),以及丽〃而，求得7%-16y=-20,

从而得到无，y,从而得到M的坐标.

20.【答案】ACD

【解析】

【分析】

本题考查平面向量的线性运算及相关知识，属于难题.

A项直接由平面向量的线性运算即可，其余选项由前+2OB+3OC=6得而+云+

2福+2元=6,取BC的中点为则前+4丽=6,再取A2的中点M则前=2NM,

则2丽+4加=6，即丽=一2瓦标，则MM,。三点共线，连接AO,交BC于点

Q,结合图像依次判断即可.

【解答】

解：对于A项，由4+2而+3历=6得，

AO+2(AB-AO)+3(AC-AO)=0,

得前=+故A项正确；

24

再由4+20B+30C=0^

AO+0C+20B+20C=0,

取BC的中点为M,

则与+4丽=6，

再取AB的中点N,则前=2两，

则2丽+4丽=6，即丽=-2而，

则N,M,。三点共线，连接AO,交BC于点Q,如图所示:

则直线AO必过BC边的中点，是错误，故B项错误;

对于C项，因为△OMQSAACQ,

MQOM1pe、r-

得7t=lW=-=-，又因为=CM,

则n=;3

2

豺°xg_h_BQ

r=I.故c项正确;

S""|aox九2~h2~CQ

对于。项，^\OB\=|OC|=1,且诃,方，则OM_LBC,即AC1BC,

如图所示:

则。M=?’得"=4。”=2企,

在RtA.AC'Q中，QC==管，得2Q=JAC12+QC2=〔8+£=罕，

在RtAOA/Q中，MQ=|MC=^1，得OQ=^OM2+MQ2=+=卓,

则4。=AQ+OQ="合+?=旧，BP|OX|=g.故。项正确.

故答案为ACD

21.【答案】解：(l)AABC中，CA=1,CB=2,^ACB=60°,

由余弦定理得，

AB2=CA2+CB2-2CA-CB-cos^ACB

=12+22—2xlx2xcos60°

=3.

：.AB=V3,BP|XB|=V3;

(2)①;I=3时，AD=^AB,BE=^BC,

■-D,E分别是AB,C方的中点，

■■.AE=AC+CE=-CA+-CB,

2

---->i--->---->

CD=；(C/+CB),

—>—»—>1—>1—>1―»

•e•AE,CD=(—CA+-,(―CA+-CB)

1—>21—>—>1―>2

=一一G4--CB•CA+-CB

244

111

=——xI2——x2x1xcos600+-x22

244

_1

=4；

②假设存在非零实数人使得荏1而，

由而=4屈，得而=4(下一？X)，

■■■~CD=CA+AD=CA+X(CB-CA)

=ACB+(1-A)CX;

又前=X~BC,

：.AE=AB+~BE=(CB-CA)+A(-CB)

=(1-2)CB-Cl;

>>>2>>c>