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文档简介
2020-2021学年高一数学人教A版(2019)必修第二册
第六章滚动练习1
学校:姓名:班级:学号:
一.选择题
1.已知M(3,—2),N(—5,—1)且丽=|而,则点P的坐标为()
A.(-8,1)B.(1,|)C.D.(8,-1)
2.已知点4(1,3),B(-2,7),则与向量荏方向相反的单位向量是()
A.©一|)B.(3,-4)C.(-|)|)D.(|,-3
3.已知五,另是单位向量,且五+3=(a,—1),则—1|=()
A.1B.V2C.V3D.2
4.若五=(x,2),3=(—3,5),且N与3的夹角是钝角,则实数x的取值范围是()
A.(-8与B.(—8日C.揩,+8)D.冷+8)
5.已知平面直角坐标系内的两个向量五=(1,2),3=(巾,3小一2),且平面内的任一向
量不都可以唯一的表示成不=21+(儿〃为实数),则根的取值范围是()
A.(-00,2)B.(2,+oo)
C.(-CO,+CO)D.(—00,2)U(2,+00)
6.点2(3,0)、B(0,3)、(<>.->(i.sinn)、0(0,0),若|初+沆|=g,ae(0,7T),则
方,灰的夹角为()
A71
B.7D-
A・24c.i
7.已知向量优加满足五4=0,I初=\b\=24,若te[0,1],则花(石一瓦)+初+
1(1—t)(a—b)+|的最小值为()
A.2V193B.24V2C.24D.26
c
8.如图,在圆O中,若弦AB=3,弦AC=5,则正•前的值等于()
AT…(A
C.lD.8
9.下列说法正确的是()B
A.若非零向量(盆+备)•瓦:=0,且磊•£=抑的BC为等边三角形
B.已知力<=落南=瓦芯=冷前=Z,且四边形ABC。为平行四边形,则五+
b—c—d=0;
C.已知正三角形ABC的边长为2b,圆。是该三角形的内切圆,尸是圆o上的任
意一点,则pa.PB的最大值为1;
D.已知向量证=(2,0),沆;=(2,2),方=(&cosa,asina),则瓦5与南夹角的
范围是内朗
10.在△ABC中,G是△ABC的重心,边AB,AC的长分别为2,1,ABAC=60。,则前.前=
()
A.--B.--C.2D.-X
9999
在△中,尸为线段上的动点,
11.ABCAB-AC=9,sinB=cosAsinC,SAABC=6,A5
且无=x,符+y谶,贝的最小值为()
A.2+理B.1+组C.\D.5
63123612
12.如图,正方形ABCD的中心与圆。的圆心重合,P是圆。上的动点,则下列叙述
不正确的是()
A.PA-PC+PB而是定值.
B.PA-PB+PB-PC+PC-PD+PD-同是定值.
C.|西|+|两|+|正|+|4|是定值.
D.与2+而2+京2+而2是定值.
13.(多选题)在平面直角坐标系中,已知三点4(a,2),B(3,b),C(2,3),O为坐标原点.若
向量南1万,则。2+62的取值可能是()
A.YB.YC.12D.18
二.填空题
14.已知向量五=(2,—3),b=(1,2),p=(9,4),若方=小。+几3,则m+几=.
15.如图,半径为1的扇形AOB的圆心角为120。,点C在六上,S.^COB=30%若
OC=AOA+^OB,则;1+〃=.
c
o
16.在A4BC中,已知而=2而,尸为线段上的一点,且满足墨=:无+加而,
若AABC的面积为2b,^ACB=p则|而|的最小值为.
17.在矩形ABCD中,AB=1,BC=2,P是线段AD(包括端点)上的动点,则前•标的
取值范围是.
18.设区石是两个不共线的非零向量,若向量kN+21与81+卜]的方向相反,则
k=;若方向相同,则/c=.
三.解答题
19.如图,4(0,5),0(0,0),8(4,3),OC=^OA,OD=
AD与BC相交于点求点M的坐标.
20.已知点。为AABC所在平面内一点,且南+2南+3近=1则下列选项正确的
是
A.AO=-AB+-AC
24
B.直线AO必过BC边的中点
CS“OB-SMOC=3-2
D.|0B|=|0C|=1,且而_LU?,则=V13
21.如图,在AaBC中,已知C4=l,CB=2,^ACB=60°.
(1)求|力I;
(2)已知点£)是A3上一点,满足同=AAB,点£1是边CB上一点,满足丽=ABC.
①当4=1时,^AE-CD;
②是否存在非零实数九使得荏,而?若存在,求出4的值;若不存在,请说明理
由.
22.在直角梯形ABCD中,已知AB〃CD,^DAB=90°,AB=6,AD=CD=3,对
角线AC交BO于点O,点M在AB上,且。ML80.
(1)求前•前的值;
(2)若N为线段AC上任意一点,求丽•初7的取值范围.
答案和解析
一.选择题
1.【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平面向量的坐标运算,设PQ,y),得出凝和丽的坐标,得出方程
组,解出即可.
【解答】
解:设P(x,y),则丽=(x—3,y+2).
又而=(-8,1),故由而=|而,得0-3/+2)=*-8,1),
(x—3=-4,3
•••\n1.*.%=—1,7y=—2.
3+2=5,
2.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了单位向量、相反向量,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.
与向量而方向相反的单位向量是一篇,即可得出.
【解答】
解:与向量四方向相反的单位向量是—=-旅|分/=(|,一(),
故选:D.
3.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了单位向量的定义,向量数量积的运算及计算公式,向量长度的求法,考查了
计算能力,属于基础题.
根据条件进行数量积的运算即可求出本3=也从而得出|五-3|=1.
【解答】
解:「I司=|||=1万+7=(短,一1),
\a+b\=(a+b)2=Ja2+2a-b+b2=^2+2a-b=VT+T=V3>
1
a-b=
2
\a-b\=J(a-K)2=Ja2-2a-b+K=V2^I=1-
故选A.
4.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查向量的数量积的应用,向量的坐标运算,考查计算能力,属于基础题.
若反与3夹角为钝角,则向量的数量积小于0且两个向量不共线,求出X的范围即可.
【解答】
解:因为N=(x,2),3=(—3,5),且五与石夹角为钝角,
所以屋方=—3%+10<0,且为与另不共线,解得%>三且%大—!
则实数x的取值范围是(g,+8).
故选C.
5.【答案】D
【解析】解:根据题意,向量息另是不共线的向量
"a=(1,2),b=(m,3m—2)
由向量五、后不共线oF力也产
解之得m*2
所以实数m的取值范围是{小阿eR且zn丰2}.
故选:D.
平面向量基本定理:若平面内两个向量优了不共线,则平面内的任一向量H都可以用向
量方、石来线性表示,即存在唯一的实数对不it,使m=23+43成立.根据此理论,结
合已知条件,只需向量五、3不共线即可,因此不难求出实数机的取值范围.
本题考查了平面向量坐标表示的应用,着重考查了平面向量基本定理、向量共线的充要
条件等知识点,属于基础题.
6.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查向量的坐标运算、数量积以及向量夹角,属于基础题.
利用向量坐标形式进行运算求出C点坐标,然后求出南,小的夹角的余弦值,最后结
合夹角的范围求出夹角的大小.
【解答】
解:•・,A(3,0),Ccosn.sinc),0(0,0),
/.?5-3+OC=(3+co6c.siim),\0A+Uc|=J(3+cosa)2+sin2a=V10+6cosa=
V13,
1
ccwn=,),
■:aE(0,兀),
,,a,即呜抒
加,灵夹角余弦值为晅丝=遥=包
\OB\\OC\3X12
•.•布,品夹角范围为[0,兀],
南,无夹角为质.
故选D
7.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查平面向量运算以及向量共线,模,数量积的意义,考查坐标法思想的应用,考
查点关于直线的对称点的求法,考查创新意识,考查运算能力,属于难题.
根据已知条件的特征,可考虑利用坐标法来处理,建立平面直角坐标系,在坐标平面上,
找出与可以及得3+(1—t)@—另)对应的向量,将问题等价转换成在直线(线段)
上找一点,使得它到直线外两定点的距离之和最小问题.然后根据平面解析几何的基础
知识容易解决问题.
【解答】
解:在如图所示的平面直角坐标系中,2(24,0),8(0,24),C(0,14),
记方=0A=(24,0)>b=OB=(0,24)>—b=CB=(0,10).
设俞=武3_五),则的=(1_。0_方),te[0,1],
OM=a+t{b—a),CM=+(1-t)0-b),
\t(b-a)+a\+|(l-t)(a-K)+^K|=\OM\+\CM\.
.响题等价于当点加在线段AB:y=f+24上运动时,求|而I+的最小值.
易知点C(0,14)关于直线AB:y=-x+24的对称点D的坐标为(10,24),
••\OM\+\CM\=\OM\+\DM\》[OD\=J(10—0)2+(24—0)2=26,
当且仅当M成为直线OD与线段AB的交点N(詈,等)时取得最小值.
这时由祠=前=(—詈,瑞)=t(—24,24),知"H,符合条件.
故答案为:D.
8.【答案】D
【解析】
【分析】本题考查平面向量的数量积,取芯中点连接OD,AD,则诟•品=0,
然后得出而=同-诟,AD=^(AB+AC),然后由平面向量的数量积公式进行计算
即可求解.
【解答】
解:取近中点。,连接OD,AD,
则说•BC=0且4+OD^AD,即而=AD-OD,
而而=式存+而),
—,>>>>>>>>>*|------>>...一»-->1-->2
所以4。,BC=AD•BC—OD•BC=AD•BC=-{AB+AC)-{AC-AB)=一
___>21
AB)=j(52-32)=8.
故选。.
9.【答案】AC
【解析】
【分析】
本题考查向量的坐标运算及向量的数量积与夹角,属于较难题目.
本题应采用向量的坐标运算、向量的数量积与夹角及数形结合的知识来解题,对每一项
进行具体分析即可.
【解答】
4因为黑为与南同向的单位向量,
\AB\
备为与正同向的单位向量,
因为+慨1)表示向量四,前角平分线所在的向量,
根据+看).BC=O,知向量荏,前角平分线所在的向量垂直于品,所以为等
腰三角形.
根据黑.M=3知荏,刀的夹角为60°,所以是等边三角形•
故A正确
B:因为在平行四边形ABCD中
OA=a>OB=b,OC=c,OD=d,
所以a+b-c~~d=a+b—(c+d)=2(04+OB)丰0
故3错误
C:在正三角形ABC中,内切圆半径
r=1.^.2V3=1,AO=BO=2,^AOB=120°,
32
乙POD=0(0e[0/TT]),
~PA-~PB=(PO+OA)(PO+OB)
=PO2+(OA+OB)PO+OA-OB
=OP2+2OD-PO+OAOB
=OP2-2OD-OP+OA-OB
=1+2cos0+4cosl20°
=2cos0—1,
(PA-丽)max=1)故答案为L
故c正确
D:建立如下图所示的直角坐标系.
因为次=(2,2),0B=(2,0),CA=(&cosa,asina),
所以点A的轨迹是以C(2,2)为圆心,鱼为半径的圆.
过原点。作此圆的切线,切点分别为N,连接CM,CN,
如图所示,则向量61与砺的夹角范围是NMOB<(OA,OB)<乙NOB.
v|OC|=2V2,-.\CM\=\CN\=l\OC\,知/COM="ON=/
但NCOB=J.
;.4MOBz_NOB=—,(OA.OB)<—.
121212'z12
故D错误
故选AC
10.【答案】A
【解析】
【试题解析】
【分析】
本题考查两个向量的数量积的运算,三角形的重心的性质,属于中档题.
在△ABC中,由余弦定理可得BC=V5,可得△ABC为直角三角形,可得8=30。.建立
平面直角坐标系,求得A、B、C的坐标,再求出重心G的坐标,可得正,前的坐标,
从而求得万•面的值.
【解答】
解:•.•在AABC中,AB=2,AC=1,ABAC(ill
.•.由余弦定理可得BC2=4B2+AC2-2AB-AC-cosA
=4+1-4OJ«600=3
BC=V3,
AC2+BC2=AB2,
••・C=90°,
・•・B=30°,
以CA所在的直线为x轴,以CB所在的直线为y轴,建立平面直角坐标系,
则C(0,0)、4(1,0),B(。诋,
故△48C的重心G(t号,
二布=(/务前=Q符》
――,2V31-2V3
AG-BG=---)
-21-68
=---1---=----,
999
故选A.
11.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查向量的数量积,三角形面积公式,考查正弦定理、余弦定理的应用,考查利用
基本不等式求最值,属于难题.
依题意,求得c=5,b=3,a=4,得出CP=|-CX+^-CB,可得:+(=l,(x>0,y>
0),根据基本不等式求最值即可.
【解答】
解:由题意,设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,
由丽•前=9,得bccosA=9,
又S&ABC=6,得bcsinA=12,
可得tan力=
根据同角三角函数的基本关系得,sin^=|,cosi4=I,
由sinB=cos/sinC,根据正弦定理得b=-c,
9
又从='=15,
cos-4
解得c=5,b=3,
所以a=yjb2+c2—2bccosA=4,
因为方="筒+、•赢,
所以方=:•瓦+(•通,
又A,B,P三点共线,且尸为线段AB上的动点,
所以:+:=1,(%>0,y>0),
所以打;=G+;)G+9
7xy
=---1----1---
123y4x
”+2尸=7,
12J3y4x123
当且仅当成=E,即y=8百—12,x=12—6百时,等号成立,
所以;+§的最小值为Z+如,
xy123
故选艮
12.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查平面向量的数量积运算,平面向量的模,平面向量的坐标运算以及平面向量的
几何应用,属于较难题.
建立合理的坐标系,得出各点的坐标,利用平面向量的坐标运算分析选项即可.
【解答】
解:由题意,以点。为原点,AD的垂直平分线为x轴,A3的垂直平分线为了轴建立直
角坐标系,如图所示:
不妨记正方形边长为2,即4(1,1),8(—1,1),C(-l,-l),
令圆。的半径为a(a>鱼),点尸的坐标为(X,y),则有/+y2=a2.
则有P4=(%—l,y—1),PB=Q+l,y—1),PC=(%+l,y+1),PD=(x—l,y+1).
对于A选项:同•PC+JB-PD=2(x-1)(%+1)+2(y-l)(y+1)=2a2-4是定值,
故A正确;
对于B选项:PA-PB+PB-PC+PC-TD+PD-PA
=(X-l)(x+1)+(y-l)2+(%+l)2+(y-l)(y+1)
+(尤—1)(%+1)+(y+l)2+(x-l)2+(y—l)(y+1)=4a2为定值,故B正确;
对于C选项,令a=5,W(O,5)0t,\'PA\+\PB\+\PC\+\PD\=2V17+2737;
再取P(3,4)时,|同|+|而|+|正|+|而|=V13+5+V41+V29-
显然I与I+I而I+I定I+I而I不是定值,故C错误;
对于。选项:同2+两2+正2+而2=2["_1)2+(%+1)2+(y-1)2+(y+1)2]=
4a2+8是定值,故。正确;
故选C.
13.【答案】BCD
【解析】
【分析】
本题主要考查平面向量的坐标表示和坐标运算,以及向量垂直的判断与应用,属于基础
题.
首先根据A,B,C三点表达出南,AC,再根据向量垂直数量积为零得出a,b的关系式,
并代入。2+人2,利用配方求出其范围,即可得出选项.
【解答】
解:题意得加=(3,b),XC=(2-a,1),
,•响量方五LN,
•••OB-AC=3(2—a)+b=O,
•••b=3a—6,
口2—10a2—36a+36=10(a——+三)
当且仅当a=[时,取等号.
故选BCD.
14.【答案】7
【解析】
【分析】本题考查向量的坐标运算,向量相等条件的应用,考查计算能力,属于基础题.
直接利用向量的坐标运算,求解即可.
【解答】
解:•・•a=(2,-3),b=(1,2),
ma+nb=m(2,—3)+n(l,2)=(2m+n,—3m+2九).
i^p=ma+nb,得匕黑';必解得{:m=2,
n=5.
故m+n=7.
15.【答案】V3
【解析】
【分析】
本题主要考查了向量的坐标运算和相等向量的定义.建立平面直角坐标系,利用向量相
等的条件求出尢〃的值,进而求解.
【解答】
解:以。为原点,以质为x轴的正方向建立如图所示的平面直角坐标系,
•・•(BOC=30°,OC=1,
・"(羽,
•・•乙AOB=120°,OA=1,
5(/务
OC=XOA+OB?
"(T(l)=Z(_PT)+/Z(1-O),
..吴+广与
l22
(”隹
则2V3-
I2V3
•■•A+jU=V3-
故答案为次.
16.【答案】2
【解析】
【分析】
本题主要考查平面向量的基本定理,向量的数量积,向量的模,向量的加法,三角形的
面积公式,利用基本不等式求最值,综合性强,有一定难度.
根据题意用ZT、板表示出声,通过对应系数相等求出m,利用三角形的面积公式,
利用基本不等式即可求出最终答案.
【解答】
解:设存=x而,
因为而=2而,所以而=|通,
根据题意得,~CP^~CA+AP
=CA+xAD=CA+久(AC+CD)
又因为丽=|CX+mCB,
(1—x=-(x=-
所以k2,解得1a1,
I—=mIm=-
又因为区口=:甲卜四"n60P=26,解得|可|函=8,
所以不入加:西卜点/仪)1,
所以|方匚Ji|CX|2+|cX-CB+i|CB|2
N4+2X[函周函=2,
当且仅当|国=子,|函=2百时等号成立.
故答案为2.
17.【答案】[0,1]
【解析】
【分析】
本题主要考查平面向量的几何应用,考查向量的数量积,平面向量加法运算,二次函数
的性质,属于中档题.
作图,设。P=x,则4P=2—x.即可得到丽•丽=(瓦?+而).(次+丽)
=BA-CD+AP-OP=1X1XcosO°+(2-x)XxXcosl800=(x—l)2,再根据
XG[0,2],即可得到(工一1)2e[0,1],进而得解.
【解答】
解:如下图所示:设。p=%,则ap=2—x.
~BP-~CP=(BA+AP)•(CD+DP)=~BA-CD+~BA-~DP+AP-~CD+AP-~DP
=BA-CD+AP-DP=1X1XcosO°+(2-x)X%Xcosl80"
=1+(%—2)xx=(x—1)2,
因为久e[0,2],所以(x-1)2e[0,1].
故前•方的取值范围是[0,1].
18.【答案】—4;4
【解析】
【分析】
本题考查向量共线的条件,属于基础题.
根据共线向量的充要条件求解即可.
【解答】
解:,响量,+2征与83+〃的方向相反,
kN+23=4.(83+k石)=£二2'解得卜=±%
当方向相反时,有卜<0取k=-4;
同理,方向相同时,k=4.
19.【答案】解:OC=^OA=
・"(2,J
设M(x,y),则俞=(x,y_5),15=(2-0,|-5)=(2,-0.
■■-AM//AD,
1%—2(y—5)=0,即7x+4y=20.①
又•.•丽=(x,y_£),CB=(4,0,且由〃下,
二彳%—4(y—I)=0,即7%一16y=-20.②
联立①②,解得x=£,y=2,
.••点M的坐标为仔,2).
【解析】本题考查平面向量的坐标运算以及平面向量共线的充要条件,属于基础题,
首先求得C、方的坐标,再设M(x,y),
得到宿和前的坐标。再由•标//AD,得到7久+4y=20,
由屈=1,丫-3,CB=(4,^),以及丽〃而,求得7%-16y=-20,
从而得到无,y,从而得到M的坐标.
20.【答案】ACD
【解析】
【分析】
本题考查平面向量的线性运算及相关知识,属于难题.
A项直接由平面向量的线性运算即可,其余选项由前+2OB+3OC=6得而+云+
2福+2元=6,取BC的中点为则前+4丽=6,再取A2的中点M则前=2NM,
则2丽+4加=6,即丽=一2瓦标,则MM,。三点共线,连接AO,交BC于点
Q,结合图像依次判断即可.
【解答】
解:对于A项,由4+2而+3历=6得,
AO+2(AB-AO)+3(AC-AO)=0,
得前=+故A项正确;
24
再由4+20B+30C=0^
AO+0C+20B+20C=0,
取BC的中点为M,
则与+4丽=6,
再取AB的中点N,则前=2两,
则2丽+4丽=6,即丽=-2而,
则N,M,。三点共线,连接AO,交BC于点Q,如图所示:
则直线AO必过BC边的中点,是错误,故B项错误;
对于C项,因为△OMQSAACQ,
MQOM1pe、r-
得7t=lW=-=-,又因为=CM,
则n=;3
2
豺°xg_h_BQ
r=I.故c项正确;
S""|aox九2~h2~CQ
对于。项,^\OB\=|OC|=1,且诃,方,则OM_LBC,即AC1BC,
如图所示:
则。M=?’得"=4。”=2企,
在RtA.AC'Q中,QC==管,得2Q=JAC12+QC2=〔8+£=罕,
在RtAOA/Q中,MQ=|MC=^1,得OQ=^OM2+MQ2=+=卓,
则4。=AQ+OQ="合+?=旧,BP|OX|=g.故。项正确.
故答案为ACD
21.【答案】解:(l)AABC中,CA=1,CB=2,^ACB=60°,
由余弦定理得,
AB2=CA2+CB2-2CA-CB-cos^ACB
=12+22—2xlx2xcos60°
=3.
:.AB=V3,BP|XB|=V3;
(2)①;I=3时,AD=^AB,BE=^BC,
■-D,E分别是AB,C方的中点,
■■.AE=AC+CE=-CA+-CB,
2
---->i--->---->
CD=;(C/+CB),
—>—»—>1—>1—>1―»
•e•AE,CD=(—CA+-,(―CA+-CB)
1—>21—>—>1―>2
=一一G4--CB•CA+-CB
244
111
=——xI2——x2x1xcos600+-x22
244
_1
=4;
②假设存在非零实数人使得荏1而,
由而=4屈,得而=4(下一?X),
■■■~CD=CA+AD=CA+X(CB-CA)
=ACB+(1-A)CX;
又前=X~BC,
:.AE=AB+~BE=(CB-CA)+A(-CB)
=(1-2)CB-Cl;
>>>2>>c>
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