湘教版高中数学选择性必修第一册第1章数列１-３-1-1-3-2等比数列与指数函数练习含答案

1.3等比数列1.3.1等比数列及其通项公式1.3.2等比数列与指数函数基础过关练题组一等比数列的概念1.(多选)下列说法正确的有()A.等比数列中的项不能为0B.等比数列的公比的取值范围是RC.若一个常数列是等比数列,则其公比为1D.22,42,62,82,…成等比数列2.设an=(-1)n(n∈N+),则数列{an}是()A.等比数列B.等差数列C.递增数列D.递减数列3.(2021湖北黄石第二中学一模)已知函数f(x)=logkx(k为常数,k>0且k≠1).下列条件中,能使数列{an}为等比数列的是(填序号).

①数列{f(an)}是首项为2,公比为2的等比数列;②数列{f(an)}是首项为4,公差为2的等差数列;③数列{f(an)}是首项为2,公差为2的等差数列的前n项和构成的数列.题组二等比数列的通项公式4.已知等比数列{an}的公比q为正数,且a3a9=2a52,a2=1,则aA.12B.C.2D.25.已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an(n∈N+).若am≤128,则正整数m的最大值是()A.7B.8C.9D.106.(2022湖南长沙一中期中)在等比数列{an}中,a1=1,a2a3=8,则a4A.8B.6C.4D.27.已知数列{an},若a1=2,an+1+an=2n+1,则a2020=()A.2017B.2018C.2019D.20208.已知数列{an}满足a1=1,nan+1=2(n+1)an,设bn=an(1)求b1,b2,b3;(2)判断数列{bn}是不是等比数列,并说明理由;(3)求{an}的通项公式.题组三等比中项9.等比数列{an}中,a1=18,q=2,则a4与a8的等比中项为A.4B.-4C.±4D.±210.(2022湖南益阳期中)设数列{an}的每一项都不为零,且对任意n∈N+满足an+1=an·a2,若a3=3,则a2=()A.±3B.±3C.3D.311.已知a,b,c成等差数列,a+1,b,c和a,b,c+2都分别成等比数列,则b的值为()A.16B.15C.14D.12题组四等比数列的性质及综合应用12.(2021广东广州期末)在等比数列{an}中,若a1+a2+a3=6,a4+a5+a6=-3,则a7+a8+a9=()A.24B.3C.34D.-13.(2022北京昌平期末)若{an}是无穷等比数列,则“0<a2<a1”是“{an}为递减数列”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件14.在等比数列{an}中,a1a2a3=2,an-2an-1an=4,且a1a2a3·…·an=64,则数列{an}有项.

15.(2022湖南株洲月考)在等比数列{an}中,a5,a21是方程x2+11x+5=0的两根,则a7a1916.在等比数列{an}中,a1>1,公比q>0.设bn=log2an,且b1+b3+b5=6,b1b3b5=0.(1)求证:数列{bn}是等差数列;(2)求{bn}的前n项和Sn及{an}的通项公式.能力提升练题组一等比数列的通项公式1.(多选)(2020浙江湖州期末)设数列{an}为等比数列,则下列数列一定为等比数列的是()A.{2an}B.{anC.{2an}D.{log2|a2.(2022湖南怀化一中月考)已知数列{an}满足a1=1,a2=2,an+2=1+cos2nπ2an+sin2nπ2(n∈N+),则a193.(2021安徽六安期中)已知数列{an}中,a1=72812,3an+1=an-1,则满足不等式ak-1·ak<0的k的值为4.(2021广东深圳、汕头、潮州、揭阳名校联考)从①前n项和Sn=n2+p(p∈R),②a6=11且2an+1=an+an+2这两个条件中任选一个,填在下面的横线上,并解答.在数列{an}中,a1=1,,其中n∈N+.

(1)求数列{an}的通项公式;(2)若a1,an,am构成等比数列,其中m,n∈N+,且m>n>1,求m的最小值.5.设关于x的一元二次方程anx2-an+1x+1=0(n=1,2,3,…)有两实数根α和β,且满足6α-2αβ+6β=3.(1)试用an表示an+1;(2)求证:an-(3)当a1=76时,求数列{an}的通项公式题组二等比数列的性质及综合应用6.已知各项均为正数的等比数列{an}的公比为3,若aman=9a22,则2m+A.1B.12C.347.(2021江苏宿迁桃州中学调研)已知等比数列{an}满足an>0,n=1,2,…,且a5·a2n-5=22n(n≥3),则当n≥1时,log2a1+log2a3+…+log2a2n-1=()A.n(2n-1)B.(n+1)2C.n2D.(n-1)28.(2021江苏南京师范大学附属中学期末)2020年12月17日凌晨1时59分,嫦娥五号返回器携带月球样品成功着陆,这是我国首次实现地外天体采样返回,标志着中国航天向前又迈出了一大步.月球距离地球约38万千米,有人说:在理想状态下,若将一张厚度约为0.1毫米的纸对折n次,其厚度就可以超过从地球到达月球的距离,那么至少对折的次数n是(lg2≈0.3,lg3.8≈0.6)()A.40B.41C.42D.439.(2022湖南常德期末)音乐中使用的乐音在高度上不是任意定的,它们是按照严格的数学方法确定的.我国明代数学家、音乐理论家朱载堉创立了十二平均律,他是第一个利用数学使音律公式化的人.十二平均律的生律法是精确规定八度的比例,把八度分成十二个半音,使相邻两个半音的频率的比值为常数,如下表所示,其中a1,a2,…,a13表示这些半音的频率,它们满足log2ai+1ai12=1(i=1,2,…,12).若某一半音与D#频率a1a2a3a4a5a6a7半音CC#DD#EFF#频率a8a9a10a11a12a13半音GG#AA#BC(八度)A.F#B.GC.G#D.A10.(2021河南焦作期末)已知{an}是各项均为正数的等比数列,则下列结论中正确的个数为()①a2a4=a1a5;②a1+a5≥2a3;③a1+a5≥a2+a4;④若a5>a3,则a4>a2.A.1B.2C.3D.411.(2022河南郑州期中)在等比数列{an}中,a1=-16,a4=-2.记Tn=a1a2·…·an(n=1,2,…,n),则数列{Tn}()A.有最大项和最小项B.有最大项,无最小项C.无最大项,有最小项D.无最大项和最小项12.已知{an}是等差数列,满足a1=2,a4=14,数列{bn}满足b1=1,b4=6,且{an-bn}是等比数列.(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;(2)若对任意n∈N+,都有bn≤bk成立,求正整数k的值.答案与分层梯度式解析基础过关练1.AC2.A3.答案②解析①中,f(an)=2n,即logkan=2n,得an=k2∵an+1an=k2n+1k2n=k②中,f(an)=4+(n-1)×2=2n+2,即logkan=2n+2,得an=k2n+2,且a1=k4≠0,∵an+1an=k2(n+1)+2k2n+2=k2,且k2为非零常数,∴数列③中,f(an)=2n+n(n-1)2×2=n2+n,即logkan=n2+n,得a∵an+1an=k(n+1)(n+2)kn(4.B∵q>0,a3a9=2a52=a62,∴a6=2a5,∴q=2.∵a2=a1q=1,∴a5.B由题意得an+1an=2,所以数列{an}是以1为首项、2为公比的等比数列,所以an=a1q若am≤128,则2m-1≤128,所以m-1≤7,解得m≤8,故正整数m的最大值是8.A由题设知a2a3=a12q3=8,又∵a1=1,∴q=2,∴a4+a故选A.7.C∵an+1+an=2n+1,∴an+1-(n+1)=-(an-n),又∵a1-1=1≠0,∴数列{an-n}是以1为首项、-1为公比的等比数列,∴an-n=(-1)n-1,∴an=n+(-1)n-1,∴a2020=2020-1=2019.8.解析(1)由条件可得an+1=2(n+1)n令n=1,得a2=4a1=4.令n=2,得a3=3a2=12.从而b1=1,b2=2,b3=4.(2){bn}是等比数列.理由如下:由条件可得an+1n+1=2ann又因为b1=1≠0,所以{bn}是首项为1、公比为2的等比数列.(3)由(2)可得ann=bn=1×2n-1=2所以an=n·2n-1.9.C由题意得a4=a1q3=18×23=1,a8=a1q7=18×27=16,∴a4与a8的等比中项为±10.B令n=1,则a2=a1a2,∵a2≠0,∴a1=1.由an+1=an·a2得an+1an=a2,即{an}是首项为1、公比为a2的等比数列,故a22=a1a3=3,解得a11.D由题意得2b=a+c,b2=(a+1)·c,b2=a·(c+2),联立可得b=12.12.B设等比数列{an}的公比为q,则a4+a5+a6=q3·(a1+a2+a3),即6q3=-3,可得q3=-12,因此,a7+a8+a9=q3(a4+a5+a6)=-12×(-3)=313.A充分性:因为{an}为无穷等比数列,0<a2<a1,所以公比q满足0<q=a2a1<1,所以an>an+1=anq,即{an}为递减数列.必要性:若无穷等比数列{an}是递减数列,则它的第一项和第二项可以为负,如-18,-14,-12,-1,-2,…,所以不一定得到0<a2<a1.所以“0<a2<a1”是“{a14.答案12解析由题意及等比数列的性质得a1a2a3an-2·an-1an=(a1an)3=8,即a1an=2,则a1a2a3·…·an=64=26=(a1an)6,故{an}有12项.15.答案-5解析由根与系数的关系得a5+a21=-11,a5a21=5,则a7a19=a132=a5a21=5,且a5,a21同为负值,∴a13=-5,故a716.解析(1)证明:因为bn=log2an,所以bn+1-bn=log2an+1-log2an=log2an+1an=log所以数列{bn}是公差为log2q的等差数列.(2)设等差数列{bn}的公差为d,因为b1+b3+b5=6,所以3b3=6,所以b3=2.因为a1>1,所以b1=log2a1>0,又因为b1b3b5=0,所以b5=0,所以b1+2因此Sn=4n+n(n-1)由(1)可知d=log2q=-1,解得q=12由b1=log2a1=4,解得a1=16,所以an=a1qn-1=25-n(n∈N+).能力提升练1.AB设数列{an}的首项为a1,公比为q.对于A,2an=2a1qn-1,所以数列{2an}是公比为q的等比数列;对于B,an2=a12q2n-2=a12(q2)n-1,所以数列{a对于C,2an=2a1qn-1,所以当n≥2时,2an2an-1对于D,当n≥2时,log2|an|log2|an-1故选AB.2.答案100解析当n为奇数时,an+2=an+1,数列{an}隔项成等差数列.设n=2k-1,则a2k-1=k,故a19=10.当n为偶数时,an+2=2an,数列{an}隔项成等比数列.设n=2k,则a2k=2k,故a20=210.故a19·log2a20=10×10=100.3.答案8解析由3an+1=an-1得an+1+12=13an+12,因为a1+12=729,所以数列an+12是首项为729、公比为13的等比数列,所以an当n≥2时,an-an-1=37-n-12-38-n-12=-2若ak-1·ak<0,则有a即38-k-12>0,37-k-12<0,得2·4.解析(1)选择条件①.当n=1时,由S1=a1=1,得p=0,故Sn=n2.当n≥2时,有Sn-1=(n-1)2,所以an=Sn-Sn-1=2n-1(n≥2).经检验,a1=1符合上式,所以an=2n-1(n∈N+).选择条件②.由2an+1=an+an+2,得an+1-an=an+2-an+1,所以数列{an}是等差数列,设其公差为d.因为a1=1,a6=a1+5d=11,所以d=2.所以an=a1+(n-1)d=2n-1(n∈N+).(2)因为a1,an,am构成等比数列,所以an2=a1am,即(2n-1)化简,得m=2n2-2n+1=2n-12因为m,n∈N+,且m>n>1,所以当n=2时,m取得最小值,最小值为5.5.解析(1)根据根与系数的关系,得α代入6α-2αβ+6β=3,得6an+1an-2an=3,所以an+1(2)证明:因为an+1=12an+1所以an+1-23=1若an=23,则方程anx2-an+1x+1=0可化为23x2-23x+1=0,即此时Δ=(-2)2-4×2×3=-20<0,所以an≠23,即an-23所以数列an-23(3)当a1=76时,a1-23=所以an-23=12×12所以an=23+12n6.C由题意得a2·3m-2·a2·3n-2=a22·3m+n-4=9∴m+n=6,∴2m+12n=16(m+n)2m+12n=162+m2n+2nm+∴2m+12n7.C因为{an}为等比数列,所以a1·a2n-1=a3·a2n-3=…=a5·a2n-5=22n,所以log2a1+log2a3+…+log2a2n-1=log2(a1a2n-1)n2=log2(22n8.C设对折n次时,纸的厚度为an毫米,由题意知,每次对折后,纸的厚度变为原来的2倍,则{an}是首项为0.1×2=0.2,公比为2的等比数列,所以an=0.2×2n-1=0.1×2n,令an=0.1×2n≥38×104×106,即2n≥3.8×1012,所以lg2n≥lg3.8+12,即0.3n≥0.6+12,解得n≥12.60.3所以至少对折的次数n是42,故选C.9.B依题意可知an>0(n=1,2,…,12,13).由于a1,a2,…,a13满足log2ai+1ai12=1(i=1,2,…,12),则ai+1ai12=2⇒ai+1ai=2112,所以数列{an}(n=1,2,…,12,13)为等比数列,设其公比为q,则q=2112,D#对应的频率为a4,又因为所求半音与D#的频率的比值为32=10.D设{an}的公比为q(q>0).对于①,根据等比数列的性质可知a2a4=a1a5,①正确;对于②,a1+a5=a31q2+q2≥a3×21q2×q2=2