湘教版高中数学选择性必修第一册第2章平面解析几何初步2-6直线与圆、圆与圆的位置关系课件

设圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),直线l:Ax+By+C=0(A,B不同时为0),则圆心C(a,b)

到直线l的距离d=

,由

消去y(或x),得到关于x(或y)的一元二次方程,其判别式为Δ.位置关系相交相切相离公共点个数210几何法d<rd=rd>r代数法Δ>0Δ=0Δ<02.6直线与圆、圆与圆的位置关系1|

直线与圆的位置关系1.代数法:联立方程后,得出方程组解的个数为0,1,2时,分别对应圆与圆内含或外

离、内切或外切、相交,不仅计算复杂且情况也复杂,因此一般利用几何法进行

分析判断.2.几何法:通过方程得出两圆的半径分别为r1,r2,计算两圆心之间的距离d,按下表

中的标准进行判断.位置关系外离外切相交内切内含d与r1,r2的关系d>r1+r2d=r1+r2|r1-r2|<d<r1+r2d=|r1-r2|d<|r1-r2|2

|

圆与圆的位置关系1.如果直线的方程与圆的方程组成的方程组有解,则直线和圆的位置关系有哪

些?相交或相切.2.若直线与圆相交,则相交弦的垂直平分线与圆心什么关系?过圆心.3.若圆心到直线的距离大于半径,则直线方程与圆的方程联立消元后得到的一元

二次方程是否有解?无解.4.经过圆内一点(非圆心)的最长弦与最短弦所在直线位置关系如何?垂直.经过圆内一点(非圆心)的最长弦即为经过该点的直径,最短弦和该条直径垂

直.知识辨析5.若两条直线被同一个圆截得的弦长相等,则这两条直线一定平行吗?不一定.也可能相交.6.若两个圆没有公切线,则它们的位置关系如何?内含.7.如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解,则两圆的位置关系是什么?外切或内切.8.如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和,则这两圆一定相交吗?不一定.9.若两圆有公共点,则两圆的圆心距d和两圆的半径r1,r2需满足什么条件?|r1-r2|≤d≤r1+r2.

直线与圆、圆与圆的位置关系的判断主要有几何法和代数法两种方法.几何

法侧重图形的几何性质,较代数法步骤简捷,所以一般选用几何法.1直线与圆、圆与圆的位置关系的判断 

典例1已知圆x2+y2=1与直线y=kx-3k,当k分别为何值时,直线与圆:(1)相交;(2)相切;(3)相离.解析

解法一(代数法):联立

消去y,整理得(k2+1)x2-6k2x+9k2-1=0,则Δ=(-6k2)2-4(k2+1)(9k2-1)=-32k2+4=4(1-8k2).(1)当直线与圆相交时,Δ>0,即-

<k<

;(2)当直线与圆相切时,Δ=0,即k=±

;(3)当直线与圆相离时,Δ<0,即k<-

或k>

.解法二(几何法):圆心(0,0)到直线y=kx-3k的距离d=

=

.由题意知,圆的半径r=1.(1)当直线与圆相交时,d<r,即

<1,解得-

<k<

;(2)当直线与圆相切时,d=r,即

=1,解得k=±

;(3)当直线与圆相离时,d>r,即

>1,解得k<-

或k>

.

典例2已知圆C1:x2+y2-2mx+4y+m2-5=0,圆C2:x2+y2+2x-2my+m2-3=0.(1)当圆C1与圆C2外切时,求m的值;(2)当圆C1与圆C2内含时,求m的取值范围.思路点拨计算两圆的圆心距,与两圆的半径之差的绝对值、半径之和比较,列

出方程或不等式,求出参数的值或取值范围.解析

易得圆C1:(x-m)2+(y+2)2=9,圆心C1(m,-2),半径r1=3;圆C2:(x+1)2+(y-m)2=4,圆心

C2(-1,m),半径r2=2.(1)若圆C1与圆C2外切,则|C1C2|=r1+r2,即

=3+2,整理得m2+3m-10=0,解得m=2或m=-5.(2)若圆C1与圆C2内含,则|C1C2|<|r1-r2|,即

<|3-2|,整理得m2+3m+2<0,解得-2<m<-1,即m的取值范围是(-2,-1).1.过点P(x0,y0)的圆的切线方程的求法(1)当点P在圆上时,求点P与圆心连线的斜率,若斜率存在且不为0,记为k,则切线斜

率为-

;若斜率为0,则切线斜率不存在;若斜率不存在,则切线斜率为0.(2)当点P在圆外时,设切线斜率为k,写出切线方程,利用圆心到切线的距离等于半

径r,解出k即可(若仅求出一个k值,则有一条斜率不存在的切线).2.切线长的求法过圆外一点P可作圆的两条切线,我们把点P与切点之间的线段的长称为切

线长.切线长可由勾股定理来计算.如图,从圆外一点P(x0,y0)作圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>

0)的切线,则切线长为

.2与圆有关的切线问题

3.过圆上一点的切线仅有一条,可熟记下列结论(1)若点P(x0,y0)在圆x2+y2=r2(r>0)上,则过点P的切线方程为x0x+y0y=r2;(2)若点P(x0,y0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)上,则过点P的切线方程为(x-a)·(x0-a)+(y-b)

(y0-b)=r2;(3)若点P(x0,y0)在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)上,则过点P的切线方程为x0x+y

0y+D·

+E·

+F=0.

典例

(1)已知圆的方程为x2+y2=13,它与斜率为-

的直线相切,则该切线方程为

2x+3y-13=0或2x+3y+13=0

;(2)过点A(4,-3)作圆C:(x-3)2+(y-1)2=1的切线,其切线长为

4

.解析

(1)解法一:设所求切线方程为y=-

x+b,即2x+3y-3b=0.因为圆x2+y2=13与直线2x+3y-3b=0相切,所以圆心(0,0)到直线2x+3y-3b=0的距离d

=

=

,解得b=±

.所以所求圆的切线方程为2x+3y-13=0或2x+3y+13=0.解法二:设所求切线方程为y=-

x+b.联立

消去y,整理得

x2-

x+b2-13=0,令Δ=0,即

b2-4×

×(b2-13)=0,解得b=±

.所以所求圆的切线方程为2x+3y-13=0或2x+3y+13=0.(2)由题意知圆心C的坐标为(3,1),半径为1.设切点为B,则△ABC为直角三角形,易得|AC|=

=

,|BC|=1,所以|AB|=

=

=4,所以切线长为4.1.直线与圆相交时的弦长求法几何法利用圆的半径r,圆心到直线的距离d,弦长l之间的

关系r2=d2+

解题代数法若直线与圆的交点坐标易求出,求出交点坐标后,

直接用两点间的距离公式计算弦长弦长公式法设直线l:y=kx+b与圆的两交点分别为(x1,y1),(x2,y2),

将直线方程代入圆的方程,消元后利用根与系数

的关系得弦长l=

|x1-x2|=

·

3直线与圆相交的弦长及圆的中点弦问题(1)利用根与系数的关系求出中点坐标;(2)设出弦的两个端点的坐标,代入圆的方程,利用作差法求出斜率,此法即为点差

法;(3)利用圆本身的几何性质,即圆心与非直径的弦中点的连线与弦垂直.2.解决与中点弦有关的问题,有下列三种常见方法

典例1已知圆x2+y2-4x+6y-12=0内一点A(4,-2),求以A为中点的弦所在直线的方程.思路点拨思路一:根据斜率是否存在分类讨论,结合一元二次方程根与系数的

关系列方程求解.思路二:根据中点坐标公式,采用“设而不求,整体代换”的策略求解.思路三:利用圆的几何性质,即弦的中点与圆心的连线和弦所在的直线垂直求解.解析

解法一:当斜率存在时,设直线的斜率为k,则过点A的直线方程为y+2=k(x-

4),代入圆的方程,得(1+k2)x2-(8k2-2k+4)x+16k2-8k-20=0.因为1+k2≠0,Δ>0,所以可设两个交点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则x1+x2=

=4×2,解得k=-2.所以所求直线的方程为2x+y-6=0.当斜率不存在时,直线x=4不满足题设要求.综上,所求直线的方程为2x+y-6=0.解法二:易知直线斜率不存在时,直线x=4不满足题设要求.设两个交点的坐标分别为B(x1,y1),C(x2,y2),x1≠x2,则x1+x2=8,y1+y2=-4,直线AB的斜率

k=

.把B,C两点的坐标代入圆的方程,得

①-②并整理,得(x1+x2)+(y1+y2)

-4+6·

=0,即8-4k-4+6k=0,解得k=-2.故所求直线的方程为2x+y-6=0.解法三:当斜率不存在时,直线x=4不满足题设要求.设圆心为M,所求直线的斜率为k.因为圆心M(2,-3),所以kMA=

,所以k=-2,所以所求直线的方程为2x+y-6=0.

典例2已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=4.(1)若直线l'过点A(2,3)且被圆C截得的弦长为2

,求直线l'的方程;(2)若直线l过点B(1,0)且与圆C相交于P,Q两点,求△CPQ的面积的最大值,并求出

此时直线l的方程.解析

圆C的圆心坐标为(3,4),半径R=2.(1)∵直线l'被圆C截得的弦长为2

,∴由勾股定理得圆心C到直线l'的距离为1.①当直线l'的斜率不存在时,l':x=2,显然满足;②当直线l'的斜率存在时,设l':y-3=k(x-2),即kx-y+3-2k=0,由圆心C到直线l'的距离为1,得

=1,解得k=0,故直线l'的方程为y=3.综上所述,直线l'的方程为x=2或y=3.(2)∵直线与圆相交,∴l的斜率一定存在且不为0,设直线l的方程为y=k(x-1),即kx-y-k=0,则圆心C到直线l的距离d=

,∴△CPQ的面积S=

×d×2

=d

=

=

,当d=

时,S取最大值,为2.由d=

=

,得k=1或k=7,∴直线l的方程为x-y-1=0或7x-y-7=0.利用圆的方程解决最大(小)值问题的方法(1)由某些代数式的结构特征联想其几何意义,然后利用直线与圆的方程及解析

几何的有关知识并结合图形的直观性来分析解决问题,常涉及的几何量有:①关于x,y的一次分式形式常转化为直线的斜率;②关于x,y的一次式常转化为直线的截距;③关于x,y的二次式常转化为两点间的距离.(2)转化成函数解析式,利用函数的性质解决.(3)利用三角代换,若点P(x,y)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)上,则设

(θ为参数),代入目标函数,利用三角函数知识求最大(小)值.4与圆有关的最值问题 

典例已知点P(x,y)是圆x2+y2=4上的一点.(1)求4x-3y的最大值和最小值;(2)求

的最大值和最小值;(3)求(x-4)2+(y+3)2的最大值和最小值.解析

(1)令4x-3y=m,则

可以看作直线在x轴上的截距,要使m最大(或最小),只需直线在x轴上的截距最大(或最小).由图1知,当直线4x-3y=m与圆x2+y2=4相切时,m

分别取得最大值和最小值.由圆心(0,0)到4x-3y-m=0的距离等于圆的半径,得

=2,所以|m|=10,解得m=±10.故mmax=10,mmin=-10,即4x-3y的最大值为10,最小值为-10.

图1(2)令

=k,则k表示圆x2+y2=4上一点(x,y)与点(-2

,-2)的连线的斜率.由图2知,当直线y+2=k(x+2

)与圆x2+y2=4相切时,k分别取得最大值和最小值.由

=2,得|2

k-2|=2

,即3k2-2

k+1=k2+1,解得k=0或k=

.故kmax=

,kmin=0,即

的最大值为

,最小值为0.

图2(3)令(x-4)2+(y+3)2=d,则

表示圆上一点(x,y)与点(4,-3)的距离.如图3,由点(4,-3)到圆心(0,0)的距离为5可知,(

)max=5+2=7,(

)min=5-2=3,故dmax=49,dmin=9,即(x-4)2+(y+3)2的最大值为49,最小值为9.

图31.两圆的公共弦所在直线方程的求法设圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0(

+

-4F1>0),圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0(

+

-4F2>0).联立

①-②,得(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0.③设两圆交点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则A,B的坐标适合方程①②,也适合方程③,

因此方程③就是经过两圆交点的直线方程.当两圆相交时,(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0是经过两圆交点的直线方程,即公共

弦所在直线的方程.当两圆外离时,(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0是垂直于两圆圆心连线的一条直线5两圆的公共弦问题方程.当两圆相切时,(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0是两圆的一条公切线的方程.若两圆是等圆,则(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0是以两圆圆心为端点的线段的垂

直平分线的方程.2.两圆公共弦长的求法(1)代数法:将两圆的方程联立,解出交点的坐标,再利用两点间的距离公式求出弦长.(2)几何法:①将两圆的方程作差,求出公共弦所在的直线方程;②求出其中一个圆

的圆心到公共弦的距离;③利用勾股定理求出公共弦长.3.求经过两圆交点的圆的方程的方法一般地,过圆C1:x2+y2+D1x+E