苏教版高中数学选择性必修第一册第5章导数及其应用5-2导数的运算课件

5.2

导数的运算知识点1

基本初等函数的求导公式原函数导函数f(x)=xα(α为常数)f'(x)=αxα-1f(x)=ax(a>0,且a≠1)f'(x)=axlnaf(x)=exf

'(x)=exf(x)=logax(a>0,且a≠1)f'(x)=

原函数导函数f(x)=lnxf'(x)=

f(x)=sinxf'(x)=cosxf(x)=cosxf'(x)=-sinx特别提醒

几个常用函数的导数(1)若f(x)=C(C为常数),则f'(x)=0.(2)若f(x)=

,则f'(x)=-

.(3)若f(x)=

,则f'(x)=

.设函数f(x),g(x)均可导,且其导数分别为f'(x),g'(x),则知识点2

函数的和、差、积、商的求导法则和的导数[f(x)+g(x)]'=f'(x)+g'(x)差的导数[f(x)-g(x)]'=f'(x)-g'(x)积的导数[Cf(x)]'=Cf'(x)(C为常数),[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)商的导数

'=

(g(x)≠0)

一般地,对于由函数y=f(u)和u=g(x)复合而成的函数y=f(g(x)),它的导数与函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为y'x=y'u·u'x.知识点4

简单复合函数的导数知识辨析1.[f(x0)]'=f'(x0),对吗?2.(ax)'=xax-1(a>0,且a≠1),对吗?3.若f'(x)=1,则f'(x)的原函数一定是f(x)=x吗?4.已知函数f(x)=x-

x2-lnx,则f'(-1)=3,正确吗?一语破的1.不对.f(x0)是一个常数,所以[f(x0)]'=0,而f'(x0)是当x=x0时f'(x)的函数值,不一定为0.2.不对.(ax)'=axlna(a>0,且a≠1),而(xa)'=axa-1(a是常数).求导时不要混淆指数函数和幂函数的求

导公式.3.不一定.若f'(x)=1,则f(x)=x+c(c为常数).4.不正确.函数f(x)的定义域为{x|x>0},所以f'(-1)的值不存在.利用导数的四则运算法则求导的策略(1)若待求导的函数是两个函数商的形式,则可先对函数进行适当变形,再求导.(2)对于多个整式乘积形式的函数,可以考虑展开,化为和、差形式,再求导.(3)对于三角函数,可考虑先进行恒等变形,再求导.定点1利用导数的四则运算法则求导 关键能力定点破典例求下列函数的导数.(1)y=lnx+

;(2)y=(2x2-1)(3x+1);(3)y=x-sin

cos

;(4)y=

.解析

(1)y'=

'=(lnx)'+

'=

-

.(2)因为y=(2x2-1)(3x+1)=6x3+2x2-3x-1,所以y'=(6x3+2x2-3x-1)'=18x2+4x-3.(3)因为y=x-sin

cos

=x-

sinx,所以y'=

'=x'-

'=1-

cosx.(4)y'=

'=

=-

.1.复合函数求导的步骤定点2复合函数的导数(1)通常是将复合函数分解为基本初等函数;(2)求导时分清是对哪个变量求导;(3)计算结果尽量简单.2.求复合函数的导数的注意点典例求下列函数的导数:(1)y=

;(2)y=(1-2x)3;(3)y=sin

;(4)y=22x+1.解析

(1)函数y=

可以看作函数y=

和u=3x+1的复合函数,∴y'x=y'u·u'x=

'·(3x+1)'=

'·3=-3

=-3(3x+1

.(2)函数y=(1-2x)3可以看作函数y=u3和u=1-2x的复合函数,∴y'x=y'u·u'x=(u3)'·(1-2x)'=-6u2=-6(1-2x)2.(3)函数y=sin

可以看作函数y=sinu和u=

-3x的复合函数,∴y'x=y'u·u'x=(sinu)'·

'=-3cosu=-3cos

=3sin3x.(4)函数y=22x+1可以看作函数y=2u和u=2x+1的复合函数,∴y'x=y'u·u'x=(2u)'·(2x+1)'=2·2uln2=2·22x+1ln2=4x+1ln2.切线问题的处理思路(1)对函数进行求导;(2)若已知切点,则直接求出切线斜率、切线方程;(3)若切点未知,则先设出切点,用切点表示切线斜率,再根据条件求出切点坐标.在解决此类问题时,求函数的导数是基础,找出切点是关键.定点3利用导数运算解决切线问题典例(1)若直线l:y=kx+b

与曲线f(x)=ex-1和g(x)=ln(x+1)均相切,则直线l的方程为

;(2)若点P是曲线y=x2-lnx-1上任意一点,则点P到直线y=x-3距离的最小值为

.y=x

解析

(1)设直线l与曲线f(x),g(x)分别相切于点A(x1,

),B(x2,ln(x2+1)),由f'(x)=ex-1,g'(x)=

,可得k=

=

,故曲线f(x)在点A处的切线方程为y-

=

(x-x1),即y=

x+

(1-x1),曲线g(x)在点B处的切线方程为y-ln(x2+1)=

(x-x2),即y=

x+ln(x2+1)-

,由

得

ln(1+x2)=ln(1+x2)-

,故

=

ln(1+x2),故x2=0或ln(1+x2)=1,若ln(1+x2)=1,则x2+1=e,则

=

<

,不合题意,舍去,故x2=0,此时直线l的方程为y=x.(2)由题意可得,当点P到直线y=x-3的距离最小时,曲线y=x2-lnx-1在点P处的切线平行于直线y

=x-3,设