苏教版高中数学选择性必修第一册第4章数列4-3-1等比数列的概念4-3-2等比数列的通项公式课件

1.一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列就叫作等比数列,这个常数叫作等比数列的公比,公比通常用字母q表示.2.代数形式:

=q(q是常数且不为0,n≥2,n∈N*)或

=q(q是常数且不为0,n∈N*).4.3

等比数列知识点1

等比数列的概念4.3.1

等比数列的概念4.3.2

等比数列的通项公式

一般地,对于等比数列{an}的第n项an,有an=a1qn-1,这就是等比数列{an}的通项公式,其中a1

为首项,q为公比.当q>0且q≠1时,an=a1qn-1=

·qn可以看成关于n的指数型函数.知识点2

等比数列的通项公式若a,G,b成等比数列,则称G为a和b的等比中项,此时G2=ab.知识点3

等比中项1.单调性知识点4

等比数列的性质

a1>0a1<00<q<1单调递减单调递增q=1{an}是常数列,不具有单调性q>1单调递增单调递减q<0{an}是摆动数列,不具有单调性2.常用性质(1)若{an}是等比数列,且m+n=s+t=2k,m,n,s,t,k∈N*,则am·an=as·at=

.(2)在等比数列{an}中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即an,an+k,an+2k,an+3k,…为等比数

列,公比为qk.特别地,等比数列的奇数项、偶数项分别组成一个等比数列,新数列的公比为原公比的

平方.(3)若数列{an},{bn}(项数相同)是等比数列,则{λan}(λ≠0),

,{

},{an·bn},

仍是等比数列.(4)若数列{an}是各项均为正数的等比数列(公比为q),则数列{logaan}(a>0且a≠1)是公差为logaq的等差数列.知识辨析1.若数列{an}满足

=4n,则数列{an}是等比数列吗?2.存在一个数列既是等差数列又是等比数列吗?3.2和8的等比中项是4吗?4.等比数列{an}中,a2a3a12=a4a6a7成立吗?一语破的1.不是.4n不是一个非零常数,所以数列{an}不是等比数列.2.存在.非零常数列既是等差数列又是等比数列.3.不是.应该是±4,可以说4是2和8的等比中项.4.成立.等比数列的性质:若m+n=s+t(m,n,s,t∈N*),则am·an=as·at,可以推广使用,即若m+n+…+k=s

+t+…+r(m,n,…,k,s,t,…,r∈N*),则有am·an·…·ak=as·at·…·ar(等式两边项的个数要相同).定点1等比数列的判定(证明)关键能力定点破

判断一个数列是不是等比数列的方法(1)定义法:若数列{an}满足

=q(q是常数且不为0,n≥2,n∈N*)或

=q(q是常数且不为0,n∈N*),则{an}是等比数列;(2)等比中项法:对于数列{an},若

=anan+2(an≠0,n∈N*),则{an}是等比数列;(3)通项公式法:若数列的通项公式是形如an=k·qn(k,q是不为0的常数),则数列{an}是等比数列.其中,定义法和等比中项法可作为证明一个数列是不是等比数列的依据.典例已知数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,a1=2,b1=1,且an+1=a1+2Tn.(1)若数列{an}为等差数列,求Sn;(2)若bn+1=b1+2Sn,证明:数列{an+bn}和{an-bn}均为等比数列.解析

(1)由an+1=a1+2Tn,得a2=a1+2b1,又a1=2,b1=1,所以a2=4.因为数列{an}为等差数列,所以该数列的公差为a2-a1=2,所以Sn=2n+

×2=n2+n.(2)证明:当n≥2时,an=a1+2Tn-1,因为Tn-Tn-1=bn,所以an+1-an=2bn,即an+1=an+2bn,同理可得bn+1=bn+2an.则an+1+bn+1=3(an+bn),所以

=3(n≥2),①又a2=a1+2b1=4,b2=b1+2a1=5,所以

=

=3,满足①式,所以数列{an+bn}是以3为首项,3为公比的等比数列.因为an+1-bn+1=-(an-bn),所以

=-1(n≥2)②,又

=

=-1,满足②式,所以数列{an-bn}是以1为首项,-1为公比的等比数列.易错警示

用

=q(q是常数且不为0,n≥2)证明等比数列时,要保证

=q,否则不满足等比数列的定义.

1.等比数列{an}的通项公式an=a1qn-1(q≠0)中含有四个量:a1,q,n,an,可知三求一.2.等比数列通项公式的变形(1)an=amqn-m(m,n∈N*):表明已知等比数列{an}中的一项am及公比q,可以求出等比数列中的任意

一项an;(2)qn-m=

(m,n∈N*):表明已知等比数列{an}中的任意两项an和am,可以求出公比q.3.构造等比数列求通项公式当数列{an}不是等比数列时,往往需要利用待定系数法构造与之相关的等比数列.利用等

比数列的通项公式求出包含an的关系式,进而求出an.常见类型有:(1)an+1=can+d(c≠1,cd≠0)可化归为an+1-

=c

,当a1-

≠0时,数列

为等定点2等比数列通项公式的求解及应用比数列;也可消去常数项,由an+1=can+d,an=can-1+d(n≥2,n∈N*),两式相减,得an+1-an=c(an-an-1),当a2

-a1≠0时,数列{an+1-an}是公比为c的等比数列.(2)an+1=can+dn(cd≠0,c≠d)可化归为an+1-

=c

或将递推公式两边同除以dn+1化为(1)型或两边同除以cn+1,累加求通项.(3)an+1=can+dn+t(cdt≠0,c≠1)可化归为an+1-

=c

+dn,即(2)型.典例1已知数列{an}是等比数列,其中a7=1,且a4,a5+1,a6成等差数列,求数列{an}的通项公式.解析

设等比数列{an}的公比为q.解法一:由a7=a1q6=1,得a1=q-6,从而a4=a1q3=q-3,a5=a1q4=q-2,a6=a1q5=q-1.因为a4,a5+1,a6成等差数列,所以a4+a6=2(a5+1),即q-3+q-1=2(q-2+1),即q-1(q-2+1)=2(q-2+1),所以q=

,故an=a1qn-1=q-6·qn-1=

.解法二:由a7=1,得an=a7qn-7=qn-7,则a4=q-3,a5=q-2,a6=q-1.因为a4,a5+1,a6成等差数列,所以q-3+q-1=2(q-2+1),即q-1(q-2+1)=2(q-2+1),从而q=

,故an=qn-7=

.解法三:由a7=1,且a4,a5+1,a6成等差数列,知a4,a5+a7,a6成等差数列,所以a4+a6=2(a5+a7),即a4+a6=2q(a4+a6),易知a4,a6同号,所以a4+a6≠0,所以q=

,故an=a7qn-7=qn-7=

.典例2(1)已知数列{an}满足a1=1,a2=2,且an+1=2an+3an-1(n≥2,n∈N*),则数列{an}的通项公式为an

=

;(2)若数列{an}满足an+1=λan+3n,且数列

是等比数列,则实数λ的值为

.0或2解析

(1)由an+1=2an+3an-1(n≥2),可得an+1+an=3(an+an-1),即

=3,所以{an+1+an}是以a1+a2=3为首项,3为公比的等比数列,所以an+1+an=3×3n-1=3n,则

+

·

=

.不妨令cn=

,则cn+1+

cn=

,所以cn+1-

=-

,即

=-

,又c1-

=

-

=

,所以数列

是首项为

,公比为-

的等比数列,所以

-

=cn-

=

×

,所以an=

.(2)①若λ=0,则

=

,可得

-1=-

,此时数列

为等比数列;②若λ≠0,在等式an+1=λan+3n两边同时除以3n+1可得

=

+

=

·

+

,因为数列

为等比数列,所以可设

-1=

·

,则

-1=

·

-

,即

=

·

-

+1,则1-

=

,解得λ=2.综上所述,λ=0或λ=2.1.与等比数列有关的问题中,常常涉及次数较高的指数运算,若按常规的解题方法,则需建立

关于a1,q的方程组求解,这种方法运算量比较大,如果结合等比数列的有关性质(如若m+n=p+q

(m,n,p,q∈N*),则am·an=ap·aq)来求解,那么会简化运算过程.2.在应用等比数列的性质解题时,需时刻注意等比数列性质成立的前提条件.定点3等比数列性质的应用典例已知{an}为等比数列.(1)若an>0,a5a7+2a6a8+a6a10=49,求a6+a8;(2)若an>0,a5a6=9,求log3a1+log3a2+…+log3a10的值.解析

(1)由等比数列的性质,化简条件得

+2a6a8+

=49,即(a6+a8)2=49,∵an>0,∴a6+a8