苏教版高中数学选择性必修第一册第3章圆锥曲线与方程3-2-2双曲线的几何性质课件

知识点1

双曲线的几何性质3.2.2

双曲线的几何性质焦点位置焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程

-

=1(a>0,b>0)

-

=1(a>0,b>0)图形

几何性质范围x≤-a或x≥ay≤-a或y≥a对称性关于x轴、y轴、原点对称中心O(0,0)顶点A1(-a,0),A2(a,0)A1(0,-a),A2(0,a)轴线段A1A2叫作双曲线的实轴,长度为2a,线段B1B2叫作双曲线的虚轴,长度为2b渐近线直线y=±

x直线y=±

x离心率e=

,e∈(1,+∞)知识拓展1.双曲线的通径:过双曲线的焦点作垂直于实轴的直线,该直线被双曲线截得的弦叫作通径,

其长度为

,通径是过双曲线的一个焦点与同侧双曲线的一支相交所得弦中最短的一条.2.双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是b.3.双曲线

-

=1(a>0,b>0)右支上任意一点M到左焦点距离的最小值为a+c;到右焦点距离的最小值为c-a.4.焦半径:双曲线上一点P(x0,y0)与左(下)焦点F1或右(上)焦点F2之间的线段的长度叫作双曲线

的焦半径,记r1=PF1,r2=PF2.(1)对于

-

=1(a>0,b>0),若点P在右支上,则r1=ex0+a,r2=ex0-a;若点P在左支上,则r1=-ex0-a,r2=-ex0+a.(2)对于

-

=1(a>0,b>0),若点P在上支上,则r1=ey0+a,r2=ey0-a;若点P在下支上,则r1=-ey0-a,r2=-ey0+a.知识点2

两类特殊的双曲线等轴双曲线定义:实轴和虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线性质:①渐近线方程为y=±x,它们互相垂直,并且平分以双曲线的实轴和虚轴所成的角;②a=b,离心率e=

共轭双曲线定义:以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线叫作原双曲线的共轭双曲线性质:①它们有共同的渐近线;②它们的四个焦点共圆;③它们的离心率的倒数的平方和等于1知识辨析1.双曲线

-

=1(a>0,b>0)与

-

=1(a>0,b>0)的渐近线相同吗?2.双曲线的离心率越大,其开口越大,对吗?3.有相同渐近线的两条双曲线的离心率一定相等吗?一语破的1.不一定.双曲线

-

=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±

x,双曲线

-

=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±

x,若a=b,则两双曲线的渐近线相同;若a≠b,则两双曲线的渐近线不同.2.对.因为e=

=

=

,若a一定,则当e增大时,b增大,从而双曲线的开口变大.3.不一定.不妨设两条双曲线具有共同的渐近线y=±mx(m>0),则它们的方程分别为

-x2=λ1和

-x2=λ2(λ1≠λ2),若λ1,λ2同号,则它们的离心率相等,若λ1,λ2异号,则当且仅当m=1时,它们的离心率相等.定点1双曲线的几何性质及其应用 关键能力定点破1.由双曲线的方程研究其几何性质的步骤(1)将双曲线的方程化为标准方程;(2)根据标准方程确定焦点的位置,求出a,b的值;(3)由c2=a2+b2求出c的值,进而写出双曲线的几何性质.2.根据双曲线的几何性质求其标准方程(1)由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程,一般用待定系数法.当双曲线的焦点位置不明

确时,方程可能有两种形式,此时应注意分类讨论,为了避免讨论,也可设双曲线的方程为mx2+

ny2=1(mn<0).(2)常见双曲线方程的设法①渐近线为y=±

x的双曲线方程可设为

-

=λ(λ≠0,m>0,n>0);如果两条渐近线的方程为Ax±By=0,那么双曲线的方程可设为A2x2-B2y2=m(m≠0,A>0,B>0).②与双曲线

-

=1(a>0,b>0)共渐近线的双曲线方程可设为

-

=λ(λ≠0,λ≠1,a>0,b>0).③与双曲线

-

=1(a>0,b>0)的离心率相等的双曲线方程可设为

-

=λ(λ>0,a>0,b>0)或

-

=λ(λ>0,a>0,b>0),要注意由离心率不能确定焦点位置.④与椭圆

+

=1(a>b>0)共焦点的双曲线方程可设为

-

=1(b2<λ<a2).典例求适合下列条件的双曲线的标准方程:(1)渐近线方程为y=±

x,经过点P(2,2);(2)焦点在x轴上,离心率为

,且过点(2,

);(3)实轴长为2,且与椭圆

+

=1共焦点.解析

(1)设双曲线方程为x2-4y2=λ(λ≠0),将P(2,2)代入,解得λ=-12,所以双曲线的标准方程为

-

=1.(2)由e=

=

,得c=

a,又b2=c2-a2=(

a)2-a2=a2,故a=b,故可设双曲线的方程为

-

=1(a>0),把点(2,

)代入,得

-

=1,解得a2=2,所以双曲线的标准方程为

-

=1.(3)设双曲线方程为

-

=1(4<λ<8).因为实轴长为2,所以8-λ=1,解得λ=7.所以双曲线的标准方程为x2-

=1.

双曲线的渐近线与离心率是双曲线最重要的两个几何性质,需注意以下几点

以双曲线

-

=1(a>0,b>0)为例

:(1)渐近线的斜率

与离心率e的关系:

=

,e=

.(2)已知渐近线方程为y=mx(m>0)求离心率时,若焦点的位置不确定,则双曲线的离心率有两种

可能.(3)求双曲线离心率的方法①公式法:直接求出a,c或找出a,b,c之间任意两个的关系,代入公式e=

=

计算.②构造法:根据已知条件,结合c2=a2+b2,构造关于a,c的方程(不等式),两边同时除以a的最高次定点2双曲线的渐近线与离心率幂,转化为关于e的关系式,再结合e∈(1,+∞)得出结果.求解范围时,注意利用图形中的不等关

系(如三角形中的边角关系、曲线上的点到焦点的距离的范围等).③特例法:通过特殊值或特殊位置求解.典例(1)已知双曲线Γ:

-

=1(a>0)的一条渐近线方程是y=3x,则双曲线Γ的离心率为

;(2)设双曲线C:

-

=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,若过点F2且斜率为

的直线l与双曲线的右支交于A,B两点,则该双曲线的离心率的取值范围为

.(1,2)解析

(1)由已知可得双曲线的焦点在x轴上,b=9,一条渐近线方程为y=

x=3x