苏教版高中数学选择性必修第一册第5章导数及其应用5-3-1单调性练习含答案

5.3导数在研究函数中的应用5.3.1单调性基础过关练题组一利用导数研究函数的图象变化1.(2023江苏常州八校联考)已知函数f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示,则函数f(x)的单调递减区间是()A.(-2,1)B.(-2,0),(2,+∞)C.(-∞,-1)D.(-∞,-1),(1,+∞)2.(2024广东湛江第七中学月考)已知f'(x)是函数f(x)的导函数,y=f'(x)的图象如图所示,则y=f(x)的图象可能是()ABCD3.(2024山东泰安第一中学月考)已知函数f(x)(x∈R)的图象如图所示,则不等式xf'(x)>0的解集为()A.0,12∪(2,+∞)B.(-∞,0)C.(-∞,0)∪12,+∞4.(2024安徽亳州蒙城五校期中)已知函数f(x)的导函数是f'(x)=1-xABCD题组二利用导数确定函数的单调性与单调区间5.(2024山东聊城第一实验学校阶段性测试)函数f(x)=xlnx+1的单调递减区间是()A.0,1eB.(0,e)C.6.(多选题)(2024山东泰安长城中学月考)已知f(x)=lnxA.曲线f(x)在x=1处的切线方程为y=x+1B.f(x)的单调递减区间为(e,+∞)C.曲线f(x)在x=1处的切线方程为y=x-1D.f(x)的单调递增区间为(e,+∞)7.(2024河南信阳高级中学期中)函数y=2sinx1+1xABCD8.(2023江苏镇江扬中第二高级中学开学考试)函数f(x)=x22x题组三利用导数解决含参函数的单调性问题9.(2024江苏扬州中学月考)已知函数f(x)=ax-sinx(a∈R),则“a=1”是“f(x)在π2A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件10.(2023河南三门峡月考)已知函数f(x)=(x2-2ax)ex在[-1,1]上单调递减,则实数a的取值范围是()A.34,+∞B.11.(2024江苏南通如皋期中)若函数f(x)=ax3-3x2+x+1恰好有三个单调区间,则实数a的取值范围是()A.(-∞,3)B.(-∞,3]C.(-∞,0)∪(0,3]D.(-∞,0)∪(0,3)12.(多选题)(2024安徽蒙城第二中学月考)若函数f(x)=12x2A.m≥4B.m≤2C.1<m≤2D.0<m≤313.(2024江苏南通海安期中)已知函数f(x)=x2-ax+lnx(a∈R)的单调递减区间为12,1,则a=14.(2024江苏睢宁高级中学月考)已知函数f(x)=(x2-2x+a)ex.(1)若f(x)在[1,5]上单调递增,求a的取值范围;(2)讨论函数f(x)的单调性.题组四导数与函数的单调性的应用15.(2024江苏无锡第六高级中学月考)设函数f(x),g(x)在R上的导函数分别为f'(x),g'(x),且f'(x)>g'(x)恒成立,则当x∈(a,b)时,下列不等式中一定成立的是()A.f(x)>g(x)B.f(x)<g(x)C.f(x)+g(a)>g(x)+f(a)D.f(x)+g(b)>g(x)+f(b)16.已知命题p:∃θ∈0,π4,(cosθ)sinθ≤(sinθ)cosθ,则¬p是17.(2024江苏镇江扬中高级中学学情检测)已知正实数x,y满足e1-2x=(2x+y)ey,则x+2x2y18.(2024江苏泰州姜堰中学期中)已知定义在[-4,4]上的函数f(x)的导函数为f'(x),且满足f'(x)>f(x),则不等式ex-1f(1+x)-f(2x)<0的解集是.

能力提升练题组一利用导数研究函数的图象变化1.设f'(x)是函数f(x)的导函数,y=f(x)的图象如图所示,则f(x)·f'(x)>0的解集是()A.(2,3)∪(5,+∞)B.(-∞,0)∪(1,3)C.(-1,1)∪(2,3)∪(5,+∞)D.(-∞,-1)∪(1,2)∪(3,5)2.(2024河北部分重点高中模拟)已知函数f(x)的部分图象如图所示,则函数f(x)的解析式可以为()A.f(x)=xln|xC.f(x)=x3(3.(多选题)(2024山西晋中平遥第二中学质检)函数f(x)=x3+ax2+2x(a∈R)的大致图象可能为()ABCD题组二导数与函数的单调性及其应用4.(2024江苏连云港灌南高级中学月考)若函数f(x)为定义在R上的偶函数,当x∈(-∞,0)时,f'(x)>2x,则不等式f(3x-1)-f(2)>(3x-3)(3x+1)的解集为()A.-∞,-13C.(1,+∞)D.-5.(2024江苏苏州常熟中学抽测)已知奇函数f(x)(x≠0)的导函数为f'(x),且满足f(-2)=0.当x>0时,3f(x)>xf'(x),则使得f(x)>0成立的x的取值范围为()A.(-∞,-2)∪(0,2)B.(-2,0)∪(2,+∞)C.(-∞,-2)∪(2,+∞)D.(-2,0)∪(0,2)6.(2024江苏盐城期中)已知a=214−A.b>c>aB.b>a>cC.a>b>cD.c>b>a7.(多选题)(2022江苏南通一模)若函数f(x)=-xA.f(3)>f(2)B.m≥2C.fln22<f1D.logm(m+1)>log(m+1)(m+2)8.(2023江苏南通质检)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,当x>0时,f'(-x)>2f(x),且f(3)=0,则不等式f(x)>0的解集为.

题组三利用导数解决含参函数的单调性问题9.(2023山东聊城高唐一中月考)已知函数f(x)=ax2-4ax-lnx,则f(x)在(1,4)上不单调的一个充分不必要条件是()A.a>-1C.a>116或-10.(2024江苏新高考基地学校大联考)∀x1,x2∈(1,3],当x1<x2时,e3A.(3,+∞)B.[3,+∞)C.(9,+∞)D.[9,+∞)11.(2023山东菏泽明德学校月考)已知函数f(x)=ex+x2-ax+2(a>0),其中e是自然对数的底数.若函数f(x)与函数f(f(x))的单调区间相同,则实数a的取值范围为.

12.(2024江苏南京东山高级中学期中)已知函数f(x)=x+(1)求f(x)的单调区间;(2)若3+2lnxe13.已知函数f(x)=x-1-alnx.(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)已知函数g(x)=4x,若当a<0时,对任意x1,x2∈(0,1]都有|f(x1)-f(x2)|≤|g(x1)-g(x2

答案与分层梯度式解析5.3导数在研究函数中的应用5.3.1单调性基础过关练1.B由题图知,当-2<x<0或x>2时,f'(x)<0,因此f(x)的单调递减区间为(-2,0),(2,+∞).故选B.2.C由导函数的图象可得当x<0时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当0<x<2时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x>2时,f'(x)>0,f(x)单调递增,故C中图象符合.故选C.3.A由题图可知当x<12或x>2时,f(x)单调递增,f'(x)>0,当1xf'(x)>0等价于x>0,f'(x)>4.B由题知f(x)的定义域为[-1,1],且f'(x)≥0,则f(x)在[-1,1]上单调递增,又y=1-x2在(0,1)上单调递减,在(-1,0)上单调递增,y=x在[-1,1]上单调递增,所以由复合函数“同增异减”可知f'(x)在(0,1)上单调递减,在(-1,0)上单调递增,即当x∈[-1,1]时,f'(x)的值由小变大再变小,即f(x)的图象从左到右的递增趋势是先慢后快再变慢.故选B.5.Af'(x)=1+lnx,令f'(x)=0,得x=1e当x∈0,1e时,f'(x)<0,当x∈1e,+∞时,f'(x)>0,所以f(x)在0,1e6.BC由f(x)=lnxx得f'(x)=所以曲线f(x)在x=1处的切线的斜率为f'(1)=1-ln112=1,又f(1)=所以曲线f(x)在x=1处的切线方程为y=x-1,A错误,C正确;易知函数f(x)的定义域为(0,+∞),令f'(x)>0,得0<x<e,令f'(x)<0,得x>e,所以f(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减,B正确,D错误.故选BC.7.A设f(x)=2sinx1+1x2=易得f'(x)=(4=2x当0<x<π2时,f'(x)>0,所以f(x)在0,π2上单调递增,故排除B、D.8.答案0,解析f'(x)=2x令f'(x)=0,得x=0或x=2ln2当x∈(-∞,0)时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减;当x∈0,2当x∈2ln2故f(x)的单调递增区间为0,29.B当a=1时,f(x)=x-sinx,f'(x)=1-cosx≥0,∴f(x)在R上单调递增,故充分性成立,当f(x)在π2,+∞上单调递增时,f'(x)=a-cosx≥0,即a≥cosx,∴a故“a=1”是“f(x)在π2,+∞上单调递增”的充分不必要条件.故选方法总结若f(x)在区间[a,b]上单调递增,则[a,b]是f(x)的单调递增区间的子集,即f'(x)≥0在区间[a,b]上恒成立;若f(x)在区间[a,b]上存在单调递增区间,则f'(x)>0在区间[a,b]上有解.10.A由已知得f'(x)=(2x-2a)ex+(x2-2ax)ex=(x2-2ax+2x-2a)ex,∵函数f(x)在[-1,1]上单调递减,∴f'(x)≤0在[-1,1]上恒成立,即x2-2ax+2x-2a≤0在[-1,1]上恒成立,∴(-1)2-2(1-a∴a的取值范围是34,+∞.故选11.D由已知得f'(x)=3ax2-6x+1,由f(x)恰好有三个单调区间,得f'(x)有两个不相等的零点,∴a≠0,且Δ=36-12a>0,∴a<3且a≠0,∴a∈(-∞,0)∪(0,3).故选D.12.AC由已知得f'(x)=x-9x令f'(x)>0,得x>3,令f'(x)<0,得0<x<3,所以f(x)的单调递增区间为(3,+∞),单调递减区间为(0,3),因为函数f(x)在[m-1,m+1]上单调,所以m-1>0,m+1≤3或m-1≥故选AC.13.答案3解析由题意可得f(x)的定义域为(0,+∞),且f'(x)=2x-a+1x=2x2-ax+1x,∵f(x)的单调递减区间为12∴12+1=a14.解析(1)由已知得f(x)的定义域为R,f'(x)=(2x-2)ex+(x2-2x+a)ex=(x2+a-2)ex,因为f(x)在[1,5]上单调递增,所以f'(x)≥0在[1,5]上恒成立,则(x2+a-2)ex≥0在[1,5]上恒成立,因为ex>0恒成立,所以x2+a-2≥0在[1,5]上恒成立,即a-2≥-x2在[1,5]上恒成立,即a-2≥(-x2)max,因为1≤x≤5,所以-25≤-x2≤-1,所以a-2≥-1,则a≥1,故a的取值范围是[1,+∞).(2)由(1)得f'(x)=(x2+a-2)ex,当a≥2时,f'(x)≥0,f(x)在R上单调递增;当a<2时,f'(x)=[x2-(2-a)]ex=(x+2-a)(x−2-由f'(x)>0得x<-2-a或x>2-由f'(x)<0得-2-a所以f(x)在(-2-a,2-a)上单调递减,在(-∞,-综上,当a≥2时,f(x)在R上单调递增;当a<2时,f(x)在(-∞,-2-a)和(2-a,+∞)上单调递增,在(-方法总结对于f'(x)=g'(x)-a,要想判断f'(x)的正负,首先求出g'(x)的值域,然后分类讨论a与g'(x)的值域的关系,a在g'(x)的值域外,f'(x)恒正或恒负;a在g'(x)的值域内,f'(x)有正有负.15.C令F(x)=f(x)-g(x),则F'(x)=f'(x)-g'(x)>0,则F(x)在(a,b)上单调递增,故F(a)<F(x)<F(b),即f(a)-g(a)<f(x)-g(x)<f(b)-g(b),则f(x)+g(a)>g(x)+f(a),f(x)+g(b)<g(x)+f(b),所以C正确,D错误;无法判断f(x)与g(x)的大小,故A、B不一定成立.故选C.16.答案真解析¬p:∀θ∈0,π4,(cosθ)sinθ>(sinθ)由θ∈0,π(cosθ)sinθ>(sinθ)cosθ⇔sinθln(cosθ)>cosθln(sinθ)⇔ln(cosθ令f(x)=lnxx(0<x<1),则f'(x)=又0<sinθ<cosθ<1,故ln(cosθ)cosθ>17.答案2解析将e1-2x=(2x+y)ey变形为e1-2x=ey+ln(2x+y),则1-2x=y+ln(2x+y),即2x+y+ln(2x+y)=1,令g(t)=lnt+t(t>0),则g'(t)=1t又g(1)=1,所以2x+y=1,则x+2x2y+当且仅当xy=yx且2x+y=1,即x=y=18.答案(1,2]解析设g(x)=f(则g'(x)=f'(因为f'(x)>f(x),所以g'(x)>0,故g(x)在[-4,4]上单调递增,不等式ex-1f(1+x)-f(2x)<0等价于ex-1g(1+x)e1+x-g(2x)e2x<0,故g(1+x)-g(2x)<0,即g(1+x)<g(2x),因为g(x)在[-4,4]上单调递增,所以-4≤1+x<2x≤4,解得1<x≤2.故不等式的解集为(1,2].能力提升练1.C由题中函数f(x)的图象可知当x<-1时,f(x)>0,且单调递减,则f'(x)<0,故f(x)·f'(x)<0;当-1<x<1时,f(x)<0,且单调递减,则f'(x)<0,故f(x)·f'(x)>0;当1<x<2时,f(x)<0,且单调递增,则f'(x)>0,故f(x)·f'(x)<0;当2<x<3时,f(x)>0,且单调递增,则f'(x)>0,故f(x)·f'(x)>0;当3<x<5时,f(x)>0,且单调递减,则f'(x)<0,故f(x)·f'(x)<0;当x>5时,f(x)<0,且单调递减,则f'(x)<0,故f(x)·f'(x)>0.故f(x)·f'(x)>0的解集是(-1,1)∪(2,3)∪(5,+∞),故选C.2.D对于A,要使函数f(x)有意义,则|x所以函数f(x)的定义域为(-∞,-3)∪(-3,-2)∪(-2,-1)∪(-1,+∞),故A不正确;对于B,由题图知函数f(x)的图象过原点,而f(0)=1e-1对于C,f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(-1,+∞),且f(0)=0,f'(x)=x3+3x对于D,f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(-1,+∞),且f(0)=0,f'(x)=1-x(x+1)3,当x<-1时,f'(x)<0,当-1<x<1时,f'(x)>0,当x>1时,f'(x)<0,所以f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上单调递减,在(-1,1)上单调递增,与题图相符,故3.ABC由已知得f(x)的定义域为R,f'(x)=3x2+2ax+2.当Δ=(2a)2-4×3×2≤0,即-6≤a≤6时,f'(x)≥0对任意x∈R恒成立,所以f(x)在R上单调递增,故C正确;当Δ=(2a)2-4×3×2>0,即a<-6或a>6时,设方程3x2+2ax+2=0的两根分别为x1,x2(x1<x2),可知x1x2=23>0,x1,x2令f'(x)<0,得x1<x<x2;令f'(x)>0,得x<x1或x>x2,所以f(x)在(-∞,x1)上单调递增,在(x1,x2)上单调递减,在(x2,+∞)上单调递增,故A、B正确,D错误.故选ABC.4.D令g(x)=f(x)-x2,因为f(x)为偶函数,所以g(x)为偶函数,当x∈(-∞,0)时,f'(x)>2x,所以g'(x)=f'(x)-2x>0,故g(x)在(-∞,0)上单调递增,由f(3x-1)-f(2)>(3x-3)(3x+1),得f(3x-1)-(3x-1)2>f(2)-22,所以g(3x-1)>g(2),故|3x-1|<2,解得-13所以不等式的解集为-13,1.5.A令F(x)=f(x)x3,x∈因为当x>0时,3f(x)>xf'(x),所以F'(x)<0恒成立,故F(x)在(0,+∞)上单调递减,又f(x)(x≠0)为奇函数,所以F(-x)=f(-x)当x>0时,若f(x)>0,则F(x)>0,故0<x<2,当x<0时,若f(x)>0,则F(x)<0,故x<-2,故使得f(x)>0成立的x的取值范围为(-∞,-2)∪(0,2).故选A.6.Ca2=212−2+2-令g(x)=lnx-x+1x令f(x)=2x-x-1,则f'(x)=1x-1<0在(1,+∞)上恒成立,∴f(x)∴f(x)<f(1)=0,故g'(x)<0,∴g(x)在(1,+∞)上单调递减,即g(x)<g(1)=0,∴当x>1时,lnx<x−1x,则ln217.ABD当x≥1时,f(x)=x+1-lnx,则f'(x)=1-1x≥0,所以f(x)在[1,+∞)上单调递增,所以f(x)≥f(1)=2,且f(3)>f(2),故A正确当x<1时,f(x)=-x3-x+2+m,则f'(x)=-3x2-1<0,所以f(x)在(-∞,1)上单调递减,所以f(x)>-13-1+2+m=m.故当x≥1时,f(x)≥2,当x<1时,f(x)>m,因为f(x)的值域是[2,+∞),所以m≥2,故B正确.令g(x)=lnxx,则g'(x)=所以g(2)<g(e),即ln22又1e所以fln22令h(x)=ln(x+1)lnx,则h'(x)=令H(x)=xlnx,则H'(x)=lnx+1,令H'(x)>0,得x>1e因此当x>1时,xlnx<(x+1)ln(x+1),所以当x>1时,h'(x)<0,所以h(x)在(1,+∞)上单调递减,因为m≥2,所以h(m)>h(m+1),即ln(m+1)lnm>ln(m+2)ln(m+1)8.答案(-3,0)∪(3,+∞)解析由题意得f(-x)=-f(x),两边求导得-f'(-x)=-f'(x),即f'(-x)=f'(x),又因为x>0时,f'(-x)>2f(x),所以f'(x)>2f(x),构造函数h(x)=f(x)所以当x>0时,h'(x)>0,则h(x)在(0,+∞)上单调递增.又因为f(3)=0,所以h(3)=0,故在(3,+∞)上h(x)>0,在(0,3)上h(x)<0,又因为e2x>0,所以当x>0时,在(3,+∞)上f(x)>0,在(0,3)上f(x)<0,因为f(x)为奇函数,所以当x<0时,在(-∞,-3)上f(x)<0,在(-3,0)上f(x)>0.综上所述,f(x)>0的解集为(-3,0)∪(3,+∞).9.D易得f'(x)=2ax-4a-1x令g(x)=2ax2-4ax-1,易知其图象的对称轴方程为x=1,由题意可得函数g(x)在区间(1,4)上有零点.当a=0时,显然不成立;当a≠0时,只需a解得a>116或a<-12.所以f(x)在(1,4)上不单调的一个充分不必要条件即为-∞,-1210.D原不等式等价于e3x1e3x2>x1x2a,即lne3x1e令f(x)=3x-alnx,x∈(1,3],则∀x1,x2∈(1,3],当x1<x2时,f(x1)>f(x2),故f(x)在(1,3]上单调递减,即∀x∈(1,3],f'(x)=3-ax≤0,则a≥3x,由x∈(1,3]得3x∈(3,9],所以a≥所以实数a的取值范围是[9,+∞).故选D.11.答案(0,e+2]解析易得f'(x)=ex+2x-a.设h(x)=ex+2x-a,则h'(x)=ex+2>0,所以f'(x)单调递增,又f'(-1)=1e-2-a<0,f'(a)=ea所以存在x0∈(-1,a),使得f'(x0)=ex0+2x0-a=0,即a=ex当x>x0时,f'(x)>0,f(x)在(x0,+∞)上单调递增,当x<x0时,f'(x)<0,f(x)在(-∞,x0)上单调递减.设g(x)=f(f(x)),因为函数f(x)与函数g(x)的单调区间相同,所以函数g(x)在(-∞,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增,又g'(x)=f'(f(x))·f'(x),所以f'(f(x))≥0对任意x∈R恒成立,即f(x)≥x0恒成立.因为f(x)min=f(x0)=ex0+所以ex0+x02-ax将a=ex0+2x0代入上式,整理,得(x0-1)(ex0+x因为a=ex0+2x0>0,所以ex