苏教版高中数学选择性必修第一册第3章圆锥曲线与方程3-2-2双曲线的几何性质练习含答案

3.2.2双曲线的几何性质基础过关练题组一根据双曲线的标准方程研究其几何性质1.双曲线4x2+ky2=4k的虚轴长是实轴长的2倍,则实数k的值是()A.16B.12.(多选题)(2024江苏宿迁泗阳实验高级中学开学测试)已知双曲线C:x2A.C的实轴长为2B.若C的两条渐近线相互垂直,则m=2C.若C的一个焦点为(2,0),则m=2D.若m=2,则C上的点到焦点距离的最小值为23.(多选题)(2024江苏盐城联盟期中)设F1,F2分别是双曲线C:x2m−y2A.m=2B.存在实数t,使直线y=2x+t与双曲线的左、右两支各有一个交点C.C的虚轴长是2D.C的离心率是2题组二由双曲线的几何性质求其标准方程4.(2024山东临沂开学考试)已知双曲线C:y2A.y2-x2C.y25.(教材习题改编)已知双曲线C:x2A.x2C.x26.(2024天津百中期中)与椭圆C:x225+A.x2C.x27.(2024江苏连云港赣榆期中)已知双曲线E:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F(1)求E的方程;(2)设点P为线段AB的中点,求直线OP的方程.题组三双曲线的渐近线8.(2023江苏镇江句容碧桂园学校期中)若双曲线C:x2A.25B.6C.29.(2024河北部分高中期中)已知双曲线C:x2a2A.2B.1C.110.(2024重庆十一中期中)已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的虚轴的一个端点为D,F1,FA.y=±78C.y=±21411.(多选题)(2023江苏扬州宝应中学期中)已知双曲线C过点(3,2),且渐近线方程为y=±33A.双曲线C的方程为x23-yB.双曲线C的离心率为3C.曲线y=ex-2-1经过双曲线C的一个焦点D.焦点到渐近线的距离为1题组四双曲线的离心率12.(2023江苏南通如东期中)过双曲线x2A.2B.2C.13.(2024江苏盐城一中、大丰中学联考)设F1,F2是椭圆C1:x2a12+y2b12=1(a1>b1>0)与双曲线C2:x2a22−y2b22=1(aA.(1,2]B.(1,3]C.[14.(2024江苏南京第九中学调研)已知F1,F2分别是双曲线C:x2a2−y2bA.215.(2024河南焦作第一中学月考)已知双曲线C:x2(1)若双曲线C为等轴双曲线,且过点P(2,3),求双曲线C的方程;(2)经过原点O且倾斜角为45°的直线l与C的右支交于点M,△OMF是以线段OF为底边的等腰三角形,求双曲线C的离心率.能力提升练题组双曲线的几何性质及其应用1.(2023江苏淮安涟水第一中学月考)若双曲线C:y2a2−xA.8B.10C.12D.162.(2023江苏连云港灌云期中)已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线的方程为x-2y=0,左焦点在直线x+y+5=0上,A,B分别是左、右顶点,点P为右支上位于第一象限的动点,直线PA,PB的斜率分别为kA.[2,+∞)B.(2,+∞)C.(2,+∞)D.(1,+∞)3.(2024江苏苏州调研)已知双曲线C:x2a2A.24.(2023吉林长春实验中学期中)已知F1,F2是椭圆与双曲线的公共焦点,P是它们的一个公共点,且PF1>PF2,线段PF1的垂直平分线过F2,若椭圆的离心率为e1,双曲线的离心率为e2,则2eA.65.(2024四川部分学校联考)已知F1,F2分别是双曲线Γ:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过F1的直线分别交双曲线左、右两支于A,B两点,点C在x轴上,A.y=±63C.y=±626.(2024江苏南京六校联考)已知圆C1:x2+y2=b2(b>0)与双曲线C2:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0),在C2上存在一点P,过点P作圆CA.1,52B.52,+∞C.(1,7.(多选题)(2024江西九江第一中学期中)过双曲线C:x2A.存在四条直线l,使AB=6B.存在直线l,使弦AB的中点为(4,1)C.与该双曲线有相同渐近线且过点(8,10)的双曲线的标准方程为y2D.若A,B都在该双曲线的右支上,则直线l斜率的取值范围是-∞,-8.(多选题)(2024重庆十一中期中)随着我国航天科技的快速发展,双曲线镜的特性使得它在天文观测中具有重要的作用,双曲线的光学性质是:从双曲线的一个焦点发出的光线,经双曲线反射后,反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.由此可得,过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角.已知F1,F2分别为双曲线C:x24-y2=1的左、右焦点,过C右支上一点A(x0,y0)(x0>2)作直线l交x轴于MA.C的渐近线方程为y=±12B.过点F1作F1H⊥AM于H,则OH=2C.点N的坐标为0,D.四边形AF1NF2的面积的最小值为259.(2023江苏南京第十三中学调研)已知双曲线C:x2-2y2=1的左、右顶点分别为A,B,点P(x,y)是双曲线C在第一象限内的点,则yx-1+10.(2024辽宁朝阳联考)设双曲线C:x2a2−y(1)若b<22(2)若∠AOB恒为锐角,求C的实轴长的取值范围.11.(2023湖南长沙期中联考)已知椭圆C1:x24+y2=1与双曲线C2:x2a2−y(1)求双曲线C2的标准方程;(2)若曲线C1与C2在第一象限内的交点为P,求证:∠F1PF2=90°;(3)过右焦点F2的直线l与双曲线C2的右支交于A,B两点,与椭圆C1交于C,D两点,记△AOB,△COD的面积分别为S1,S2,求S1

答案与分层梯度式解析3.2.2双曲线的几何性质基础过关练1.C双曲线方程可化为x2k+y24=1,易知k<0,所以双曲线的焦点在y轴上,且a2=4,b2=-k,所以2a=4,2b=2-2.BC由题意知a=2,则实轴长为2a=22,A错误;渐近线方程为y=±m2x,若两条渐近线相互垂直,则-m2=-1,∴m=2,B由(2,0)为焦点,知c=2,则2+m=c2=4,得m=2,C正确;若m=2,则双曲线C:x22−故选BC.3.AD由于双曲线的焦点在x轴上,所以m>0,由于F1F2=4,所以2c=4,c=2,则m+m=c2=4,故m=2,A正确;由m=2得双曲线的方程为x22−y22=1,则a=b=2,所以虚轴长为22易得渐近线的方程为y=±x,斜率为±1,由于直线y=2x+t的斜率为2>1,所以不存在实数t,使直线y=2x+t与双曲线的左、右两支各有一个交点,B错误.故选AD.4.C由题意知双曲线的焦点在y轴上,2a=4,-ab=-2,即a=2,b=1,故C的标准方程为y24-x2=1.5.B因为双曲线C的渐近线方程为x±2y=0,所以可设C的方程为x2-4y2=λ(λ≠0),把点(4,1)代入得λ=42-4×1=12,所以C的方程为x2-4y2=12,即x212−y方法技巧若题目中已知双曲线的渐近线方程为Ax±By=0,求双曲线的标准方程时,标准方程可设为A2x2-B2y2=m(m≠0,A>0,B>0),再代入某点坐标求解.6.C解法一:易得椭圆C中c=3,记F1(-3,0),F2(3,0),所以|PF1-PF2|=|25+2−所以a=3,所以b=c2-a2=6解法二:由题意可设双曲线的标准方程为x225-把点P(2,2)代入,得425-∴双曲线的标准方程为x2方法技巧与椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)有共同焦点的双曲线方程可设为7.解析(1)因为|AF2-AF1|=4,所以2a=4,即a=2.因为斜率为2的直线l与E的一条渐近线垂直,所以-ba所以E的方程为x24-y(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),则Px1+x22又点A,B在双曲线E上,所以x两式相减得(x两边同时除以(x2-x1)(x2+x1),并整理得kOP·kAB=b2又kAB=2,a=2,b=1,所以kOP=18,所以直线OP的方程为y=18.C由题意得双曲线的这条渐近线方程为2x-ay=0,由两直线垂直得2×3-2a=0,解得a=3,∴c2=a2+b2=13,∴双曲线的焦点坐标为(13,0),(−13,0),易知虚轴的一个顶点坐标为(0,2),∴S=12×29.B由题意得渐近线l的方程为y=bax,即bx-ay=0,点F(c,0),则FA=|因为FB=BA,所以B为线段AF的中点,则BF=设双曲线C的左焦点为F1,则BF1=2a+b2在△BFF1中,cos∠BFF1=BF又AF⊥OA,所以cos∠BFF1=AFOF=bc10.D由题意知虚轴的端点为(0,±b),不妨取D(0,b),A在x轴上方,联立x=2a,所以△ABD重心的坐标为2a+2a易得以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=c2,因为△ABD的重心在以F1F2为直径的圆上,所以43a2+b29=c2=a2+b2,所以11.ACD设双曲线C的方程为Ax2+By2=1(AB<0),将点(3,2)代入可得9A+2B=1①,因为渐近线方程为y=±33x,所以±-AB=±由①②解得A=13,B=-1,故双曲线的方程为x23-y2=1,由A可知a=3,b=1,c=2,所以离心率e=ca双曲线的焦点坐标为(±2,0),其中(2,0)在双曲线y=ex-2-1上,C正确.焦点(2,0)到渐近线3x±3y=0的距离为|23|3+9=1,D正确.12.B双曲线的渐近线方程为y=±ba不妨取A(a,-b),B(a,b),左焦点为F1(-c,0),∵△ABF1为正三角形,∴a+cb=3,即(a+c)213.B不妨设F1(-c,0),F2(c,0),由椭圆及双曲线的定义得M在△MF1F2中,由余弦定理得4c2=(a1+a2)2+(a1-a2)2-2(a1+a2)(a1-a2)cos60°=a1两边同时除以c2得1e因为e1∈33,1,所以e12∈13,1,所以1e1故选B.14.A过F2作F2N⊥AB于点N(图略),设AF2=BF2=m,则AF1=m-2a,BF1=2a+m,∴AB=BF1-AF1=4a,AN=2a,F1N=m,由题意知∠BF1F2=30°,∴在Rt△F1NF2中,F2N=F1F2sin30°=c,F1N=F1F2cos30°=3c,在Rt△ANF2中,AN2+NF2即(2a)2+c2=(3c)2,即2c2=4a2,∴e=ca=2.15.解析(1)由题意可知a=b,把点P(2,3)代入方程得4a2−3b2=1,解得a(2)解法一:易知△OMF是等腰直角三角形,OF=c,过M作MA⊥x轴于点A,则Ac2设左焦点F1(-c,0),由双曲线的定义知MF1-MF=2a,∴2a=3c22解法二:同解法一得Mc2∵点M在C上,∴c24a2−c24b2=1,即∵e>1,∴e=3+5能力提升练1.A易知双曲线的渐近线方程为y=±a2x,不妨设直线y=a2x,即ax-2y=0被圆(x-2)2+y2=4所截得的弦长为2,所以圆心(2,0)到直线ax-2y=0的距离为|2a|a2+4=4-1=3,解得a2.D由双曲线的一条渐近线方程为x-2y=0,得a=2b,在x+y+5=0中,令y=0,得x=-5,故左焦点为(-5,0),则c=5,结合c2=a2+b2得a=2,b=1,故A(-2,0),B(2,0),设P(x,y),x>2,y>0,则k1·k2=yx因为P在第一象限内,所以k1>0,k2>0,则k1+k2≥2k1k2=1,显然k1≠k2,故等号不成立,即k1+k2>1.3.B由题意得双曲线的右焦点为F(c,0),渐近线方程为bx±ay=0,∵OB·BF=0,∴OB⊥BF,故F到渐近线的距离为BF=∴OB=OF则tan∠AOB=2ba,tan∠FOB=ba,tan2∠由∠AOB=π-2∠FOB,得tan∠AOB+tan2∠FOB=0,即2ba+则c2a2=a2+b4.C设椭圆的长轴长为2a1(a1>0),双曲线的实轴长为2a2(a2>0),由题意可知F1F2=F2P=2c,不妨设点P在第一象限内,由椭圆及双曲线的定义得F1P+F2P=2a1,F1P-F2P=2a2,∴F1P+2c=2a1,F1P-2c=2a2,两式相减,可得4c=2a1-2a2,即a1-a2=2c,则2e1+e22=2a1c+c25.D因为CB=4F2A,所以△F1AF2在双曲线中,易知F1F2=2c,则F2C=6c,设AF1=t,则BF1=4t,AB=3t.由BF2平分∠F1BC及角平分线定理可知BF所以BC=3BF1=12t,所以AF2=14由双曲线定义知AF2-AF1=2a,即3t-t=2a,解得t=a.由BF1-BF2=2a,得BF2=4t-2a=2t=2a,所以AB=AF2=3a,即△ABF2是等腰三角形.由余弦定理知cos∠F1BF2=BF即16a2+4a2-4c216a2=136.B连接OB,OA,OP,则OA⊥AP,由切线长定理可知PA=PB,易证得△AOP≌△BOP,所以∠APO=∠BPO=12∠APB=π设P(x,y),且|x|≥a,则y2=b2x2OP=2b=x2所以ba≥1故选B.7.ACD由已知得a=2,b=5,c=3,对于A,双曲线的通径为2b2a=5<6,实轴长为2a=4<6,故有四条直线l满足题意,故对于B,假设存在满足题意的直线l,设其方程为y-1=k(x-4),与x24−y25=1联立,得(5-4k2)x设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=8k-32k25-4k2,y1+y2=k(x所以8k对于C,设与该双曲线有相同渐近线的双曲线的方程为x24−y把点(8,10)代入得λ=-4,所以该双曲线的标准方程为y220−x对于D,设直线l的方程为x=my+3.联立x24-y2设A(xA,yA),B(xB,yB),则yA+yB=-30m若A、B都在该双曲线的右支上,则yAyB=255即5m2-4<0,解得1m>52或1m<−解后反思求解本题要熟记两个结论:一是双曲线的通径,即过双曲线的焦点作垂直于实轴的直线,该直线被双曲线截得的弦叫通径,其长为2b2a,它是过双曲线焦点的弦中最短的一条;二是与双曲线x2a28.ABD对于A,由已知可得a=2,b=1,所以双曲线的渐近线方程为y=±12x,故A正确对于B,易得kAM=y0所以直线AM的方程为y=x0联立y=x04y0x-1由双曲线的光学性质可知AM平分∠F1AF2,延长F1H与AF2交于点E(图略),则AH垂直平分F1E,即H为F1E的中点.又O是F1F2的中点,所以OH=12F2E=12(AE−AF2对于C,设N(0,yN),则y0整理可得-x02yN+4yN=4y又x024−y02=1,所以x02=4+4y02,所以-(4+4y对于D,S四边形当且仅当|y0|=1|y0所以四边形AF1NF2的面积的最小值为25,故D正确.故选ABD.9.答案(2,+∞)解析由双曲线方程可知A(-1,0),B(1,0),则kPB=yx∵点P(x,y)在双曲线上,∴x2-2y2=1,∴kPA·kPB=y2x2-1=令kPA=m,则kPB=12则yx-1+yx+1=12∵双曲线渐近线的斜率为±22,∴m≠2∴yx-1+10.解析