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文档简介
海南省琼海市2022届高三高考模拟考试(三模)数学试题
学校:姓名:班级:考号:
一、单选题
1.设集合A={X|2,28}、集合8={X|-1VX25},则AD8=()
A.{x\-]<x<3]B.{x|3<x<5}
C.{x\x>-\}D.{x|x>3)
2.已知复数z满足z(l+i)=2i,则|z|=()
A.2B.0C.2&D.40
3.若圆锥的表面积为6兀,圆锥的高与母线长之比6:2,则该圆锥的体积为()
A.2;匝B.2扇C.空三D,我立
344
4.北宋数学家贾宪创制的数字图式(如图)又称“贾宪三角”,后被南宋数学家杨辉引
用、〃维空间中的几何元素与之有巧妙联系、例如,1维最简几何图形线段它有2个0
维的端点、1个1维的线段:2维最简几何图形三角形它有3个0维的端点,3个1维
的线段,1个2维的三角形区域;如下表所示.从1维到6维最简几何图形中,所
有1维线段数的和是()
元素维度
0123
几何体维度
〃=1(线段)21
〃=2(三角形)331
〃=3(四面体)4641
A.56B.70C.84D.28
5.已知角。终边上一点的坐标为(3,1),则sin2a+8s2a=()
A.--B.-C.3D.1
5555
6.。为坐标原点,F为抛物线C:V=4x的焦点,尸为C上一点,若|PF|=4,则
△POF的面积为
A.B.£C.2D.3
7.已知数列{(?“}中,4=2,“2=4,为+%+|+%+2=2,则々022=()
A.4B.2C.-2D.-4
8.设函数"X)定义域为凡f(x-l)为奇函数,/(x+1)为偶函数,当时,
/(x)=-x2+l,则函数y=/(x)+lgx有()个零点
A.4B.5C.6D.7
二、多选题
9.某学校组织了一次劳动技能大赛,共有100名学生参赛,经过评判,这100名参赛
者的得分都在[40,90]内,得分60分以下为不及格,其得分的频率分布直方图如图所示
(按得分分成[40,50),150,60),[60,70),[70,80),[80,90]这五组),则下列结论正确
A.直方图中。=0.005
B.此次比赛得分及格的共有55人
C.以频率为概率,从这100名参赛者中随机选取1人,其得分在[50,80)的概率为
0.75
D.这100名参赛者得分的第80百分位数为75
10.将函数/(x)=®cos(5+',l的图象向左平移;个单位长度得到函数g(x)的图
象与/“)图象重合,则。的值可以为()
A.-4B.8C.12D.16
11.在棱长为2的正方体ABCD-ABCIA中,过AB作一垂直于直线的平面交平
面ADAA于直线/,动点M在直线/上,则()
A.B.C1/
B.三棱锥BBC的体积为定值
C.四棱锥M-BBCC为正四棱锥时,该四棱锥的外接球表面积为9兀
D.直线8M与直线C。所成角的正切值的最大值是百
12.已知函数,(x)=e'+Mt,xeR(e为自然对数),则下列判断正确的是()
A.当切=-1时,函数/(x)在(7,0)上单调递减
B.当〃?=0时,/(x)-lnx23在(0,+oo)上恒成立
C.对任意的加>0,函数Ax)在(-oo,0)上一定存在零点
D.存在加<0,函数f(x)有唯一极小值
三、填空题
13.已知平面向量5,5满足()+5)=2,且1,1=2,出|=1,则|1+5|=
14.(孤的展开式中含/项的系数为.(用数字作答)
21
15.己知。>0,b>0,。+27?=1请写出使得“加<一+丁”恒成立的一个充分不必要条
ab
件为.(用含"的式子作答)
四、双空题
,r2v2
16.已知双曲线二=1(a>0,Z?>0),焦点耳(一c,0),乙(c,0)(c>0),若过
ab
左焦点1的直线和圆(x-、)+y2=?相切,与双曲线在第一象限交于点P,且
轴,则直线的斜率是,双曲线的离心率是.
五、解答题
17.已知等差数列{q}的前〃项和为5“,数列也}是等比数列,6=3,1=1,
“2+S3=17,a4—2b?—5.
⑴求数列{0,}和也}的通项公式;
—,neIk—1
(2)若1=S”,keN,设数列{c,,}的前”项和为,,求7;
b〃,ne2k
18.在△A5C中,已知角4,B,C的对边分别为mb,c,且o=近,
7•B+C.
Z?sm-----=«sinB.
2
⑴求4
(2)若M为边AC上一点,^.ZABM=ZBAC,S^ABM=^-,求AMC的面积.
19.平行四边形ABC。中(图1),ZA=60>AB=2AD=2,将△M£)以8。为折痕
折起,使得平面平面58,如图2.
(1)证明:平面48C,平面A'8£>;
(2)已知点M为线段A'C上的点,若二面角M-BD-C的余弦值为无,求桨的值.
5MC
20.冬季两项是第24届北京冬奥会的比赛项目之一,它把越野滑雪和射击两种特点不
同的竞赛项目结合在一起.其中20km男子个人赛的规则如下:
①共滑行5圈(每圈4km),前4圈每滑行1圈射击一次,每次5发子弹,第5圈滑
行直达终点;
②如果选手有〃发子弹未命中目标,将被罚时〃分钟;
③最终用时为滑雪用时、射击用时和被罚时间之和,最终用时少者获胜.
已知甲、乙两人参加比赛,甲滑雪每圈比乙慢36秒,甲、乙两人每发子弹命中目标的
概率分别为[和;.假设甲、乙两人的射击用时相同,且每发子弹是否命中目标互不影
响.
(1)若在前三次射击中,甲、乙两人的被罚时间相同,求最终甲胜乙的概率;
(2)若仅从最终用时考虑,甲、乙两位选手哪个水平更高?说明理由.
22
21.已知椭圆C:0+4=1(a>b>0)的左、右焦点分别为《,尸?,长轴长为4,
ab
椭圆c过点(1;).
(1)求椭圆C的方程;
(2)已知x轴上存在一点E(点E在椭圆左顶点的左侧),过E的直线/与椭圆C交于点
M和点N,且与NE^N互为补角,求△耳面积的最大值.
22.已知/(x)=lnx-x,g{x)-tnx+m.
(l)idF(x)=/(x)+g(x),讨论F(x)的单调区间;
⑵记G(x)=f(x)+m,若G(x)有两个零点小b,S.a<b.
请在①②中选择一个完成.
①求证:2e"T>[+〃;
h
②求证:2e"i<1+a
参考答案:
I.c
【解析】
【分析】
求得集合4,根据集合的并集运算求得答案.
【详解】
集合A={x|2,N8}={x|x43},
故AUB={x|xN-1},
故选:C
2.B
【解析】
【分析】
根据复数的除法运算求得复数z,再根据复数模的计算求得答案.
【详解】
复数z满足z(l+i)=2i,
故|Z|=JF+(_[)2=6,
故选:B
3.A
【解析】
【分析】
依题意,设底面半径为「,圆锥的高为/?,母线长为/,根据题意算出底面半径和高,再得
到体积即可.
【详解】
由题意可知母线与圆锥底面的夹角的正弦值为且,故母线与圆锥底面的夹角为£,
设底面半径为r,圆锥的高为〃,母线长为/,贝h=2r,/?=3/①,
2
则圆锥的表面积为S=乃/二+九〃=6),将①代入,解得r=丘,/…戈,
圆锥的体积为v=」乃凸?=冬色江;
33
答案第1页,共17页
故选:A.
4.A
【解析】
【分析】
根据题意可得a“-4i=〃,可求得见=及詈,即可求解.
【详解】
设从1维到〃维最简几何图形的1维线段数构成数列{见},
由题意可得。2=3-1=2,%-%=6-3=3,〃4_〃3=10_6=4,…,
以此类推,可得勺—*=%
所以=q+(%—4)+(生一4)H------4?一1)
=1+2+3+・一+〃=--------,
2
所以4+。2+。3+。4+。5+。6=1+3+6+10+15+21=56.
故选:A.
5.D
【解析】
【分析】
由角a终边上一点的坐标可知$i〃a=®,cosa=£3,结合二倍角公式可得sin2a和
1010
cos2a,进而求解即可.
【详解】
13710
由题,sina==—cosa=
行了10"io-
田为Vio3A/103
因为sin2a=zsinacosa=20x-----x-------=-,
10105
又因为cos2a=2cos2a-1=2x(^^)2-1=—
105
~347
所以sin2a+cos2a=-+—=—,
故选:D
答案第2页,共17页
6.B
【解析】
【分析】
由抛物线的标准方程V=4x可得抛物线的焦点坐标和准线方程,设出尸(X,y),由PF=4以及
抛物线的定义列式可得x-(-D=4,即x=3,再代入抛物线方程可得点P的纵坐标,再由三角
形的面积公式S=g|川OF可得.
【详解】
由V=4x可得抛物线的焦点尸(1,0),准线方程为x=-l,
如图:过点P作准线x=-l的垂线,垂足为根据抛物线的定义可知PM=PF=4,
设P(x,y),则x-(―1)=4,解得x=3,将x=3代入V=4x可得),=±2百,
所以△POF的面积为:|y|0F=Jx26xl=G.
故选B.
【点睛】
本题考查了抛物线的几何性质,定义以及三角形的面积公式,关键是①利用抛物线的定义求P
点的坐标;②利用。尸为三角形的底,点尸的纵坐标的绝对值为高计算三角形的面积.属中档
题.
答案第3页,共17页
7.D
【解析】
【分析】
根据递推关系可得数列{%}是以3为周期的数列,即可求出.
【详解】
因为4=2,a2=4,a„+an+l+an+2=2,所以。皿=2-《向
贝Ijq=2_4-4=Y,a4=2-a3-a2=2,a5=2-a4-a3=4,…,
所以数列何}是以3为周期的数列,
则“2022=«674x3=«3=-4.
故选:D.
8.C
【解析】
【分析】
根据题意可得/(X)的对称性,再画出/")的图象,再数形结合判断y=f(x),y=-lgx的图
象交点个数即可
【详解】
y=/(x)+lgx的零点个数即y=/(x),y=-lgx的图象交点个数.因为/(x-1)为奇函数,故
/(x-1)关于原点对称,故/(x)关于(-1,0)对称,又/(x+1)为偶函数,故f(x)关于x=l对
称,又当时,/(x)=-x2+l,画出图象,易得函数y=/(x),y=-lgx的图象有6
个交点
9.AD
【解^1?】
【分析】
答案第4页,共17页
根据直方图的性质,求出。,并逐项分析即可.
【详解】
由图可知,10^+0.035x10+0.030x1+0.020x10+0.010x10=1,
解得。=0.005,故A正确;
比赛及格的人数为:(0.030+0.020+0.010)x10x100=60,故B错误;
成绩在[50,80)内的频率为(0.035+0.030+0.020)x10=0.85,即概率为0.85,
故C错误;
设第80百分位数为70+x分,则有(0.005+0.035+0.030+0.020x^)x10=0.8,
解得45,
所以第80百分位数为75分,故D正确;
故选:AD.
10.BD
【解析】
【分析】
根据三角函数图象的平移变化规律可得g(x)解析式,由此得到。=8太kGZ,即可判断答案.
【详解】
由题意得8(》)=68$[。0+:)+m]-1=有8$(8+*+1)-1>
由于函数g(x)的图象与fM图象重合,故”=2E,keZ,a)=8k,keZ,
4
当%=1时,(o=8;当%=2时,a)=16;
由于表取整数,故。=8%不会取到-4或12,
故选:BD
11.ABC
【解析】
【分析】
分析直线/即为直线AQ,进而判断A选项,由于动点M在直线/上,而/u平面
AOQA,故三棱锥高为正方体棱长,底面三角形面积确定,可判断B;四棱锥
为正四棱锥时,顶点M恰好是AR的中点,由此求得四棱锥外接球的半径,进而求得表面
答案第5页,共17页
积,判断C;当点M与点R重合时,此时直线与直线AB所成角最大,即线8M与直线
C。所成角的正切值的最大,求得最大值判断D.
【详解】
如图,在正方体A8CQ-A4GA中,过A8作一垂直于直线8c的平面交平面于
直线/,
由于4B_L平面BBCC,故而5G_LBC,且ABIBC、=B,
故80,平面ABC。,即平面ABGR即为过AB垂直于直线瓦。的平面,
而平面ABCQ八平面AAA。=AR,
故直线/即直线4。,所以BC,/,A正确;
三棱锥M-叫C的的底面积为S,叫c=gx2x2=2,
由于动点M在直线/上,而/u平面AOOA,故三棱锥高为正方体棱长2,
14
故七一照c=§x2x2=§,故B正确;
对于C,四棱锥M-BqGC为正四棱锥时,顶点M恰好是AR的中点,
设外接球半径为R,四棱锥的高为2,则产=(0>+(2-R)2,R=T,,
故四棱锥外接球的表面积为4兀片=4TIXQ)2=97I,故C正确:
对于D,直线A3与直线C。平行,所以直线8M与直线CO所成角即直线8M与直线AB所
成角,
当点〃与点R重合时,此时直线BM与直线AB所成角最大,
答案第6页,共17页
此时正切值为也=越=0,故D错误;
AB2
故选:ABC.
12.ACD
【解析】
【分析】
对A,求出导数,判断/'(x)在(F,0)的正负即可;对B,取特殊值即可判断;对C,由零
点存在性定理可判断;对D,取特殊值加=-2验证可得.
【详解】
由题意,对于选项A,当加=-1时,=-x,//(x)=ev-l,当x<0时,/'W<0,故
"X)在区间(-8,0)上单调递减,故选项A正确;
对于选项B,当/〃=0时,/(x)=ex,此时/(x)-lnx=e*-lnx,因为
/(l)-lnl=e'-0<3,故选项B错误;
对于选项C,当加>0时,/(x)=ex+/wx,r(x)=e*+w>0,故/*)在R上为增函数,又
/(0)=1,/(--)<0,7(x)在区间(-8,0)上一定存在零点,故选项C正确;
m
对于选项D,取优=-2,则/1(x)=e*-2x,f'(x)=ex-2,当x<ln2时,f(x)<0,当
x>ln2时/'(x)>0,故/(x)有唯一的极小值点x=In2,故选项D正确.
故选:ACD.
13.不
【解析】
【分析】
根据已知结合数量积的运算法则求得无5=1,再利用向量模的计算求得答案.
【详解】
由(&+9).5=2得:a-b+b2=ab+l=2,a-b=1,
故|方+5|=J(万+5)2=J万?+2万・5+52=14+2xl+l=近,
故答案为:A/7
答案第7页,共17页
14.--##-2.5
2
【解析】
【分析】
写出„.的展开式的通项"「%=0,1,…,6,令2+|r=4,求得J即
可求得答案.
【详解】
由题意得:(私-gxj的展开式的通项为
6rrr2
7;.+l=C;(^)-(-1.v)=(-1)q-x^,r=0,l,-,6,
15.m<7(答案不唯一)
【解析】
【分析】
将42+;1变为(24+1:)(。+23展开后利用基本不等式可求得±2+;1的最小值,即可写出答案.
ababab
【详解】
由题意可知。>0,。>0,
,,21.21.z,,..4ba.14ban
故一十—=(—•F_)(〃+2b)=44----F—>4+2.1----=8,
ababab\ab
当且仅当a=26=:时取等号,
21
故,,“<—+,,恒成立的一个充分不必要条件为加<7,
ab
故答案为:m〈7
16.巨近
4
【解析】
【分析】
答案第8页,共17页
\BC\
第一空,利用直线和圆相切的性质得到8C_LP4,|8Cb],从而利用tan/8EC=
年|求得
PF
答案;第二空,求得周=:利用tanNBKC=局\可A得a,6,c的齐次式,求得离心率.
4周
【详解】
如图,
设圆卜一胃+八1■的圆心为B,则圆心坐标呜,。[,半径为
则阳专,
设过左焦点的直线和圆卜-相切于点C,连接8C,
则BCLP4,|BC|=],所以|耳C|==近0,
得tanZBFC-吧-二-=①,所以直线的斜率是正;
皿/呻-斥广缶44
22
又轴,将X=C代入/,一方v=1得),=±h?,则户用=?h-,
匕
所以tanNBFC="周=a=&,化简得2e?—V^e-2=°,
'~\FtF2\~2c~4
求解得e=&,
故答案为:——;正
4
17.⑴。“=2〃+1,2=2"
答案第9页,共17页
-300
⑵〒
【解析】
【分析】
(1)设出等差数列的公差和等比数列的公比,然后,列出方程组求解即可;
211
,nw2k-l*,、
(2)根据题意,化简得到,%=〃(〃+2)nn+2,kwN”,然后,求出{q}的
2'-',ne2k
前6项,即可求出八.
⑴
设等差数列几}的公差为",等比数列{2}的公比为9(qwO),
/4=3,4=1,4+邑=17,a4-2b2=5
...q+9+3d=17,3+3d—2q=5,
d=2,4=2,
:.a„=2n+l,bf
⑵
;7(3+2n+1)
由(1)知,s„==〃(〃+2),
2
211
,ns2k-1
n(n+2)nn+2,keN,
T-\n^2k
1-yj+2'+23+25,
.乜二=+1-1+
35
,1300
=1——+42=——
77
18.⑴;:
⑵迪,
4
【解析】
【分析】
A
(1)结合三角恒等变换公式和正弦定理边化角即可求出sin,从而求出A;
答案第10页,共17页
(2)根据△ABM是等边三角形及=手可求出A8、BM、AM,求出N8MC,在△8MC
内利用余弦定理即可求出MC,从而可求AC,根据三角形面积公式即可求AABC的面积.
⑴
由bsin^|^=asinB,^/jsin^-y^=/?cosy=asinB,
A
由正弦定理得sin8cos5=sinAsin8,VsinB^O,故
A...A—.AA
cos—=sinA=>cos—=2sin—cos—,
2222
⑵
TT
ZABM=ABAC=—=△ABM是等边三角形,
3
由S》8M=1482=],解得A3=l,ABM=AM=i,
2兀
易知N8MC=y,则在△BMC中,由余弦定理得:
l2+MC2-2-l-MC-cos—=(>/7)2,
3
解得MC=2,AAC=3,
;♦AABC的面积S=—•1-3sin—=—.
234
19.(1)证明见解析
A'M1
(2)——二一
MC2
【解析】
【分析】
(1)求得2。的长,证明A£>_L£>8,从而证明A'£)_L平面3Q),继而证明BCJ-平面
AD3,根据面面垂直的判定定理证明结论;
(2)建立空间直角坐标系,求得相关各点的坐标,再求出平面的法向量,根据向量的
夹角公式即可求得答案.
(1)
证明:在△4?。中,由余弦定理得,
BD=>JAB2+AD2-2ABADcosA=^4+l-2x2xlx1=
•••AD2+BD2=AB2,得翻折后有A'O_L£>3,
答案第II页,共17页
又平面A'8DJ_平面BC。,且平面A,3Z)n平面BCZ)=£>B,
根据平面与平面垂直的性质定理可得,平面88,
又:3Cu平面BCD,二A'D±BC.
在平行四边形A8CD中,ADJ.DB,BC//AD,C.BCVDB,
VA'DC\DB=D,:.8CJ■平面ADB,
:BCu平面A,BC,二平面A8CJ■平面ABD
(2)
以。为原点,D4为x轴,OB为y轴,Z5A'为z轴,建立空间直角坐标系,
由题意可得AQ=1,A'O=1,AB=2,BD=6,
则3(0,4,0),C(-l,V3,0),A'(0,0,1),
设丽=/1川'右=4(-1,百,-1),dO,l]),,
.•.丽=(-尢血,1-团,丽=(0,疯0)
设平面MQ3的法向量为而=(x,y,z),则<
[m-DB=0
-2x+^Zy+(l-2)z=0
yfiy=0
令z=/l,则x=l-2,y=0,所以比=(1-尢(M)
可取平面BCO的法向量为为=(0,0,1)
则3s依初二磊邛,即标黑万邛,
答案第12页,共17页
解得2=;或2=-1(舍去),
A'M1
故
~MC2
19
20.(1)
1536
(2)乙选手水平更高,理由见解析
【解析】
【分析】
(1)求出“在第四次射击中,甲有4发子弹命中目标,乙均未命中目标”和“在第四次射击
中,甲有5发子弹命中目标,乙至多有1发子弹命中目标”的概率即可求解;
(2)根据题意可得X~8(20,;),丫~8(201}求出时间的期望即可求解.
(1)
甲滑雪用时比乙多5x36=180秒=3分钟,
因为前三次射击,甲、乙两人的被罚时间相同,所以在第四次射击中,甲至少要比乙多命
中4发子弹.
设“甲胜乙,,为事件A,“在第四次射击中,甲有4发子弹命中目标,乙均未命中目标”为事
件8,
“在第四次射击中,甲有5发子弹命中目标,乙至多有1发子弹命中目标”为事件C,
依题意,事件B和事件C是互斥事件,A=B+C
尸⑻心图,尸《)=图:出+C;x(《<
19
所以,P(A)=P(B)+P(C)=--.
1536
所以甲胜乙的概率为19/.
1536
⑵
依题意得,甲选手在比赛中未击中目标的子弹数为X,乙选手在比赛中未击中目标的子弹
数为y,则*~8(20,小,y~8(20,gj,
所以甲被罚时间的期望为1XE(X)=1X20X!=5(分钟),
4
120
乙被罚时间的期望为(分钟),
33
答案第13页,共17页
又在赛道上甲选手滑行时间慢3分钟,则甲最终用时的期望比乙多5+3-2多0分4钟,
33
因此,仅从最终用时考虑,乙选手水平更高.
V2V2
21.(1)-1
43
⑵也
4
【解析】
【分析】
(1)由条件可得。=2,然后将点(I,胃代入椭圆方程求出人即可;
(2)设直线/为x=〃?y+〃,M&,x),N(w,%),联立直线与椭圆的方程消元,然后韦
达定理可得乂+必=一华三,X•必="士,由/环M与NE片N互补可得
3m+43m~+4
kMF、+kNF、=0,由此可算出〃=~4,然后用机表示出S/MN即可得出答案.
(1)
由已知得a=2
将点,/代入椭圆方程,得6=正,
二椭圆C方程为片+t=1.
43
(2)
设直线/为了=相)'+〃(机#0),则七为(〃,0)(n<-2)
x=my+n
由<fy2得(3〃/+4)>2+6小〃),+3H2-12=0,
---1--=1
43
A=/?2-4ac=36m2n2-4(3/n2+4)(3n2-12)>0,可得/<3W+4①
6nm_3n2-12
设”(与,乂),N(x,y),则y+%=
223病+4'>1'>,2-3m2+4
:与NE^N互补,耳(-1,0)
L+G=。,则言+言=°,
:.xly2+y2+x2yl+yl=0,
2%|%+(,+1)(》+%)=°,
答案第14页,共17页
...6,6-4)=6加"+1),解得“7,
3加2+43”,+4
•直线/的方程为了=冲一4,
且由①可得,3/772+4>16,即病>4,
由点耳(-1,0)到直线/的距离d==-7—=,
VI+nryj\+m~
•・i2112m"2Viw«3疗+4)2
S:⑻_18r-16
令席N=t,t>。,则^-3/2+16-.^16<,,当且仅当3f=一时,
3t+~273x164I
机=±酒等号成立,
3
所以AF\MN面积S最大值为毡.
4
22.(1)答案见解析
(2)①证明见解析;②证明见解析
【解析】
【分析】
(1)求出函数的导数,对〃?分类讨论,确定导数的正负,从而确定函数的单调区间;
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