海南省琼海市2022届高三高考模拟考试（三模）数学试题（含答案解析）

海南省琼海市2022届高三高考模拟考试（三模）数学试题

学校:姓名：班级:考号：

一、单选题

1.设集合A={X|2,28}、集合8={X|-1VX25},则AD8=（）

A.{x\-]<x<3]B.{x|3<x<5}

C.{x\x>-\}D.{x|x>3）

2.已知复数z满足z（l+i）=2i,则|z|=（）

A.2B.0C.2&D.40

3.若圆锥的表面积为6兀，圆锥的高与母线长之比6:2,则该圆锥的体积为（）

A.2；匝B.2扇C.空三D,我立

344

4.北宋数学家贾宪创制的数字图式（如图）又称“贾宪三角”，后被南宋数学家杨辉引

用、〃维空间中的几何元素与之有巧妙联系、例如，1维最简几何图形线段它有2个0

维的端点、1个1维的线段：2维最简几何图形三角形它有3个0维的端点，3个1维

的线段，1个2维的三角形区域;如下表所示.从1维到6维最简几何图形中，所

有1维线段数的和是（）

元素维度

0123

几何体维度

〃=1（线段）21

〃=2（三角形）331

〃=3（四面体）4641

A.56B.70C.84D.28

5.已知角。终边上一点的坐标为（3,1）,则sin2a+8s2a=（)

A.--B.-C.3D.1

5555

6.。为坐标原点，F为抛物线C：V=4x的焦点，尸为C上一点，若|PF|=4,则

△POF的面积为

A.B.£C.2D.3

7.已知数列｛(?“｝中，4=2,“2=4,为+%+|+%+2=2,则々022=()

A.4B.2C.-2D.-4

8.设函数"X)定义域为凡f(x-l)为奇函数，/(x+1)为偶函数，当时，

/(x)=-x2+l,则函数y=/(x)+lgx有()个零点

A.4B.5C.6D.7

二、多选题

9.某学校组织了一次劳动技能大赛，共有100名学生参赛，经过评判，这100名参赛

者的得分都在［40,90］内，得分60分以下为不及格，其得分的频率分布直方图如图所示

(按得分分成［40,50),150,60),［60,70),［70,80),［80,90］这五组)，则下列结论正确

A.直方图中。=0.005

B.此次比赛得分及格的共有55人

C.以频率为概率，从这100名参赛者中随机选取1人，其得分在［50,80)的概率为

0.75

D.这100名参赛者得分的第80百分位数为75

10.将函数/(x)=®cos(5+'，l的图象向左平移;个单位长度得到函数g(x)的图

象与/“)图象重合，则。的值可以为()

A.-4B.8C.12D.16

11.在棱长为2的正方体ABCD-ABCIA中，过AB作一垂直于直线的平面交平

面ADAA于直线/，动点M在直线/上，则()

A.B.C1/

B.三棱锥BBC的体积为定值

C.四棱锥M-BBCC为正四棱锥时，该四棱锥的外接球表面积为9兀

D.直线8M与直线C。所成角的正切值的最大值是百

12.已知函数，(x)=e'+Mt,xeR(e为自然对数)，则下列判断正确的是()

A.当切=-1时，函数/(x)在(7,0)上单调递减

B.当〃?=0时，/(x)-lnx23在(0,+oo)上恒成立

C.对任意的加>0,函数Ax)在(-oo,0)上一定存在零点

D.存在加<0,函数f(x)有唯一极小值

三、填空题

13.已知平面向量5，5满足()+5)=2,且1,1=2,出|=1,则|1+5|=

14.(孤的展开式中含/项的系数为.(用数字作答)

21

15.己知。>0,b>0,。+27?=1请写出使得“加<一+丁”恒成立的一个充分不必要条

ab

件为.(用含"的式子作答)

四、双空题

,r2v2

16.已知双曲线二=1(a>0,Z?>0),焦点耳(一c,0),乙(c,0)(c>0),若过

ab

左焦点1的直线和圆(x-、)+y2=?相切，与双曲线在第一象限交于点P,且

轴，则直线的斜率是,双曲线的离心率是.

五、解答题

17.已知等差数列｛q｝的前〃项和为5“，数列也｝是等比数列，6=3,1=1,

“2+S3=17,a4—2b?—5.

⑴求数列｛0,｝和也｝的通项公式;

—,neIk—1

(2)若1=S”,keN,设数列｛c,,｝的前”项和为，，求7；

b〃,ne2k

18.在△A5C中，已知角4,B,C的对边分别为mb,c,且o=近，

7•B+C.

Z?sm-----=«sinB.

2

⑴求4

(2)若M为边AC上一点，^.ZABM=ZBAC,S^ABM=^-,求AMC的面积.

19.平行四边形ABC。中(图1),ZA=60>AB=2AD=2,将△M£)以8。为折痕

折起，使得平面平面58,如图2.

(1)证明：平面48C，平面A'8£>；

(2)已知点M为线段A'C上的点，若二面角M-BD-C的余弦值为无，求桨的值.

5MC

20.冬季两项是第24届北京冬奥会的比赛项目之一，它把越野滑雪和射击两种特点不

同的竞赛项目结合在一起.其中20km男子个人赛的规则如下：

①共滑行5圈(每圈4km),前4圈每滑行1圈射击一次，每次5发子弹，第5圈滑

行直达终点；

②如果选手有〃发子弹未命中目标，将被罚时〃分钟；

③最终用时为滑雪用时、射击用时和被罚时间之和，最终用时少者获胜.

已知甲、乙两人参加比赛，甲滑雪每圈比乙慢36秒，甲、乙两人每发子弹命中目标的

概率分别为［和;.假设甲、乙两人的射击用时相同，且每发子弹是否命中目标互不影

响.

(1)若在前三次射击中，甲、乙两人的被罚时间相同，求最终甲胜乙的概率；

(2)若仅从最终用时考虑，甲、乙两位选手哪个水平更高？说明理由.

22

21.已知椭圆C：0+4=1(a>b>0)的左、右焦点分别为《，尸?，长轴长为4,

ab

椭圆c过点(1；).

(1)求椭圆C的方程;

(2)已知x轴上存在一点E(点E在椭圆左顶点的左侧)，过E的直线/与椭圆C交于点

M和点N,且与NE^N互为补角，求△耳面积的最大值.

22.已知/(x)=lnx-x,g{x)-tnx+m.

(l)idF(x)=/(x)+g(x),讨论F(x)的单调区间；

⑵记G(x)=f(x)+m,若G(x)有两个零点小b,S.a<b.

请在①②中选择一个完成.

①求证：2e"T>[+〃；

h

②求证：2e"i<1+a

参考答案:

I.c

【解析】

【分析】

求得集合4,根据集合的并集运算求得答案.

【详解】

集合A={x|2，N8}={x|x43},

故AUB={x|xN-1},

故选：C

2.B

【解析】

【分析】

根据复数的除法运算求得复数z,再根据复数模的计算求得答案.

【详解】

复数z满足z（l+i）=2i,

故|Z|=JF+（_［）2=6,

故选：B

3.A

【解析】

【分析】

依题意，设底面半径为「，圆锥的高为/?,母线长为/,根据题意算出底面半径和高，再得

到体积即可.

【详解】

由题意可知母线与圆锥底面的夹角的正弦值为且，故母线与圆锥底面的夹角为£,

设底面半径为r,圆锥的高为〃，母线长为/,贝h=2r,/?=3/①，

2

则圆锥的表面积为S=乃/二+九〃=6），将①代入，解得r=丘,/…戈,

圆锥的体积为v=」乃凸?=冬色江；

33

答案第1页，共17页

故选：A.

4.A

【解析】

【分析】

根据题意可得a“-4i=〃，可求得见=及詈，即可求解.

【详解】

设从1维到〃维最简几何图形的1维线段数构成数列｛见｝,

由题意可得。2=3-1=2,%-%=6-3=3,〃4_〃3=10_6=4,…,

以此类推，可得勺—*=%

所以=q+(%—4)+(生一4)H------4?一1)

=1+2+3+・一+〃=--------，

2

所以4+。2+。3+。4+。5+。6=1+3+6+10+15+21=56.

故选：A.

5.D

【解析】

【分析】

由角a终边上一点的坐标可知$i〃a=®,cosa=£3,结合二倍角公式可得sin2a和

1010

cos2a,进而求解即可.

【详解】

13710

由题，sina==—cosa=

行了10"io-

田为Vio3A/103

因为sin2a=zsinacosa=20x-----x-------=-,

10105

又因为cos2a=2cos2a-1=2x(^^)2-1=—

105

~347

所以sin2a+cos2a=-+—=—,

故选：D

答案第2页，共17页

6.B

【解析】

【分析】

由抛物线的标准方程V=4x可得抛物线的焦点坐标和准线方程，设出尸(X,y),由PF=4以及

抛物线的定义列式可得x-(-D=4,即x=3,再代入抛物线方程可得点P的纵坐标，再由三角

形的面积公式S=g|川OF可得.

【详解】

由V=4x可得抛物线的焦点尸(1,0),准线方程为x=-l,

如图:过点P作准线x=-l的垂线，垂足为根据抛物线的定义可知PM=PF=4,

设P(x,y)，则x-(―1)=4,解得x=3,将x=3代入V=4x可得)，=±2百,

所以△POF的面积为:|y|0F=Jx26xl=G.

故选B.

【点睛】

本题考查了抛物线的几何性质,定义以及三角形的面积公式，关键是①利用抛物线的定义求P

点的坐标;②利用。尸为三角形的底，点尸的纵坐标的绝对值为高计算三角形的面积.属中档

题.

答案第3页，共17页

7.D

【解析】

【分析】

根据递推关系可得数列｛%｝是以3为周期的数列，即可求出.

【详解】

因为4=2,a2=4,a„+an+l+an+2=2,所以。皿=2-《向

贝Ijq=2_4-4=Y,a4=2-a3-a2=2,a5=2-a4-a3=4,…，

所以数列何｝是以3为周期的数列,

则“2022=«674x3=«3=-4.

故选：D.

8.C

【解析】

【分析】

根据题意可得/(X)的对称性，再画出/")的图象，再数形结合判断y=f(x),y=-lgx的图

象交点个数即可

【详解】

y=/(x)+lgx的零点个数即y=/(x),y=-lgx的图象交点个数.因为/(x-1)为奇函数，故

/(x-1)关于原点对称，故/(x)关于(-1,0)对称，又/(x+1)为偶函数，故f(x)关于x=l对

称，又当时，/(x)=-x2+l,画出图象，易得函数y=/(x),y=-lgx的图象有6

个交点

9.AD

【解^1?】

【分析】

答案第4页，共17页

根据直方图的性质，求出。，并逐项分析即可.

【详解】

由图可知，10^+0.035x10+0.030x1+0.020x10+0.010x10=1,

解得。=0.005,故A正确；

比赛及格的人数为：(0.030+0.020+0.010)x10x100=60,故B错误；

成绩在［50,80)内的频率为(0.035+0.030+0.020)x10=0.85,即概率为0.85,

故C错误；

设第80百分位数为70+x分，则有(0.005+0.035+0.030+0.020x^)x10=0.8,

解得45,

所以第80百分位数为75分，故D正确；

故选：AD.

10.BD

【解析】

【分析】

根据三角函数图象的平移变化规律可得g(x)解析式，由此得到。=8太kGZ,即可判断答案.

【详解】

由题意得8(》)=68$［。0+：)+m］-1=有8$(8+*+1)-1>

由于函数g(x)的图象与fM图象重合，故”=2E,keZ,a)=8k,keZ,

4

当％=1时，(o=8；当％=2时，a)=16；

由于表取整数，故。=8%不会取到-4或12,

故选：BD

11.ABC

【解析】

【分析】

分析直线/即为直线AQ,进而判断A选项，由于动点M在直线/上，而/u平面

AOQA，故三棱锥高为正方体棱长，底面三角形面积确定，可判断B;四棱锥

为正四棱锥时，顶点M恰好是AR的中点，由此求得四棱锥外接球的半径，进而求得表面

答案第5页，共17页

积，判断C;当点M与点R重合时，此时直线与直线AB所成角最大，即线8M与直线

C。所成角的正切值的最大，求得最大值判断D.

【详解】

如图，在正方体A8CQ-A4GA中，过A8作一垂直于直线8c的平面交平面于

直线/,

由于4B_L平面BBCC，故而5G_LBC,且ABIBC、=B,

故80，平面ABC。,即平面ABGR即为过AB垂直于直线瓦。的平面,

而平面ABCQ八平面AAA。=AR,

故直线/即直线4。，所以BC，/,A正确；

三棱锥M-叫C的的底面积为S,叫c=gx2x2=2,

由于动点M在直线/上，而/u平面AOOA,故三棱锥高为正方体棱长2,

14

故七一照c=§x2x2=§，故B正确；

对于C,四棱锥M-BqGC为正四棱锥时，顶点M恰好是AR的中点，

设外接球半径为R,四棱锥的高为2,则产=(0>+(2-R)2,R=T,,

故四棱锥外接球的表面积为4兀片=4TIXQ)2=97I,故C正确：

对于D,直线A3与直线C。平行，所以直线8M与直线CO所成角即直线8M与直线AB所

成角，

当点〃与点R重合时，此时直线BM与直线AB所成角最大,

答案第6页，共17页

此时正切值为也=越=0,故D错误；

AB2

故选：ABC.

12.ACD

【解析】

【分析】

对A,求出导数，判断/'(x)在(F,0)的正负即可；对B,取特殊值即可判断；对C,由零

点存在性定理可判断；对D,取特殊值加=-2验证可得.

【详解】

由题意，对于选项A,当加=-1时，=-x,//(x)=ev-l,当x<0时，/'W<0,故

"X)在区间(-8,0)上单调递减，故选项A正确；

对于选项B,当/〃=0时，/(x)=ex,此时/(x)-lnx=e*-lnx,因为

/(l)-lnl=e'-0<3,故选项B错误；

对于选项C,当加>0时，/(x)=ex+/wx,r(x)=e*+w>0,故/*)在R上为增函数，又

/(0)=1,/(--)<0,7(x)在区间(-8,0)上一定存在零点，故选项C正确；

m

对于选项D,取优=-2,则/1(x)=e*-2x,f'(x)=ex-2,当x<ln2时，f(x)<0,当

x>ln2时/'(x)>0,故/(x)有唯一的极小值点x=In2,故选项D正确.

故选：ACD.

13.不

【解析】

【分析】

根据已知结合数量积的运算法则求得无5=1,再利用向量模的计算求得答案.

【详解】

由(&+9).5=2得：a-b+b2=ab+l=2,a-b=1,

故|方+5|=J(万+5)2=J万？+2万・5+52=14+2xl+l=近，

故答案为：A/7

答案第7页，共17页

14.--##-2.5

2

【解析】

【分析】

写出„.的展开式的通项"「%=0,1,…,6,令2+|r=4,求得J即

可求得答案.

【详解】

由题意得：(私-gxj的展开式的通项为

6rrr2

7；.+l=C；(^)-(-1.v)=(-1)q-x^,r=0,l,-,6,

15.m<7(答案不唯一)

【解析】

【分析】

将42+；1变为(24+1：)(。+23展开后利用基本不等式可求得±2+；1的最小值，即可写出答案.

ababab

【详解】

由题意可知。>0,。>0,

,,21.21.z,,..4ba.14ban

故一十—=(—•F_)(〃+2b)=44----F—>4+2.1----=8,

ababab\ab

当且仅当a=26=：时取等号，

21

故，，“<—+，，恒成立的一个充分不必要条件为加<7,

ab

故答案为：m〈7

16.巨近

4

【解析】

【分析】

答案第8页，共17页

\BC\

第一空，利用直线和圆相切的性质得到8C_LP4，|8Cb],从而利用tan/8EC=

年|求得

PF

答案；第二空，求得周=：利用tanNBKC=局\可A得a,6,c的齐次式，求得离心率.

4周

【详解】

如图，

设圆卜一胃+八1■的圆心为B,则圆心坐标呜,。[，半径为

则阳专，

设过左焦点的直线和圆卜-相切于点C,连接8C,

则BCLP4,|BC|=],所以|耳C|==近0,

得tanZBFC-吧-二-=①，所以直线的斜率是正；

皿/呻-斥广缶44

22

又轴，将X=C代入/,一方v=1得）,=±h?,则户用=?h-,

匕

所以tanNBFC="周=a=&,化简得2e?—V^e-2=°，

'~\FtF2\~2c~4

求解得e=&，

故答案为：——;正

4

17.⑴。“=2〃+1,2=2"

答案第9页，共17页

-300

⑵〒

【解析】

【分析】

(1)设出等差数列的公差和等比数列的公比，然后，列出方程组求解即可;

211

,nw2k-l*,、

(2)根据题意，化简得到，%=〃(〃+2)nn+2,kwN”,然后，求出｛q｝的

2'-',ne2k

前6项，即可求出八.

⑴

设等差数列几｝的公差为"，等比数列｛2｝的公比为9(qwO),

/4=3,4=1,4+邑=17,a4-2b2=5

...q+9+3d=17,3+3d—2q=5,

d=2,4=2,

：.a„=2n+l,bf

⑵

；7(3+2n+1)

由(1)知，s„==〃(〃+2),

2

211

,ns2k-1

n(n+2)nn+2,keN,

T-\n^2k

1-yj+2'+23+25,

.乜二=+1-1+

35

,1300

=1——+42=——

77

18.⑴；:

⑵迪,

4

【解析】

【分析】

A

(1)结合三角恒等变换公式和正弦定理边化角即可求出sin,从而求出A；

答案第10页，共17页

(2)根据△ABM是等边三角形及=手可求出A8、BM、AM,求出N8MC,在△8MC

内利用余弦定理即可求出MC,从而可求AC,根据三角形面积公式即可求AABC的面积.

⑴

由bsin^|^=asinB,^/jsin^-y^=/?cosy=asinB,

A

由正弦定理得sin8cos5=sinAsin8,VsinB^O,故

A...A—.AA

cos—=sinA=>cos—=2sin—cos—,

2222

⑵

TT

ZABM=ABAC=—=△ABM是等边三角形，

3

由S》8M=1482=］，解得A3=l,ABM=AM=i,

2兀

易知N8MC=y,则在△BMC中，由余弦定理得：

l2+MC2-2-l-MC-cos—=(>/7)2,

3

解得MC=2,AAC=3,

；♦AABC的面积S=—•1-3sin—=—.

234

19.(1)证明见解析

A'M1

(2)——二一

MC2

【解析】

【分析】

(1)求得2。的长，证明A£>_L£>8,从而证明A'£)_L平面3Q),继而证明BCJ-平面

AD3,根据面面垂直的判定定理证明结论;

(2)建立空间直角坐标系，求得相关各点的坐标，再求出平面的法向量，根据向量的

夹角公式即可求得答案.

(1)

证明：在△4?。中，由余弦定理得，

BD=>JAB2+AD2-2ABADcosA=^4+l-2x2xlx1=

•••AD2+BD2=AB2,得翻折后有A'O_L£>3,

答案第II页，共17页

又平面A'8DJ_平面BC。，且平面A，3Z)n平面BCZ)=£>B,

根据平面与平面垂直的性质定理可得，平面88,

又：3Cu平面BCD，二A'D±BC.

在平行四边形A8CD中，ADJ.DB,BC//AD,C.BCVDB,

VA'DC\DB=D,：.8CJ■平面ADB,

：BCu平面A，BC,二平面A8CJ■平面ABD

(2)

以。为原点，D4为x轴，OB为y轴，Z5A'为z轴，建立空间直角坐标系,

由题意可得AQ=1,A'O=1,AB=2,BD=6,

则3(0,4,0),C(-l,V3,0),A'(0,0,1),

设丽=/1川'右=4(-1,百,-1),dO,l]),,

.•.丽=(-尢血,1-团，丽=(0,疯0)

设平面MQ3的法向量为而=(x,y,z),则<

[m-DB=0

-2x+^Zy+(l-2)z=0

yfiy=0

令z=/l,则x=l-2,y=0,所以比=(1-尢(M)

可取平面BCO的法向量为为=(0,0,1)

则3s依初二磊邛，即标黑万邛,

答案第12页，共17页

解得2=;或2=-1(舍去),

A'M1

故

~MC2

19

20.(1)

1536

(2)乙选手水平更高，理由见解析

【解析】

【分析】

(1)求出“在第四次射击中，甲有4发子弹命中目标，乙均未命中目标”和“在第四次射击

中，甲有5发子弹命中目标，乙至多有1发子弹命中目标”的概率即可求解；

(2)根据题意可得X~8(20,；),丫~8(201｝求出时间的期望即可求解.

(1)

甲滑雪用时比乙多5x36=180秒=3分钟，

因为前三次射击，甲、乙两人的被罚时间相同，所以在第四次射击中，甲至少要比乙多命

中4发子弹.

设“甲胜乙，，为事件A,“在第四次射击中，甲有4发子弹命中目标，乙均未命中目标”为事

件8,

“在第四次射击中，甲有5发子弹命中目标，乙至多有1发子弹命中目标”为事件C,

依题意，事件B和事件C是互斥事件，A=B+C

尸⑻心图,尸《)=图:出+C；x(《＜

19

所以，P(A)=P(B)+P(C)=--.

1536

所以甲胜乙的概率为19/.

1536

⑵

依题意得，甲选手在比赛中未击中目标的子弹数为X,乙选手在比赛中未击中目标的子弹

数为y,则*~8(20,小，y~8(20,gj,

所以甲被罚时间的期望为1XE(X)=1X20X!=5(分钟)，

4

120

乙被罚时间的期望为(分钟)，

33

答案第13页，共17页

又在赛道上甲选手滑行时间慢3分钟，则甲最终用时的期望比乙多5+3-2多0分4钟，

33

因此，仅从最终用时考虑，乙选手水平更高.

V2V2

21.(1)-1

43

⑵也

4

【解析】

【分析】

(1)由条件可得。=2,然后将点(I，胃代入椭圆方程求出人即可；

(2)设直线/为x=〃?y+〃，M&，x),N(w，%)，联立直线与椭圆的方程消元，然后韦

达定理可得乂+必=一华三，X•必="士，由/环M与NE片N互补可得

3m+43m~+4

kMF、+kNF、=0,由此可算出〃=~4,然后用机表示出S/MN即可得出答案.

（1）

由已知得a=2

将点，/代入椭圆方程，得6=正,

二椭圆C方程为片+t=1.

43

(2)

设直线/为了=相）'+〃（机#0）,则七为（〃,0）（n<-2）

x=my+n

由<fy2得（3〃/+4）>2+6小〃），+3H2-12=0,

---1--=1

43

A=/?2-4ac=36m2n2-4（3/n2+4）（3n2-12）>0,可得/<3W+4①

6nm_3n2-12

设”(与,乂)，N(x,y),则y+%=

223病+4'>1'>，2-3m2+4

：与NE^N互补，耳(-1,0)

L+G=。，则言+言=°，

：.xly2+y2+x2yl+yl=0,

2%|%+（,+1）（》+%）=°，

答案第14页，共17页

...6，6-4)=6加"+1),解得“7,

3加2+43”，+4

•直线/的方程为了=冲一4,

且由①可得，3/772+4>16,即病>4,

由点耳(-1,0)到直线/的距离d==-7—=,

VI+nryj\+m~

•・i2112m"2Viw«3疗+4)2

S:⑻_18r-16

令席N=t，t>。，则^-3/2+16-.^16<,,当且仅当3f=一时，

3t+~273x164I

机=±酒等号成立，

3

所以AF\MN面积S最大值为毡.

4

22.(1)答案见解析

(2)①证明见解析；②证明见解析

【解析】

【分析】

(1)求出函数的导数，对〃?分类讨论，确定导数的正负，从而确定函数的单调区间；