苏教版高中数学选择性必修第一册第2章圆与方程第2课时圆的一般方程练习含答案

第2课时圆的一般方程基础过关练题组一对圆的一般方程的理解1.(2024江苏连云港赣榆期中)若方程x2+y2-mx+2y+1=0(m∈R)表示半径为1的圆,则m=()A.1B.2C.-1或1D.-2或22.(2024江苏泰州靖江高级中学期中)若a∈-2,-1,0,12,34,1,则方程xA.1B.2C.3D.43.(教材习题改编)已知圆E:x2-ax+y2-2y-2=0关于直线l:x-y=0对称,则a=()A.0B.1C.2D.44.(2024黑龙江牡丹江第一高级中学月考)已知点A(1,2)在圆C:x2+y2+mx-2y+2=0外,则实数m的取值范围为.

题组二求圆的一般方程5.(2023江苏盐城伍佑中学学调)与圆x2+y2-2x+4y+3=0同圆心,且过点(1,-1)的圆的方程是()A.x2+y2-2x+4y-4=0B.x2+y2-2x+4y+4=0C.x2+y2+2x-4y-4=0D.x2+y2+2x-4y+4=06.(教材习题改编)已知圆C经过两点A(0,2),B(4,6),且圆心C在直线l:2x-y-3=0上,则圆C的方程为()A.x2+y2-6x-6y-16=0B.x2+y2-2x+2y-8=0C.x2+y2-6x-6y+8=0D.x2+y2-2x+2y-56=07.(教材习题改编)圆C:x2+y2-4y=0关于直线y=2x+1对称的圆的方程为()A.x2+y2-2x-2y=0B.x2+y2-2x-4y+1=0C.x2+y2-45D.x2+y2-858.已知圆C:x2+y2+Dx+Ey+3=0,圆心在直线x+y-1=0上,且圆心在第二象限内,半径为2,则圆C的一般方程为.

题组三求动点的轨迹方程9.(2024江苏苏州期中)已知点P(4,3),点Q在圆x2+y2=4上运动,若点M满足PM=A.πB.2πC.3πD.4π10.(2023湖南长沙实验中学月考)当点P在圆x2+y2=1上运动时,连接点P与定点Q(3,0),则线段PQ的中点M的轨迹方程为.

11.(2024江苏连云港赣榆智贤中学学情检测)已知圆O:x2+y2=4,直线l:(1+2m)x+(m-1)y-3m=0.若l过定点P,点M,N在圆O上,且PM⊥PN,Q为线段MN的中点,则点Q的轨迹方程为.

12.(2023四川成都双流中学期中)已知△ABC的顶点A(-2,0),B(2,0),C(1,3).(1)求△ABC的外接圆的一般方程;(2)在△ABC外接圆上任取一点P,过点P作x轴的垂线段PD,D为垂足,当点P在圆上运动时,求线段PD的中点M的轨迹方程.能力提升练题组一圆的方程1.(2024江苏无锡太湖高级中学期中)若圆x2+y2+2x-4y+1=0被直线2ax-by+2=0(a>0,b>0)平分,则1aA.12.(2024广东深圳宝安中学期中)由曲线x2+y2=2|x|+2y围成的图形的面积为()A.2πB.3πC.2π+3D.3π+23.(2024辽宁沈阳东北育才学校月考)已知圆C:x2+y2+2x-2my-4-4m=0(m∈R),当圆C的面积最小时,圆上的点到坐标原点的距离的最大值为()A.5B.6C.题组二圆的方程的综合应用4.(2024江西部分名校期中)已知点A(-1,-1)与点B关于直线x+y-1=0对称,与点C关于x轴对称,若过A,B,C三点的圆与x轴和直线x+y-1=0交于四点,则以这四个点为顶点的四边形的面积为()A.655.(2024四川广安岳池中学月考)已知a≠0,点(a,b)是圆x2+y2-4x-8y+16=0上任意一点,则()A.a+b的最大值是4+22B.bC.a2+b2的最小值是24+85D.a2+b2-2a+2b的最大值是30+4266.(2023福建漳州正兴学校期中)已知点P(-1,-1),点M为圆O:x2+y2=1上的任意一点,点N在直线OP上,其中O为坐标原点,若MP=2MN恒成立,则点N的坐标为.

7.(2024湖南长沙雅礼中学月考)在△ABC中,AB=3,sinB=m·sinA(m≥2),则△ABC面积的最大值为.

8.(2023湖北襄阳四中期中)已知动点M与两定点Q,P的距离之比MQMP=λ(λ>0,λ≠1),那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知动点M的轨迹是阿波罗尼斯圆,其方程为x2+y2=1,定点Q为x轴上一点,P-129.(2024福建南安月考)如图,某海面上有O,A,B三个小岛(面积大小忽略不计),A岛在O岛的北偏东45°方向,且距O岛402千米处,B岛在O岛的正东方向,且距O岛20千米处.以O为坐标原点,O的正东方向为x轴的正方向,建立平面直角坐标系,圆C经过O,A,B三点.(1)求圆C的方程;(2)若圆C区域内有未知暗礁,现有一船在O岛的南偏西30°方向,且距O岛40千米的M处,正沿着北偏东45°方向行驶,若不改变方向,试问:该船有没有触礁的危险,请说明理由.

答案与分层梯度式解析第2课时圆的一般方程基础过关练1.D由方程x2+y2-mx+2y+1=0(m∈R)表示半径为1的圆,可得12故选D.2.C当方程表示圆时,有a2+(2a)2-4(2a2+a-1)=-3a2-4a+4>0,即(3a-2)(a+2)<0,解得-2<a<23又a∈-2,-1,0,12,34,1,所以a3.C由于圆E关于直线l对称,所以圆心a2,1在直线l上,所以a2-1=0,解得a=2,4.答案(-3,-2)∪(2,+∞)解析因为方程x2+y2+mx-2y+2=0表示圆,所以m2+(-2)2-4×2>0,即m>2或m<-2,①因为点A在圆C外,所以12+22+m-2×2+2>0,即m>-3,②由①②得-3<m<-2或m>2,故实数m的取值范围为(-3,-2)∪(2,+∞).易错警示在运用圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0时,要注意隐含条件D2+E2-4F>0,防止忽略此条件导致解题错误.5.B设所求圆的方程为x2+y2-2x+4y+m=0(m≠3),由该圆过点(1,-1),得12+(-1)2-2×1+4×(-1)+m=0,解得m=4,所以所求圆的方程为x2+y2-2x+4y+4=0.故选B.方法技巧与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)同圆心且不重合的圆的方程可设为x2+y2+Dx+Ey+λ=0,D2+E2-4λ>0,λ≠F.6.C设圆C的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),则圆心坐标为-D所以2×所以圆C的方程为x2+y2-6x-6y+8=0.故选C.7.D将圆C:x2+y2-4y=0化为标准形式为x2+(y-2)2=4,则圆心C(0,2),半径r=2.设点C(0,2)关于直线y=2x+1对称的点为D(x0,y0),则y即对称圆的圆心为D45又两圆半径相等,所以所求圆的方程为x-452+y-故选D.8.答案x2+y2+2x-4y+3=0解析易知圆心C的坐标为-D因为圆心在直线x+y-1=0上,所以-D2−因为D2+E2-122由①②可得D又圆心在第二象限内,所以-D2即D>0,E<0,所以D所以圆C的一般方程为x2+y2+2x-4y+3=0.9.A设M(x,y),Q(x0,y0),由PM=MQ得M是线段PQ的中点,又Q在圆x2+y2=4上,∴(2x-4)2+(2y-3)2=4,即(x-2)2+y-∴点M的轨迹是半径为1的圆,面积S=π×12=π,故选A.10.答案x2-3x+y2+2=0解析设M(x,y),因为M是线段PQ的中点,所以点P(2x-3,2y),又点P在圆x2+y2=1上,故(2x-3)2+(2y)2=1,即x2-3x+y2+2=0,所以点M的轨迹方程为x2-3x+y2+2=0.11.答案x解析直线l:(1+2m)x+(m-1)y-3m=0,即(x-y)+m(2x+y-3)=0,令x-∵PM⊥PN,Q为MN的中点,∴MQ=PQ.设Q(x,y),易知OQ⊥MN.所以OM2=OQ2+MQ2=OQ2+PQ2,即4=x2+y2+(x-1)2+(y-1)2,化简可得x-1212.解析(1)设△ABC外接圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,其中D2+E2-4F>0,因为该圆经过A(-2,0),B(2,0),C(1,3)三点,所以(-2所以△ABC外接圆的一般方程为x2+y2-4=0.(2)设M(x,y),∵M为线段PD的中点,PD⊥x轴,D为垂足,∴D(x,0),P(x,2y),又点P在圆x2+y2=4上,∴x2+(2y)2=4,即x24+y故点M的轨迹方程为x24+y能力提升练1.C由题意得圆心(-1,2)在直线2ax-by+2=0上,所以-2a-2b+2=0,即a+b=1,又a>0,b>0,所以1a+1b=1a+1b(a+b)=ba+2.D当x≥0时,曲线方程为x2+y2=2x+2y,即(x-1)2+(y-1)2=2;当x<0时,曲线方程为x2+y2=-2x+2y,即(x+1)2+(y-1)2=2,如图所示,故所求面积为两个圆的面积减去中间重叠部分的面积,易知两圆的半径都为2,且两圆对称,故所求面积为2×π×(2)2-2×14π×(2)2−3.D由x2+y2+2x-2my-4-4m=0,得(x+1)2+(y-m)2=m2+4m+5,因此圆心为C(-1,m),半径r=m2+4m+5=4.D解法一:设B(x,y),则x-1∵点A(-1,-1)与点C关于x轴对称,∴C(-1,1),设过A,B,C三点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),则2-因此圆的方程为x2+y2-2x-4=0,即(x-1)2+y2=5,由题意易知四边形为矩形(直径所对的圆周角为直角),由(x-1)故该四边形的面积为12×25×解法二:因为点A(-1,-1)与点B关于直线x+y-1=0对称,所以过A,B,C三点的圆的圆心在直线x+y-1=0上.又因为点A(-1,-1)与点C关于x轴对称,所以过A,B,C三点的圆的圆心在直线y=0上.由x+y-1=0,故圆的方程为(x-1)2+y2=5,下同解法一.5.B圆的方程可化为(x-2)2+(y-4)2=4,设a=2+2cosθ,b=4+2sinθ,0≤θ<2π且θ则a+b=6+2sinθ+2cosθ=6+22sin当θ=π4时,a+b取得最大值6+22b=2=tan2θ2所以当tanθ2=−12时,ba2+b2=(2+2cosθ)2+(4+2sinθ)2=24+8cosθ+16sinθ=24+85cos(θ-φ1),其中tanφ1=2,所以当cos(θ-φ1)=-1时,a2+b2取得最小值24-85,故C错误;a2+b2-2a+2b=(2+2cosθ)2+(4+2sinθ)2-2(2+2cosθ)+2(4+2sinθ)=24+8cosθ+16sinθ-4-4cosθ+8+4sinθ=28+4cosθ+20sinθ=28+426cos(θ-φ2),其中tanφ2=5,所以当cos(θ-φ2)=1时,a2+b2-2a+2b取得最大值28+426,故D错误.故选B.方法总结利用三角换元思想来求最值,是一个很好的方法.圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2可转化为x-ar2+y-br2=1,类比cos2θ+sin2θ=1,可以得到x-a6.答案-解析易知直线OP的方程为x-y=0,由题意可设N(x0,x0),M(x',y'),则可得x'2+y'2=1,由MP=2MN,可得MP则2(x'+y')+3=2[-2x0(x'+y')+1+2x0即2(1+2x0)(x'+y')=(2x0+1)(2x0-1),若MP=2MN恒成立,则1+2x0=0,解得x0=-12故N-17.答案3解析设角A,B,C的对边分别为a,b,c.因为sinB=m·sinA,所以由正弦定理得b=ma,即AC=m·BC,设边AB的中点为O,以O为坐标原点,AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系,不妨设A-3由AC=m·BC得x+322因为m≥2,所以整理得x2+y2-3m由此可知点C的轨迹是以3m2+3所以当点C在圆上运动时,点C到x轴的最大距离为半径r=3m所以△ABC的面积S=12×3×3mm所以Smax=928.答案10解析由题意可得圆x2+y2=1是关于P,Q的阿波罗尼斯圆,且λ=2,则MQMP设M(x,y),Q(m,0),则(x整理得x2+y2+4+2m由该圆的方程为x2+y2=1得4+2解得m=-2,∴Q(-