3.2利用导数研究函数的单调性

3.2利用导数研究函数的单调性课标要求精细考点素养达成1.了解函数单调性与导数的关系2.能利用导数研究函数的单调性3.会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次)求函数的单调区间通过求函数的单调性,培养数学运算的核心素养已知单调性求参数的范围通过含参数函数的单调性,培养逻辑推理和数学运算的核心素养函数单调性的应用通过函数单调性的应用,培养逻辑推理和数学运算的核心素养1.(概念辨析)(多选)下列命题正确的有().A.若函数f(x)在(a,b)内单调递增,则一定有f'(x)>0B.如果函数f(x)在某个区间内恒有f'(x)=0,那么f(x)在此区间内没有单调性C.函数f(x)=x3ax为R上增函数的一个充分不必要条件是a≤0D.函数f(x)=lnxx的单调递减区间是(e,2.(对接教材)函数f(x)=x33x2+1的单调递减区间为().A.(2,+∞) B.(∞,2)C.(∞,0) D.(0,2)3.(对接教材)已知f(x)在R上是可导函数,y=f(x)的图象如图所示,则不等式f'(x)>0的解集为().(2,0)∪(2,+∞)B.(∞,2)∪(2,+∞)C.(∞,1)∪(1,+∞)D.(2,1)∪(1,2)4.(易错自纠)已知函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象可能是().A BC D5.(真题演练)(2023·新高考全国Ⅱ卷)已知函数f(x)=aexlnx在区间(1,2)上单调递增,则a的最小值为().A.e2 B.e C.e1 D.e2求函数的单调区间1.无参数函数的单调性典例1(1)函数f(x)=13x2lnx的单调递减区间为()A.62,+∞ B.-62,6(2)已知定义在区间(π,π)上的函数f(x)=xsinx+cosx,则f(x)的单调递增区间是.

利用导数求函数单调区间的三种方法(1)当导函数不等式可解时,解不等式f'(x)>0或f'(x)<0,求出单调区间.(2)当方程f'(x)=0可解时,解出方程的实根,按实根把函数的定义域划分成若干个区间,确定各区间f'(x)的符号,从而确定单调区间.(3)若导函数的方程、不等式都不可解,根据f'(x)的结构特征,利用其图象与性质确定f'(x)的符号,从而确定单调区间.若所求函数的单调区间不止一个,这些区间之间不能用并集“∪”及“或”连接,只能用“,”“和”隔开.训练1(1)函数f(x)=x-3e2x的单调递减区间是A.(∞,2) B.(2,+∞)C.72,+∞ D.(3,(2)下列函数中,在(0,+∞)上单调递增的是().A.f(x)=sin2x B.f(x)=xexC.f(x)=x3x D.f(x)=x+lnx2.含参数函数的单调性典例2(1)(2023·南京师大附中校考模拟预测)已知f(x)=ln(x+1)ax(a∈R),讨论f(x)的单调性.已知函数f(x)=12x2(1+a)x+alnx,其中a为实数,求f(x)的单调区间1.(1)研究含参数的函数的单调性,要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.(2)划分函数的单调区间时,要在函数定义域内讨论,还要确定导数为0的点和函数的间断点.2.个别导数为0的点不影响所在区间的单调性,如f(x)=x3,f'(x)=3x2≥0(f'(x)=0在x=0时取到),f(x)在R上是增函数.训练2(1)已知函数f(x)=ae2x+(a2)exx,讨论f(x)的单调性.已知单调性求参数的取值范围典例3已知函数f(x)=lnx12ax22x(a≠0)在[1,4]上单调递减,则实数a的取值范围是变式本例条件变为“函数f(x)在[1,4]上存在单调递减区间”,则实数a的取值范围为.

根据函数单调性求参数的一般思路(1)由函数在区间[a,b]上单调递增(减)可知f'(x)≥0(f'(x)≤0)在区间[a,b]上恒成立,列出不等式.(2)利用分离参数法或函数的性质求解恒成立问题.(3)对等号单独检验,检验参数的取值能否使f'(x)在整个区间恒等于0.若f'(x)恒等于0,则参数的这个值应舍去;若只有在个别点处有f'(x)=0,则参数可取这个值.注意当函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题;当已知函数在某区间上不单调时,则转化为导函数在该区间上有零点问题.训练3已知函数f(x)=12x23x+4lnx在(t,t+2)上不单调,则实数t的取值范围是函数单调性的应用1.利用单调性解不等式典例4已知函数f(x)=x32x+ex1ex,其中e是自然对数的底数.若f(a1)+f(2a2)≤0,则实数a的取值范围是训练4已知定义在(3,3)上的奇函数y=f(x)的导函数是f'(x),当x≥0时,y=f(x)的图象如图所示,则关于x的不等式f'(x)x>2.比较大小典例5已知e是自然对数的底数,则下列不等关系正确的是().A.ln2>2e B.ln3<3eC.lnπ>πe D.训练5设a=0.1e0.1,b=19,c=ln0.9,则()A.a<b<c B.c<b<aC.c<a<b D.a<c<b构造函数研究不等关系在函数、导数与数列中经常有不等关系的处理,常见的有比较大小、不等式的证明、恒成立(或存在性)等不等式问题,解决这些问题最常用的方法就是构造函数.构造法证明不等式是指在证明与函数有关的不等式时,根据所要证明的不等式,构造与之相关的函数,利用函数的单调性、极值、最值加以证明.常见的构造方法有:(1)直接构造法:证明不等式f(x)>g(x)(f(x)<g(x))转化为证明f(x)g(x)>0(f(x)g(x)<0),进而构造辅助函数h(x)=f(x)g(x);(2)适当放缩构造法:一是根据已知条件适当放缩,二是利用常见的放缩结论,如lnx≤x1,ex≥x+1,lnx<x<ex(x>0),xx+1≤ln(x+1)≤x(x>1)等;(3)构造“形似”函数:稍作变形再构造,对原不等式同解变形,如移项、通分、取对数,把不等式转化为左、右两边是相同结构的式子的形式,根据“相同结构”构造辅助函数;(4)构造双函数:若直接构造函数求导难以判断符号,导函数零点也不易求得,因此若函数单调性与极值点都不易获得,则可构造函数f(x)和g(x),典例(1)定义在R上的函数f(x)满足f(1)=1,且对任意的x∈R都有f'(x)<12,则不等式f(lgx)>lgx+1(2)设f'(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,且f(1)=0,当x>0时,xf'(x)f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x的取值范围为.

有这样一类题型,题目中不是给出具体的函数解析式,而是给出函数f(x)及其导函数满足的条件,需要据此条件构造抽象函数,再根据条件得出构造函数的单调性,应用单调性解决问题.训练(1)已知函数f(x)的导函数为f'(x),对任意x∈R,都有f'(x)>f(x)成立.若f(ln2)=12,则满足不等式f(x)>1ex的x的取值范围是(A.(1,+∞) B.(0,1)C.(ln2,+∞) D.(0,ln2)(2)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)+2f'(x)>0恒成立,且f(2)=1e(e为自然对数的底数),则不等式exf(x)ex2>0一、单选题1.已知函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,则该函数的图象可能是().A BC D2.函数f(x)=(x3)ex的单调递增区间是().A.(∞,2) B.(0,3)C.(1,4) D.(2,+∞)3.设函数f(x)=2x+sinx,则().A.f(1)>f(2) B.f(1)<f(2)C.f(1)=f(2) D.以上都不正确4.“m<4”是“函数f(x)=2x2mx+lnx在(0,+∞)上单调递增”的().A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件二、多选题5.函数f(x)=xlnx().A.在0,1e上是减函数 B.在0,1e上是增函数C.在1e6.下面比较大小正确的有().A.3π>πe B.πe>eπ C.3π>eπ D.eπ>πe三、填空题7.设函数f(x)=12x29lnx在区间[a1,a+1]上单调递减,则实数a的取值范围是8.已知函数f(x)=x+lnx+cosx,若f(x24)≤f(3x),则实数x的取值范围是.

四、解答题9.(2023·福建莆田)已知函数f(x)=x3ax1.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)在R上为增函数,求实数a的取值范围.10.(2024·南通如皋市押题卷)设函数f(x)=ax2alnx,g(x)=1x1ex-1,其中a∈R,e=2(1)讨论f(x)的单调性;(