抛物线的简单几何性质（一）课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3.3.2抛物线的简单几何性质图形标准方程焦点坐标准线方程焦点位置lFyxOlFyxOlFyxOlFyxOy2=2px(p＞0)y2=-2px(p＞0)x2=2py(p＞0)x2=-2py(p＞0)四种抛物线及其标准方程

x轴的正半轴上

x轴的负半轴上

y轴的正半轴上

y轴的负半轴上课前回顾2.做一做:下列关于抛物线x2=4y的描述正确的是(

)A.开口向上,焦点坐标为(0,1)答案:A1.了解抛物线的简单几何性质.2.能利用性质解决与抛物线有关的问题.3.能利用方程与数形结合思想解决焦点弦问题.学习目标

1.范围2.对称性3.顶点4.离心率填表:抛物线的几何性质

例1变式1例2ABFOxy变式2、

如图,斜率为

的直线l经过抛物线y2=2px的焦点F(1,0),且与抛物线相交于A,B两点.(1)求该抛物线的标准方程和准线方程;(2)求线段AB的长.分析:(1)由抛物线的焦点坐标得p的值,求出抛物线方程及其准线方程.(2)由过焦点的直线方程与抛物线方程联立,利用焦点弦长公式可解.抛物线的焦半径和焦点弦公式（一）抛物线的焦半径和焦点弦公式（二）ABOFKNMHxy在抛物线的所有焦点弦中，通径最短ABOFKNMHxyABOFKNMxyCDABOFyxOMBCDxyEP图3.3-6例3OMBCDxyEP图3.3-6当堂检测（第136页）2．在同一坐标系中画出下列抛物线，观察它们开口的大小，并说明抛物线开口大小与方程中的x系数的关系：抛物线如图，x的系数的绝对值越大，抛物线的开口越大．∴p=3,且抛物线开口向右,∴抛物线的标准方程为y2=6x.答案:C课后练习答案:A3.过抛物线y2=8x的焦点作倾斜角为45°的直线,则被抛物线截得的弦长为(

)A.8 B.16 C.32 D.61解析:由抛物线y2=8x的焦点坐标为(2,0),得直线的方程为y=x-2.代入y2=8x,得(x-2)2=8x,即x2-12x+4=0.∴x1+x2=12,弦长等于x1+x2+p=12+4=16.答案:B4.抛物线y2=x上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为

.

5.已知边长为1的等边三角形AOB,O为坐标原点,

AB⊥x轴,以O为顶点且过A,B的抛物线方程是()

A.y2=x B.y2=-xC.y2=±x D.y2=±x解析:设抛物线方程为y2=ax(a≠0).又A(取点A在x轴上方),则有,解得a=±,故抛物线方程为.选C.答案:C6.过抛物线x2=4y的焦点F作直线交抛物线P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点,若y1+y2=6,则|P1P2|的值为()

A.5 B.6 C.8 D.10解析:抛物线x2=4y的准线为y=-1,因为P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点是过抛物线焦点的直线与抛物线的交点,所以P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点到准线的距离分别是y1+1,y2+1,所以|P1P2|的值为y1+y2+2=8.答案:C7.设抛物线y2=8x的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一

点,PA⊥l,A为垂足,如果直线AF的斜率为,那么

|PF|=

解析:设准线交x轴于点B,O为坐标原点,依题意kAF=-,则∠AFO=60°.因为|BF|=4,所以|AB|=4,则点P的纵坐标为4,所以(4)2=8xP,得xP=6,即点P的横坐标为6,所以|PF|=|PA|=8.答案:88.已知抛物线y2=4x截直线y=2x+m所得弦长|AB|=3,求m的值.9.若抛物线的顶点在原点,开口向上,F为焦点,M为准线与y轴的交点,A为抛物线上一点,且|AM|=,|AF|=3,求此抛物线的标准方程.解:设所求抛物线的标准方程为x2=2py(p>0),设A(x0,y0),由题知M.∵|AF|=3,∴y0+=3,∵|AM|=,∴=17,∴=8,代入方程=2py0,得8=2p,解得p=2或p=4.∴所求抛物线的标准方程为x2=4y或x2=8y.1011.设O为坐标原点,F为抛物线y2=4x的焦点,A为抛物线上一

点,若=-4,求点A的坐标.解:由y2=4x,知F(1,0).∵点A在y2=4x上,∴不妨设A,则.代入=-4中,得,化简得y4+12y2-64=0.∴y2=4或y2=-16(舍去),y=±2.∴点A的坐标为(1,2)或(1,-2).12.已知直线l经过抛物线y2=4x的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点.

(1)若|AF|=4,求点A的坐标;

(2)求线段AB的长的最小值.解:由y2=4x,得p=2,其准线方程为x=-1,焦点F(1,0).设A(x1,y1),B(x2,y2).(1)由抛物线的定义可知,|AF|=从而x1=4-1=3.代入y2=4x,解得y1=±2.故点A的坐标为(3,2)或(3,-2).(2)当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x-1).

与抛物线方程联立消去y,整理得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.

∵直线与抛物线相交于A,B两