高中数学公式及知识点速记总结大全

高中数学公式及知识点速记

一、函数、导数

1、函数的单调性

(1)设X］、x2£<%2那么

/(X,)-)<0o/(X)在句上是增函数；

/(x,)-/(x2)>0o/(x)在［。向上是减函数.

(2)设函数y=/(x)在某个区间内可导，若/'(x)>0,则/(x)为增函数；若/'(x)<0,则/(x)为减

函数.

2、函数的奇偶性

对于定义域内任意的X,都有/(—x)=/(x),则/(x)是偶函数；

对于定义域内任意的x,都有/(—x)=—/(x),则/(x)是奇函数。

奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称。

3、函数y=/(x)在点/处的导数的几何意义

函数y=/(x)在点/处的导数是曲线y=/(x)在尸(/，/(/))处的切线的斜率/'(x0),相应的切线方

程是y-%=f'(x0)(x-x0).

*二次函数：(1)顶点坐标为(-二h,4-cic—b~);(2)焦点的坐标为(一b二，A-cic—h~+l)

2a4a2a4a

4、几种常见函数的导数

①C'=0；②(x")'=nx"T；③(sinx)'=cosx；®(cosx)=-sinx；

⑤(a*)=avIna；⑥(e")'=e"；⑦(log“x)'=----；⑧(lnx)'=—

xlnax

5、导数的运算法则

.U■uv—uv-

(I)(H+V)-U±V.(2)(MV)=Hv+t/v.(3)(—)=-------(v^0).

VV

6、会用导数求单调区间、极值、最值

7、求函数y=/(x)的极值的方法是：解方程r(x)=0.当/'(%)=0时：

⑴如果在,附近的左侧广(万)>0,右侧:(x)<0,那么/(&))是极大值;

(2)如果在鼻附近的左侧广(x)<0,右侧广(x)>0,那么/(&))是极小值・

指数函数、对数函数

分数指数第

(1)a"=(.a>Q,m,neN*,且〃>1).

nt1

⑵a~(a>D,tn,neN*,且〃>1).

m2——

nlJ)I

6

根式的性质

(1)当〃为奇数时，而=a；

当〃为偶数时，=}a\=\a'a~^

-a.av0

有理指数累的运算性质

(1)a-as=ar+s(a>0,r.seQ).

(2)(优)'=a"(a>0,r,5G2)-

(3)(ab)r-arbr(a>0,Z?>0,re(2).

注：若a>0,p是一个无理数，则球表示一个确定的实数.上述有理指数福的运算性质，对于无理数

指数森都适用.

.指数式与对数式的互化式：log“N=boab=N(a>0,a于T,N>0)

logN

.对数的换底公式:log“N=一如一(。>0,且awl,〃2>0,且WHI,N>0).

log,”。

对数恒等式："ogdnN(a>0,且aHl,N>0).

推论loglog”>(a>0,且awl,N>0).

"m

二'三角函数、三角变换、解三角形'平面向量

8、同角三角函数的基本关系式

qin

sin2^+cos2。=1,tan9=----.

cos。

9、正弦、余弦的诱导公式(奇变偶不变，符号看象限)

左乃士a的正弦、余弦，等于a的同名函数，前面加上把a看成锐角时该函数的符号；

攵乃+4TT±2的正弦、余弦，等于a的余名函数，前面加上把a看成锐角时该函数的符号。

2

(l)sin(227T+a)=sina,cos(227r+a)=cosa,tan(2Z/r+a)=tana(Z£Z).

（2）sin（乃+a）=-sina,cos（%+a）=-cosa,tan（乃+a）=tana.

（3）sin（-a）--sina,cos（-a）=cosa,tan（-a）=-tana.

（4）sin（〃一a）=sin«,cos（〃一a）=-cosa,tan（乃一a）=-tana.

口诀：函数名称不变，符号看象限.

]-a）=cosa,cos（/-a]=sina.⑹sin[]+a]=cosa,cos[/+a）=-sina.

(5)sin

口诀：正弦与余弦互换，符号看象限.

10>和角与差角公式

sin（a±/?）=sinacosp±cosasinJ3;

cos（a±/?）=cosacos/?*sinasin£;

,,c、tana±tan

tan(a±0)=----------i―.

I-tanatan/3

11、二倍角公式

sin2a=2sinacosa

cos2a=cos2a-sin2a=2cos2<z-l=l-2sin2a.

2tan。

tanla

l-tan2a

c21c2I+cos2a

2cosa-l+cos2cr,cosa----------

公式变形：_2

2sin2a=l-cos2«,sin2a=~~~；

12、函数y=sin（0x+0）的图象变换

①的图象上所有点向左（右）平移Ml个单位长度，得到函数y=sin（x+e）的图象；再将函数》=$亩（为+夕）

的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的,倍（纵坐标不变），得到函数3；=5皿（3+0）的图象;

CD

再将函数〉=5皿（5：+夕）的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A倍（横坐标不变），得到函数

y=Asin(69%+^)的图象.

②数y=sinx的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的工倍（纵坐标不变），得到函数

（0

\（f\

y=sin3：的图象；再将函数》=《110％的图象上所有点向左（右）平移四个单位长度，得到函数

CD

y=sin（（yx+e）的图象；再将函数3；=5111（/x+e）的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A倍

（横坐标不变），得到函数^=Asin®x+e）的图象.

时，Xnax=1：当>max=l；当X=2Z乃+%

x=2k7v--(ZeZ)时，WL-1.

2

时，

(kwZ)yn,n=-l.

周期性2兀27r71

奇偶性奇函数偶函数奇函数

/er兀…兀

在2k九---—

.22.

在［2&乃一肛2人；r］(&€Z)上是增

在(左万一工，%乃+工］

(%eZ)上是增函数；在

122)

单调性函数；在［2左1,2&乃+句

2k/r+—,2k7r+—(女eZ)上是增函数.

_22_(&EZ)上是减函数.

(%eZ)上是减函数.

对称中心(左4,0)(女GZ)对称中心(2»+],())(%GZ)

对称中心(―^一,())(2£Z)

对称性

对称轴X=%)GZ)

对称轴x=k7r(kGZ)无对称轴

14、辅助角公式

y=asinx+Z?cosjc=Ja2+Z??sin(%十0)其中tan夕=2

a

cihc

15.正弦定理：/一=-^=」一二2H(R为AABC外接圆的半径).

sinAsinBsinC

<=>a=2/?sinA,h=27?sinB,c=27?sinCOQ:b:c=sinA:sinB:sinC

16.余弦定理

a2=b2+C2-2bccosA,b2=c2+Q?-2cacosB,c2=a2+b2-2abcosC.

17.面积定理

(1)S=；血=gbhb=gc%(%、1”、儿分别表示a、b、c边上的高).

(2)S=—absinC=—bcsinA=—easinB.

222

18、三角形内角和定理

在△ABC中，有A+B+C="oC=4一(A+8)

。©=七—^±^=2。=2乃一2(4+8).

222

19、々与3的数量积(或内积)

a-b=\a\\b\cos0

20、平面向量的坐标运算

⑴设A(X|,y),B%,%)，则钻=03-04=(%2-司,当一了1)・

(2)设a=(%,%),b=(x2,y2),^a-b=x｛x2+yty2.

(3)设a=(x,y),则,卜^x2+y2

21、两向量的夹角公式

设a=(X]，x),5=(/,%)，且)。则

c0s6==；.(a=(x,y),b^(x,y)).

|a||b|旧+y：.收+y；ll22

22、向量的平行与垂直

设。=(王，必)，〃=(%，力)，且人h0

allbb=Aaxty2-x2yt=0.

a±b(a*6)=a.B=0ox1％=0.

*平面向量的坐标运算

⑴设&=(X],y。，。=(x2,y2),则a+b=(x,+x2,yi+y2).

⑵设a=(%,%),6=(%2，必)，则4-〃=(%-ZB-%).

(3)设A(X1,y),B(x2,y2),则AB=OB-OA-(x2-xpy2-y,).

(4)设a=(x,y),2eR,则2a=(Zx,2y).

(5)设a=(X],y),/?=(々,)2)，则a•b=%,%2+^y2.

三'数列

23、数列的通项公式与前n项的和的关系

sPn—1

an=\(数列｛%｝的前n项的和为s“=4+々+…+勺).

24、等差数列的通项公式

an=4+(〃-l)d=+%-d(nGN*)；

25、等差数列其前n项和公式为

_〃（4+%）心一1）jd2/1

i）„——fLCL\ia=­n+(。]——a)n.

2222

26、等比数列的通项公式

an=a{q'^'=--q'\neN*）；

q

27、等比数列前n项的和公式为

幺匕A-

\-q或s“=<\-q

叫

nax.q=\,q=1

四、不等式

28、土土2NJ药。必须满足一正（x,y都是正数）、二定（孙是定值或者x+y是定值）、三相等（x=y

2

时等号成立）才可以使用该不等式）_

（1）若积孙是定值0,则当x=y时和x+y有最小值2J万；

（2）若和x+y是定值s,则当x=y时积呼有最大值,52.

4

五、解析几何

29、直线的五种方程

（1）点斜式y-y^Kx-x^（直线/过点片（对凹）,且斜率为我）.

（2）斜截式y=Ax+O（b为直线/在y轴上的截距）.

（3）两点式2——="~（%一%）（4（西，弘）、鸟（工2，%）（玉力々））,

必一x々一%

（4）截距式巳+2=1（%h分别为直线的横、纵截距，a、。/0）

ab

（5）一般式Ar+3y+C=O（其中A、B不同时为0）.

30、两条直线的平行和垂直

若4:y=幻+4,Z2:y=k2x+b2

①4=K=&2，々工4；

②4J.Z9u>k[k2——1.

31、平面两点扁的距离公式

4.8=-5)2+(%-%)2(A(%，X)，B(%2，%))•

32、点到直线的距离

_IAvo+gy（）+cI

d(点尸(x°,y°),直线/：Ax+By4-C=0).

33、圆的三种方程

（1）圆的标准方程（工一。）2+（丁一加2二’.

(2)圆的一般方程x2+/+£>%+£>'+F=0(£>2+E2-4F>0).

…，…一(x=a+rcos6

(3)圆的参数万程\.

y=h-\-r^m0

*点与圆的位置关系：点「（%,%）与圆（%-。）2+。-加2=/的位置关系有三种

若d=J（a-x（））2+（。_%）2，则d>r=点P在圆夕卜；d=r0点P在圆上；d<r0点P在圆内.

34、直线与圆的位置关系

直线Ax+5y+C=0与圆（x—a）?+（y—b）2=/的位置关系有三利I：

J>r<=>相禺<=>A<0;

d=ro相切<=>A=0；

。<r=相交04>0.弦长=2，/一小

|Atz+Bb+C|

其中〃=

JA2+B2

35、椭圆、双曲线、抛物线的图形、定义、标准方程、几何性质_____

椭圆：£+¥=1（。>。>0）,a2-c2=落离心率e=3=1々<1,参数方程是,x=acos0

a~b~aVay=bsin0

一)2

双曲线：。l(a>0,b>0),c2-a2^b2,离心率e=£>l,渐近线方程是y=±&x.

a~b2a

抛物线：V2px,焦点(T，0),准线》=-々。抛物线上的点到焦点距离等于它到准线的距离.

36、双曲线的方程与渐近线方程的关系

122

y%y

(1)若双曲线方程为，=1n渐近线方程:0=y=±—x-

a"/一瓦a

2

(2)若渐近线方程为^=±2*0±±2=0=＞双曲线可设为二—―=九.

aaba~b~

X2y2%2y2

(3)若双曲线与■一4=1有公共渐近线，可设为三一==九(九＞0,焦点在X轴上，X＜0,

ahab

焦点在y轴上).

37、抛物线V=2px的焦半径公式

2

抛物线y=2px(p＞0)焦半径\PF\=xa+-^.(抛物线上的点到焦点距离等于它到准线的距离。)

38＞过抛物线焦点的弦长=X]+-^+x2+y=Xj+x2+p.

六'立体几何

39.证明直线与直线的平行的思考途径

(1)转化为判定共面二直线无交点；

(2)转化为二直线同与第三条直线平行；

(3)转化为线面平行；

(4)转化为线面垂直；

(5)转化为面面平行.

40.证明直线与平面的平行的思考途径

(1)转化为直线与平面无公共点；

(2)转化为线线平行；

(3)转化为面面平行.

41.证明平面与平面平行的思考途径

(1)转化为判定二平面无公共点；

(2)转化为线面平行；

(3)转化为线面垂直.

42.证明直线与直线的垂直的思考途径

(1)转化为相交垂直；

(2)转化为线面垂直；

(3)转化为线与另一线的射影垂直；

(4)转化为线与形成射影的斜线垂直.

43.证明直线与平面垂直的思考途径

(1)转化为该直线与平面内任一直线垂直；

(2)转化为该直线与平面内相交二直线垂直;

(3)转化为该直线与平面的一条垂线平行；

(4)转化为该直线垂直于另一个平行平面。

44.证明平面与平面的垂直的思考途径

(1)转化为判断二面角是直二面角；

(2)转化为线面垂直；

45、柱体、椎体、球体的侧面积、表面积、体积计算公式

圆柱侧面积=，表面积=2勿7+2"2

圆椎侧面积=mi，表面积=加7+勿」

%体=；5〃（S是柱体的底面积、。是柱体的高）.

腺体（S是锥体的底面积、。是锥体的高）.

4

球的半径是R，则其体积V=一兀N,其表面积S=4兀R?.

3

46若点A（X［，X，Z］）,点B（x2,y2,z2）,则

22

d^=\AB\=ylAB-AB=^x2-xy+（y2-yl）+（z2-zi）

47、点到平面距离的计算（定义法、等体积法）

48、直棱柱、正棱柱、长方体、正方体的性质：侧棱平行且相等，与底面垂直。

正棱锥的性质：侧棱相等，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心。

七、概率统计

49、平均数、方差、标准差的计算

2

平均数：x=3+/+_当，方差：§2=j_[Q]_幻2+(X2-x)+…(X"-x)2]

nn

标准差:S=-/—[(%)-X)2+(x-x)2+•••(%„-x)2]

Vn2

50、回归直线方程（了解即可）

___

za-元）出一刃Ex^-nxy

b=-^—；i-----------

y=a+bx,其中＜fa一可2<2—2.经过（亍，歹）点。

/jXj-nx

i=li=\

a=y-bx

Ki=Mac-bdY______

51、独立性检验（a+b）（c+d）（a+c）S+d）（了解即可）

52、古典概型的计算（必须要用列举法、列表法、树状图的方法把所有基本事件表示出来,

不重复、不遗漏）

八、复数

53、复数的除法运算

a+bi_(a+bi)(c-di)_(ac+bd)+(be-ad)i

c+di(c+di)(c-di)c2+d2

54、复数z=a+"i的模|z|=|a+4|=J/+〃.

55、复数的相等：a+bi=c+di=a=c,b=d.(a,b,c,de/?)

22

56、复数z=a+次的模(或绝对值)\z\=\a+hi\=y/a+b

57、复数的四则运算法则

(1)(a+hi)+(c+di)=(a+c)+S+d)i;

(2)(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i;

(3)(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(be+ad)i;

ac+bdbe-ad

(4)(a+bi)+(c+di)=c2+d2+c2+d2i(c+di#0).

58、复数的乘法的运算律

对于任何Z],z2,Z3eC,有

交换律:z,"z2=z2-Z].

结合律：(Z1•z2)-Z3=Z]《Z2•Z3).

分配律：Z]・(Z2+Z3)=Z|-Z2+Z]-Z3.

九、参数方程、极坐标化成直角坐标

pcos0-x（,22

〈p'=x~+y

55、3inO=y-

tan。:（x工0）

、x

十'命题'充要条件

充要条件（记〃表示条件，q表示结论）

（1）充分条件：若pnq,则p是乡充分条件.

（2）必要条件：若q=>p,则〃是4必要条件.

（3）充要条件：若p=>q,且则p是q充要条件.

注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.

56.真值表原命题

若P则q

非Pp或qp且q

Pq八

真真假真真互

真假假真假否

\/

假真真真假

假假真假假否命题

若［P则［C

十一、直线与平面的位置关系

空间点、直线、平面之间的位置关系

三个公理：

（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内

（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共

直线。

空间中直线与直线之间的位置关系