空间中的距离教案

1.2.5空间中的距离

学习目标核心素养

1.掌握向量长度计算公式.(重点)

2.会用向量方法求两点间的距离、点到平面的通过学习空间距离的求解，提

距离、直线到平面的距离和面到面的距离.(重升逻辑推理、数学运算素养.

点'难点)

情境趣味导学情境导学。探新知预习素养感知

畲情境引入•助学助教

“距离”在生活中随处可见，其概念是从生活中的具体问题中抽象出来的.

义务教育阶段已经学过点与点之间的距离，那么在空间中两个图形之间的距离又

是怎样呢？

知初探…

1.空间中两点之间的距离

空间中两点之间的距离指的是这两个点连线的线段长.

思考1：在空间中怎样求两点之间的距离？

［提示］利用向量法转化为求向量的模.

2.点到直线的距离

给定空间中一条直线/及/外一点A,因为/与A能确定一个平面,所以过A

可以作直线/的一条垂线段,垂线段的长称为点4到直线I的距离.

3.点到平面的距离

(1)给定空间中一个平面a及a外一点A,过A可以作平面a的一条垂线段,

垂线段的长称为点A到平面a的距离.

提醒：点到平面的距离是这个点与平面内点的最短连线的长度.

(2)一般地，若A是平面a外一点，3是平面a内一点，〃是平面a的一个法

向量，则点A到平面a的距离为1=察1.

提醒：若点A是平面a内一点，则约定A到平面a的距离为0.

4.相互平行的直线与平面之间、相互平行的平面与平面之间的距离

(1)当直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离称为这条直线与这

个平面之间的距离，如果直线/与平面a平行，〃是平面a的一个法向量，A、B

分别是/上和a内的点，则直线I与平面a之间的距离为1=端©.

(2)当平面与平面平行时，一个平面内任意一点到另一个平面的距离称为这

两个平行平面之间的距离.

如果平面a与平面夕平行，”是平面用的一个法向量，A和5分别是平面a

和平面夕内的点，则平面a和平面夕之间的距离为后喑k

思考2：线面距、面面距与点面距有什么关系？

提示：

一

|直线与它的平行平面的距离卜7两

点

之

点到平面的距离间

的

距

亘

I两个平行平面的距离卜」

E初试

1.思考辨析(正确的打“，错误的打“x”)

(1)可以用1诵1=加加求空间两点A、§的距离.

()

(2)设"是平面a的法向量，A是平面a内一点，A3是平面a的一条斜线，

则点B到a的距离为.()

(3)若直线/与平面a平行，直线/上任意一点与平面a内任意一点的距离就

是直线/与平面a的距离.()

［答案］(1)V(2)V(3)X

［提示］(1)7(2)V

(3)X直线上任意一点到平面a的垂线段的长度.

2.设A(3,3,l),3(105),C(O,1,O),则A3的中点M到点C的距离|CM|等于

()

「应n近

J22

C［-：M点坐标为(2,I，3),.•.|MC|=Y(2—0)2+(1—l)+(3—0)2=

苴1］

2,J

3.在四面体P-A3C中，PA,PB,PC两两垂直，M是平面ABC内一点，

且点M到其他三个平面的距离分别是2,3,6,则点M到顶点P的距离是()

A.7B.8C.9D.10

A［以P为坐标原点，PA,PB,元:的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向

建立空间直角坐标系(图略)，由题意，得也。|=隹存工不=7.］

4.已知平面a的一个法向量”=(1,0,1),点A(—1,1,0)在a内，则平面外点

P(—1,1,1)到平面a的距离为.

，［亦=(0,0,1),“=(1,0,1),4=^^=古=坐］

疑难问题解惑合作探究。释疑难学科素养形成

、类型1空间两点间的距离

【例1】如图所示，正方形ABC。，A3ER的边长都是1,而且平面A3CD,

ABER互相垂直，点般在AC上移动，点、N在BF上移动,若CM=BN=a(0<a<\［2).

(1)求MN的长；

(2)a为何值时，MN的长最小？

［思路探究］建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用两点间距离公式求

解.

［解］(1)建立如图所示的空间直角坐标系,

则A(1,O,O),"1,1,0),

c(o,o,i).

因为CM=BN=a(0<a<g,且四边形ABCD,ABEF为正方形,

所以，乎a,0,1一日，，N［乎a,田氏°)，

所以A/N=(o,坐a,坐。一1

所以2Vl=\la2—yf2a-\-1(0<a<6).

MN=^.

(2)由(1)知MN=

即当a=乎时，MN的长最小，最小值为坐.

「.....规法•.......

计算两点间的距离的两种方法

(1)利用⑷2=a・a,通过向量运算求⑷，如求A,3两点间的距离，一般用|诵

(2)用坐标法求向量的长度(或两点间距离)，此法适用于求解的图形适宜建立

空间直角坐标系时.

［跟进训练］

1.如图所示，在120。的二面角a-ABf中，ACUa,BD^/3且AC±AB,

BD±AB,垂足分别为A,B,已知AC=AB=3D=6,试求线段CD的长.

［解］'：AC±AB,BD±AB,

：.CAAB=Q,RDAB=Q,

又•.•二面角的平面角为120。,

<CA,BD)=60°,

.,.|CD|2=|CD|2=(CA+AB+Bb)2

=CA2+AB2+Bb2+2(^AB+CABb+5bAB)

=3X62+2X62XCOS60°=144,

.\CD=12.

"型2/点到直线的距离

［探究问题］

1.如何理解与认识点到直线的距离？

［提示］点到直线的距离，即点到直线的垂线段的长度，由于直线与直线外

一点确定一个平面，所以空间点到直线的距离问题可转化为空间某一个平面内点

到直线的距离问题.

(1)点在直线上时，点到直线的距离为0.

(2)点在直线外时，点到直线的距离即为此点与过此点向直线作垂线的垂足

间的距离.即点到直线的距离可转化为两点间的距离.

2.如何用向量法求点到直线的距离？

［提示］设出点在直线上的射影，利用垂直关系求出射影的坐标转化为求向

量的模.

【例2】已知直三棱柱ABC-ALBICI中，AAi=l,AB=4,BC=3,/ABC

=90°,求点B到直线AiCi的距离.

［思路探究］建立空间直角坐标系，利用向量法求解.

［解］以3为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.

则Ai(4,0,l),Ci(0,3,l),

所以庆1=(-4,3,0).

设E满足4宝=14工1,且BEXA1C1,

则屈=威|+疵=(4,0,1)+，一4,3,0)=(4一4九3九1),又靛，庆i,

.,.(4—4/1,3A,1)-(—4,3,0)=0,.*.A=1|.

.,.屈=(4-4X1|,3x1|,1),

：.B到直线AiCi的距离为笠.

［母题探究］

1.（变问法）条件不变，试求3到AG的距离.

［解］建系如本例解法元〕=（—4,3,1）,设M满足启=力D1且前•/1=0,

则俞=或+嬴=(4,0,0)+2(—4,3,1)=(4一4九3九A).

又赤尼1=0,.,.(4—42,3九A)•(-4,3,1)=0,

.,_8_

..儿一⑶

.一(8X48X38V<2024_8_A

..BM=I4—~13j=ll3;13;13

'.B到ACi的距离为生曹

2.（变条件）若将本例中的条件改为“正三棱柱ABC-451cl且所有棱长均为

2"，如何求3到4G的距离.

［解］以3为原点，分别以R4,过3垂直于B4的直线，BB、为x,y,z轴

建立如图所示的空间直角坐标系，

则3（0,0,0）,4（2,0,2）,Ci（l,小,2）,BAi=（2,0,2）

所以ACi的方向向量庆i=（—1,小，0）,而说1=（1,小，2）,

设E满足4宝=2庆1且BE±AiCi,

BE=BAi+A^E=（2,0,2）+2（-1,小，0）=（2一九4九2）,

又踵，AlbiI.(2一九小九2).(-1,小,0)=0,

.,.A—2+3A=0,.'.BE=\

丽=AJ(1)+闺S=巾,

...3到AC1的距离为由.

1........规律方法，

求点M到直线A3的距离的方法与步骤

(1)建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，在已知直线A3上取一点E,

点E满足两个条件：①命=丸港，@MELAB.

(2)利用(1)中的两个等量关系求出丸的值，进而求出点E的坐标，求出向量|施

|的模即为〃点到A3的距离.

、类型3点到平面的距离

【例31如图所示，已知正方体ABCD-AiBiCiDi的棱长为a,求点A到

平面ALBD的距离.

［思路探究］本题可以利用等体积法求解，也可以通过建系利用向量法求

解.

［解］法一：设点A到平面ALBD的距离为上则

VB-AAiD=^XaXa=13

6°

VA-AiBD=-jXhX^-X(y[2a)2=^-a2h,

"：VA-AiBD=VB-AAiD,

：.h=^a,.•.点A到平面AiBD的距离为看a.

法二：如图所示，建立空间直角坐标系Bixyz,则Ai(a,O,O),A(a,O,a),D(a,

a,a),3(0,0,a),

则3£>=(a,a,0),AiD=(0,a,a),AB=(—tz,0,0).

设平面AiBD的一个法向量〃=(x,y,z),

n-BD=0,

则<_

n-AiD=0,

ax~\~ay=0,x+y=0,

即1

、ay+az=0,j+z=0.

令y=-1,则x=z=l,

.\n=(l,-1,1).

.".ABn=(—tz,0,0)-(1,—1,1)=—a.

・•・点A到平面AiBD的距离d=邛驾

I川勺33

「......,规Sc75法.......................

用向量法求点面距的方法与步骤

(1)建坐标系：结合图形的特点建立恰当的空间直角坐标系；

(2)求向量：在坐标系中求出点到平面内任一点对应的向量赢；

(3)求法向量：设出平面的法向量，利用向量垂直的条件转化为求解方程组,

求出法向量M；

(4)得答案：代入公式1=啮包求得答案.

提醒：用向量法求点到平面的距离的关键是确定平面的法向量.

［跟进训练］

2.如图所示，已知△ABC是以N3为直角的直角三角形，SA，平面ABC,

SA=BC=2,AB=4,M,N,。分别是SC,AB,BC的中点，求点A到平面SND

的距离.

［解］建立如图所示的空间直角坐标系,则N(0,2,0),5(0,0,2),£)(-1,4,0),

：.NS=[0,—2,2),⑦=(—1,4,-2).

设平面SND的法向量为n=(x,yl).

・•n，NS=0,n,SD=0,

―2y+2=0,

「x+4y-2=0,

x=2,

Vi.

••.”=(2,1,1),VA5=(0,0,2).

|n-AS|_2_^6

・•.点A到平面SND的距离为

3•

、类型4线面平行、平行平面间的距离

【例4】如图，矩形ADRE和梯形ABCD所在平面互相垂直，AB//CD,

ZABC=ZADB=90°,CD=1,BC=2,DF=1.

(1)求证：BE〃平面OCT；

(2)求点B到平面DCF的距离.

rAE//DF,

AB//DC,

AEHAB=A,

［解］(1)证明：由已知可得5今平面ABE〃平面

DFCDC=D,

AE,ABU平面ABE,

、DF,DCU平面DRC

DFC,

,?3EU平面ABE,：.BE〃平面DCF.

(2)如图，以。为原点，建立空间直角坐标系.

,JAB//CD,ZABC=ZADB=90°,

则AADBs△BQ)=后=可,

nCCzJ

'：CD=1,BC=2.：.BD=\[5,

：.AD=2y[5,AB=5,/.F(O,O,1),

£>(0,0,0),A(2小，0,0),3(0,小，0),《一哀，卡，o],/=(0,一小,

D，落七-志"虎=卜泉44

设平面ZXT的法向量为“=(X,y,z),

-21,

n,DC=O,TfLF+z=°'

则<

2,1八

n-CF=O,

—忑X+F=°，

令x=l,y=2,z=0..*.n=(l,2,0).

\BF.n\

4=笠1l=2....B到平面OCR的距离为2.

1........规津方法............................

求直线与平面间的距离，往往转化为点到平面的距离求解，且这个点要适当

选取，以求解最为简单为准则，求直线到平面的距离的题目不多，因直线到平面

的距离可以用点到平面的距离求解，但在求点到平面的距离时有时用直线到平面

的距离进行过渡.

［跟进训练］

3.正方体ABCD-AiBiCiDi的棱长为1,求平面AiBD与平面BiCDi间的距

离.

［解］以。为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则4(1,0,1),5(1,1,0),

01(0,0,1),

ATB=(O,I,-I),Alb=(-i,o,-i),A?bi=(-1,0,0).

设平面AiBD的一个法向量为〃=(x,y,z),

n-AiB=0,[y—z=0,

则彳书

[n-AiD=QC-x-Z=0.

令z=l,得y=l,x=—1,；♦"=(-1,1,1).

.•.点Di到平面AiBD的距离詈=去=坐.

•平面AiBD与平面BiCDi间的距离等于点Di到平面AiBD的距离，...平

面A1BD与平面31CD]间的距离为丁.

课堂知识夯实课堂小结。提素养双基盲点扫除

K必■备素养G

1.空间中各种距离一般都可以转化为点点距、点线距、点面距，其中点点

距、点线距最终都可用空间向量的模来求解，而点面距则可由平面的法向量来求

解.

2.要熟练地掌握平面法向量的求法，其基本方法是待定系数法，还要学会

单位法向量的求法.

以致用G

1.已知平面a的一个法向量〃=(—2,—2,1),点A(—1,3,0)在a内,则P(一

2,1,4)到a的距离为()

A.10B.3

「810

C.2D.

一|AP-«|10

D[AP=(-1,-2,4),d=L-^A=y.]

2.已知平面a的一个法向量〃=(—2,—2,1),点A(x,3,0)在平面a内，则

点尸(一2』,4)到平面a的距离为竽，则x=()

A.-1B.-11

c.—1或一11D.-21

C面=(x+2,2,—4),而公粤=?即二I|=当解得

|〃|3<4+4+13

x=-1或一11.］

3.若正四棱柱ABCD-AiBiCiDi的底面边长为1,ABi与底面ABCD成60°

角，则4G到底面ABCD的距离为()

A.gB.1C.^2D.\［3

D［如图，4G〃平面A3CD,所以4。到平面A3CD的距离等于点4到

平面ABCD的距离，由ABi与平面A3CD所成的角是60。,43=1.即

点4到平面ABCD的距离为小.］

4.在Rt^ABC中，ZC=30°,ZB=90°.