第24章 圆-2021年中考真题汇编2021-2022学年人教版数学九年级上册

第24章圆一2021年中考真题汇编

一.选择题（共13小题）

1.（2021•湘西州）如图，面积为18的正方形ABC。内接于。0,则标的长度为（）

2.（2021•徐州）如图，一枚圆形古钱币的中间是一个正方形孔，已知圆的直径与正方形的

对角线之比为3：1,则圆的面积约为正方形面积的（）

3.（2021•营口）如图，OO中，点C为弦A8中点，连接。C,OB,/COB=56°,点。

4.（2021•黄石）如图,A、B是。。上的两点，/AOB=60°,OFLA2交。。于点F,则

NBAF等于（）

5.（2021•雅安）如图，四边形A8CO为。。的内接四边形，若四边形08。为菱形，则/

A.45°B.60°C.72°D.36°

6.（2021•贵港）如图，点A,B,C,。均在上，直径A8=4,点C是标的中点，点。

关于A8对称的点为，若NOCE=100°,则弦CE的长是（）

7.（2021•常州）如图，8C是。0的直径，A5是。。的弦，若NAOC=60°,则NOA5的

度数是（）

A.20°B.25°C.30°D.35°

8.（2021•赤峰）如图，点C,。在以A3为直径的半圆上，且NAZ）C=120°,点E是益上

任意一点，连接BE、CE,则N3EC的度数为（）

C.40°D.60°

9.（2021•枣庄）如图，正方形458的边长为2,。为对角线的交点，点£厂分别为3C,

4Q的中点.以。为圆心，2为半径作圆弧3。，再分别以E,尸为圆心，1为半径作圆弧

BO,OD,则图中阴影部分的面积为（）

A.Ti-1B.n-3C.n-2D.4-n

10.（2021•包头）如图，在Rt^ABC中，ZACB=90°,AB=®BC=2,以点A为圆心,

AC的长为半径画弧，交AB于点£）,交AC于点C,以点B为圆心，AC的长为半径画弧,

交A8于点E,交2c于点F,则图中阴影部分的面积为（）

C-2-T

11.（2021•鄂州）如图，RtAABC中，ZACB=90°,AC=2«,BC=3.点P为缸KBC

内一点，且满足R12+PC2=4（^.当尸8的长度最小时，ZXACP的面积是（）

A.3B.373C.D.

42

12.（2021•台湾）将一半径为6的圆形纸片，沿着两条半径剪开形成两个扇形.若其中一个

扇形的弧长为5m则另一个扇形的圆心角度数是多少？（）

A.30B.60C.105D.210

13.（2021•台湾）如图，/为AABC的内心，有一直线通过/点且分别与AB、AC相交于。

点、E点.若AO=DE=5,AE=6,则/点到BC的距离为何？（）

B

二.填空题（共13小题）

14.（2021•泰州）如图，平面直角坐标系xOy中，点4的坐标为（8,5）,OA与x轴相切,

点尸在y轴正半轴上，PB与OA相切于点B.若/APB=30°,则点P的坐标

15.（2021•哈尔滨）一个扇形的弧长是8nc7M,圆心角是144°,则此扇形的半径是

cm.

16.（2021•徐州）如图，AB是。。的直径，点C、。在0。上，若NAOC=58°,则NBAC

B

17.（2021•徐州）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形.若母线长/为

8cm,扇形的圆心角6=90°,则圆锥的底面圆半径r为cm.

18.（2021•鄂尔多斯）下列说法不正确的是（只填序号）

①7-的整数部分为2,小数部分为万-4.

②外角为60°且边长为2的正多边形的内切圆的半径为近.

③把直线y=2x-3向左平移1个单位后得到的直线解析式为y=2x-2.

④新定义运算：血*〃=，病-2〃-1,则方程-l*x=0有两个不相等的实数根.

19.（2021•赤峰）如图，在拧开一个边长为a的正六角形螺帽时，扳手张开的开口6=20,〃〃?,

则边长a=____________________mm.

20.（2021•黑龙江）如图是一个圆锥形冰淇淋外壳.（不计厚度）已知其母线长为12cm,底

面圆的半径为3c771,则这个冰淇淋外壳的侧面积等于cm2.

21.（2021•贵港）如图，圆锥的高是4,它的侧面展开图是圆心角为120°的扇形，则圆锥

的侧面积是（结果保留1T）.

22.（2021•吉林）如图，在RtZ\ABC中，ZC=90°,乙4=30°,BC=2.以点C为圆心，

CB长为半径画弧，分别交AC,AB于点D,E,则图中阴影部分的面积为

（结果保留71）.

23.（2021♦襄阳）点。是△ABC的外心，若/8OC=110°,则/BAC为°.

24.（2021•大庆）一个圆柱形橡皮泥，底面积是高是5C〃7.如果这个橡皮泥的一半,

把它捏成高为的圆锥，则这个圆锥的底面积是cm2.

25.（2021•张家界）如图，AABC内接于。0,NA=50°,点。是2C的中点，连接OD,

OB,OC,则/800=.

26.（2021•呼和浩特）已知圆锥的母线长为10,高为8,则该圆锥的侧面展开图（扇形）的

弧长为.（用含n的代数式表示），圆心角为度.

三.解答题（共4小题）

27.（2021•大连）如图1,△ABC内接于。。，直线与。。相切于点。，。。与BC相交

于点E,BC//MN.

(1)求证：NBAC=NDOC；

(2)如图2,若AC是。。的直径，E是。。的中点，。。的半径为4,求AE的长.

图

图12

28.(2021•徐州)如图，A8为。O的直径，点C、。在。0上，AC与0。交于点E,AE

=EC,OE=ED.连接BC、CD.求证:

(1)

(2)四边形08CC是菱形.

29.(2021•东营)如图，以等边三角形ABC的BC边为直径画圆，交AC于点D,DF±AB

于点F,连接。尸，且AF=1.

(1)求证：力尸是。。的切线；

(2)求线段OF的长度.

30.(2021•铜仁市)如图，已知△A8C内接于。0,AB是。。的直径，NCAB的平分线交

BC于点D,交0。于点E,连接EB,作NBEF=NCAE,交AB的延长线于点F.

(1)求证：EF是。。的切线；

(2)若B尸=10,EF=20,求。0的半径和AZ)的长.

第24章圆一2021年中考真题汇编

参考答案与试题解析

一.选择题（共13小题）

1.（2021•湘西州）如图，面积为18的正方形ABCO内接于。。，则源的长度为（）

A.9nB.—nC.—nD.—IT

224

【分析】连接OA、OB,则△048为等腰直角三角形，由正方形面积为18,可求边长为

3加，进而可得半径为3,根据弧长公式可求弧AB的长.

【解答】解：如图

连接04,0B,

•.•四边形A8CO是正方形,

：.OA=OB,ZAOB=90°,

J./XOAB是等腰直角三角形,

;正方形ABC。的面积是18,

丘=3加，

：.OA=OB=3,

.,.弧A8的长L=n兀r=90・3•兀=3兀

180~180

故选：C.

【点评】本题考查了正多边形和圆、正方形的性质、弧长公式等知识，构造等腰直角三

角形是解题的关键.

2.（2021•徐州）如图，一枚圆形古钱币的中间是一个正方形孔，已知圆的直径与正方形的

对角线之比为3：1,则圆的面积约为正方形面积的（）

A.27倍B.14倍C.9倍D.3倍

【分析】根据圆的直径与正方形的对角线之比为3：1,设圆的直径，表示出正方形的对

角线的长，再分别表示圆、正方形的面积即可.

【解答】解：设AB=6m因为CD：AB=1：3,

所以CD=2a,O4=3m

因此正方形的面积为工CQ・CO=2/,

2

圆的面积为nX（3a）2=9m?,

所以圆的面积是正方形面积的9位?!（2a2）弋14（倍），

【点评】本题考查圆的有关计算，正方形的性质，掌握圆的面积和正方形面积的计算方

法是得出正确答案的前提.

3.（2021•营口）如图，。0中，点C为弦AB中点，连接OC,OB,NCOB=56°,点、D

是AB上任意一点，则N4Q8度数为（)

A.112°B.124°C.122°D.134°

【分析】作品所对的圆周角如图，先利用等腰三角形的性质得到0C平分NA08,

则/4OC=/BOC=56°,再根据圆周角定理得到/APB=56°,然后根据圆内接西边

形的性质计算的度数.

【解答】解：作众所对的圆周角/AP5,如图，

VOC±AB,OA=OB,

；.0C平分乙4。8,

，NAOC=/BOC=56°,

，NAPB=2NAOB=56°,

2

'：ZAPB+ZADB=\80o,

AZADB=180°-56°=124°.

故选：B.

P

【点评】本题考查了圆周角定理：求出窟所对的圆周角NAPB的度数是解决问题的关键.

4.（2021•黄石）如图，A、B是。。上的两点，NAOB=60°,OFL4B交。。于点凡则

N84F等于（)

A.20°B.22.5°C.15°D.12.5°

【分析】先根据垂径定理得到荷=前，贝IJNAOr=/BO尸=30°,然后根据圆周角定理

得到NB4F的度数.

【解答】解：'：OF±AB,

AF=BF-

A=30°,

22

AAzBOF=Ax30°=15°.

22

故选：c.

【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都

等于这条弧所对的圆心角的一半.也考查了垂径定理和圆心角、弧、弦的关系.

5.（2021•雅安）如图，四边形ABCD为。。的内接四边形，若四边形OBCD为菱形，则N

BAO的度数为（）

C

A.45°B.60°C.72°D.36°

【分析】根据圆内接四边形的性质得到/B4D+/BCC=180°,根据圆周角定理得到/

BOD=2ZBAD,根据菱形的性质得到NBOO=NBCD,计算即可.

【解答】解：•••四边形ABCD为。。的内接四边形，

：.ZBAD+ZBCD^]S00,

由圆周角定理得：ZBOD=2ZBAD,

•.•四边形OBCD为菱形,

：.ZBOD=ZBCD,

：.ZBAD+2ZBAD^\S0°,

解得：ZBAD=60°,

故选：B.

【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理、菱形的性质，掌握圆内接四

边形的对角互补是解题的关键.

6.（2021•贵港）如图，点A,B,C,。均在上，直径AB=4,点C是面的中点，点。

关于48对称的点为E,若/£>CE=100°,则弦CE的长是（）

A.273

【分析】连接A。、AE、OD、OC、OE,过点。作OH_LCE于点H,根据圆内接四边形

的性质得ND4E=80°,根据对称以及圆周角定理可得N8OD=NBOE=80°,由点C

是俞的中点可得N8。C=NCO。=40°,ZCOE^ZBOC+ZBOE^120°,根据等腰三

角形以及直角三角形的性质即可求解.

【解答】解：连接A。、AE、OD,OC、OE,过点。作O”_LCE于点H,

VZDC£=100°,

：.ZDAE=\S0°-ZDCE=80°,

•.•点D关于AB对称的点为E,

：.ZBAD=ZBAE=40c,,

：.ZBOD=ZBOE=SO0,

丁点C是命的中点，

：.ZBOC=ZCOD=40°,

AZCOE=ZBOC+ZBOE=\20°,

VOE=OC,OHA.CE,

:・EH=CH,NOEC=/OCE=30°,

,直径A8=4,

・•・0E=0C=2,

:.EH=CH=g

，CE=2“.

故选：A.

【点评】本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质，等腰三角形以及直角三角形的性

质，求出NCOE=120°是解题的关键.

7.（2021•常州）如图，BC是。O的直径，AB是0。的弦，若/4OC=60°,则N0A8的

度数是（）

A.20°B.25°C.30°D.35°

【分析】根据圆周角定理直接来求N8的度数，进而解答即可.

【解答】解：••,/AOC=60°,

.•./B=£AOC=30°,

2

；OA=OB,

.../OAB=NB=30°,

故选：C.

【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都

等于这条弧所对的圆心角的一半.

8.（2021•赤峰）如图，点C,D在以4B为直径的半圆上，且/AOC=120°,点E是俞上

任意一点，连接BE、CE.则/BEC的度数为（)

A.20°B.30°C.40°D.60°

【分析】连接AC,如图，根据圆内接四边形的性质得到NABC=60°,再根据圆周角定

理得到NACB=90°,则可计算出/8AC=30°,然后根据圆周角定理得到/BEC的度

数.

【解答】解：连接4C,如图，

,/四边形ABCD为的内接四边形，

：.ZADC+ZABC=\S00,

180°-120°=60°，

：AB为直径，

：.ZACB=90°,

：.ZBAC=90Q-60°=30°,

.•.NBEC=NBAC=30°.

故选：B.

【点评】本题考查了圆周角定理：求出/8AC的度数是解决问题的关键.

9.（2021•枣庄）如图，正方形ABC。的边长为2,。为对角线的交点，点E,尸分别为8C,

AO的中点.以C为圆心，2为半径作圆弧B。，再分别以E,尸为圆心，1为半径作圆弧

BO,OD,则图中阴影部分的面积为（）

A.71-1B.ir-3C.TI-2D.4-TT

【分析】连接BD,根据在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧，所对的弦分别相等，

利用面积割补法可得阴影部分的面积等于弓形面积，即等于扇形减去直角三角形

C8Z）的面积之差.

【解答】解：连接B。，EF,如图,

•.,正方形4BCD的边长为2,。为对角线的交点,

由题意可得：EF,8。经过点O,且EFLA。，EFVCB.

;点E,F分别为8C,AO的中点，

；.FD=FO=EO=EB=1,

•,.®=0D.OB=OD.

...弓形08=弓形on.

...阴影部分的面积等于弓形BD的面积.

兀X,2I

:-S阴影=S国彩CB。-5AC«D=-..........=------X2X2=7T-2.

3602

故选：C.

【点评】本题主要考查了正方形的性质，扇形面积的计算.通过添加适当的辅助线将不

规则的阴影部分的面积转化成规则图形的面积的差是解题的关键.

10.（2021•包头）如图，在RtZXABC中，NACB=90°,A8=、后，BC=2,以点A为圆心,

AC的长为半径画弧，交48于点。，交AC于点C,以点3为圆心，AC的长为半径画弧,

交AB于点E,交8c于点F,则图中阴影部分的面积为（）

A.8-71B.4-itC.2-------D.1------

44

【分析】先根据直角三角形中的勾股定理求得AC=1,再将求不规则的阴影部分面积转

化为求规贝IJ图形的面积：S阴影部分=Sz^BC-（S病形EBf+S扇形DAC）,将相关量代入求解即可.

【解答】解：根据题意可知AC=｛皿2_BC2=W^2_22=1,则BEMBFUAOMACM1,

设/B=”°,ZA=m°,

VZACB=90°,

AZB+ZA=90°,BPn+m=90,

，S阴影部分=SAABC-（S扇形EBF+S扇彩。AC）=工乂2X1-（二兀X］一+工.尹士:一）=1

2360360

_（n+m）兀=i_冗

-360V

故选：D.

【点评】本题考查扇形面积的计算及勾股定理，通常需要将不规则图形的面积转化为规

则图形的面积来进行求解.

11.（2021•鄂州）如图，RtAABC中，NACB=90°,AC=2«,BC=3.点、P为缸ABC

内一点，且满足B42+PC2=AC2.当尸8的长度最小时，ZVICP的面积是（）

【分析】取AC中点。，连接OP,BO,由勾股定理的逆定理可求/APC=90°,可得点

产在以AC为直径的圆上运动，由三角形的三边关系可得BP280-0P,当点P在线段

8。上时，BP有最小值，由锐角三角函数可求N8OC=60°,即可求解.

【解答】解：取4c中点O,连接OP,B0,

•：PA2+PC2^AC2,

：.ZAPC=90°,

.•.点尸在以AC为直径的圆上运动,

在△8P。中，BP》BO-OP,

，当点P在线段BO上时，8P有最小值，

;点。是AC的中点，/APC=90°,

:.PO=AO=CO=M，

•.,tan/BOC=W=«,

CO

：.ZBOC=60°,

.•.△COP是等边三角形，

S«OP=返℃2=返X3=.§2/1,

444

：OA=OC,

.♦.△ACP的面积=2SACOP=&/3，

2

故选：D.

【点评】本题考查了点与圆的位置关系，直角三角形的性质，锐角三角函数，勾股定理

的逆定理等知识，找到8P最小值时，点P的位置是解题的关键.

12.（2021•台湾）将一半径为6的圆形纸片，沿着两条半径剪开形成两个扇形.若其中一个

扇形的弧长为5m则另一个扇形的圆心角度数是多少？（）

A.30B.60C.105D.210

【分析】根据题意可知两个扇形的弧长之和就是圆的周长，则可以求得另一个扇形的弧

长，再根据弧长公式求解即可.

【解答】解：由题意可求得圆形的周长。=如乂6=12n，

其中一个扇形的弧长£1=511,则另一个扇形的弧长L2=l2n-5IT=7IT,

设另一个扇形的圆心角度数为/,

根据弧长公式：乙=亚三，有：

180

7TT=W；沮解得“=210,

180

故选：D.

【点评】本题考查弧长的计算，需要掌握弧长公式（4=正红）并灵活运用.

180

13.（2021•台湾）如图，/为AABC的内心，有一直线通过/点且分别与48、AC相交于。

点、E点.若AD=DE=5,AE=6,则/点到BC的距离为何？（）

D

I

B

A.B.毁C.2D.3

1111

【分析】根据等腰三角形的性质和勾股定理，可以求得DF的长，再根据等面积法，可

以求得/G、田的长，再根据三角形的内心是角平分线的交点，即可得到〃=/，的长，

从而可以得到点/到BC的距离.

【解答】解：连接AI,作/GLAB于点G,IJLBC于点J,作于点H,作DF1

AE于点F,如右图所示，

'：AD=DE^5,AE=6,DFVAE,

：.AF=3,ZAFD=90°,

。尸=yAD2-AF2=«2_32=4,

设IH=xf

•・・/为△A3C的内心，

：.IG=IJ=IH=x,

S^ADE=SMDI+S^AEI,

・

••-6--X--4-_5xj_।一6—x一,

222

解得x=2^,

11

；.〃=处，

u

即/点到3c的距离是空，

11

故选：A.

【点评】本题考查三角形的内切圆与内心、角平分线的性质，解答本题的关键是知道三

角形的内心是角平分线的交点，利用数形结合的思想解答.

二.填空题（共13小题）

14.（2021•泰州）如图，平面直角坐标系X。），中，点A的坐标为（8,5）,OA与x轴相切，

点P在〉轴正半轴上，与OA相切于点注若/A尸8=30°,则点尸的坐标为（0^

【分析】连接A8,过点A分别作轴、轴，利用根据圆的切线性质可知△

PAB.ZVIOC为直角三角形，AB=AC=5,利用直角三角形中30°角的性质和勾股定理

分别求出AO、AP、AO的长度，进而求出O。、P。的长度即可求得答案.

【解答】解：过点A分别作ACLx轴于点C、轴于点力，连接AB,如图，

；AO_Ly轴，ACJ_x轴，

，四边形AOOC为矩形，

；.AC=。。，OC=AD,

：0A与x轴相切，

为04的半径，

:点A坐标为（8,5）,

：.AC^OD=5,OC=AO=8,

是切线，

：.AB±PB,

VZAPB=30Q,

：.PA=2AB=10,

在Rt△以。中，根据勾股定理得，

PD=VPA2-AD2=：V102-82：=6,

OP=PD+DO=\\,

：点户在y轴上，

点尸坐标为（0,11）.

故答案为：（0,11）.

【点评】本题考查了圆的切线的性质、矩形的判定和性质、勾股定理等知识，解题关键

是把所求的线段放在直角三角形中利用勾股定理求解和已知圆的切线作半径.

15.（2021•哈尔滨）一个扇形的弧长是8Ttem，圆心角是144°,则此扇形的半径是10cm.

【分析】根据弧长计算公式列方程求解即可.

【解答】解：设扇形的半径为ra”，由题意得，

144兀==而,

180

解得r=10（cm）,

故答案为：10.

【点评】本题考查弧长的计算，掌握弧长的计算方法是正确计算的前提.

16.（2021•徐州）如图，AB是。。的直径，点C、。在。。上，若NADC=58°,则NBAC

=32°.

B

【分析】根据圆周角定理得到NACB=90°,NB=NA£»C=58°,然后利用互余计算/

54c的度数.

【解答】解：是0。的直径，

/.ZACB=90a,

"：ZB=ZADC=5S°,

AZBAC=90°-ZB=32°.

故答案为32.

【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都

等于这条弧所对的圆心角的一半.半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角

所对的弦是直径.

17.（2021•徐州）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形.若母线长/为

Scm,扇形的圆心角8=90°,则圆锥的底面圆半径r为2cm.

【分析】利于扇形的弧长公式求得弧长，然后利用底面周长等于弧长列式求得底面半径

即可.

【解答】解：•.•扇形的圆心角为90°,母线长为8cm

扇形的弧长为9°兀X8=4n,

180

设圆锥的底面半径为rem,

则2irr=4n,

解得：r=2,

故答案为2.

【点评】考查了圆锥的计算，解题的关键是了解底面周长等于扇形的弧长，难度不大.

18.（2021•鄂尔多斯）下列说法不正确的是①③④（只填序号）

①7-的整数部分为2,小数部分为小百-4.

②外角为60°且边长为2的正多边形的内切圆的半径为

③把直线y=2x-3向左平移1个单位后得到的直线解析式为y=2x-2.

④新定义运算：m^n=mn2-2n-1,则方程-l*x=0有两个不相等的实数根.

【分析】①利用无理数的估算即可得到结论；

②设正多边形是"边形.由题意：囱J=60°,求出〃即可解决问题：

n

③直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可；

④根据新运算得到-7-2r-1=0,再计算判别式的值，然后根据判别式的意义确定方

程根的情况.

【解答】解：①）V4<V17<5，

.\2<7-VT?V3,

；.7-的整数部分是2,小数部分是小数部分为5-JF，故符合题意；

②解：设正多边形是〃边形.

由题意：360。=60。,

n

♦・77=6,

...这个正多边形的内切圆的半径为故不符合题意；

③把直线），=2x-3向左平移1个单位后得到的直线解析式为），=2x-1,故符合题意；

④根据题意得-W-2x-1=0,

；△=（-2）2-4=0,

方程有两个相等的实数根，故符合题意.

故答案为：①③④.

【点评】本题考查了正多边形与圆，估算无理数的大小，一次函数的图象与几何变换，

熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键.

19.（2021•赤峰）如图，在拧开一个边长为a的正六角形螺帽时，扳手张开的开口6=20〃阳,

则边长a—3mm.

3

【分析】如图，连接OC、0D,过。作04J_CO于，.解直角三角形求出C。即可.

【解答】解：如图，连接OC、0D,过。作0”，C£>于从

则NCO£>=360，=60。,

6

：.ZCOH=90Q-60°=30°,△OC£)是等边三角形，

,JOHA.CD,

:.CH=DH=、CD,OH=^b=\0(mm),

22

•••CH=10Xtan30°=.1^!^(mm),

_3

.•.a=2CH=2°迎(mm),

3

故答案为：理返.

3

【点评】本题考查了正多边形和圆的知识，构造一个由半径、半边、边心距组成的直角

三角形是解题的关键.

20.(2021•黑龙江)如图是一个圆锥形冰淇淋外壳.(不计厚度)已知其母线长为12am底

面圆的半径为3a”，则这个冰淇淋外壳的侧面积等于36ncm1.

V

【分析】根据圆的周长公式求出圆锥底面圆的周长，得到圆锥侧面展开图扇形的弧长,

根据扇形面积公式计算，得到答案.

【解答】解：..•底面圆的半径为3c/n,

・..底面圆的周长为6n(cm),即圆锥侧面展开图扇形的弧长为6Trcn?,

,这个冰淇淋外壳的侧面积=^X12X6n=36n(c/n2)

2

故答案为：36n.

【点评】本题考查的是圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关

系是解决本题的关键.

21.(2021•贵港)如图，圆锥的高是4,它的侧面展开图是圆心角为120°的扇形，则圆锥

(结果保留TT).

【分析】设圆锥的底面半径为r，母线长为/,根据题意得：2m=120兀1,解得：/=3〃

180

然后根据高为4,利用勾股定理得J+42=(3r)2,从而求得底面半径和母线长，利用侧

面积公式求得答案即可.

【解答】解：设圆链的底面半径为，，母线长为/,

根据题意得：2“120-1

180

解得：l=3r,

:高为4,

.•.J+42=(3r)2,

解得：r=«,

.•.母线长为3加，

.,.圆锥的侧面积为7T”=TtX&X3«=6TT,

故答案为：6n.

【点评】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是根据题意求得圆锥的底面半径和母线长,

难度不大.

22.(2021•吉林)如图，在RtZXABC中，ZC=90°,ZA=30°,BC=2.以点C为圆心,

CB长为半径画弧,分别交AC,AB于点D,E,则图中阴影部分的面积为_•!!!二(结

果保留7T).

【分析】连接CE,由扇形CBE面积-三角形CBE面积求解.

【解答】解：连接CE,

；NA=30°,

，/B=90°-ZA=60°,

,:CE=CB,

...△CBE为等边三角形，

：.ZECB=60°,BE=BC=2,

・•.S,CBE=22x60兀=4

_3603

,•*S^BCE=县B(?二g

4

阴影部分的面积为

3

故答案为：In-V3.

3

【点评】本题考查扇形的面积与解直角三角形，解题关键是判断出三角形CBE为等边三

角形与扇形面积的计算.

23.（2021•襄阳）点。是△ABC的外心，若NBOC=110°,则NBAC为55°或125°.

【分析】由题意可知，需要分两种情况：①AABC是锐角三角形；②△ABC是钝角三角

形，再分别求解即可.

【解答】解：①△48C是锐角三角形，如图，

VZBOC=110°,

：.ZBAC=55°；

②△4'BC是钝角三角形，如图，

,：ZBAC+ZBA'C=180°,

：.ZBA'C=125°.

故答案为：55°或125.

【点评】本题主要考查圆周角定理，分类讨论思想等，对三角形形状的讨论是易错点.

24.（2021•大庆）一个圆柱形橡皮泥，底面积是12C77P.高是5CTH.如果这个橡皮泥的一半,

把它捏成高为5a”的圆锥，则这个圆锥的底面积是18cm2.

【分析】设这个圆锥的底面积为Sc/z?,根据圆锥的体积公式和圆柱的体积公式得到得工x

3

5X5=12X1,然后解方程即可.

2

【解答】解：设这个圆锥的底面积为Sc”？，

根据题意得上XSX5=12X$,解得S=18.

32

故答案为18.

【点评】本题考查了圆锥的计算：把圆柱形的橡皮泥捏成圆锥形时体积不变，这是解决

问题的关键.

25.（2021•张家界）如图，△ABC内接于OO,NA=50°,点。是8C的中点，连接（%>,

OB,OC,则50°.

BDC

【分析】由圆周角定理可得/180c=100。，易证△O8C为等腰三角形，又。为BC中点,

根据三线合一可得。。为/BOC的角平分线，即可求得答案.

【解答】解：♦••/4=50°,

：.ZBOC=\00°.

,：OB=OC,

...△OBC为等腰三角形，

又；。为BC中点，

二。。为8c上中线，

根据等腰三角形三线合一性质可得。。为NBOC的平分线，

AZBOD=XZBOC=50°.

2

故答案为：50°

【点评】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，得到。。为NBOC的角平分线是

解题的关键.

26.（2021•呼和浩特）已知圆锥的母线长为10,高为8,则该圆锥的侧面展开图（扇形）的

弧长为12n.（用含7T的代数式表示），圆心角为216度.

【分析】根据圆锥的展开图为扇形，结合圆周长公式求解.

【解答】解：设底面圆的半径为片加，

由勾股定理得：r=4]02_g2=6,

2Ttr=2nX6=12ir,

根据题意得2nx6=12业，

180

解得“=216,

即这个圆锥的侧面展开图的圆心角为216°.

故答案为：12TT,216.

【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆

锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长.

三.解答题（共4小题）

27.（2021•大连）如图1,ZVIBC内接于O。，直线MN与。。相切于点。，0。与BC相交

于点E,BC//MN.

（1）求证：ZBAC=ZD0C；

（2）如图2,若AC是。。的直径，E是。。的中点，。。的半径为4,求AE的长.

【分析】（1）连接08,如图1,根据切线的性质得到则OOLBC,利用垂径

定理得到前=而，然后根据圆周角定理得到结论；

（2）先计算出CE=2爪，根据垂径定理得到BE=CE=2近，接着利用勾股定理计算出

AH,然后计算4E的长.

【解答】（1）证明：连接0B,如图1,

•.•直线MN与。。相切于点D,

：.OD工MN,

■:BC//MN,

：.0D±BC,

・,・丽=而，

：.ZBOD=ZCOD,

•・・N8AC=2N80C,

2

1・NBAC=NC0D；

（2）YE是。。的中点，

J0E=DE=2,

在RtZX0CE中，但｛“2_0£2=山2—22=2近,

:.BE=CE=2®

是OO的直径，

AZABC=90°,

/Mfi=VAC2-BC2=782-(W3)2=4,

在RtAABE中，AE=^/AB2+BE2=742+(2A/3)2^,

【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.也考查了垂径定理、

圆周角定理.

28.(2021•徐州)如图，AB为。。的直径，点C、。在。。上，AC与OD交于点、E,AE

=EC,OE=ED.连接3C、CD.求证：

(1)AAOE^ACDE；

(2)四边形OBCD是菱形.

【分析】(1)利用“SAS”可证明△AOE之△COE；

(2)连接OC,如图，先根据垂径定理得到0£>_LAC,则CE垂直平分。£),所以CD=

CO,再分别证明△OC。为等边三角形和aOCB为等边三角形，从而得到OB=BC=C。

=OD,然后根据菱形的判定方法得到结论.

【解答】证明：(1)在aAOE和△CDE中，

'AE=CE

,ZAE0=ZCED>

OE=DE

:.△AOE色XCDE(SAS)；

(2)连接OC,如图，

；AE=CE,

ODLAC,

•：OE=DE,

垂直平分OD,

：.CD=CO,

...△OC。为等边三角形，

：.ZCOD=60°,

为直径，

AZACB=90°,

J.BC//OD,

：.ZBCO=ZCOD=60°,

而OB=OC,

.♦.△OCB为等边三角形，

：.BC=OC,

：.OB=BC=C