北师版九上数学期末复习课（二）第二章 一元二次方程（课件）

总复习期末复习课期末复习课（二）（第二章一元二次方程）数学九年级上册BS版知识梳理典例讲练目录CONTENTS数学九年级上册BS版01知识梳理1.一元二次方程的相关定义.（1）一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最

高次数为

的整式方程叫做一元二次方程.（2）一元二次方程的一般形式：

⁠

⁠.（3）一元二次方程

ax2＋

bx

＋

c

＝0（

a

≠0）的求根公式是

⁠

⁠.2

ax2＋

bx

＋

c

＝0（

a

≠0）

x

2.一元二次方程的四种常见解法.（1）直接开平方法；（2）配方法；（3）公式法；（4）因式

分解法.3.一元二次方程的根的判别式.一元二次方程

ax2＋

bx

＋

c

＝0（

a

≠0）的根的判别式是Δ＝

⁠

⁠.（1）当Δ

0时，方程有两个不相等的实数根；（2）当Δ

0时，方程有两个相等的实数根；（3）当Δ

0时，方程有（两个）实数根；（4）当Δ

0时，方程没有实数根.b2

－4

ac

＞

＝

≥

＜

数学九年级上册BS版02典例讲练类型一

解一元二次方程

解下列方程：

【思路导航】观察方程的形式，用恰当的方法解方程即可.

（3）

移项，得

x

（

x

＋3）－5（

x

＋3）＝0，即（

x

＋3）（

x

－5）＝0.∴

x

＋3＝0或

x

－5＝0.∴

x1＝－3，

x2＝5.

【点拨】对于解一元二次方程的计算类问题，通过观察方程的

结构从所学的直接开平方法、配方法、因式分解法（十字相乘

法）、公式法（平方差公式、完全平方公式）中选择合适的方

法进行求解，确保用最简捷合理的方法进行求解，从而达到减

小运算量，准确又高效的目的.

根据要求解下列方程：

（2）5

x2＋2

x

－1＝0（公式法）；

（3）9（

x

－2）2＝121（

x

＋1）2（直接开平方法）；

类型二

根的判别式的综合运用

已知关于

x

的一元二次方程

mx2－4

x

－5＝0（

m

≠0）.（1）求证：当

m

＞0时，方程一定有两个不相等的实数根；（2）已知

x

＝

n

是原一元二次方程的一个实数根，且

mn2－4

n

＋

m

＝3＋

m2，求

m

的值.【思路导航】（1）根据关于

x

的一元二次方程

mx2－4

x

－5＝0

的根的判别式与0的关系来判断该方程的根的情况；（2）由已

知条件列出关于

m

的方程，通过解方程即可求得

m

的值.（2）解：∵

x

＝

n

是原一元二次方程的一个实数根，∴

mn2－4

n

－5＝0，∴

mn2－4

n

＝5.又∵

mn2－4

n

＋

m

＝3＋

m2，∴5＋

m

＝3＋

m2.整理，得

m2－

m

－2＝0.（1）证明：Δ＝

b2－4

ac

＝（－4）2－4

m

·（－5）＝16＋20

m

.当

m

＞0时，16＋20

m

＞0.∴当

m

＞0时，方程一定有两个不相等的实数根.

【点拨】Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；Δ＝0⇔方程有两

个相等的实数根；Δ＜0⇔方程没有实数根.若题目已知一个根，

解决代数式问题时，可直接将根代入方程中进行变形，然后寻

找变形后的方程与题中所给的方程之间的关系，从而解决问题.

1.已知关于

x

的方程2

kx2＋（8

k

＋1）

x

＝－8

k

有两个不相等的

实数根，则

k

的取值范围是

⁠.

2.已知关于

x

的一元二次方程（

a

＋

c

）

x2＋2

bx

＋（

a

－

c

）＝

0，其中

a

，

b

，

c

分别为△

ABC

三边的长.（1）若

x

＝－1是方程的根，试判断△

ABC

的形状，并说明

理由；解：（1）△

ABC

为等腰三角形.理由如下：把

x

＝－1代入方程，得

a

＋

c

－2

b

＋

a

－

c

＝0，∴

a

＝

b

.∴△

ABC

为等腰三角形.（2）若方程有两个相等的实数根，试判断△

ABC

的形状，并说

明理由；解：（2）△

ABC

为直角三角形.理由如下：根据题意，得Δ＝（2

b

）2－4（

a

＋

c

）（

a

－

c

）＝0，即

b2＋

c2＝

a2.∴△

ABC

为直角三角形.（3）若△

ABC

是等边三角形，试求这个一元二次方程的根.解：（3）∵△

ABC

为等边三角形，∴

a

＝

b

＝

c

.∴原方程化为

x2＋

x

＝0.解得

x1＝0，

x2＝－1.类型三

根与系数的关系的综合运用

（1）已知

x

＝1是方程

x2－

kx

－2＝0的一个根，则该方程的

另一个根为

，

k

的值为

⁠.【思路导航】此题可用两种方法求解，方法一：由根与系数的

关系求出另一个根；方法二：由根的定义，先求出

k

的值，再解

方程.x

＝－2

－1

【解析】（方法一）设方程的另一个根为

x2.由根与系数的关

系，得1＋

x2＝

k

，

x2＝－2，则

k

＝－1.∴方程的另一个根为

x

＝

－2，

k

的值为－1.故答案为

x

＝－2，

－1.（方法二）∵方程

x2－

kx

－2＝0的一个根是

x

＝1，∴1－

k

－2

＝0.解得

k

＝－1.∴方程为

x2＋

x

－2＝0.解得

x1＝1，

x2＝－2.

∴方程的另一个根为

x

＝－2，

k

的值为－1.故答案为

x

＝－2，

－1.【点拨】已知一元二次方程的一个根求另一个根及字母系数的

方法有两种，方法一（利用根与系数的关系）：（1）若字母系

数在一次项中，先用两根积的关系求出另一个根，再用两根和

的关系求字母系数的值；（2）若字母系数在常数项中，先用两

根和的关系求出另一个根，再用两根积的关系求字母系数的值.

方法二（利用根的定义）：先把已知根代入一元二次方程中，

求出字母系数的值，再解一元二次方程，求出另一个根.（2）已知α，β是方程

x2＋4

x

＋2＝0的两个实数根，则α3＋14β

＋2072＝

⁠.【思路导航】根据根与系数的关系和方程的根的定义列式并代

入求解即可.2024

【解析】

∵α，β是

x2＋4

x

＋2＝0的两个实数根，∴α＋β＝－4，α2＋4α＋2＝0.∴α2＝－4α－2.∴α3＝－4α2－2α＝－4（－4α－2）－2α＝14α＋8.∴α3＋14β＋2072＝14α＋8＋14β＋2072＝14（α＋β）＋2080＝

14×（－4）＋2080＝－56＋2080＝2024.故答案为2024.【点拨】解决此类问题首先根据题干告知的根的情况找出相应

的根与系数的关系，然后对所求的代数式进行合理降次或拆分

处理，再结合方程根的定义和根与系数的关系，运用整体思想

进行求解.注意求代数式的值时，不仅要考虑根与系数之间的关

系，还要考虑方程根的意义.

－20或2

类型四

一元二次方程的实际应用

某工厂引进了一条口罩生产线生产口罩，开工第一天生产3

万个，第三天生产4.32万个.已知每天生产口罩个数增长的百分

率相同，请解答下列问题：（1）每天增长的百分率是多少？（2）经调查发现，一条生产线最大产能是9万个/天，若每增加

一条生产线，每条生产线的最大产能将减少0.3万个/天.①现该厂要保证每天生产口罩39万个，在增加产能的同时又要

节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条

生产线？②是否能通过增加生产线，使得该厂每天生产口罩90万个？若

能，应该增加几条生产线？若不能，请说明理由.【思路导航】（1）设每天增长的百分率为

x

，根据开工第一天

及第三天的产量，即可得出关于

x

的一元二次方程，解之取其正

值即可得出结果；（2）①设应该增加

m

条生产线，根据每天生

产口罩39万个，即可得出关于

m

的一元二次方程，解之取其较

小值即可得出结果；②先假设能，再列方程，由方程是否有解

进行判断.解：（1）设每天增长的百分率为

x

.由题意，得3（1＋

x

）2＝4.32.解得

x1＝0.2＝20％，

x2＝－2.2（不合题意，舍去）.∴每天增长的百分率为20％.（2）①设应该增加

m

条生产线，则每条生产线的最大产能为

（9－0.3

m

）万个/天.由题意，得（1＋

m

）（9－0.3

m

）＝39.整理，得

m2－29

m

＋100＝0.解得

m1＝4，

m2＝25.又∵在增加产能的同时又要节省投入，∴

m

＝4.即应该增加4条生产线.②不能.理由如下：假设增加

a

条生产线，则每条生产线的最大产能为（9－0.3

a

）

万个/天.由题意，得（1＋

a

）（9－0.3

a

）＝90.化简，得

a2－29

a

＋270＝0.∵Δ＝（－29）2－4×1×270＝－239＜0，∴方程无解.∴不能通过增加生产线，使得每天生产口罩90万个.【点拨】解决一元二次方程类应用题通常都会运用到

a

（1±

x

）2＝

b

这类公式，所以一定要根据题意弄清楚“增长”还是

“减少”，经过几次“增长（减少）”.注意在一元二次方程的

应用题中解方程之后一定要进行检验：（1）检验计算结果是否

正确；（2）检验计算结果是否符合题意.

小伟利用网络平台帮助家乡销售特产“留香瓜”.已知小伟的家

乡每年大约产“留香瓜”600t，利用网络平台进行销售前，人

们主要依靠在本地自产自销和水果商贩上门收购，本地自产自

销的价格为每千克10元，水果商贩上门收购的价格为每千克8

元.利用网络平台进行销售后，因受网上销售火爆的影响，网上

每销售100t

“留香瓜”，水果商贩每千克的收购价将提高1元.

假设网上销售价格为每千克20元，本地自产自销的价格仍然为

每千克10元.

（2）利用网络平台进行销售后，小伟家乡每年销售“留香瓜”

的总收入大约为920万元，其中本地自产自销“留香瓜”的销量

按（1）问中的最大值计算，则每年在网络平台上销售了多少吨

“留香瓜”？

类型五

一元二次方程与几何图形的综合

如图，在矩形

ABCD

中，

BC

＝20cm，点

P

，

Q

，

M

，

N

分

别从点

A

，

B

，

C

，

D

出发，沿

AD

，

BC

，

CB

，

DA

方向在矩

形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端

点时即停止.已知在相同时间内，若

BQ

＝

x

cm（

x

≠0），则

AP

＝2

x

cm，

CM

＝3

x

cm，

DN

＝

x2cm.（1）当

x

为何值时，点

P

与点

N

重合？（2）当

x

为何值时，以点

P

，

Q

，

M

，

N

为顶点的四边形是平

行四边形？【思路导航】（1）由题意表示出

AP

，

DN

的长，利用

AP

，

DN

的长度和为20cm列出方程，解方程即可；（2）易知

PN

∥

QM

，要使以点

P

，

Q

，

M

，

N

为顶点的四边形为平行四边形，

则

PN

＝

QM

，由题意列出方程，解方程即可.解：（1）∵

AP

＝2

x

cm，

DN

＝

x2cm，点

P

，

N

重合.∴

AP

＋

DN

＝

AD

，即2

x

＋

x2＝20.

①当点

P

在点

N

的左侧时，如图1所示.由题意，得20－（

x

＋3

x

）＝20－（2

x

＋

x2）.解得

x1＝0（舍去），

x2＝2.∴当

x

＝2时，四边形

PQMN

是平行四边形.图1②当点

P

在点

N

的右侧时，如图2所示.由题意，得20－（

x

＋3

x

）＝（2

x

＋

x2）－20.解得

x1＝－10（舍去），

x2＝4.∴当

x

＝4时，四边形

NQMP

是平行四边形.综上所述，当

x

＝2或

x

＝4时，以点

P

，

Q

，

M

，

N

为顶点的四边形是平行四边形.图2图2【点拨】此类问题是涉及一元二次方程与几何的综合问题.对于

动点的分析，一般情况下是找到点运动的关键拐点，再根据具

体几何图形构造方程进行求解.注意：在解题过程中，不要遗漏

动点运动的任何一种情况，确保分析问题的完整性.

如图，已知在数轴上有

A

，

B

两点，点

A

表示的数为4，点

B

在

点

A