2023-2024学年度河北省唐山市高一年级第二学期末考试数学试卷(含答案)_第1页
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第=page11页,共=sectionpages11页2023-2024学年度河北省唐山市高一年级第二学期末考试数学试卷一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z=3−i,则z的虚部为(

)A.−1 B.1 C.−i D.32.某学校高一、高二、高三年级学生人数之比为3:2:2,利用分层抽样的方法抽取容量为35的样本,则从高一年级抽取学生人数为(

)A.7 B.10 C.15 D.203.已知圆锥的高为2,其底面圆的半径为1,则圆锥的侧面积为(

)A.π B.2π C.5π 4.若一组数据的平均数为5,方差为2,将每一个数都乘以2,再减去1,得到一组新数据,则新数据的平均数和方差分别为(

)A.9,3 B.9,8 C.9,7 D.10,85.已知A,B是两个随机事件且概率均大于0,则下列说法正确的为(

)A.若A与B互斥,则A与B对立 B.若A与B相互独立,则A与B互斥

C.若A与B互斥,则A与B相互独立 D.若A与B相互独立,则A与B相互独立6.设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则(

)A.若m⊥n,n//α,则m⊥α B.若m⊥α,n//α,则m⊥n

C.若m⊥α,α⊥β,则m//β D.若m⊥n,n⊥β,则m//β7.在正四面体ABCD中,E是棱BD的中点,则异面直线CE与AB所成角的余弦值为(

)A.−56 B.56 C.−8.已知锐角△ABC的面积为43,B=π3,则边ABA.(2,22) B.[22,4]二、多选题:本题共3小题,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。9.已知复数z=1−2i,则(

)A.|z|=5 B.z+z=2

C.z⋅z=510.已知平行四边形ABCD的两条对角线交于点O,AE=14ACA.DE=34DA+14DC 11.在直三棱柱ABC−A1B1C1中,高为ℎ,BA=BC=A.VC1−A1ABB1=2VA1−ABC

B.若存在一个球与棱柱的每个面都内切,则ℎ=26−3三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。12.已知向量a与b夹角为60°,|a|=1,|b|=2,则|13.如图,将各面都涂了油漆的正方体分割为125个同样大小的小正方体,经过搅拌后从中随机取一个小正方体,则取到小正方体的油漆面数为0的概率为

14.如图,从楼顶A点测得地面B,C两点的俯角分别为67∘,30∘,已知B,C两点的距离为100m,则楼高AD约等于

m.(用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据:sin67∘≈0.92,cos67∘≈0.39,sin四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知向量a=(sinα,cos(1)若a/​/b(2)若a⊥b,求α16.(本小题15分)甲、乙两人独立做一道数学题,他们解答正确的概率分别为12和1(1)求两人解答都正确的概率;(2)求至多一人解答正确的概率;(3)求至少一人解答正确的概率.17.(本小题15分)在△ABC中,AB=3BC=3,C=2π3(1)求△ABC的面积;(2)求中线AD的长.18.(本小题17分)某消防队为了了解市民对“消防基本常识”的认知程度,针对本市不同年龄的人举办了一次“消防之星”知识竞赛,满分100分(95分及以上为.“消防之星”),共有100人荣获“消防之星”称号,将其按年龄分成以下五组:第一组[10,20),第二组[20,30),第三组[30,40),第四组[40,50),第五组[50,60],得到如图所示的频率分布直方图.(1)根据频率分布直方图,估计这些人的平均年龄和第80百分位数;(2)若从第三组,第四组,第五组三组中分层抽取6人,再从这6人中随机抽取2人,求抽取的2人年龄在不同组的概率;(3)若第三组的年龄的平均数与方差分别为36和2,第四组的年龄的平均数与方差分别为46和4,据此计算这100人中第三组与第四组所有人的年龄的方差.附:s19.(本小题17分)

如图,在三棱柱ABC−A1B1C1中,AC=BC,(1)记平面A1BC1与平面ABC(2)证明:△ABC为等边三角形;(3)若A1A=AB=4,A1B=22,且N为棱B1参考答案1.A

2.C

3.C

4.B

5.D

6.B

7.D

8.C

9.BCD

10.AD

11.ACD

12.713.2712514.77

15.解:(1)若a/​/b,

则3sinα−cosα=0,解得tanα=33,

因为a∈[0,π],所以α=π6.

(2)若a⊥b16.解:(1)记“甲独立解答正确”为事件A,“乙独立解答正确”为事件B,且事件A,B相互独立.

已知P(A)=12,P(B)=13,

所以两人解答都正确的概率为P(AB)=P(A)P(B)=12×13=1617.解:(1)在△ABC中,由正弦定理得ABsinC=BCsin∠BAC,

所以3sin2π3=3sin∠BAC,

解得sin∠BAC=12.

因为C=2π3,所以∠BAC∈(0,π3),

所以∠BAC=π6,所以B=π6.

又AB=3,BC=3,

所以△ABC的面积S=12AB×BC×sinB=334.

(2)解法一:在△ADC中,AC=BC=3,C=2π3,18.解:(1)这些人的平均年龄为x′=15×0.05+25×0.35+35×0.3+45×0.2+55×0.1=34.5(岁).

由频率分布直方图可知,年龄在[10,40)的频率为0.05+0.35+0.3=0.7,

在[10,50)的频率为0.05+0.35+0.3+0.2=0.9,

则第80百分位数为x0∈[40,50),

由0.7+(x0−40)×0.02=0.8,解得x0=45.

所以估计这些人的平均年龄为34.5岁,第80百分位数为45.

(2)第三组,第四组,第五组的频率分别为0.3,0.2,0.1.

若从这三组中分层抽取6人,则从第三组抽取3人,记为a1,a2,a3;

第四组抽取2人,记为b1,b2;第五组抽取1人,记为c;

对应的样本空间Q={(a1,a2),(a1,a3),(a1,b1),(a1,b2),(a1,c),(a2,a3),(a2,b1),(a2,b2),(a2,c),(a3,b1),(a3,b2),(a3,c),(b1,b2),(b1,c),(19.解:(1)由已知AC/​/A1C1,AC⊄平面A1BC1,A1C1⊂平面A1BC1,

所以AC/​/平面A1BC1.又AC⊂平面ABC,平面A1BC1∩平面ABC=l,

所以AC//l.

(2)取BC中点为O,连接AO,A1O.

因为侧面BB1C1C为矩形,所以BB1⊥BC,

又AA1//BB1,则AA1⊥BC.

由A1C=A1B,所以A1O⊥BC.

又A1O∩AA1=A1,A1O,AA1⊂平面AA1O,

故BC⊥平面AA1O.

由于AO⊂平面AA1O,

故BC⊥AO.

又BO=CO,故AB=AC,又AC=BC,

所以△ABC为等边三角形.

(3)记ON与

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