2023-2024学年度河北省唐山市高一年级第二学期末考试数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年度河北省唐山市高一年级第二学期末考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z=3−i，则z的虚部为(

)A.−1 B.1 C.−i D.32.某学校高一、高二、高三年级学生人数之比为3:2:2，利用分层抽样的方法抽取容量为35的样本，则从高一年级抽取学生人数为(

)A.7 B.10 C.15 D.203.已知圆锥的高为2，其底面圆的半径为1，则圆锥的侧面积为(

)A.π B.2π C.5π 4.若一组数据的平均数为5，方差为2，将每一个数都乘以2，再减去1，得到一组新数据，则新数据的平均数和方差分别为(

)A.9，3 B.9，8 C.9，7 D.10，85.已知A，B是两个随机事件且概率均大于0，则下列说法正确的为(

)A.若A与B互斥，则A与B对立 B.若A与B相互独立，则A与B互斥

C.若A与B互斥，则A与B相互独立 D.若A与B相互独立，则A与B相互独立6.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则(

)A.若m⊥n，n//α，则m⊥α B.若m⊥α，n//α，则m⊥n

C.若m⊥α，α⊥β，则m//β D.若m⊥n，n⊥β，则m//β7.在正四面体ABCD中，E是棱BD的中点，则异面直线CE与AB所成角的余弦值为(

)A.−56 B.56 C.−8.已知锐角△ABC的面积为43，B=π3，则边ABA.(2,22) B.[22,4]二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知复数z=1−2i，则(

)A.|z|=5 B.z+z=2

C.z⋅z=510.已知平行四边形ABCD的两条对角线交于点O，AE=14ACA.DE=34DA+14DC 11.在直三棱柱ABC−A1B1C1中，高为ℎ，BA=BC=A.VC1−A1ABB1=2VA1−ABC

B.若存在一个球与棱柱的每个面都内切，则ℎ=26−3三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知向量a与b夹角为60°，|a|=1，|b|=2，则|13.如图，将各面都涂了油漆的正方体分割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后从中随机取一个小正方体，则取到小正方体的油漆面数为0的概率为

．

14.如图，从楼顶A点测得地面B，C两点的俯角分别为67∘，30∘，已知B，C两点的距离为100m，则楼高AD约等于

m.(用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据：sin67∘≈0.92，cos67∘≈0.39，sin四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知向量a=(sinα,cos(1)若a/​/b(2)若a⊥b，求α16.(本小题15分)甲、乙两人独立做一道数学题，他们解答正确的概率分别为12和1(1)求两人解答都正确的概率;(2)求至多一人解答正确的概率;(3)求至少一人解答正确的概率．17.(本小题15分)在△ABC中，AB=3BC=3，C=2π3(1)求△ABC的面积;(2)求中线AD的长．18.(本小题17分)某消防队为了了解市民对“消防基本常识”的认知程度，针对本市不同年龄的人举办了一次“消防之星”知识竞赛，满分100分(95分及以上为.“消防之星”)，共有100人荣获“消防之星”称号，将其按年龄分成以下五组：第一组[10,20)，第二组[20,30)，第三组[30,40)，第四组[40,50)，第五组[50,60]，得到如图所示的频率分布直方图．(1)根据频率分布直方图，估计这些人的平均年龄和第80百分位数;(2)若从第三组，第四组，第五组三组中分层抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求抽取的2人年龄在不同组的概率;(3)若第三组的年龄的平均数与方差分别为36和2，第四组的年龄的平均数与方差分别为46和4，据此计算这100人中第三组与第四组所有人的年龄的方差．附：s19.(本小题17分)

如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，AC=BC，(1)记平面A1BC1与平面ABC(2)证明：△ABC为等边三角形;(3)若A1A=AB=4，A1B=22，且N为棱B1参考答案1.A

2.C

3.C

4.B

5.D

6.B

7.D

8.C

9.BCD

10.AD

11.ACD

12.713.2712514.77

15.解：(1)若a/​/b，

则3sinα−cosα=0，解得tanα=33，

因为a∈[0,π]，所以α=π6．

(2)若a⊥b16.解：(1)记“甲独立解答正确”为事件A，“乙独立解答正确”为事件B，且事件A，B相互独立．

已知P(A)=12，P(B)=13，

所以两人解答都正确的概率为P(AB)=P(A)P(B)=12×13=1617.解：(1)在△ABC中，由正弦定理得ABsinC=BCsin∠BAC，

所以3sin2π3=3sin∠BAC，

解得sin∠BAC=12．

因为C=2π3，所以∠BAC∈(0,π3)，

所以∠BAC=π6，所以B=π6．

又AB=3，BC=3，

所以△ABC的面积S=12AB×BC×sinB=334．

(2)解法一：在△ADC中，AC=BC=3，C=2π3，18.解：(1)这些人的平均年龄为x′=15×0.05+25×0.35+35×0.3+45×0.2+55×0.1=34.5(岁)．

由频率分布直方图可知，年龄在[10,40)的频率为0.05+0.35+0.3=0.7，

在[10,50)的频率为0.05+0.35+0.3+0.2=0.9，

则第80百分位数为x0∈[40,50)，

由0.7+(x0−40)×0.02=0.8，解得x0=45．

所以估计这些人的平均年龄为34.5岁，第80百分位数为45．

(2)第三组，第四组，第五组的频率分别为0.3，0.2，0.1．

若从这三组中分层抽取6人，则从第三组抽取3人，记为a1，a2，a3;

第四组抽取2人，记为b1，b2;第五组抽取1人，记为c;

对应的样本空间Q={(a1,a2)，(a1,a3)，(a1,b1)，(a1,b2)，(a1,c)，(a2,a3)，(a2,b1)，(a2,b2)，(a2,c)，(a3,b1)，(a3,b2)，(a3,c)，(b1,b2)，(b1,c)，(19.解：(1)由已知AC/​/A1C1，AC⊄平面A1BC1，A1C1⊂平面A1BC1，

所以AC/​/平面A1BC1.又AC⊂平面ABC，平面A1BC1∩平面ABC=l，

所以AC//l.

(2)取BC中点为O，连接AO，A1O.

因为侧面BB1C1C为矩形，所以BB1⊥BC，

又AA1//BB1，则AA1⊥BC．

由A1C=A1B，所以A1O⊥BC．

又A1O∩AA1=A1，A1O，AA1⊂平面AA1O，

故BC⊥平面AA1O.

由于AO⊂平面AA1O，

故BC⊥AO．

又BO=CO，故AB=AC，又AC=BC，

所以△ABC为等边三角形．

(3)记ON与