2023-2024学年吉林省长春市吉大附中实验学校高一（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年吉林省长春市吉大附中实验学校高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.样本数据5，7，4，6，12，10，11，9的第70百分位数次为(

)A.7 B.9 C.9.5 D.102.已知向量a，b，其中|a=2，|b|=2，且(a−A.π4 B.π6 C.π23.从一批产品(既有正品也有次品)中随机抽取三件产品，设事件A=“三件产品全不是次品”，事件B=“三件产品全是次品”，事件C=“三件产品有次品，但不全是次品”，则下列结论中不正确的是(

)A.A与C互斥 B.B与C互斥

C.A、B、C两两互斥 D.A与B对立4.已知a，b是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则(

)A.a//α，a⊥b，则b⊥α

B.a⊥α，a⊥b，则b//α

C.a⊂α，b⊂α，a//β，b//β，则α//β

D.a∩b=A，a//α，b//α，a//β，b//β，则α//β5.已知正四棱台ABCD−A1B1C1D1的上、下底面边长分别为1A.722 B.7266.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知三个向量m=(a,cosA2)，n=(b,cosBA.等边三角形 B.钝角三角形．

C.有一个角是π6的直角三角形 D.7.一个电路如图所示，A，B，C，D，E，F为6个开关，其闭合的概率都是12，且是相互独立的，则灯亮的概率是(

)A.164B.5564

C.188.庑殿(图1)是中国古代传统建筑中的一种屋顶形式，多用于宫殿、坛庙、重要门楼等高级建筑上，庑殿的基本结构包括四个坡面，坡面相交处形成5根屋脊，故又称“四阿殿”或“五脊殿”.图2是根据庑殿顶构造的多面体模型，底面ABCD是矩形，且四个侧面与底面的夹角均相等，则(

)

A.AB=BC+EF B.AB=BC2+EF

C.AB=BC+EF2二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.设Z1，Z2，Z3为复数，下列命题中正确的是A.|Z1|2=Z12

B.|Z1⋅Z2|=|Z10.某企业对目前销售的A，B，C，D四种产品进行改造升级，经过改造升级后，企业营收实现翻番，现统计了该企业升级前后四种产品的营收占比，得到如图饼图：下列说法正确的是(

)

A.产品升级后，产品A的营收是升级前的4倍

B.产品升级后，产品B的营收是升级前的2倍

C.产品升级后，产品C的营收减少

D.产品升级后，产品B、D营收的总和占总营收的比例不变11.如图，在社会实践活动中，李明同学设计了一款很“萌”的圆台形台灯，台灯内装有两个相切且球心均在圆台的轴上的球形灯泡，上、下两灯泡的球面分别与圆台的上、下底面相切，且都与圆台的侧面相切，若上、下两球形灯泡的半径分别为1和9，则(

)A.圆台形台灯的母线所在直线与下底面所成角的大小为π3

B.圆台形台灯的母线长为1003

C.圆台形的上、下底面半径之积为9

D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若一组数据4x1，4x2，…，4x12的中位数为16，方差为64，则另一组数据x1−1，13.在矩形ABCD中，AB=1，AD=3，点M在对角线AC上，点N在边CD上，且AM=14AC，DN14.非直角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin2A+sin2B=3sin四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

如图，边长为4的正方形ABCD中，点E，F分别为AB，BC的中点.将△AED，△BEF，△DCF分别沿DE，EF，DF折起，使A，B，C三点重合于点P．

(1)求证：PD⊥EF；

(2)求三棱锥P−EFD的体积．16.(本小题15分)

如图，在平面四边形ABCD中，AB=AD=4，BC=6．

(Ⅰ)若A=2π3，C=π3，求sin∠BDC的值；

(Ⅱ)若CD=2，17.(本小题15分)

第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，而亚运会志愿者的服务工作是举办一届成功的亚运会的重要保障.为配合亚运会志愿者选拔，某高校举行了志愿者选拔面试，面试成绩满分100分，现随机抽取了80名候选者的面试成绩，绘制成如图频率分布直方图．

(1)求a的值，并估计这80名候选者面试成绩平均值x−，众数，中位数；(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，中位数精确到0.1)

(2)乒乓球项目场地志愿服务需要3名志愿者，有3名男生和2名女生通过该项志愿服务选拔，需要通过抽签的方式决定最终的人选，现将3张写有“中签”和2张写有“未中签”字样的字条随机分配给每一位候选人，求中签者中男生比女生多的概率．18.(本小题17分)

如图，四棱锥C−ADPR与三棱锥Q−ABC构成了一个组合体，其中Q在线段RC上，且P、Q、B三点共线.四边形ABCD是边长为2的正方形，PR//AD且PR=2，PB=26.O为棱CD中点，且DQ⊥平面PBC．

(1)证明：OQ/​/平面ADPR；

(2)证明：QO⊥平面ABCD；

(3)求平面ADPR与平面ADQ19.(本小题17分)

为了建设书香校园，营造良好的读书氛围，学校开展“送书券”活动.该活动由三个游戏组成，每个游戏各玩一次且结果互不影响.连胜两个游戏可以获得一张书券，迬胜三个游戏可以获得两张书券.游戏规则如下表：游戏一游戏二游戏三箱子中球的

颜色和数量大小质地完全相同的红球3个，白球2个

(红球编号为“1，2，3”，白球编号为“4，5”)取球规则取出一个球有放回地依次取出两个球不放回地依次取出两个球获胜规则取到白球获胜取到两个白球获胜编号之和为m获胜(1)分别求出游戏一，游戏二的获胜概率；

(2)一名同学先玩了游戏一，试问m为何值时，接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书券的概率更大．

参考答案1.D

2.A

3.D

4.D

5.B

6.A

7.B

8.A

9.BD

10.ABD

11.BCD

12.3

4

13.7314.1

15.(1)证明：因为在正方形ABCD中，AD⊥AE，CD⊥CF，

折叠后即有PD⊥PE，PD⊥PF，

又PE∩PF=P，PE，PF⊂平面PEF，

所以PD⊥平面PEF，而EF⊂平面PEF，

故PD⊥EF；

(2)解：由题意知PE=PF=2，PE⊥PF，

所以S△PEF=12×PE×PF=2，16.解：(Ⅰ)在△ABD中，由余弦定理，

可得BD2=AB2+AD2−2AB⋅AD⋅cosA=16+16−32×(−12)=48，

则BD=43，

在△BCD中，由正弦定理，

可得BDsinC=BCsin∠BDC，即sin∠BDC=6×3243=34；

(Ⅱ)在△ABD中，BD2=AB2+AD17.解：(1)由频率分布直方图可知10(2a+0.025+0.045+0.020)=1，解得a=0.005，

x−=50×10×0.005+60×10×0.025+70×10×0.045+80×10×0.020+90×10×0.005=69.5，

众数为70，

因为前2组的频率和为10×0.005+10×0.025=0.3<0.5，前3组的频率和为10×0.005+10×0.025+10×0.045=0.75>0.5，

所以中位数在第3组，设中位数为m，

则0.3+0.045(m−65)=0.5，解得m≈69.4，

所以中位数为69.4．

(2)记3名男生分别为A，B，C，记2名女生分别为a，b，则所有抽签的情况有：

未中签AB，中签Cab；未中签AC，中签Bab；未中签Aa，中签BCb；

未中签Ab，中签BCa；未中签BC，中签Aab；未中签Ba，中签ACb；

未中签Bb，中签ACa；未中签Ca，中签ABb；未中签Cb，中签ABa；

未中签ab，中签ABC，共有10种情况，

其中中签者中男生比女生多的有：未中签Aa，中签BCb；未中签Ab，中签BCa；

未中签Ba，中签ACb；未中签Bb，中签ACa；未中签Ca，中签ABb；

未中签Cb，中签ABa；未中签ab，中签ABC，共7种，

所以中签者中男生比女生多的概率为718.解：(1)证明：连接RD，∵PR//AD，PR=AD=2，

AD//BC，AD=BC=2，

∴PR/​/BC，PR=BC，

即四边形PRBC为平行四边形，则点Q为RC的中点，

又O为DC中点，

∴QO//RD，

QO⊄平面ADPR，RD⊂平面ADPR，

∴OQ//平面ADPR．

(2)证明：∵DQ⊥平面PBC，QC，BC⊂平面PBC，

∴DQ⊥BC，DQ⊥QC，

又BC⊥DC，DC，DQ⊂平面RCD，DC∩DQ=D，

∴BC⊥平面RCD，QO⊂平面RCD，

∴BC⊥QO，

又RC⊂平面RCD，

∴BC⊥RC，

在Rt△QBC中，QC=6−4=2，

∴DQ=4−2=2，

∴DQ=QC，

∴QO⊥DC，

∵DC∩BC=C，DC，BC⊂平面ABCD，

∴QO⊥平面ABCD．

(3)由DQ⊥BC，BC/​/AD，可得DQ⊥AD，

又BC⊥平面RCD，DR⊂平面RCD，

∴DR⊥BC，DR⊥AD，

则平面ADPR与平面ADQ所成角为∠RDQ，

又点Q为RC中点，DQ⊥RC，

∴RD=DC=2，

在Rt△QRD中，RQ=QC=2=DQ，

19.解：(1)由题意知游戏一获胜