2023-2024学年北京大学附中八年级（下）期中数学试卷-（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年北京大学附中八年级（下）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列各组数中，能作为直角三角形三边长度的是(

)A.1，2，3 B.2，3，4 C.4，5，6 D.6，8，102.如图，在▱ABCD中，AB=AC，∠CAB=40°，则∠D的度数是(

)A.70°

B.60°

C.50°

D.40°3.下列计算正确的是(

)A.2+3=5 B.4.若正比例函数的图象经过点(−1,2)，则这个图象必经过点(

)A.(1,2) B.(−1,−2) C.(2,−1) D.(1,−2)5.如图，为测量池塘边A、B两点的距离，小明在池塘的一侧选取一点O，测得OA、OB的中点分别是点D、E，且DE=14米，则A、B间的距离是(

)

A.18米 B.24米 C.28米 D.30米6.若四边形ABCD是甲，则四边形ABCD一定是乙，甲、乙两空可以填(

)A.平行四边形，矩形 B.矩形，菱形

C.菱形，正方形 D.正方形，平行四边形7.下列选项中，不能被边长为2的正方形及其内部所覆盖的图形是(

)A.长度为22的线段 B.边长为2的等边三角形

C.斜边为2的直角三角形 D.面积为8.如图，用一根长8cm的铁丝围成一个矩形，小北发现矩形的邻边a，b及面积S是三个变量，下面有三个说法：①b是a的函数；②S是a的函数；③a是S的函数.其中所有正确的结论的序号是(

)A.①② B.①③ C.②③ D.①②③二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。9.函数y=x−3，自变量x的取值范围是

．10.比较大小：32______23(填“>”，“<”或“=11.已知点A(x1,y1)，B(x2,y212.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,3)，B(−1,0)，菱形ABCD的顶点C在x轴的正半轴上，则点D的坐标为______．

13.如图所示的网格是正方形网格，则∠ACB−∠DCE=

°(点A、B、C、D、E是网格线交点)．

14.用4张全等的直角三角形纸片拼接成如图所示的图案，得到两个大小不同的正方形．若正方形ABCD的面积为10，AH=3，则正方形EFGH的面积为______．

15.如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点D落在点F处，AF与BC相交于点E，AB=4，AD=8，则AE的长为______．16.如图，在▱ABCD中，∠BAD>90°，点E为线段CD上一动点，有下列四个结论：

①在E点运动过程中，△ABE的面积始终是▱ABCD面积的一半；

②在线段CD上有且只有一点E，使得S△ADE=2S△BCE；

③若点E恰好是∠BAD的角平分线与∠ABC的角平分线的交点，则点E是CD的中点；

④若AB=2AD，则在CD上有且只有一点E，使得△ABE是直角三角形．

三、解答题：本题共9小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题8分)

计算：

(1)12−2718.(本小题5分)

已知a=5−1，求代数式19.(本小题5分)

已知：如图，E、F是平行四边形ABCD对角线BD上的两点，且BE=DF.求证：AE=CF．

20.(本小题5分)

下面是小阳设计的作矩形的尺规作图过程．

已知：Rt△ABC，∠ABC=90°．

求作：矩形ABCD．

作法：

①以A为圆心，BC的长为半径画弧，再以C为圆心，AB的长为半径画弧，两弧交于点D；

②连接DA，DC．

所以四边形ABCD即为所求作的矩形．

根据小阳设计的尺规作图过程，

(1)使用直尺和圆规，补全图形(保留作图痕迹)；

(2)完成下面的证明．

证明：∵AD=BC，CD=AB，

∴四边形ABCD是______(______).

∵∠ABC=90°，

∴四边形ABCD是矩形(______).21.(本小题5分)

如图，在正方形网格中，每个小正方形网格的边长均为1，点A，B，C，D均在格点上．

(1)判断△ACD的形状，并说明理由；

(2)求四边形ABCD的面积．22.(本小题5分)

如图，在△ABC中，AB=AC，D，E分别是AB，BC的中点，BF//DE，EF//DB．

(1)求证：四边形BDEF是菱形；

(2)连接DF交BC于点M，连接CD，若BE=4，AC=25，求DM，CD的长．

23.(本小题6分)

两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如a与a，2+1与2−1．

在解形如24−x−8−x−2的方程时也可以采用类似的策略：由(24−x−8−x)(24−x+8−x)=(24−x)2−(8−x)24.(本小题6分)

已知，四边形ABCD是正方形，E是BC边上一点，F在DE上，且BF=AB．

(1)如图1，若E是BC中点，连接AF．

①补全图形；

②直接的写出AF与DE的数量关系和位置关系．

(2)若F是DE的中点，求∠CDF的度数．

25.(本小题7分)

对于平面直角坐标系xOy中的点P和图形W，给出如下定义：若图形W上存在点M和点Q，使得PM=QM，且∠PMQ=90°，则称点P为图形W的“等直点”．

(1)如图1，点A的坐标为(1,1)，点B的坐标为(3,1)，

①在点P1(0,2)，P2(1,3)，P3(2,3)，P4(2,0)中，线段AB的“等直点”是______；

②若直线y=kx(k≠0)上存在线段AB的“等直点”，求k的取值范围；

(2)如图2，边长为2的正方形CDEF对角线交于O点，其各边与坐标轴平行，若直线

参考答案1.D

2.A

3.C

4.D

5.C

6.D

7.D

8.A

9.x≥3

10.>

11.−1(答案不唯一)

12.(2,13.45

14.4

15.5

16.①②③

17.解：(1)12−27+313

=23−33+318.解：

a2+2a−5=(a+1)2−6，

当a=519.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD，AB/​/CD．

∴∠ABE=∠CDF．

在△ABE和△CDF中，

AB=CD∠ABE=∠CDFBE=DF，

∴△ABE≌△CDF(SAS)．

∴AE=CF20.平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；有一个内角为直角的平行四边形为矩形.

21.解：(1)△ACD为直角三角形，

理由：由题意得：AC2=32+32=18，

CD2=22+22=8，

AD2=12+52=26，

∴AC2+CD2=AD2，

∴△ACD为直角三角形，

∴∠ACD=90°22.(1)证明：如图1，连接AE，

∵BF//DE，EF//DB，

∴四边形BDEF是平行四边形，

∵AB=AC，E是BC的中点，

∴AE⊥BC，

∴∠AEB=90°，

∵点D是AB的中点，

∴DE=12AB=BD，

∴四边形BDEF是菱形；

(2)解：如图2，

∵四边形BDEF是菱形，BE=4，

∴BE⊥DF，BM=ME=2，

∵D，E分别是AB，BC的中点，

∴DE=12AC=5，

∴DM=DE2−ME23.（1（2）x=±24.解：(1)①连接AF，补全图形如图1所示：

②AF⊥DE，AF=45DE，理由如下：

设AD的中点为G，连接BG交AF于H，如图2所示：

∵四边形ABCD为正方形，

∴AB=BC=CD=DA，AD//BC，∠DAB=∠ABC=∠C=∠CDA=90°，

∵点E为BC的中点，点G为AD的中点，

∴AG=CE，

在△ABG和△CDE中，

AB=CD∠ABG=∠C=90°AG=CE，

∴△ABG≌△CDE(SAS)，

∴∠BGA=∠DEC，BG=DE，

∵AD//BC，

∴∠DEC=∠EDA，

∴∠BGA=∠EDA，

∴BG//DE，

∴GH为△ADF的中位线，

∴AH=FH，则AF=2AH，

∵BF=AB，

∴BH⊥AF，

∴AF⊥DE，

设AG=a，则AD=AB=2a，

在Rt△ABG中，由勾股定理得：BG=AB2+AG2