2023-2024学年上海师大附中高二（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年上海师大附中高二（下）期末数学试卷一、填空题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.函数y=lg(4−x)的定义域为______．2.若关于x的不等式mx2−5x+m≤0的解集为R，则实数m3.若A∪B={1,2}，则不同的有序集合组(A,B)共有______种.4.若函数f(x)=x2−2ax+b(a>1)的定义域与值域都是[1,a]，则实数b=5.已知函数f(x)=3x2+ax+3x2+1，若f(x)满足6.纳皮尔精确的对数定义来源于一个运动的几何模型：假设有两个沿两平行直线运动的动点C和F，其中点C从线段AB的端点A向B运动，点F从射线DE的端点D出发向E运动，其中AB的长为aDE的长无限大.若DF的长度满足在第t秒时DF=3t，CA的长度满足在第t秒时CA=a−(12)t，记DF=x，CB=y，则x是关于y的一个对数函数.根据以上定义，当y=1647.如图，我国古代珠算算具算盘每个档(挂珠的杆)上有7颗算珠，用梁隔开，梁上面2颗叫上珠，下面5颗叫下珠，若从某一档的7颗算珠中任取3颗，记上珠的个数为X，则P(X≥1)=______．

8.已知a，b，c∈R且a+b+c=0，a>b>c，则a2+c9.已知x1满足方程：3x+3x=4，x2满足方程：33−x=3x−510.已知正数a，b满足a+b+1a+4b11.用模型γ=aekx拟合一组数据(xi,yi)(i=1,2,⋯,10)，若x1+x12.对于定义在非空集D上的函数f(x)，若对任意的x1，x2∈D，当x1<x2，有f(x1)≤f(x2)二、选择题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）13.人生在世，最大的问题，莫过于“学以成人”的问题；“学好数学”是“成人”的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件14.若实数a，b满足2a+3a=3bA.0<a<b<1 B.b<a<0 C.1<a<b D.a=b15.已知两个连续型随机变量X，Y满足条件2X+Y=2，且Y服从标准正态分布.设函数F(x)=P(|X−2x|>1)，则F(x)的图像大致为(

)A. B.

C. D.16.已知定义在R上的严格递增函数f(x)满足：任意x∈R，有f(1−x)+f(1+x)=2，f(2+x)+f(2−x)=4，则下列两个命题的真假情况是(

)

命题甲：存在非零实数T，使得任意x∈R，f(x+T)=f(x)；

命题乙：存在非零实数c，使得任意x∈R，|f(x)−cx|≤1．A.甲真乙假 B.甲假乙真 C.甲真乙真 D.甲假乙假三、解答题（本大题共5小题，共78分）17.（14分）设a∈R，函数f(x)=log2|x2+ax+2|．

(1)若a=−5，解不等式f(x)>1；

(2)求所有的a，使得18.（14分）(1)已知关于x的一元二次方程x2−ax+6(a−4)=0的两个正实数根分别为x1，x2，且2x1+x2=8，求实数a的值．

(2)设x1，x2(x119.（14分）概率论中有很多经典的不等式，其中最著名的两个当属由两位俄国数学家马尔科夫和切比雪夫分别提出的马尔科夫(Markov)不等式和切比雪夫(Cℎebysℎev)不等式.马尔科夫不等式的形式如下：

设X为一个非负随机变量，其数学期望为E(X)，则对任意ε>0，均有P(X≥ε)≤E(X)ϵ，

马尔科夫不等式给出了随机变量取值不小于某正数的概率上界，阐释了随机变量尾部取值概率与其数学期望间的关系.当X为非负离散型随机变量时，马尔科夫不等式的证明如下：

设X的分布列为P(X=xi)=pi，i=1，2，⋯，n，其中pi∈(0,+∞),xi∈[0,+∞)(i=1,2,⋯,n),i=1npi=1，则对任意ε>0，P(X≥ε)=xi≥εpi≤xi≥εxiϵpi=1ϵxi≥ε20.（18分）高一的珍珍阅读课外书籍时，发现笛卡尔积是代数和图论中一个很重要的课题.对于非空数集A，B，定义A⊗B={(x,y)|x∈A且y∈B}，将A⊗B称为“A与B的笛卡尔积”

(1)若A={−1,0,1}，B={−1,1}，求A⊗B和B⊗A；

(2)试证明：“A1⊗A2=A2⊗A1”是“A1=A2”的充要条件；

(3)若集合H是有限集，将集合H的元素个数记为|H|.已知|A1⊗A2|=m21.（18分）给定函数f(x)(x≥0)与g(x)，若ℎ(x)=f(x)−g(x)为严格递减函数且值域为(0,M](M为常数)，则称g(x)对于f(x)具有“Certaintyretention”．

(1)证明：函数g(x)=13x对于f(x)=(13)x(x≥0)不具有“Certaintyretention”；

(2)判断函数g(x)=x+1对于f(x)=x2+3x+3x+2(x≥0)是否具有“Certaintyretention”；

参考答案1.{x|0<4}

2.(−∞,−53.9

4.5

5.12

6.18

7.578.(−59.3

10.9

11.3e12.2872913.D

14.ABD

15.D

16.B

17.解：(1)若a=−5，则log2|x2−5x+2|．

由f(x)>1；得log2|x2−5x+2|>1；得|x2−5x+2|>2．

得x2−5x+2>2或x2−5x+2<−2

即x2−5x>0或x2−5x+4<0．

得x>5或x<0或1<x<4．

即不等式的解集为(−∞,0)∪(1,4)∪(5,+∞)．

(2)若判别式△=a2−8<0，即−22≤a≤22，二次函数y=x2+ax+2的对称轴为x=−a2，

当−a2≤12时，18.解：(1)根据韦达定理可得x1+x2=ax1x2=6a−24，

又因为2x1+x2=8，

所以x1=8−a，x2=2a−8．

所以(8−a)(2a−8)=6a−24，

解得a1=5，a2=4．

又因为x2=2a−8，且x1，x2是两个正实数根，

所以a≠4，

所以a=5．

(2)由韦达定理，得x1+x2=−ba2，x1x2=1a2，x3+x4=−ba，x3x4=1a．

前后两式分别相除，得1x1+1x2=−b=1x3+119.解：(1)证明：法一：对非负离散型随机变量[X−E(X)]2及正数ε2使用马尔科夫不等式，

有P(|X−E(X)|≥ε)=P([X−E(X)]2≥ε2)≤E[X−E(X)]2ϵ2=D(X)ϵ2．

法二：设X的分布列为

P(X=xi)=pi，i=1，2，⋯，n，

其中pi,xi∈(0,+∞)(i=1,2,⋯,n),i=1npi=1，

记μ=E(X)，则对任意ε>0，20.解：(1)由题意可得：A⊗B={(−1,−1)，(−1,1)，(0,−1)，(0,1)，(1,−1)，(1,1)}，

B⊗A={(−1,−1)，(−1,0)，(−1,1)，(1,−1)，(1,0)，(1,1)}．

(2)若A1=A2，设A1=A2=A，

由定义可知：A1⊗A2={(a,b)|a∈A且b∈A}=A2⊗A1，

所以“A1⊗A2=A2⊗A1”是“A1=A2”的必要条件；

若A1⊗A2=A2⊗A1，对任意(a,b)∈A1⊗A2，均有(a,b)∈A2⊗A1，

即对任意a∈A1，b∈A2，均有a∈A2，b∈A1，

由任意性可知A1⊆A221.解：(1)证明：设ℎ(x)=f(x)−g(x)=(13)x−13x，ℎ(2)=19−23<0，

则函数g(x)=13x对

f(x)=(13)x(x≥0)不具有“Certaintyretention”；

(2)函数g(x)=x+1对于f(x)=x2+3x+3x+2(x≥0)具有“Certaintyretention”；

设ℎ(x)=f(x)−g(x)=x2+3x+3x+2−(x+1)=1x+2，

当x≥0时，易得ℎ(x)为减函数，

且0<ℎ(x)≤ℎ(0)=12，

即ℎ(x)值域为(0,12],

故函数g(x)=x+1对于f(x)=x2+3x+3x+2(x≥0)具有“Certaintyretention”；

(3)令ℎ(x)=x+x2+1+x2+4−ax=x2+1+x2+4+(1−a)x，

根据“确界保持性”定义可知ℎ(x)在[0,+∞)上单调递减，

故ℎ(x)≤ℎ(0)=3，即ℎ(x)的值域为(0,3]；

由于ℎ(x)=x+x2+1+x2+4−ax=x2+1+x2+4+(1−a)x=x2+1+(1−a)x