2023-2024学年湖南省娄底市涟源市高二下学期7月期末考试数学试题（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年湖南省娄底市涟源市高二下学期7月期末考试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知i为虚数单位，若复数z=7+i3+4i，则z的虚部为(

)A.1 B.−1 C.i D.−i2.函数y=−2−x与y=2xA.关于x轴对称B.关于y轴对称C.关于原点轴对称D.关于直线y=x轴对称3.求(2x−1xA.32 B.−32 C.24 D.−244.对于任意两个向量a和b，下列命题中正确的是(

)A.若a，b满足|a|>|b|，且a与b同向，则a>b

B.|5.已知离散型随机变量X的分布列如下表所示，则E(X)的值为(

)X012P0.361−2qqA.0.68 B.0.6 C.0.2976 D.3.886.根据分类变量x与y的成对样本数据，计算得到χ2=3.122.已知P(χ2≥3.841)=0.05，依据小概率值A.x与y不独立

B.x与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05

C.x与y独立

D.x与y独立，这个结论犯错误的概率不超过0.057.将函数f(x)=3sin(2x+π4)的图象向左平移π3后得到函数y=g(x)的图象，则y=g(x)A.g(x)=3sin(2x+7π12) B.g(x)=3sin(2x−π12)8.长时间玩手机可能影响视力，据调查，某校学生大约40%的人近视，而该校大约有20%的学生每天玩手机超过1ℎ，这些人的近视率约为50%.现从每天玩手机不超过1ℎ的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为(

)A.25 B.38 C.58二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.为调研某地空气质量，连续10天测得该地PM2.5(PM2.5是衡量空气质量的重要指标，单位：ug/m3)的日均值，依次为35，26，17，23，33，56，41，31A.这组数据的极差为39 B.这组数据的众数为33

C.这组数据的中位数为31或33 D.这组数据的第60百分位数为3310.下列关于概率统计说法中正确的是(

)A.两个变量x，y的相关系数为r，则r越小，x与y之间的相关性越弱

B.经验回归方程y=3x+1相对于点(2,6.5)的残差为−0.5

C.在回归分析中，R2为0.89的模型比R2为0.98的模型拟合得更好

D.某人解答10个问题，答对题数为X11.已知函数f(x)=12ex，g(x)=A.y=f(x)+g(x)是偶函数

B.f(2x)+g(2x)=[f(x)+g(x)]+[f(x)−g(x)]恒成立

C.y=f(x)+g(x)的值域是(0,+∞)

D.y=f(x)−g(x)的值域是[0,+∞)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.从2，3，4，5四个数中任取两个数，则两个数相差为2的概率是______．13.某市高二数学统考，假设考试成绩服从正态分布N(75,82)如果按照16%，34%，34%，16%的比例将成绩从高到低划分为A，B，C，D四个等级，则B14.甲、乙、丙三人做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两人中的任何一人，则经过5次传球后，球在甲手中的概率为______．四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)

计算下列各式的值：

(1)(32)−116.(本小题12分)

三角形ABC的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，3bcosA−asinB=0．

(1)求A；

(2)若a=2，求△ABC面积的最大值．17.(本小题12分)

某学校高二年级有400名学生，将数学和语文期中考试成绩的数据整理如表1：

表1数学成绩语文成绩合计优秀不优秀优秀7354127不优秀61212273合计134266400表2数学成绩语文成绩合计优秀不优秀优秀614不优秀626合计40(1)根据表1数据，从400名学生中随机选择一人做代表．

①求选到的同学数学成绩优秀且语文成绩优秀的概率；

②在选到的同学数学成绩优秀的条件下，求选到的同学语文成绩优秀的概率．

(2)从400名学生中获取了容量为40的简单随机样本，样本数据整理如表2，请填写完整表2数据，并根据表2数据，依据α=0.05的独立性检验，能否认为数学成绩与语文成绩有关联？

(18.(本小题12分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为菱形，AB=2，∠BAD=60°，侧面PAD是正三角形，侧面PAD⊥底面ABCD．

(1)求PC与底面ABCD所成角的正切值；

(2)求侧面PBC与底面ABCD所成二面角的大小；

(3)若E是PC上的点，且PA//平面BDE，求四面体P−BDE的体积．19.(本小题12分)

如图，设Ox，Oy是平面内相交成60°角的两条数轴，e1，e2分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量.若向量OM=xe1+ye1，则把有序实数对(x,y)叫做向量OM在坐标系Oxy中的坐标，记作OM=(x,y).在此坐标系Oxy中，若OA=(3,0)，OB=(0,2)，OP=(3,2)，F是BP的中点，AF与OP交于T两点．

(1)求|OP|；

(2)求OT的坐标；

(3)若过点P的直线

参考答案1.B

2.C

3.B

4.B

5.A

6.C

7.C

8.B

9.ABD

10.BD

11.AB

12.1313.75分

14.51615.解：(1)(32)−13×(−76)0+814×42+(316.解：(1)因为3bcosA−asinB=0，

所以由正弦定理可得3sinBcosA=sinAsinB，

又sinB≠0，

所以3cosA=sinA，即tanA=3，

又A∈(0,π)，

所以A=π3；

(2)因为A=π3，a=2，

所以由余弦定理可得4=b2+c2−2bccosA≥2bc−bc=bc，当且仅当b=c=217.解：(1)记事件A=“选到同学数学成绩优秀”，记事件B=“选到同学语文成绩优秀”，则A与B相互独立，

①P(AB)=73400，

②P(B|A)=n(AB)n(A)=73数学成绩优秀不优秀合计优秀8614不优秀62026合计142640零假设H0：数学成绩与语文成绩无关联，根据表2中的数据可得：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=40(8×20−6×6)18.解：(1)设O是AD的中点，连接PO，CO，

又侧面PAD是正三角形，O是AD的中点，

∴PO⊥AD，

又因为侧面PAD⊥底面ABCD，PAD∩ABCD=AD，

∴PO⊥底面ABCD，

∴∠PCO是PC与底面ABCD所成角，

在Rt△PCO中，PO=3，OC=7，

∴tan∠PCO=217．

(2)又∵在菱形ABCD中，∠BAD=60°，

∴△ABD为等边三角形，

又O为AD的中点，所以BO⊥BC，

由(1)知，PO⊥BC，

∴BC⊥平面POB，则PB⊥BC，

∴∠PBO是侧面PBC与底面ABCD所成二面角的平面角，

而在Rt△PBO中，PO=BO=3，

∴∠PBO=45°，

∴侧面PBC与底面ABCD所成二面角大小为45°．

(3)连结AC交BD于点F，连结EF，

∵底面ABCD为菱形，且PA//平面BDE，

∴EF/​/PA，

又∵在△PAC中，F为AC中点，

∴E为PC中点，

又PA//平面BDE，

∴P点到平面BDE的距离等于A点到平面BDE的距离，

即VP−BDE=VA−BDE=VE−ABD，

由(1)知AD⊥PO，平面PAD⊥平面ABCD，所以PO⊥底面ABCD，

因为等边△PAD的边长为2，∴PO=3，

又因为E为PC中点，

∴点19.解：(1)依题意可得e1⋅