讲析05 复数（考点分析）（解析版）

讲析05复数一、知识网络二、常考题型三、知识梳理（一）复数的概念1.虚数单位（1）它的平方等于，即；（2）与－1的关系:就是－1的一个平方根，即方程的一个根，方程的另一个根是；（3）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律）.2.概念形如（）的数叫复数，叫复数的实部，叫复数的虚部。说明：这里容易忽视但却是列方程求复数的重要依据。3.复数与实数、虚数、纯虚、0的关系对于复数（），复数的分类如下:（）4.复数相等的充要条件两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等。即：如果，那么.特别地:.5.复数相等的模定义：向量的模叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值.记法：复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|.公式：|z|＝|a＋bi|＝.6.共轭复数两个复数的实部相等，而且虚部相反，那么这两个复数叫做共轭复数。即：复数和（）互为共轭复数。（二）复数的运算1.复数的代数形式复数通常用字母表示，即（），把复数表示成的形式，叫做复数的代数形式。2.四则运算；；复数除法通常上下同乘分母的共轭复数：（三）复数范围内实系数一元二次方程的解在复数范围内讨论实系数一元二次方程(a≠0)的解的情况为四、常考题型探究考点一复数的概念例1．复数，则复数的实部和虚部分别是（

）A．3，2 B．3，2i C．1，2 D．1，2i【答案】C【详解】由题意，则复数的实部和虚部分别是1和2.故选：C例2．已知复数，试求实数为什么值时，复数分别为：(1)实数；(2)纯虚数.【答案】(1)(2)【详解】（1）解：若为实数，则，得：.（2）解：若为纯虚数，则且，解得：.例3．适合的实数x、y的值为（

）A．且 B．且C．且 D．且【答案】A【分析】根据复数相等的定义，联立关于x、y的方程组求解即可．【详解】根据复数相等的定义可得，，解得.故选：A．【变式探究】1.已知复数，，则的实部与虚部分别为（

）A．， B．， C．， D．，【答案】A【分析】应用复数加法求，根据实部、虚部定义得答案.【详解】因为，，所以，其实部与虚部分别为，.故选：A2．已知复数为纯虚数，则实数的值为（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】D【分析】化简后，得到方程与不等式，求出.【详解】因为为纯虚数，所以，解得.故选：D．3．若，则____.【答案】0【详解】，又，则，解之得，则故答案为：0考点二复数的几何意义例1．设复数，则在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【详解】，，在复平面内对应的点为，在第一象限，故选：A.例2．设，则对应的复数是（）A．B．C． D．【答案】D【详解】因为，所以，所以对应的复数是.故选：D.例3．复数（i为虚数单位），则（

）A．1 B． C． D．【答案】D【详解】由已知．故选：D．例4．关于复数的方程在复平面上表示的图形是（

）A．椭圆 B．圆 C．抛物线 D．双曲线【答案】B【分析】根据复数差的模的几何意义，分析即可得答案.【详解】由于两个复数差的模表示两个复数在复平面内对应点之间的距离，所以关于复数的方程在复平面上表示的图形是以（3,0）为圆心，1为半径的圆.故选：B【变式探究】1.设，则在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】根据复数的几何意义求出即可.【详解】因为，所以对应复平面内点的坐标，所以位于第二象限，故选：B2.如图，若向量对应的复数为z，则z表示的复数为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由图可知，，所以z在复平面内所对应的点为，则.故选：C.3.若，则（

）A． B． C．3 D．2【答案】A【详解】由，故选：A4.若复数满足，则复数在复平面内对应点组成图形的面积为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据复数的几何意义判断在复平面对应的点是半径为2的圆及圆内所有点，进而求出其面积.【详解】在复平面对应的点是半径为2的圆及圆内所有点，，故选：D.考点三复数的运算例1.计算：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】根据复数的加减运算逐一计算即可得出（1）~（4）的答案；【详解】（1）（2）（3）（4）例2.若复数满足，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】计算出复数后再计算模长即可得.【详解】由，则，则.故选：A.例3.已知为虚数单位，则复数的虚部为（

）A． B． C．0 D．1【答案】D【分析】利用复数的除法运算，得到复数的代数形式，由此求得复数的虚部.【详解】因为，所以虚部为1.故选：D．例4.在复平面内，复数对应的点位于．【答案】第一象限【分析】先化简，再利用复数的几何意义即可判断.【详解】因为,所以复数对应的点，位于第一象限.故答案为：第一象限【变式探究】1.设复数，则复数在复平面内对应的点所在的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】讲复数转化为复平面上的点的坐标进行判断即可.【详解】根据复数运算可知：，在复平面对应的点的坐标为，位于第二象限.故选：B2.已知，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据复数的除法法则直接计算.【详解】由，得，故选：C．3.计算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】根据复数的乘法运算计算即可得出答案.【详解】（1）解：；（2）解：.考点四解实系数一元二次方程例1.已知是实系数一元二次方程的两个虚数根，且满足方程．(1)求和．(2)写出一个以和为根的实系数一元二次方程．【答案】(1)，(2)（答案不唯一）【详解】（1）