《数学》复习人教A（新高考）-第8节　离散型随机变量的均值与方差

第十章

第8节离散型随机变量的均值与方差知识分类落实考点分层突破课后巩固作业内容索引///////123//////////////知识分类落实夯实基础回扣知识1知识梳理///////1．离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量X的分布列为(1)均值称E(X)＝

为随机变量X的均值或

，它反映了离散型随机变量取值的

．x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn数学期望平均水平平均偏离程度

标准差

2．均值与方差的性质(1)E(aX＋b)＝

．(2)D(aX＋b)＝

(a，b为常数)．aE(X)＋ba2D(X)(1)若X服从两点分布，则E(X)＝

，D(X)＝

．(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝

，D(X)＝

．3．两点分布与二项分布的均值、方差pp(1－p)npnp(1－p)1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)期望值就是算术平均数，与概率无关． (

) (2)随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量． (

) (3)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量平均程度越小． (

) (4)均值与方差都是从整体上刻画离散型随机变量的情况，因此它们是一回事． (

)×

×

√

√

2．(多选题)设离散型随机变量X的分布列为X01234Pq0.40.10.20.2

若离散型随机变量Y满足Y＝2X＋1，则下列结果正确的有 (

)

A．q＝0.1 B．E(X)＝2，D(X)＝1.4 C．E(X)＝2，D(X)＝1.8 D．E(Y)＝5，D(Y)＝7.2

解析

因为q＋0.4＋0.1＋0.2＋0.2＝1， 所以q＝0.1， 故A正确；ACD又E(X)＝0×0.1＋1×0.4＋2×0.1＋3×0.2＋4×0.2＝2，D(X)＝(0－2)2×0.1＋(1－2)2×0.4＋(2－2)2×0.1＋(3－2)2×0.2＋(4－2)2×0.2＝1.8，故C正确；因为Y＝2X＋1，所以E(Y)＝2E(X)＋1＝5，D(Y)＝4D(X)＝7.2，故D正确．故选ACD.3．若随机变量X满足P(X＝c)＝1，其中c为常数，则D(X)的值为________． 解析

∵P(X＝c)＝1， ∴E(X)＝c×1＝c， ∴D(X)＝(c－c)2×1＝0.0

4．(2021·武汉模拟)某射手射击所得环数ξ的分布列如下表：ξ78910Px0.10.3y

已知ξ的数学期望E(ξ)＝8.9，则y的值为 (

) A．0.8B．0.6C．0.4D．0.2

解析由题中表格可知x＋0.1＋0.3＋y＝1，7x＋8×0.1＋9×0.3＋10y＝8.9， 解得y＝0.4.

故选C.C

5．(2018·全国Ⅲ卷)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立．设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，D(X)＝2.4，P(X＝4)<P(X＝6)，则p＝ (

) A．0.7B．0.6C．0.4D．0.3B

解析

由题意知，该群体的10位成员使用移动支付的概率分布符合二项分布， 所以D(X)＝10p(1－p)＝2.4， 所以p＝0.6或p＝0.4.

即(1－p)2<p2， 所以p>0.5， 所以p＝0.6.B

解析

X的可能取值为1，2，3，4，四种情形的数学期望E(X)＝1×p1＋2×p2＋3×p3＋4×p4都为2.5，A选项的方差D(X)＝0.65；B选项的方差D(X)＝1.85；C选项的方差D(X)＝1.05；D选项的方差D(X)＝1.45.可知选项B的情形对应样本的标准差最大．故选B.考点分层突破题型剖析考点聚焦2【例1】(2020·郑州二检)某市为了解本市1万名小学生的普通话水平，对全市范围内的小学生进行了普通话测试，测试后对每个小学生的普通话测试成绩进行统计，发现总体(这1万名小学生普通话测试成绩)服从正态分布N(69，49)．

(1)从这1万名小学生中任意抽取1名小学生，求这名小学生的普通话测试成绩在(62，90]内的概率．考点一离散型随机变量的均值与方差///////师生共研

解因为这些小学生的普通话测试成绩t服从正态分布N(69，49)， 所以μ＝69，σ＝7.【例1】(2)现在从总体中随机抽取12名小学生的普通话测试成绩，对应的数据如下：

50，52，56，62，63，68，65，64，72，80，67，90.

从这12个数据中随机选取4个，记X表示大于总体平均分的个数，求X的方差． 参考数据：若Y～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<Y≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ<Y≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ<Y≤μ＋3σ)≈0.9973.(1)求离散型随机变量的均值与方差关键是确定随机变量的所有可能值，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算．(2)注意E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)的应用．感悟升华【训练1】

(2021·新高考8省联考)一台设备由三个部件构成，假设在一天的运转中，部件1，2，3需要调整的概率分别为0.1，0.2，0.3，各部件的状态相互独立． (1)求设备在一天的运转中，部件1，2中至少有1个需要调整的概率；解

设“部件1，2，3中需要调整的事件”分别为A1，A2，A3，则P(A1)＝0.1，P(A2)＝0.2，P(A3)＝0.3.由于部件1，2的状态相互独立，＝1－(1－0.1)(1－0.2)＝1－0.9×0.8＝0.28.【训练1】

(2021·新高考8省联考)一台设备由三个部件构成，假设在一天的运转中，部件1，2，3需要调整的概率分别为0.1，0.2，0.3，各部件的状态相互独立． (2)记设备在一天的运转中需要调整的部件个数为X，求X的分布列及均值．解

由题意知，设备在一天的运转中需要调整的部件个数可能为0，1，2，3.则P(X＝0)＝[1－P(A1)][1－P(A2)][1－P(A3)]＝(1－0.1)×(1－0.2)×(1－0.3)＝0.504.P(X＝1)＝P(A1)[1－P(A2)][1－P(A3)]＋[1－P(A1)]P(A2)[1－P(A3)]＋[1－P(A1)][1－P(A2)]·P(A3)＝0.1×0.8×0.7＋0.9×0.2×0.7＋0.9×0.8×0.3＝0.056＋0.126＋0.216＝0.398，P(X＝2)＝P(A1)P(A2)[1－P(A3)]＋P(A1)[1－P(A2)]P(A3)＋[1－P(A1)]P(A2)P(A3)＝0.1×0.2×0.7＋0.1×0.8×0.3＋0.9×0.2×0.3＝0.014＋0.024＋0.054＝0.092.P(X＝3)＝P(A1)P(A2)P(A3)＝0.1×0.2×0.3＝0.006.则X的分布列如下：X0123P0.5040.3980.0920.006故E(X)＝0×0.504＋1×0.398＋2×0.092＋3×0.006＝0.398＋0.184＋0.018＝0.6.【例2】

(2020·东北三省三校联考)随着经济的发展，轿车已成为人们上班代步的一种重要工具．现将某人三年以来每周开车从家到公司的时间之和统计如图所示．

(1)求此人这三年以来每周开车从家到公司的时间之和在[6.5，7.5)(时)内的频率； 解依题意，此人这三年以来每周开车从家到公司的时间之和在[6.5，7.5)(时)内的频率为1－0.03－0.1－0.2－0.19－0.09－0.04＝0.35.考点二二项分布的均值与方差///////师生共研【例2】(2)求此人这三年以来每周开车从家到公司的时间之和的平均数(每组取该组的中间值作代表)；【例2】(3)以频率估计概率，记此人在接下来的四周内每周开车从家到公司的时间之和在[4.5，6.5)(时)内的周数为X，求X的分布列以及数学期望．故X的分布列为感悟升华【训练2】一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则D(X)＝________． 解析有放回地抽取，是一个二项分布模型，其中p＝0.02，n＝100， 则D(X)＝np(1－p)＝100×0.02×0.98＝1.96.1.96

【例3】

(2021·重庆联考)某中学是走读中学，为了让学生更有效率的利用下午放学后的时间，学校在本学期第一次月考后设立了多间自习室，以便让学生在自习室自主学习、完成作业，同时每天派老师轮流值班．在本学期第二次月考后，高一某班数学老师统计了两次考试该班数学成绩优良人数和非优良人数，得到如下2×2列联表：考点三均值与方差在决策问题中的应用///////师生共研非优良优良总计未设立自习室251540设立自习室103040总计354580【例3】(1)能否在犯错的概率不超过0.005的前提下认为设立自习室对提高学生成绩有效？【例3】(2)设从该班第一次月考的所有数学成绩中任取两个，取到成绩优良数为X；从该班第二次月考的所有数学成绩中任取两个，取到成绩优良数为Y，求X与Y的均值并比较大小，请解释所得结论的实际含义． 下面的临界值表供参考：随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据．一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定．感悟升华课后巩固作业提升能力分层训练3一、选择题1．已知离散型随机变量X的分布列为A

2．随机变量X的分布列如下表，且E(X)＝2，则D(2X－3)＝ (

) A.2B．3C．4D．5C

3．一个箱子中装有形状完全相同的5个白球和n(n∈N*)个黑球．现从中有放回的摸取4次，每次都是随机摸取一球，设摸得白球个数为X，若D(X)＝1，则E(X)＝(

) A．1B．2C．3D．4B

4．口袋中有5个形状和大小完全相同的小球，编号分别为0，1，2，3，4，从中任取3个球，以X表示取出球的最小号码，则E(X)＝ (

) A．0.45B．0.5C．0.55D．0.6B

5．设袋中有两个红球一个黑球，除颜色不同，其他均相同，现有放回地抽取，每次抽取一次，记下颜色后放回袋中，连续摸三次，X表示三次中红球被摸中的次数，每个小球被抽取的几率相同，每次抽取相对独立，则方差D(X)＝(

)C

ABC二、填空题7．已知随机变量ξ的分布列为ξ123P0.5xy8．某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%；如果失败，一年后将丧失全部资金的50%，下表是过去200例类似项目开发的实施结果：投资成功投资失败192例8例

则估计该公司一年后可获收益的均值是________元．4760

解析

由题意知，一年后获利6000元的概率为0.96，获利－25000元的概率为0.04， 故一年后收益的均值是6000×0.96＋(－25000)×0.04＝4760(元)．9．(2020·浙江卷)盒中有4个球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球．从盒中随机取球，每次取1个，不放回，直到取出红球为止．设此过程中取到黄球的个数为ξ，则P(ξ＝0)＝__________，E(ξ)＝__________．1

三、解答题10．(2021·长沙模拟)高三年级某班50名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，成绩分组区间为[80，90)，[90，100)，[100，110)，[110，120)，[120，130)，[130，140)，[140，150]，其中a，b，c成等差数列且c＝2a.物理成绩统计如表．(说明：数学满分150分，物理满分100分)分组[50，60)[60，70)[70，80)[80，90)[90，100]频数6920105(1)根据频率分布直方图，请估计数学成绩的平均分；(2)根据物理成绩统计表，请估计物理成绩的中位数；解由题表知，物理成绩的中位数约为75分．(3)若数学成绩不低于140分的为“优”，物理成绩不低于90分的为“优”，已知本班中至少有一个“优”的同学总数为6人，从此6人中随机抽取3人，记X为抽到两个“优”的学生人数，求X的分布列和期望值．解数学成绩为“优”的同学有4人，物理成绩为“优”的同学有5人，因为至少有一个“优”的同学总数为6人，故两科均为“优”的人数为3，故X的取值为0，1，2，3.11．(2020·安徽江南十校质量检测)某企业打算处理一批产品，这些产品每箱100件，以箱为单位销售．已知这批产品中每箱出现的废品率只有两种可能：10%或者20%，两种可能对应的概率均为0.5.假设该产品正品每件市场价格为100元，废品不值钱，现处理价格为每箱8400元，遇到废品不予更换．以一箱产品中正品的价格期望作为决策依据．

(1)在不开箱检验的情况下，判断是否可以购买； 解在不开箱检验的情况下，一箱产品中正品的价格期望为100×(1－

0.2)×100×0.5＋100×(1－0.1)×100×0.5＝8500， ∵8500＞8400，∴在不开箱检验的情况下，可以购买．(2)现允许开箱，有放回地随机从一箱中抽取2件产品进行检验．①若此箱出现的废品率为20%，记抽到的废品数为X，求X的分布列和数学期望；②若已发现在抽取检验的2件产品中，恰有一件是废品，判断是否可以购买．X012P0.640.320.0412．(多选题)(2021·济南模拟)开学后，某学校食堂为了减少师生就餐排队时间，特推出即点即取的米饭套餐和面食套餐两种．已知小明同学每天中午都会在食堂提供的米饭套餐和面食套餐中选择一种，米饭套餐的价格是每份15元，面食套餐的价格是每份10元，如果小明当天选择了某种套餐，他第二天会有80%的可能性换另一种类型的套餐，假如第1天小明选择了米饭套餐，第n天选择米饭套餐的概率为pn，则以下论述正确的是 (

) A．小明同学第二天一定选择面食套餐

B．p3＝0.68 C．pn＝0.2pn－1＋0.8(1－pn－1)(n≥2