讲解01 充要条件（考点串讲）（解析版）

讲解01充要条件一、知识网络二、常考题型三、知识梳理1、命题：可以判断真假的陈述句叫命题，判断为真的命题称为真命题，判断为假的命题称为假命题.一般地,对于形如“如果p,那么q”的命题,我们称p为命题的条件,简称条件;称q为命题的结论，简称结论．将命题“如果p，那么q”中的条件p和结论q互换，变成“如果q，那么p”，称这个命题为原命题的逆命题.2、充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q⇏pp是q的必要不充分条件p⇏q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p⇏q且q⇏p3、若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则由A⊆B可得，p是q的充分条件，请写出集合A，B的其他关系对应的条件p，q的关系．①若AB，则p是q的充分不必要条件；②若A⊇B，则p是q的必要条件；③若AB，则p是q的必要不充分条件；④若A＝B，则p是q的充要条件；⑤若A⊈B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件．四、常考题型探究考点一充分条件例1．已知p：x2－x<0，那么命题p的一个充分条件是(D)A．1<x<3 B．－1<x<1C．eq\f(1,2)<x<5 D．eq\f(1,3)<x<eq\f(3,4)[解析]x2－x<0，∴0<x<1，∵eq\f(1,3)<x<eq\f(3,4)⇒0<x<1，∴p的一个充分条件为eq\f(1,3)<x<eq\f(3,4).例2．“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】利用三角函数值即可求得对应的角的取值，可得出结论.【详解】根据题意由可得，则，即充分性成立，若可得，此时或，显然必要性不成立；所以“”是“”的充分不必要条件,故选：A例3．已知直线：，：，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由直线平行的判断方法分析“”和“”的关系，结合充分必要条件的定义分析可得答案.【详解】直线：，：，若，则有，解得，经检验，当时，直线不重合，符合，则时，满足，而时，不能得到，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A例4．“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】利用对数的换底公式得到，再利用对数的性质和充要条件的定义求解即可.【详解】且，当时，则，当时，则，，当时，则，.是的充分不必要条件.故选：A.【变式探究】1.判断p：“|x－2|≤5”是q：“x≥－1或x≤5”的什么条件，说明理由．[解析]p是q的充分条件．因为p：|x－2|≤5的解集为P＝{x|－3≤x≤7}；q：x≥－1或x≤5就是实数集R.所以P⊆R，也就是p⇒q，故p是q的充分条件．2．在平面直角坐标系中，角以为始边，则“角的终边过点”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据三角函数的定义即可判断.【详解】当角的终边过点时，根据三角函数的定义，可得，充分性成立；当时，为第二象限角或第四象限角，若为第四象限角，则角的终边不过点，必要性不成立.所以“角的终边过点”是“”的充分不必要条件.故选：A.3．设，则“”是“直线与直线平行”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据直线平行的条件和充分必要条件的概念可判断结果.【详解】因为直线与直线平行的充要条件是且，解得或．所以由充分必要条件的概念判断可知：“”是“直线与直线平行”的充分不必要条件，故选：A4“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据条件得到的大小关系，结合充要条件进一步判断即可.【详解】因为，所以，而，所以“”是“”的充分不必要条件．故选：考点二必要条件例1．“b2＝ac”是“a，b，c成等比数列”的__必要__条件．(填“充分”或“必要”)[解析]a，b，c成等比数列⇒b2＝ac.例2．已知，则是的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【答案】B【分析】根据充分条件、必要条件的定义即可判断命题.【详解】当时，，但，则命题p推不出命题q；当时，，则命题q推出命题p，所以命题p是命题q的必要不充分条件.故选：B.例3．“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】直接根据充分条件和必要条件的定义得到答案.【详解】，则或，则前者无法推出后者，后者可以推出前者，故“”是“”的必要不充分条件.故选：B例4．“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据充分条件、必要条件的概念和对数函数相关概念求解即可.【详解】由，解得，由“”是“”的必要不充分条件，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B【变式探究】1.已知p：x2－x<0，那么命题p的一个必要条件是(B)A．0<x<1 B．－1<x<1C．eq\f(1,2)<x<eq\f(2,3) D．eq\f(1,2)<x<2[解析]x2－x<0⇔0<x<1，运用集合的知识易知．A中0<x<1是p的充要条件；B中－1<x<1是p的必要条件；C中eq\f(1,2)<x<eq\f(2,3)是p的充分条件；D中eq\f(1,2)<x<2是p的既不充分也不必要条件．应选B．2.“”是“”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据不等式的性质结合充分条件和必要条件的定义即可得解.【详解】如果，比如，，，不存在，充分条件不成立；如果，则有，所以，即，必要条件成立；是的必要不充分条件.故选：B.3.设p：是等腰三角形，q：是等边三角形，则p是q的（

）条件A．充分不必要 B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要【答案】B【分析】根据等腰三角形和等边三角形的定义判断即可.【详解】设中角、、所对的边分别为、、，若是等腰三角形，假设是，此时不是等边三角形，故不能推出，若是等边三角形，则有，此时一定是等腰三角形，故能推出，故p是q的必要不充分条件.故选：B.4.设全集，，则“”是“”的（

）A．充要条件 B．必要不充分条件C．充分不必要条 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据集合的包含关系与充分必要条件的关系判断即可.【详解】因为，，则，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B.考点三充要条件例1.设，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】分别求出两个命题，得到递推关系，最后得到充分性和必要性即可.【详解】由，解得，由，解得，所以“”是“”的充要条件，故选：C例2.点是第二象限的点的充要条件是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据充要条件的定义和第二象限点的特点分析判断【详解】因为第二象限的点横坐标小于0，纵坐标大于0，所以点是第二象限的点的充要条件是．故选：B例3.一个三棱锥是正三棱锥的充要条件是（

）A．底面是正三角形，三个侧面是全等的等腰三角形B．各个面都是正三角形C．三个侧面是全等的等腰三角形D．顶点在底面上的投影为底面三角形的重心【答案】A【分析】根据正三棱锥的定义结合充分、必要条件逐项分析判断.【详解】正三棱锥：底面为正三角形，侧棱长相等（或顶点在底面的投影为底面中心），对于选项A：三个侧面是全等的等腰三角形，等价于侧棱长相等，且底面是正三角形的三棱锥，等价于正三棱锥的定义，故A正确；对于选项B：各个面都是正三角形符合定义，故是正三棱锥，但正三棱锥的侧棱和底面边长不一定相等，所以侧面不一定是等边三角形，故B错误；对于选项C：三个侧面是全等的等腰三角形，但没有指定具体哪些边对应相等，则不一定是正三棱锥，故C错误；对于选项D：正三棱锥顶点在底面的投影为底面中心，则不一定是正三棱锥，故D错误；故选：A.例4.如图，直线a，b被直线c所截.下列条件中，不是的充要条件的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由直线平行的条件判断选项.【详解】若同位角相等，则两直线平行，若两直线平行，则同位角相等，A选项正确；若同旁内角互补，则两直线平行，若两直线平行，则同旁内角互补，B选项正确；若内错角相等，则两直线平行，若两直线平行，则内错角相等，C选项正确；显然，∠1与∠3是对顶角，由∠1=∠3不能得到两直线平行，D选项错误.故选：D.【变式探究】1.设，则“”是“”的（

）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件【答案】C【分析】根据函数单调性进行判断即可.【详解】显然，在上单调递增，若，则；若，则.故“”是“”的充要条件.故选：C2.一个棱柱是正四棱柱的充要条件是（

）A．底面是正方形，有两个侧面是矩形B．底面是正方形，有两个侧面垂直于底面C．底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直D．每个侧面都是全等矩形的四棱柱【答案】C【分析】由正四棱柱的定义及几何特征，结合充要条件的概念，依次判断即可．【详解】若底面是正方形，有相对的两个侧面是矩形，另外两个侧面是不为矩形的平行四边形，则棱柱为斜棱柱，故A不满足要求；若底面是正方形，有相对的两个侧面垂直于底面，另外两个侧面不垂直于底面，则棱柱为斜棱柱，故B不满足要求；若底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直则底面为正方形，侧棱与底面垂直，此时棱柱为正四棱柱，反之也成立，故C满足要求；若每个侧面都是全等矩形的四棱柱，其底面可能不