《数学》复习人教A（新高考）-第7节　函数的图象

第二章

第7节函数的图象知识分类落实考点分层突破课后巩固作业内容索引///////123//////////////知识分类落实夯实基础回扣知识1知识梳理///////1.利用描点法作函数的图象步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线.2.利用图象变换法作函数的图象(1)平移变换

－f(x)f(－x)－f(－x)logax(3)伸缩变换(4)翻折变换1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同. (

) (2)函数y＝af(x)与y＝f(ax)(a>0且a≠1)的图象相同. (

) (3)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于原点对称. (

) (4)若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称.(

)

解析

(1)令f(x)＝－x，当x∈(0，＋∞)时，y＝|f(x)|＝x，y＝f(|x|)＝－x，两者图象不同，(1)错误. (2)中两函数当a≠1时，y＝af(x)与y＝f(ax)是由y＝f(x)分别进行横坐标与纵坐标伸缩变换得到，两图象不同，(2)错误. (3)y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于x轴对称，(3)错误.×××√2.(多选题)若函数y＝ax＋b－1(a＞0，且a≠1)的图象经过第一、三、四象限，则下列选项中正确的有 (

) A.a＞1 B.0＜a＜1 C.b＞0 D.b＜0

解析

因为函数y＝ax＋b－1(a＞0，且a≠1)的图象经过第一、三、四象限， 所以其大致图象如图所示.

由图象可知函数为增函数， 所以a＞1，当x＝0时，y＝1＋b－1＝b＜0，故选AD.AD3.在2h内将某种药物注射进患者的血液中，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减，能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是 (

)

解析

依题意知，在2h内血液中药物含量Q持续增加，停止注射后，Q呈指数衰减，图象B适合.B∴f(x)为奇函数，排除A.D5.(2021·长沙检测)已知图①中的图象对应的函数为y＝f(x)，则图②中的图象对应的函数为 (

) A.y＝f(|x|) B.y＝f(－|x|) C.y＝|f(x)| D.y＝－|f(x)|

解析观察函数图象可得，②是由①保留y轴左侧及y轴上的图象，然后将y轴左侧图象翻折到右侧所得，结合函数图象的对称变换可得变换后的函数的解析式为y＝f(－|x|).B6.(2020·重庆联考)已知函数f(x)的图象如图所示，则函数g(x)＝logf(x)的定义域是________________.

解析

当f(x)>0时，函数g(x)＝logf(x)有意义， 由函数f(x)的图象知满足f(x)>0时，x∈(2，8].(2，8]考点分层突破题型剖析考点聚焦2考点一作函数的图象///////师生共研(2)将函数y＝log2x的图象向左平移一个单位，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y＝|log2(x＋1)|的图象，如图②.1.描点法作图：当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出.2.图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.感悟升华解(1)当x≥0时，y＝sin|x|与y＝sinx的图象完全相同，又y＝sin|x|为偶函数，图象关于y轴对称，其图象如图①.1.(2020·浙江卷)函数y＝xcosx＋sinx在区间[－π，π]的图象大致为(

)

解析

因为f(x)＝xcosx＋sinx， 则f(－x)＝－xcosx－sinx＝－f(x)， 又x∈[－π，π]，所以f(x)为奇函数，其图象关于坐标原点对称， 则C，D错误.且x＝π时，y＝πcosπ＋sinπ＝－π<0，知B错误；只有A满足.考点二函数图象的辨识///////自主演练A有f(－x)＝(－x)sin(－x)＝xsinx＝f(x)，即函数y＝f(x)为偶函数，排除B，D.当x∈(0，π)时，x>0，sinx>0，有f(x)>0，排除C.只有A适合.A3.已知函数f(x)＝

则函数y＝f(1－x)的大致图象是 (

)

解析

法一先画出函数f(x)＝

的草图，令函数f(x)的图象关于

y轴对称，得函数f(－x)的图象，再把所得的函数f(－x)的图象，向右平移1个单位，得到函数y＝f(1－x)的图象(图略)，故选D.D法二由已知函数f(x)的解析式，得y＝f(1－x)＝故该函数过点(0，3)，排除A；过点(1，1)，排除B；在(－∞，0)上单调递增，排除C.选D.解析从图象看，y＝f(x)应为奇函数，排除C；D只有f(x)＝xcosx满足图象的特征.1.抓住函数的性质，定性分析：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从周期性，判断图象的循环往复；(4)从函数的奇偶性，判断图象的对称性.2.抓住函数的特征，定量计算：从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题.感悟升华角度1研究函数的性质【例2】(多选题)(2021·滨州一模)在平面直角坐标系

xOy中，如图放置的边长为2的正方形ABCD沿x轴 滚动(无滑动滚动)，点D恰好经过坐标原点.设顶 点B(x，y)的轨迹方程是y＝f(x)，则对函数y＝f(x)的 判断正确的是 (

)考点三函数图象的应用///////多维探究BCD以后依次重复，所以函数f(x)是以8为周期的周期函数.由图象可知，函数f(x)为偶函数，故A错误；因为f(x)的周期为8，所以f(x＋8)＝f(x)，即f(x＋4)＝f(x－4)，故B正确；由图象可知，f(x)在[－2，0]上单调递增，因为f(x)在[6，8]的图象和在[－2，0]的图象相同，故D正确.故选BCD.B【例3】(2)(2020·北京卷)已知函数f(x)＝2x－x－1，则不等式f(x)＞0的解集是(

) A.(－1，1) B.(－∞，－1)∪(1，＋∞) C.(0，1) D.(－∞，0)∪(1，＋∞)

解析在同一平面直角坐标系中画出h(x)＝2x，g(x)＝x＋1的图象如图.由图象得交点坐标为(0，1)和(1，2).

又f(x)＞0等价于2x＞x＋1， 结合图象，可得x＜0或x＞1.

故f(x)＞0的解集为(－∞，0)∪(1，＋∞).故选D.D解析画出分段函数f(x)的图象如图所示，结合图象可以看出，若f(x)＝k有两个不同的实根，也即函数y＝f(x)的图象与y＝k有两个不同的交点，k的取值范围为(0，1).(0，1)【例4】(2)已知函数f(x)＝|x2＋3x|，x∈R.若方程f(x)－a|x－1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为_______________________.

解析设y1＝f(x)＝|x2＋3x|，y2＝a|x－1|.

在同一直角坐标系中作出y1＝|x2＋3x|，

y2＝a|x－1|的图象如图所示.(0，1)∪(9，＋∞)由图可知f(x)－a|x－1|＝0有4个互异的实数根等价于y1＝|x2＋3x|与y2＝a|x－1|的图象有4个不同的交点，且4个交点的横坐标都小于1，消去y得x2＋(3－a)x＋a＝0，该方程有两个不等实根x1，x2，∴0<a<1.消去y得x2＋(3－a)x＋a＝0有两不等实根x3、x4，∴Δ＝a2－10a＋9>0，又∵x3＋x4＝a－3>2，x3x4＝a＞1，∴a>9.综上可知，0<a<1或a>9.1.利用函数的图象研究函数的性质对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应关系.2.利用函数的图象可解决某些方程和不等式的求解问题，方程f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象交点的横坐标；不等式f(x)<g(x)的解集是函数f(x)的图象位于g(x)图象下方的点的横坐标的集合，体现了数形结合思想.感悟升华【训练2】(1)设函数f(x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，对于任意的x∈R，不等式f(x)≥g(x)恒成立，则实数a的取值范围是____________________.

解析如图作出函数f(x)＝|x＋a|与g(x)＝x－1的图象， 观察图象可知， 当且仅当－a≤1，即a≥－1时，不等式f(x)≥g(x)恒成立， 因此a的取值范围是[－1，＋∞).[－1，＋∞)【训练2】(2)(2020·徽州一中期中)已知奇函数f(x)在x≥0时的 图象如图所示，则不等式xf(x)<0的解集为

__________________________.

解析∵xf(x)<0， ∴x和f(x)异号， 由于f(x)为奇函数，补齐函数的图象如图.

当x∈(－2，－1)∪(0，1)∪(2，＋∞)时，f(x)>0， 当x∈(－∞，－2)∪(－1，0)∪(1，2)时，f(x)<0， ∴不等式xf(x)<0的解集为(－2，－1)∪(1，2).(－2，－1)∪(1，2)【训练2】(3)(多选题)(2021·淄博模拟)关于函数f(x)＝|ln|2－x||，下列描述正确的有 (

) A.函数f(x)在区间(1，2)上单调递增

B.函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称

C.若x1≠x2，但f(x1)＝f(x2)，则x1＋x2＝4 D.函数f(x)有且仅有两个零点 解析函数f(x)＝|ln|2－x||的图象如图所示， 由图可得， 函数f(x)在区间(1，2)上单调递增，A正确； 函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，B正确； 若x1≠x2，但f(x1)＝f(x2)，则x1＋x2的值不一定等于4，C错误； 函数f(x)有且仅有两个零点，D正确.ABD直观想象是发现和提出问题，分析和解决问题的重要手段，在数学研究的探索中，通过直观手段的运用以及借助直观展开想象，从而发现问题、解决问题的例子比比皆是，并贯穿于数学研究过程的始终，而数形结合思想是典型的直观想象范例.函数图象的活用一、根据函数图象确定函数解析式【例1】(2021·长沙检测)已知某函数的图象如图所示，则下列函数中，与图象最契合的是 (

) A.y＝sin(ex＋e－x) B.y＝sin(ex－e－x) C.y＝cos(ex－e－x) D.y＝cos(ex＋e－x)

解析由函数图象知，函数图象关于y轴对称， ∵y＝sin(ex－e－x)为奇函数，图象关于原点对称，B不正确； 又－1<f(0)<0，但sin2>0，cos0＝1，故A，C不正确； 只有y＝cos(ex＋e－x)满足图象特征.故选D.D函数解析式与函数图象是函数的两种重要表示法，图象形象直观，解析式易于研究函数性质，可根据需要，相互转化.素养升华素养升华解析作出函数f(x)的图象如图所示，由图象可知，要使f(x)在(a，a＋1)上单调递增，需满足a≥4或a＋1≤2.因此a≥4或a≤1.D1.运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质.2.图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象数形结合研究.素养升华课后巩固作业提升能力分层训练3A因此，函数为奇函数，排除C，D.C其图象关于原点对称，排除A，B；则f(x)>0，排除D，只有C适合.3.若函数f(x)＝ax－a－x(a>0且a≠1)在R上为减函数，则函数y＝loga(|x|－1)的图象可能是 (

)

解析

由f(x)在R上是减函数，知0<a<1.

又y＝loga(|x|－1)是偶函数，定义域是(－∞，－1)∪(1，＋∞). ∴当x>1时，y＝loga(x－1)的图象由y＝logax的图象向右平移一个单位得到.

因此D正确.D4.下列函数中，其图象与函数y＝lnx的图象关于直线x＝1对称的是 (

) A.y＝ln(1－x) B.y＝ln(2－x) C.y＝ln(1＋x) D.y＝ln(2＋x)

解析法一设所求函数图象上任一点的坐标为(x，y)， 则其关于直线x＝1的对称点的坐标为(2－x，y)， 由对称性知点(2－x，y)在函数f(x)＝lnx的图象上， 所以y＝ln(2－x).

法二由题意知，对称轴上的点(1，0)在函数y＝lnx的图象上也在所求函数的图象上，代入选项中的函数表达式逐一检验，排除A，C，D，选B.

B解析根据题意，f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝3－2x，可得其图象如图，C故f(－3)＝5－6＝－1.C7.(多选题)(2021·山东新高考模拟)对于函数f(x)＝lg(|x－2|＋1)，下列说法正确的是 (

) A.f(x＋2)是偶函数

B.f(x＋2)是奇函数

C.f(x)在区间(－∞，2)上是减函数，在区间(2，＋∞)上是增函数

D.f(x)没有最小值 解析

f(x＋2)＝lg(|x|＋1)为偶函数，A正确，B错误.作出

f(x)的图象如图所示， 可知f(x)在(－∞，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数； 由图象可知函数存在最小值0，C正确，D错误.AC8.若函数y＝f(x)的图象的一部分如图(1)所示，则图(2)中的图象所对应的函数解析式可以是 (

)B二、填空题9.若函数y＝f(x)的图象过点(1，1)，则函数y＝f(4－x)的图象一定经过点_____________.

解析由于函数y＝f(4－x)的图象可以看作y＝f(x)的图象先关于y轴对称，再向右平移4个单位长度得到.

点(1，1)关于y轴对称的点为(－1，1)，再将此点向右平移4个单位长度为

(3，1).

所以函数y＝f(4－x)的图象过定点(3，1).(3，1)10.在平面直角坐标系xOy中，