《数学》复习人教A（新高考）-解析几何热点问题

教材·高考·审题答题解析几何热点问题内容索引三年真题考情教材链接高考教你如何审题///////123//////////////满分答题示范热点跟踪训练///////45///////三年真题考情1核心热点真题印证核心素养直线方程、定值问题2019·全国Ⅰ卷，19；2018·全国Ⅰ卷，19；2018·北京，19数学运算、逻辑推理椭圆方程、定点问题2020·全国Ⅰ卷，20；2020·全国Ⅲ卷，20；2019·北京，19；2017·全国Ⅰ卷，20数学运算、逻辑推理直线与椭圆2020·北京，20；2019·全国Ⅱ卷，19；2018·全国Ⅲ卷，20数学运算、逻辑推理直线与抛物线2020·全国Ⅱ卷，19；2019·全国Ⅲ卷，21；2019·北京，18；2018·全国Ⅱ卷，19数学运算、逻辑推理教材链接高考2

[试题评析]

1.问题涉及解析几何中最重要的一类题目：求曲线的方程，解决的方法都是利用曲线的几何性质．2．对于(1)给出的两点并不是普通的两点，而是长轴和短轴的端点，这就告诉我们要仔细观察、借助图形求解问题，(2)中条件给出a，b的值，但要讨论焦点的位置才能写出椭圆方程.

探究提高解

由已知可得b＝3.记半焦距为c，由|OF|＝|OA|可得c＝b＝3.又由a2＝b2＋c2，可得a2＝18.解

因为直线AB与以C为圆心的圆相切于点P，所以AB⊥CP.依题意，直线AB和直线CP的斜率均存在．消去y，可得(2k2＋1)x2－12kx＝0，因为P为线段AB的中点，点A的坐标为(0，－3)，整理得2k2－3k＋1＝0，解得k＝或k＝1.教你如何审题3圆锥曲线中的证明问题【例题】(2019·北京卷)已知抛物线C：x2＝－2py(p>0)经过点(2，－1)．

(1)求抛物线C的方程及其准线方程；

[自主解答]

解由抛物线C：x2＝－2py经过点(2，－1)得p＝2.

所以抛物线C的方程为x2＝－4y，其准线方程为y＝1.【例题】(2019·北京卷)已知抛物线C：x2＝－2py(p>0)经过点(2，－1)．

(2)设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y＝－1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点． 证明抛物线C的焦点为F(0，－1)． 设直线l的方程为y＝kx－1(k≠0)． 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x2＝－4.综上，以AB为直径的圆经过y轴上的定点(0，1)和(0，－3)．探究提高解依题意可设圆C的方程为x2＋y2＝b2，证明依题意可知直线l斜率存在，设l的方程为y＝k(x－2)，∵l与椭圆有两个交点，∴Δ>0，即2k2－1<0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AF，BF的斜率分别为k1，k2，∵F(1，0)，∴∠PFM＝∠PFB.满分答题示范4圆锥曲线中的定点、定值问题【例题】(12分)已知抛物线C：y2＝2px经过点P(1，2)．过点Q(0，1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N. (1)求直线l的斜率的取值范围；

[规范解答]

解

因为抛物线y2＝2px过点P(1，2)， 所以2p＝4，即p＝2.

故抛物线C的方程为y2＝4x.2′

由题意知，直线l的斜率存在且不为0.

设直线l的方程为y＝kx＋1(k≠0)．依题意Δ＝(2k－4)2－4×k2×1>0，解得k<1，又因为k≠0，故k<0或0<k<1.又PA，PB与y轴相交，故直线l不过点(1，－2)．从而k≠－3.所以直线l斜率的取值范围是(－∞，－3)∪(－3，0)∪(0，1)．6′

证明

设A(x1，y1)，B(x2，y2)．令x＝0，得点M的纵坐标为令x＝0，得点M的纵坐标为……求圆锥曲线的方程……联立直线和圆锥曲线的方程

……应用根与系数的关系用参数表示点的坐标……根据相关条件计算推证……明确结论解由题设得A(－a，0)，B(a，0)，G(0，1)．解得a＝3或a＝－3(舍去)．证明设C(x1，y1)，D(x2，y2)，P(6，t)．若t≠0，设直线CD的方程为x＝my＋n，由题意可知－3<n<3.可得3y1(x2－3)＝y2(x1＋3)． ①由①②可得27y1y2＝－(x1＋3)(x2＋3)，结合x＝my＋n，得(27＋m2)y1y2＋m(n＋3)(y1＋y2)＋(n＋3)2＝0. ③得(m2＋9)y2＋2mny＋n2－9＝0.代入③式得(27＋m2)(n2－9)－2m(n＋3)mn＋(n＋3)2(m2＋9)＝0.5热点跟踪训练解由题意，可设l的方程为y＝kx＋m(k≠0)，与椭圆C的方程联立，消去y可得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0，设P(x0，y0)，由判别式Δ＝0可得m2＝1＋2k2.证明设M(m，n)，则D(m，0)，N(m，－n)，由题设知m≠±2，且n≠0.所以△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.因为－1≤y≤1，解

设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，得(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)