《数学》复习人教A（新高考）-第4节　三角函数的图象与性质

第四章

第4节三角函数的图象与性质知识分类落实考点分层突破课后巩固作业内容索引///////123//////////////知识分类落实夯实基础回扣知识1知识梳理///////1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(π，－1)2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域RR值域R最小正周期奇偶性奇函数递增区间[2kπ－π，2kπ][－1，1][－1，1]2π2π

π奇函数偶函数[2kπ，2kπ＋π](kπ，0)x＝kπ1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)余弦函数y＝cosx的对称轴是y轴. (

) (2)正切函数y＝tanx在定义域内是增函数. (

) (3)已知y＝ksinx＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1. (

) (4)y＝sin|x|是偶函数. (

)

解析

(1)余弦函数y＝cosx的对称轴有无穷多条，y轴只是其中的一条.×××√(3)当k>0时，ymax＝k＋1；当k<0时，ymax＝－k＋1.2.下列函数中，是奇函数的是 (

) A.y＝|cosx＋1| B.y＝1－sinx C.y＝－3sin(2x＋π) D.y＝1－tanx

解析

选项A中的函数是偶函数，选项B，D中的函数既不是奇函数，也不是偶函数； 因为y＝－3sin(2x＋π)＝3sin2x， 所以是奇函数，选C.CC解析由题意及函数y＝sinωx的图象和性质可知，∴T＝π，∴ω＝2.故选A.A解析由题意，可得f(x)＝－cosx，ABC对于选项C，f(－x)＝－cos(－x)＝－cosx＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数，其图象关于直线x＝0对称，所以选项C正确，选项D错误.故选ABC.6.(2020·北京卷)若函数f(x)＝sin(x＋φ)＋cosx的最大值为2，则常数φ的一个取 值为______________________________________________________________.

解析

∵f(x)＝sin(x＋φ)＋cosx的最大值为2， 又sin(x＋φ)≤1，cosx≤1， 则sin(x＋φ)＝cosx＝1时，f(x)取得最大值2.考点分层突破题型剖析考点聚焦2解析法一要使函数有意义，必须使sinx－cosx≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0，2π]上y＝sinx和y＝cosx的图象，如图所示.考点一三角函数的定义域和值域///////自主演练解析法二利用三角函数线，画出满足条件的终边范围(如图阴影部分所示).所以定义域为3.函数y＝sinx－cosx＋sinxcosx的值域为________________________.

解析设t＝sinx－cosx， 则t2＝sin2x＋cos2x－2sinxcosx，4.已知函数f(x)＝2sinx＋sin2x，则f(x)的最小值是__________________.

解析

f′(x)＝2cosx＋2cos2x＝2cosx＋2(2cos2x－1)

＝2(2cos2x＋cosx－1)＝2(2cosx－1)(cosx＋1) ∵cosx＋1≥0， 又f(x)＝2sinx＋sin2x＝2sinx(1＋cosx)，1.求三角函数的定义域通常要解三角不等式(组)，解三角不等式(组)常借助三角函数线或三角函数的图象.2.求解三角函数的值域(最值)常见的几种类型：(1)形如y＝asinx＋bcosx＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)；(2)形如y＝asin2x＋bsinx＋c的三角函数，可先设sinx＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；(3)形如y＝asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c的三角函数，可先设t＝sinx±cosx，化为关于t的二次函数求值域(最值).(4)一些复杂的三角函数，可考虑利用导数确定函数的单调性，然后求最值.感悟升华解析

A项，y＝cos|2x|＝cos2x，最小正周期为π；B项，由图象知y＝|cosx|的最小正周期为π；考点二三角函数的周期性、奇偶性、对称性///////师生共研ABCC解析

∵函数f(x)为偶函数，感悟升华C【训练1】

(2)(2021·新高考8省联考)写出一个最小正周期为2的奇函数f(x)＝_______________________. 解析

基本初等函数中既为周期函数又为奇函数的函数为y＝sinx， ∴此题可考虑在正弦函数的基础上调整周期使其满足题意.sinπx(答案不唯一)考点三三角函数的单调性///////多维探究C∵x∈[0，π]，

DA因为y＝cosx在[0，π]上递减，1.求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y＝Asin(ωx＋φ)形式，再求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间，只需把ωx＋φ看作一个整体代入y＝sinx的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数.2.对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题利用特值验证排除法求解更为简捷.感悟升华A课后巩固作业提升能力分层训练3CCB图象，故③正确.故选B.解析对于A，由于f(x)＝tanx的最小正周期为π，所以A正确；对于B，函数f(x)＝tanx为奇函数，所以B正确；DB解析

f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin|x|＋|sinx|＝f(x)，ADf(x)在[－π，π]的图象如图所示，由图可知函数f(x)在[－π，π]只有3个零点，故C不正确；∵y＝sin|x|与y＝|sinx|的最大值都为1且可以同时取到，∴f(x)可以取到最大值2，故D正确.综上，选AD.又ω∈(1，2)，

②③∴f(x)为奇函数，不是偶函数，①是假命题，②是真命题.令sinx＝t，－1≤t≤1且t≠0，∴函数的值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)，∴函数的最小值不为2，即f(x)的最小值不为2.∴④是假命题.综上所述，所有真命题的序号是②③.令sinx＝t，－1≤t≤1且t≠0，∴函数的值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)，∴函数的最小值不为2，即f(x)的最小值不为2.∴④是假命题.综上所述，所有真命题的序号是②③.解如果所满足的三个条件是②③④.∵f(x)的周期T＝π，∴ω＝2，∴f(x)＝sin(2x＋φ)＋m，又sinφ＋m＝0，