排列组合基础知识讲座

排列组合基础知识讲座首先看一道简单的例题例1：用1、2、3、4四个数字组成数字不重复的二位数，可以有多少种组法？解答：题目的意思是从4个数字中随意选出2个数字，然后组成一个2位数，问一共可以组成多少个这样的2位数。假设我们随意选取1,2,可以组成12和21，虽然都是由1，2组成，但由于位置不同，仍然是两个不同的数字。由于和位置有关，所以这是排列问题。（注意：虽然题目问的是有多少种组法，但仍然属于排列问题）排列公式的定义如下也可写成P（n,r）其中n表示总共的元素个数，r表示进行排列的元素个数，！表示阶乘，例如6！=，5!=，但要特别注意1！=0！=1。假设n=5，r=3，则P（5,3）=在这个题目里，总共的元素个数是4，所以n=4，从所有元素中取出2个进行排列，所以r=2。根据公式P（4,2）=因此共有12种组法。下面我们一起来看考试当中出现的一个题目：例2.黄、白、蓝三个球，从左到右顺次排序，有几种排法?解答：假设我们已经找出了两种排列方法（黄、白、蓝）和（蓝、白、黄），可以发现虽然都是用的一样的球，但因为和位置有关，所以还是两种不同的排法。很明显这属于排列问题。在这里，总共的元素个数是3，所以n=3，从所有元素中取出3个进行排列，所以r=3。根据公式P（3,3）=（计算的时候注意0！=1）因此共有6种排法。如果我们把这个题目改一改，变成例3黄、白、蓝三个球，任意取出两个，对这两个球从左到右顺次排序，有几种排法?解答这仍然属于排列问题，只不过r变成了2。在这里，总共的元素个数是3，所以n=3，从所有元素中取出2个进行排列，所以r=2。根据公式P（3,2）=（计算的时候注意1！=1）因此还是有6种排法。下面我们这个题目再变一下例4黄、白、蓝三个球，任意取出两个，有几种取法?解答：假设我们第一次取出黄球，第二次取出白球，或者第一次取出白球，第二次取出黄球，可以发现虽然顺序不同，但都是同一种取法，即（黄，白）和（白，黄）是同一种取法。由于和取出的球的排列位置无关，因此这属于组合问题。组合公式的定义如下也可写成C（n,r）其中n表示总共的元素个数，r表示进行组合的元素个数，！表示阶乘，例如6！=，5!=，但要特别注意1！=0！=1。假设n=5，r=3，则C（5,3）=另外，为便于计算，还有个公式请记住例如C(6,2)=C(6,4)在例4里，总共的元素个数是3，所以n=3，从所有元素中任意取出2个进行组合，所以r=2。根据公式C（3,2）=（计算的时候注意1！=1）因此有3种取法。基础知识讲完后，我们进行一次随堂模拟考试，下面是公考中曾经出现过的题目考试题1.林辉在自助餐店就餐，他准备挑选三种肉类的一种肉类，四种蔬菜中的二种不同蔬菜，以及四种点心中的一种点心。若不考虑食物的挑选次序，则他可以有多少不同选择方法？解答：这里涉及到了解答排列组合问题中常用到一种方法：分步法。即把完成一件事情的过程分成几步，每一步的可供选择的方案数相乘就是总的可供选择的方案数。例如完成一件事情需要两步，第一步有2种选择，第二步有3种选择，如果不考虑完成顺序（即先完成第一步再完成第二步，或先完成第二步再完成第一步效果一样），则总的选择数为2乘3等于6。本题中，就餐分成三步，第一步挑选肉类，第二步挑选蔬菜，第三步挑选点心。在每一步的挑选中，由于挑选的物品是同一种类（例如从四种蔬菜中挑选两种，虽然种类不同，但挑出的仍然是蔬菜，与挑选时的顺序无关），所以每一步的挑选是组合问题。第一步的选择数为C(3,1)=，第二步的选择数为C(4,2)=第三步的选择数为C(4,1)=由于不考虑挑选食物的顺序，所以总共有种考试题2.将五封信投入3个邮筒，不同的投法共有（）解答：这个题也采用分步法。分成五步，第一步将第一封信投入邮筒，第二步将第二封信投入邮筒，……第五步将第五封信投入邮筒。在每一步中，每一封信都有三个邮筒的选择，即可选择数是3。由于结果与五封信的投递次序无关，所以共有考试题3：从编号为1-9的队员中选6人组成一个队，问有多少种选法？解答：这个题和例题1有相似处，但要注意队与队之间的区别只与组成队员有关，而与队员的排列顺序无关。例如，1,2,3,4,5,6号队员组成一队，不论他们怎么排列，123456和654321仍然是同一只队。因为和位置无关，所以这是组合问题。总共的元素个数是9，所以n=9，从所有元素中任意取出6个元素进行组合，所以r=6。根据公式C（9,6）=因此有84种取法。（注意：考试时只要求知道计算公式C（9,6），不要求具体计算）员行测排列组合问题的七大解题策略排列组合问题是历年公务员考试行测的必考题型，并且随着近年公务员考试越来越热门，国考中这部分题型的难度也在逐渐的加大，解题方法也趋于多样化。解答排列组合问题，必须认真审题，明确是属于排列问题还是组合问题，或者属于排列与组合的混合问题；同时要抓住问题的本质特征，灵活运用基本原理和公式进行分析，还要注意讲究一些策略和方法技巧。一、排列和组合的概念排列：从n个不同元素中，任取m个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。组合：从n个不同元素种取出m个元素拼成一组，称为从n个不同元素取出m个元素的一个组合。二、七大解题策略1.特殊优先法特殊元素，优先处理；特殊位置，优先考虑。对于有附加条件的排列组合问题，一般采用：先考虑满足特殊的元素和位置，再考虑其它元素和位置。例：从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有()(A)280种(B)240种(C)180种(D)96种正确答案：【B】解析：由于甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，所以翻译工作就是“特殊”位置，因此翻译工作从剩下的四名志愿者中任选一人有C(4,1)=4种不同的选法，再从其余的5人中任选3人从事导游、导购、保洁三项不同的工作有A(5,3)=60种不同的选法，所以不同的选派方案共有C(4,1)×A(5,3)=240种，所以选B。A(5,3)＝5×4×3=602.科学分类法问题中既有元素的限制，又有排列的问题，一般是先元素(即组合)后排列。对于较复杂的排列组合问题，由于情况繁多，因此要对各种不同情况，进行科学分类，以便有条不紊地进行解答，避免重复或遗漏现象发生。同时明确分类后的各种情况符合加法原理，要做相加运算。例：某单位邀请10为教师中的6为参加一个会议，其中甲，乙两位不能同时参加，则邀请的不同方法有()种。A.84B.98C.112D.140正确答案【D】解析：按要求：甲、乙不能同时参加分成以下几类：a。甲参加，乙不参加，那么从剩下的8位教师中选出5位，有C(8，5)=56种；b。乙参加，甲不参加，同(a)有56种；c。甲、乙都不参加，那么从剩下的8位教师中选出6位，有C(8，6)=28种。故共有56+56+28=140种。3.间接法即部分符合条件排除法，采用正难则反，等价转换的策略。为求完成某件事的方法种数，如果我们分步考虑时，会出现某一步的方法种数不确定或计数有重复，就要考虑用分类法，分类法是解决复杂问题的有效手段，而当正面分类情况种数较多时，则就考虑用间接法计数。例：从6名男生，5名女生中任选4人参加竞赛，要求男女至少各1名，有多少种不同的选法？A.240B.310C.720D.1080正确答案【B】解析：此题从正面考虑的话情况比较多，如果采用间接法，男女至少各一人的反面就是分别只选男生或者女生，这样就可以变化成C(11，4)-C(6，4)-C(5，4)=310。4.捆绑法所谓捆绑法，指在解决对于某几个元素要求相邻的问题时，先整体考虑，将相邻元素视作一个整体参与排序，然后再单独考虑这个整体内部各元素间顺序。注意：其首要特点是相邻，其次捆绑法一般都应用在不同物体的排序问题中。例：5个男生和3个女生排成一排，3个女生必须排在一起，有多少种不同排法？A.4240B.4320C.4450D.4480正确答案【B】解析：采用捆绑法，把3个女生视为一个元素，与5个男生进行排列，共有A(6，6)=6x5x4x3x2种，然后3个女生内部再进行排列，有A(3，3)=6种，两次是分步完成的，应采用乘法，所以排法共有：A(6，6)×A(3，3)=4320(种)。5.插空法所谓插空法，指在解决对于某几个元素要求不相邻的问题时，先将其它元素排好，再将指定的不相邻的元素插入已排好元素的间隙或两端位置。注意：a。首要特点是不邻，其次是插空法一般应用在排序问题中。b。将要求不相邻元素插入排好元素时，要注释是否能够插入两端位置。c。对于捆绑法和插空法的区别，可简单记为“相邻问题捆绑法，不邻问题插空法”。例：若有甲、乙、丙、丁、戊五个人排队，要求甲和乙两个人必须不站在一起，且甲和乙不能站在两端，则有多少排队方法？A.9B.12C.15D.20正确答案【B】解析：先排好丙、丁、戊三个人，然后将甲、乙插到丙、丁、戊所形成的两个空中，因为甲、乙不站两端，所以只有两个空可选，方法总数为A(3，3)×A(2，2)=12种。6.插板法所谓插板法，指在解决若干相同元素分组，要求每组至少一个元素时，采用将比所需分组数目少1的板插入元素之间形成分组的解题策略。注意：其首要特点是元素相同，其次是每组至少含有一个元素，一般用于组合问题中。例：现有8个完全相同的篮球全部分给3个班级，每班至少1个球，问共有多少种不同的分法？A.28B.21C.32D.48正确答案【B】解析：解决这道问题只需要将8个篮球分成三组，然后依次将每一组分别分给一个班级即可。因此问题只需要把8个篮球分成三组即可，于是可以将8个篮球排成一排，然后用两个板插到8个篮球所形成的空里，即可顺利的把8个篮球分成三组。因为每个班级至少分得一个篮球，因此两个板不能放在同一个空里且板不能放在两端，于是其放板的方法数是C(7，2)=21(种)。7.选“一”法，类似除法对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同进行排列，然后用总的排列数除以这几个元素的全排列数。这里的“选一”是说：和所求“相似”的排列方法有很多，我们只取其中的一种。例：五人排队甲在乙前面的排法有几种？A.60B.120C.150D.180正确答案【A】解析：五个人的安排方式有5!=120种，其中包括甲在乙前面和甲在乙后面两种情形(这里没有提到甲乙相邻不相邻，可以不去考虑)，题目要求之前甲在乙前面一种情况，所以答案是A(5,5)÷A(2,2)=60种。以上方法是解决排列组合问题经常用的，注意理解掌握。最后，行测中数量关系的题目部分难度比较大，答题耗时比较多，希望考试调整好答题的心态和答题顺序，在备考过程中掌握好技巧和方法，提高答题的效率。行测的五大模块有：常识判断、言语理解、数量关系、判断推理、资料分析中，数量关系有其特殊性，就是因为需要一些数学基础。这和其他四个模块不一样，对于其他四个模块，即使题目做错了，但至少拿到题目能动笔，华图公务员考试研究中心的专家在教学中发现，数量关系中有的题目考生完全不知道如何下手，特别是数学基础稍差的同学。而数学题型中，排列组合、容斥问题等无疑是相对来说最需要数学基础的部分了。首先，排列组合涉及到排列跟组合，也涉及到加法原理和乘法原理。排列和组合之间有关系：与顺序有关用排列，也就是A，与顺序无关用组合，即C；加法原理和乘法原理之间也有关系：分类用加法，分步用乘法。但加法原理、乘法原理和排列、组合之间没有关系，很多人觉得排列组合问题很难就是弄混了这一点。下面我们来详细讲解。举个例子：一个人从武汉到北京有3种交通工具可以选：飞机、火车、汽车，假设飞机有3种班次可以选，火车有3种班次可以选，汽车有2种班可以选，那么从武汉到北京共有多少选选择？答案应该是3+3+2=8种。因为这是在分类，将从武汉去北京的方式分为3类，选了其中一个就不能再选第2个，所以用加法原理；再举个例子：一个人从武汉坐火车去北京，由于没有直达，只能从南京转，即要先从武汉去南京，再从南京去北京，其中从武汉到南京有3种选择，从南京到北京有2种选择，则从武汉经过南京到北京有多少种选择？答案是3X2=6种。因为这是在分步，将从武汉到北京的过程分2步，第一步从武汉去南京，第二步从南京去北京，所以整体上是分步，用乘法原理。例1：林辉在自助餐厅就餐，他准备挑选三种肉类中的一种肉类，四种蔬菜中的两种不同蔬菜，以及四种点心中的一种点心。若不考虑食物的挑选次序，则他可以有多少种不同的选择方法？（）A.4B.24C.72D.144这个题目整体上来说是在分步，将林辉挑选食物分为3步：第一步挑肉，第二步挑蔬菜，第三步挑点心。所以整体上是在分步，用乘法原理。其中第一步挑肉，从四种肉种选一个，有4种选法；第二步挑蔬菜，从四种蔬菜里挑两种，有4x3/（2x1）=6种选法；第三步挑点心，从4种点心种选一个，有4种选法。整体上用乘法原理，所以共有4x6x3=72种选法，选C例2：有颜色不同的四盏灯，每次使用一盏、两盏、三盏或四盏，并按一定的次序挂在灯杆上表示信号，问共可表示多少种不同的信号？A.24种B.48种C.64种D.72种这个题目整体上来说是在分类，将用等表示信号分为四类：1、用一盏灯表示信号；2、用两盏灯表示信号；3、用三盏灯表示信号；4、用四盏灯表示信号。其中用一盏灯表示信号即从四盏灯里选一盏灯并排序，有四种信号；用两盏灯表示信号即从四盏灯中选两盏出来并排序，有4×3=12种信号；用三盏灯表示信号即从四盏灯中选三盏灯出来并排序，有4×3×2=24种方法；用四盏灯表示信号即从四盏灯中选四盏灯出来并排序，有4×3×2×1=24种方法。整体上来说是分类用加法原理，所以共有4+12+24+24=64种信号，选C。总的来说，排列组合问题虽然很难，但只要分清楚什么时候是分类什么时候是分步，并算清楚每一类或每一步的方法数（此时往往是用排列或者组合，注意是否与顺序有关），如果是分类再把每一类的方法数加起来，如果是分步就把每一步的方法数撑起来。遵循这样的解题思路，才能更准确的解决排列组合这一较难的专题。\o"转播至微博"排列组合问题是公务员考试当中必考题型，题量一般在一到两道，近年国考这部分题型的难度逐渐在加大，解题方法也越来越多样化，所以在掌握了基本方法原理的基础上，还要求我们熟悉主要解题思想。那首先什么排列、组合呢？排列：从n个不同元素中，任取m个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。组合：从n个不同元素种取出m个元素拼成一组，称为从n个不同元素取出m个元素的一个组合。解答排列组合问题，首先必须认真审题，明确是属于排列问题还是组合问题，或者属于排列与组合的混合问题，其次要抓住问题的本质特征，灵活运用基本原理和公式进行分析，同时还要注意讲究一些策略和方法技巧。下面介绍几种常用的解题方法和策略。解决排列组合问题有几种相对比较特殊的方法。下面通过例题逐个掌握：一、相邻问题---捆绑法

不邻问题---插空法对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排好，再将不相邻元素在已排好的元素之间及两端空隙中插入即可。【例题1】一张节目表上原有3个节目，如果保持这3个节目的相对顺序不变，再添进去2个新节目，有多少种安排方法？

A.20

B.12

C.6

D.4【答案】A。【解析】首先，从题中之3个节目固定，固有四个空。所以一、两个新节目相邻的的时候：把它们捆在一起，看成一个节目，此时注意：捆在一起的这两个节目本身也有顺序，所以有：C(4，1)×2=4×2=8种方法。二、两个节目不相邻的时候：此时将两个节目直接插空有：A(4，2)=12种方法。综上所述，共有12+8=20种。二、插板法一般解决相同元素分配问题，而且对被分成的元素限制很弱(一般只要求不等于零)，只对分成的份数有要求。【例题2】把20台电脑分给18个村，要求每村至少分一台，共有多少种分配方法？A.190

B.171

C.153

D.19【答案】B。【解析】此题的想法即是插板思想：在20电脑内部所形成的19个空中任意插入17个板，这样即把其分成18份，那么共有：C(19，17)=C(19，2)=171种。三、特殊位置和特殊元素优先法对有限制的排列组合问题中的特殊元素或特殊位置优先考虑。【例题2】从6名运动员中选4人参加4×100米接力，甲不跑第一棒和第四棒的参赛方案各有多少种？A.120

B.240

C.180

D.60【答案】B。【解析】方法一：特殊位置优先法：首先填充第一棒，第一棒共有5个元素可供选择，其次第4棒则有4个元素可以选择；然后第2棒则有4个元素可以选择，第3棒则有3个元素可以选择。则共有5×4×4×3=240种。方法二：特殊元素优先法：首先考虑甲元素的位置第一类，甲不参赛有A(5,4)=120种排法；第二类，甲参赛，因只有两个位置可供选择，故有2种排法；其余5人占3个位置有A(5,3)=60种占法，故有2×60=120种方案。所以有120+120=240种参赛方案。四、逆向考虑法对于直接从正面算比较复杂的排列、组合题，我们就要学会间接的方法。正方体8个顶点中取出4个，可组成多少个四面体？A.70

B.64

C.61

D.58【答案】D。【解析】所求问题的方法数=任意选四点的组合数-共面四点的方法数，共C(8，4)-12=70-12=58个。五、分类法解含有约束条件的排列组合问题，应按元素性质进行分类，按事情发生的连续过程分步，保证每步独立，达到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏。【例题3】五个人排成一排，其中甲不在排头，乙不在排尾，不同的排法有A.120种

B.96种

C.78种

D.72种

【答案】C。【解析】由题意可先安排甲，并按其分类讨论：1)若甲在末尾，剩下四人可自由排，有A(4，4)=24种排法；2)若甲在第二，三，四位上，则有3×3×3×2×1=54种排法，由分类计数原理，排法共有24+54=78种，选C。专家点评：解排列与组合并存的问题时，一般采用先选(组合)后排(排列)的方法解答。解决一道排列、组合提的方法很多，但我们必须选择一种最快做有效的解题方法。这就要求我们准确掌握各种解题方法，能迅速的判断出哪种方法最适合解答该题。下面我们为考生准备5道习题，请考生们注意选