第9章 线性动态电路的复频域分析

第9章线性动态电路的复频域分析9.1拉普拉斯变换的定义9.2拉普拉斯变换的基本性质

9.3拉普拉斯反变换

9.4复频域中的电路定律和电路模型

9.5线性动态电路的复频域分析

本章主要内容拉普拉斯变换及其与电路分析有关的性质；拉普拉斯反变换的方法；KCL、KVL和VCR的运算形式；运算阻抗、运算导纳及运算电路；拉普拉斯变换在线性电路中的应用。直流激励电阻电路直流激励低阶动态电路正弦激励动态电路稳态响应经典法(时域分析法)经典法(时域分析法)列解线性代数方程列解线性微分方程变量时域形式的KVL、KCL和VCR相量法(频域分析法)列解相量为变量的线性代数方程回顾：变量初始条件的确定非正弦周期激励动态电路谐波分析法(频域分析法)相量变换变量频域形式的KVL、KCL和VCR激励的傅立叶级数展开任意激励动态电路列解相量为变量的线性代数方程电路特征分析方法方程形式出发点？？？得时域响应表达式××建立含微积分的电路方程(时域分析过程)任意激励作用下的线性电路拉氏正变换运算电路模型用线性直流电路的分析方法建立复频域形式电路方程得复频域响应的象函数拉氏反变换9.1拉普拉斯变换的定义及性质9.1.1拉普拉斯变换的定义F(s)称为f(t)的象函数，用大写字母表示，如I(s)、U(s)。f(t)称为F(s)的原函数，用小写字母表示，如i(t),u(t)。f(t)与F(s)一一对应。f(t)是定义在[0,∞)区间的函数，其拉氏变换式定义为f(t)的拉氏变换可简写为：1.拉氏变换的定义如果存在有限常数M和c使函数f(t)满足：总可以找到一个合适的s值使上式积分为有限值，即f(t)的拉氏变换式F(s)总存在。2.象函数F(s)存在的条件：应用拉氏变换进行电路分析称为电路的复频域分析法，又称运算法。(2)单位冲激函数的象函数【例9-1】求以下函数的象函数：(1)单位阶跃函数的象函数(2)单位冲激函数的象函数(3)指数函数的象函数（4）单位斜坡函数的象函数(1)单位阶跃函数的象函数解：(3)指数函数的象函数（4）单位斜坡函数的象函数常用的拉氏变换表见教材表9-1。常用函数的拉氏变换表原函数f(t)象函数F(s)原函数f(t)象函数F(s)A(t)Ae–tcos(t)s+(s+

)2+

2A(t)A/ste–t(s+

)21Ae–ts+

Ats211–e–ts(s+)

sinh(t)s2–

2

sin(t)s2+

2

cosh(t)s2–

2scos(t)s2+

2

s(1–t)e–t(s+

)2ssin(t+)s2+

2ssin+cost221s31cos(t+)s2+

2scos+sin

tnn！

1sn+11e–tsin(t)(s+

)2+

2

tne–tn！

1(s+

)n+119.1.2拉普拉斯变换的性质1.线性性质若则证明：【例9-2】利用线性性质求和的象函数。解：

因为所以同理可得【例】利用线性性质求的象函数。解：

2.微分性质若：则：证明：若

足够大0推广：解：

【例9-3】

已知，应用微分性质求的象函数。

各阶导数【例9-4】利用微分的性质求函数的象函数。由于所以解：

3.积分性质则：设：【例9-5】

利用积分性质求下列函数的象函数。

解：（1）（2）（3）解：

将上式各项进行拉普拉斯变换【例】用拉普拉斯变换法求电感L通过电阻R放电电路中的电感电流。设已知电感电流的原始值为电流初始值为由表9-1可知4.时域延迟性质设：则：证明：令【例9-6】f(t)的波形如图所示。求其象函数。解：

由拉氏变换的线性性质和时域延迟性质例：例：求矩形脉冲的象函数解根据延迟性质求三角波的象函数解TTf(t)o1Ttf(t)o5.频域位移性质设：则：证明：解：的原函数。【例9-7】利用复频域平移性质求和。9.2拉普拉斯反变换的部分公式展开法

拉普拉斯反变换的定义由到的变换称为拉普拉斯反变换

简写由象函数求原函数的方法：(1)利用反变换的定义公式(2)简单形式的F(s)查拉氏变换表(3)部分分式展开法，或称分解定理。把F(s)分解为简单项的组合部分分式展开法部分分式展开法象函数的一般形式：把F(s)分解成若干个可以在拉氏变换表中找到的简单项之和的方法称为部分分式展开法（分解定理）。真分式（1）当为真分式时，需对分母多项式作因式分解，即求D(s)=0时的根。其根可是单根、共轭复根和重根。（2）常数，其原函数为Aδ(t)1）利用部分分式可将F(s)分解为：K1、K2、‥Kn待定系数原函数的一般形式：

待定系数的确定：方法1：方法2：求极限的方法【例9-8】求象函数对应的原函数。解：因为的根为

所以可分解为方法1：根据求出各待定系数为方法2：根据求出各待定系数为

则有故得原函数为【例】求象函数对应的原函数。解：

方法1方法2【例9-9】求象函数对应的原函数。解：分母的最高次幂项系数（

）不等于1。因此先将分子和分母都除以，得

所以可分解为求出各待定系数为

【例】求象函数对应的原函数。解：分母的最高次幂项系数不等于1。的根为，2）有共轭复根设一对共轭复根为：K1,K2也是一对共轭复数【例9-10】已知象函数，求其原函数。

解：

的根为，3）D(s)=0有重根设其具有三重根在上式两边同时乘以

对(1)式两边对s求导一次，得：对(1)式两边对s求导两次，得：【例9-11】求象函数的原函数。

解：将分解成查表可得出相应的原函数

【例9】求象函数的原函数。

解：

小结1.n=m时将F(s)化成真分式和多项式之和由F(s)求f(t)的步骤：2.求真分式分母的根，确定分解单元3.将真分式展开成部分分式，求各部分分式的系数。4.对每个部分分式和多项式逐项求拉氏反变换。9.3复频域中的电路定律和电路模型

动态电路的复频域分析有两种思路先在时域内列出动态电路的微分方程，然后对微分方程进行拉普拉斯变换，得到复频域的代数方程，求解该代数方程，得到响应的象函数，再利用拉氏反变换得到响应的时间函数。先对电路定律和元件的约束关系进行拉氏变换，得到他们的复频域形式，建立电路的复频域模型（即运算电路），列出电路的复频域代数方程，求出响应的象函数，经过拉氏反变换求得时域响应。电路定律的运算形式：把时间函数变换为对应的象函数9.3.2电路元件的复频域分析时域电路模型运算电路模型1、电阻9.3.1

基尔霍夫定律的复频域形式2、电容元件两边进行拉氏变换或：两边进行拉氏变换初始状态引起的附加电流源初始状态引起的附加电压源3.电感元件两边进行拉氏变换或：两边进行拉氏变换初始状态引起的附加电流源初始状态引起的附加电压源4、互感元件自感电压自感附加电压源互感电压互感附加电压源5、RLC串联元件设电感初始电流为，电容初始电压为进行拉式变换：运算阻抗运算导纳零初始条件下——运算形式的欧姆定律6、复频域电路模型【例9-12】

将电路中所有电流、电压和激励等时间函数均改用它们的象函数表示，电路元件均用其复频域模型表示，得到的电路图称为运算电路图或复频域模型。电路如图（a）所示，开关闭合前线路已达稳态，t=0时将S闭合，画出其运算电路图。解：

对应的运算电路图如图（b）所示【例】开关闭合前线路已达稳态，t=0时将S闭合，画出其运算电路图。解：

对应的运算电路图如图所示解：【例9-13】已知若原来电路已达稳态，时闭合开关S。画相应的运算电路。

注意，开关S闭合后，所以受控源电压为零，相当于短路。9.4线性动态电路的复频域分析

计算步骤：1.由换路前的电路计算uc(0-),iL(0-)。2.画运算电路模型，注意运算阻抗的表示和附加电源的作用。3.应用电路分析方法求象函数。4.反变换求原函数。【例9-14】如图所示,电路原处于稳态。t=0时开关S闭合，试用运算法求解换路后的电流，并画出运算电路图。

画出运算电路如图所示

解：由网孔电流法：设网孔电流为求其反变换

【例9-15】图示电路中，已知，原电路已处于稳态，时闭合开关S，试求。

解：（1）求和

（2）求

画出运算电路由节点电压法可知

（3）求

对上式取拉氏反变换得

【例1】在开关S闭合前已处于稳态，试用运算法求uL(t)。解：（1）求和。（2）求。画出运算电路（3）求。例2：如图2-1所示电路，当开关K闭合时已处于直流稳态，t=0时，开关K断开，试用运算法求t≥0时的电容电压uC(t)，并画出其运算电路。图2-2所示电路为s域电路模型1/sC=5000/s由结点电压法UC(s)=U1(s)同理：k2=-26.67解：例3：如图所示,电路原处于稳态。t=0时将开关S断开，试用运算法求解换路后，并画出运算电路图。运算电路如图1所示

t

0由KVL定律解：例4：图示电路原已稳定。试求换路后的(1)复频域电路；(2)i(t)。解：(1)i1(0

)=2Ai2(0)=0

复频域电路如图：

(2)由KVL定律

本章小结运用拉普拉斯变换法(运算法)求解电路问题和运用相量法求解正弦稳态电路的基本思想是类似的，如下表所示。相量法运算法正弦量相量

(相量模型)原函数象函数

(运算模型)线性代数方程(以相量为变量)线性代数方程(以象函数为变量)相量正弦量

(一定已知)象函数原函数

(拉氏反变换)将电路中的非零独立初始条件考虑成附加电源后，电路方程(KCL和KVL，电路