高等数学教程　下册　范周田 第4版 习题详解汇 习题11

习题11.1(A)组设有一平面薄板（不计其厚度），占有平面的闭区域，薄板的面密度为在上连续，试用二重积分表示该薄板的质量。解：薄板质量。根据二重积分的几何意义,确定下列积分值,其中解：表示半径为的上半球体积。 比较下列各组积分值的大小(1)与其中是由圆周所围成．解：设则有，因此在上恒有，则由二重积分得比较性质有。(2),及其中是由直线和所围成．解：时，，则因此由二重积分得比较性质有。估计下列各积分的值(1),其中解：当时，，于是被积函数满足则由估值定理得，即。(2),其中解：在区域D上，，D的面积则由估值定理。习题11.2(A)组1.画出下列积分的区域，并按两种不同的次序,将二重积分化为二次积分,其中积分区域是:(1)由抛物线与直线所围成。解：交点为与先对积分，表示为—区域：于是先对，表示为—区域：于是。(2)由轴和左半圆所围成。解：先对积分，表示为—区域：于是先对积分，表示为—区域：于是(3)由直线及曲线所围成。解：分别联立得交点为先对积分，表示为—区域：于是先对积分，表示为—区域：于是2.交换下列二次积分次序:(1)解：积分区域—区域化为—区域，于是。(2)解：积分区域—区域化为—区域，于是。(3)解：积分区域—区域化为—区域，于是。(4)解：积分区域—区域化为—区域，于是。(5)解：积分区域—区域解方程得交点坐标得化为型积分区域，于是。(6)解：积分区域—区域化为—区域，于是3.利用被积函数的奇偶性及区域的对称性考察下列积分之间的关系：(1)与，其中，解：关于轴对称，为偶函数，则。(2)与，其中，解：(3)与，其中是以为顶点的三角形区域，是在第一象限的部分。解：记在直线上方和下方部分分别为和。注意到关于轴对称，而被积分函数是的奇函数，有又，关于轴对称，而被积分函数是的偶函数，有4.计算下列二重积分(1),其中是由和所围成。解：由对称性得则。(2),其中为。解：(3),其中为。解：(4)，其中是以为顶点的三角形区域。解：(5),其中是由和所围成。解：。(6),其中是由和轴所围成的右半闭区域。解：。(7),其中是以为顶点的矩形区域。解：。(8),其中。解：(9),其中是由和所围成。解：(10),其中是由直线及所围成。解：(11),其中是由直线及所围成。解：。(12),其中是由。解：由对称性得其中为在第一象限的区域。5.画出下列二次积分区域的图形,并化为极坐标形式的二次积分(1)解：令，积分区域则。(2)解：积分区域则。(3)解：积分区域则。(4)解：积分区域则。(5)解：积分区域则。(6)解：积分区域则。6.利用极坐标计算下列二重积分(1)解：积分区域则=3π(2),其中为。解：积分区域则。(3),其中为。解：积分区域则。(4),其中为及所围。解：积分区域则。7.计算下列二重积分(1),其中是圆所围成的区域。解：积分区域则=π4(2),其中为。解：积分区域则。(3),其中是由直线,及曲线所围成的区域。解：积分区域则。(4),其中是由直线,,及所围成的区域。解：D1是直线y=x,y=-x,及y=1围成的区域，D2是直线y=x,所以。(5),其中为圆周及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域。解：。(6),其中是由直线和直线所围成的区域。解：8.求由下列曲线所围成的图形的面积(1)曲线与所围区域。解：由对称性得(2)位于圆周的内部及心脏线的外部所围区域。解：，由对称性得9.设函数f1(x),f2(y)连续,证明：,其中为。证明：10．设函数f(x)连续证明：解：将积分区域换成Y型。(B)组1.设在上连续,利用二重积分证明。证明：得证。2*.利用二重积分的换元法计算下列二重积分(1),其中是由直线和直线所围成的区域。解：令(2),其中是由所围成的区域。解：，令则。习题11．3(A)组1．将三重积分化为直角坐标系下的三次积分，其中积分域分别是：(1)由锥面与平面及三个坐标面围成的区域。解：积分区域则原式。(2)由柱面及平面,所围成的区域。解：在面的投影为则原式。(3)由旋转抛物面与抛物柱面及平面所围成的区域。解：在面的投影为则原式。(4)由曲面与所围成的区域。解：令，得在面的投影为则原式。2．设有一物体，占有空间闭区域，该物体在点的密度为，试计算该物体的质量。解：由题意得，质量3．在直角坐标系下计算下列三重积分:(1),其中．解：(2),其中是由曲面及平面和所围成的区域．解：原式。(3),其中是由球面及三个坐标面所围成的在第一象限内的区域．解：原式。(4),其中是由平面和所围成的四面体．解：原式(5),其中是由抛物柱面及平面所围成的区域．解：原式(6),其中是由曲面及平面所围成的区域．解：由对称性得原式(7),其中是由锥面,及平面所围成的区域．解：原式(8),其中是由锥面及平面所围成的区域．解：原式4．利用柱坐标计算下列三重积分(1),其中是由柱面及平面,所围成的第二卦限内的区域．解：由题得原式。(2),其中是由与所围成的区域．解：交面在平面上的投影为原式(3),其中是由与所围成的区域．解：在平面投影为变型原式(4),其中是由曲线绕与轴旋转一周形成的曲面与所围成的区域．解：在平面的投影为，旋转曲面为原式。5．已知积分区域是由,所确定,试将三重积分分别表示为直角坐标、柱坐标和球坐标系中的累次积分．解：面投影为直角坐标为柱坐标为球坐标为。(B)组1．利用球坐标计算下列三重积分：(1),其中是由球面所围成的区域．解：在球坐标下原式(2),其中是球面在第一挂线内所围成的区域．解：原式(3),其中是实心球和锥的公共部分．解：原式(4),其中是由所确定．解：原式2.设函数在上连续,试证明其中,为球体．证明：原式=。3.设={(x,y,z)|axb,cyd,ezf},且函数f(x),g(y),h(z)连续,则解：左式。习题11.4(A)组求由下列曲面所围成的立体的体积．(1)解：(2)解：(3)解：(4)解：。2.求两个底半径相等的正交圆柱体的公共部分的体积．解：如图建立直角坐标系，设公共部分的体积为V，两个圆标体方程为：则。求平面被三个坐标面所割出部分的面积．解：求圆锥面z=x2+y解：5．求圆柱面在第一卦限中被平面所截下部分的曲面面积．解：其中则。6．求直线由至的一段绕轴旋转所得的旋转曲面的面积．解：，其中方程为则则7．设密度函数为,求由所围成的三角形薄片的质量．解：8．(1)求由曲线所围成的均匀薄片的重心．解：设重心坐标为，密度为。(2)求由曲面及平面所围成的均匀物体的重心．解：由对称性知则重心坐标为。9．若球体:中各点的密度与坐标原点的距离平方成反比,求（1）该球体的质量。解：（为常数）。（2）该物体的重心位置。解：设重心位置为。10．一个均匀薄片由抛物线与围成,求它对x轴,y轴的转动惯量．解：对x轴的转动惯量为。11．设有一均匀物体（密度为常数）占有空间区域是由曲面和平面所围成的，求该物体的体积。解：。该物体的重心。解：设重心坐标为，由对称性得。该物体关于轴的转动惯量。解：。(B)组1.求抛物面z=x2+y2+1上任意一点P0(x0,y0)处的切平面与抛物面z=x2+y2所围立体的体积.解：切平面方程为。2.设有一半径为R的球形物体,其内任意一点P处的体密度为r=|PP0|,其中P0为球心,求该物体的质量.解：以球心为原点建立坐标系，则球面方程为，密度函数为。球体质量综合习题11(A)组1．计算下列各题(1)设区域,求。解：。(2)设是有界闭区域上的连续函数,求解：则。(3)设为连续函数,，求解：将积分区域化为Y型区域：则。(4)设为连续函数,其中是由,所围成,求解：则。2．将化为直角坐标系下的二重积分。解：，，则原式。3.计算下列各题(1)，其中是由所围成的区域。解：。(2)。解：被积区域原式。(3),其中。解：由对称性得原式。(4),其中。解：由对称性，原式(5)计算，其中D是由直线x=2,y=0,y=2及曲线所围成的平面区域.解：。(6)计算二重积分，其中积分区域D={(x,y)|x2+y2}.解：。(7),其中是由及所围成区域。解：。(8)