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综合习题7（A）组1．求以下列函数为通解的微分方程.(1)解：特征根为，则特征方程为则微分方程为(2)解：方程有一对共轭的复根为，则特征方程为则所求微分方程为(3)解：为特征方程的三重根，因此特征方程为则所求微分方程为(4)解：为齐次方程的通解，为非齐次方程的特解。齐次方程对应的特征根为，则特征方程为齐次方程为设非齐次方程为，将代入得即所求微分方程为。求解下列微分方程的通解或特解(1),解：即积分后得将代入后得即化简后得。(2),解：变型积分后得将代入得即(3),解：由题通解为将代入得即。(4)解：设，则故则即积分得解得则有解得(5)解：先解齐次方程其特征方程为，解得通解为令代入原方程得即。设为特解，则即为原方程的一个特解因此为方程的特解。(6)解：先解齐次方程其特征方程为，解得则通解为设为方程的特解，代入方程得为方程的一个特解则通解为。（B）组1.设方程的一个特解为,试确定的值,并求该方程的解。解：代入方程得即解得方程为齐次方程的特征方程为，解得通解为令代入原方程得即解得因此为原方程的一个特解，则为方程的通解。2设函数连续,且满足方程，求。解：方程两边同时求导可得：即得，令则：，解得，故3设连续函数满足方程，求。解：对方程两边求导得再求导有，可知齐次方程为，解得设则，为方程的一个解则为原方程的一个特解。又，则，即4设对任意,曲线上的点处的切线在轴上的截距等于,试求的一般表达式。解：在点处的切线方程为得轴上的截距为由题知对x求导得即，故（为任意常数）。已知函数的图像在原点与曲线相切，并满足方程求函数。解：对方称求导得齐次方程的特征方程为，解得通解为设则得为一个特解则为原方程的一个特解因此为原方程的通解将代入得则设是微分方程的一个解，求该方程满足条件的特解。解：将代入方程有解得，则方程为，即解齐次方程，即得解得则为原方程的通解。由知，解得则某车间体积为12000，开始时空气中含有0.1%的CO2，为了降低车间内空气中CO2的含量，用一台风量为2000的鼓风机通入含0.03%CO2的新鲜空气，同时以同样的风量将混合均匀的空气排出，问鼓风机开动6min后，车间内的CO2百分比降到多少？解：设t时刻车间内二氧化碳的含量为y(t),则y(0)=12,得t=6时，微分方程的哪一条积分曲线在原点处有拐点,且以为它的切线？解：方程的通解为，因为其在原点有拐点，故且，可知某湖泊的水量为,每年排入湖泊内含有污物的污水量为,流入湖泊内不含的水量为,流出湖泊水量为,已知1999年底,湖中的含量为,超过国家指定标准,为了治理污染,从２０００年起限定排入湖泊中含污水的浓度不超过，问至

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