2021高考数学一轮复习课后限时集训43空间图形的基本关系与公理理

PAGE课后限时集训43空间图形的基本关系与公理建议用时：45分钟一、选择题1．a，b，c是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是()A．若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面B．若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交C．若a∥b，则a，b与c所成的角相等D．若a⊥b，b⊥c，则a∥cC[若直线a，b异面，b，c异面，则a，c相交、平行或异面；若a，b相交，b，c相交，则a，c相交、平行或异面；若a⊥b，b⊥c，则a，c相交、平行或异面；由异面直线所成的角的定义知C正确．故选C.]2．给出下列说法：①梯形的四个顶点共面；②三条平行直线共面；③有三个公共点的两个平面重合；④三条直线两两相交，可以确定1个或3个平面．其中正确的序号是()A．① B．①④C．②③ D．③④B[①显然正确；②错误，三条平行直线可能确定1个或3个平面；③若三个点共线，则两个平面相交，故③错误；④显然正确．故选B.]3．如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是()ABCDD[A，B，C图中四点一定共面，D中四点不共面．]4.如图所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C∉l，则平面ABC与平面β的交线是()A．直线ACB．直线ABC．直线CDD．直线BCC[由题意知，D∈l，lβ，所以D∈β，又因为D∈AB，所以D∈平面ABC，所以点D在平面ABC与平面β的交线上．又因为C∈平面ABC，C∈β，所以点C在平面β与平面ABC的交线上，所以平面ABC∩平面β＝CD.]5．(2019·陕西省第三次联考)已知三棱柱ABC­A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面直线AB与CC1A.eq\f(\r(3),4) B.eq\f(3,4)C.eq\f(\r(5),4) D.eq\f(5,4)B[如图，设BC的中点为D，连接A1D、AD、A1B，易知∠A1AB即为异面直线AB与CC1所成的角(或其补角)．设三棱柱ABC­A1B1C1则AD＝eq\f(\r(3),2)，A1D＝eq\f(1,2)，A1B＝eq\f(\r(2),2)，由余弦定理，得cos∠A1AB＝eq\f(A1A2＋AB2－A1B2,2A1A·AB)＝eq\f(1＋1－\f(1,2),2×1×1)＝eq\f(3,4).故选B.]二、填空题6．四条线段顺次首尾相连，它们最多可确定________个平面．4[首尾相连的四条线段每相邻两条确定一个平面，所以最多可以确定4个平面．]7．在四面体ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点．若BD，AC所成的角为60°，且BD＝AC＝1，则EF的长为________．eq\f(1,2)或eq\f(\r(3),2)[如图，取BC的中点O，连接OE，OF.因为OE∥AC，OF∥BD，所以OE与OF所成的锐角(或直角)即为AC与BD所成的角，而AC，BD所成角为60°，所以∠EOF＝60°或∠EOF＝120°.当∠EOF＝60°时，EF＝OE＝OF＝eq\f(1,2).当∠EOF＝120°时，取EF的中点M，则OM⊥EF，EF＝2EM＝2×eq\f(\r(3),4)＝eq\f(\r(3),2).]8．(2019·长白山模拟)下列命题中不正确的是________．(填序号)①没有公共点的两条直线是异面直线；②分别和两条异面直线都相交的两直线异面；③一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一条直线不可能平行；④一条直线和两条异面直线都相交，则它们可以确定两个平面．①②[没有公共点的两直线平行或异面，故①错；命题②错，此时两直线有可能相交；命题③正确，因为若直线a和b异面，c∥a，则c与b不可能平行，用反证法证明如下：若c∥b，又c∥a，则a∥b，这与a，b异面矛盾，故c与b不平行；命题④正确，若c与两异面直线a，b都相交，可知，a，c可确定一个平面，b，c也可确定一个平面，这样，a，b，c共确定两个平面．]三、解答题9．在正方体ABCD­A1B1C1D1(1)求AC与A1D所成角的大小；(2)若E，F分别为AB，AD的中点，求A1C1与EF[解](1)如图，连接B1C，AB1，由ABCD­A1B1C1D1是正方体，易知A1D∥B1C，从而B1C与AC所成的角就是AC与A因为AB1＝AC＝B1C所以∠B1CA＝60°.即A1D与AC所成的角为60°.(2)连接BD，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，AC⊥BD，AC∥A1C因为E，F分别为AB，AD的中点，所以EF∥BD，所以EF⊥AC.所以EF⊥A1C1.即A1C1与10.如图所示，四边形ABEF和ABCD都是梯形，BC綊eq\f(1,2)AD，BE綊eq\f(1,2)FA，G，H分别为FA，FD的中点．(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？[解](1)证明：由已知FG＝GA，FH＝HD，可得GH綊eq\f(1,2)AD.又BC綊eq\f(1,2)AD，∴GH綊BC.∴四边形BCHG为平行四边形．(2)∵BE綊eq\f(1,2)AF，G为FA的中点，∴BE綊FG，∴四边形BEFG为平行四边形，∴EF∥BG.由(1)知BG綊CH，∴EF∥CH，∴EF与CH共面．又D∈FH，∴C，D，F，E四点共面．1．已知A，B，C，D是空间四点，命题甲：A，B，C，D四点不共面，命题乙：直线AC和BD不相交，则甲是乙成立的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件A[若A，B，C，D四点不共面，则直线AC和BD不共面，所以AC和BD不相交；若直线AC和BD不相交，当直线AC和BD平行时，A，B，C，D四点共面，所以甲是乙成立的充分不必要条件．]2．在正三棱柱ABC­A1B1C1中，AB＝eq\r(2)BB1，则AB1与BC1所成角的大小为()A．30° B．60°C．75° D．90°D[将正三棱柱ABC­A1B1C1补为四棱柱ABCD­A1B1C1D1，连接C1D，BD，则C1D∥B1A，∠BC1D为所求角或其补角．设BB1＝eq\r(2)，则BC＝CD＝2，∠BCD＝120°，BD＝2eq\r(3)，又因为BC1＝C1D＝eq\r(6)，所以∠BC1D＝90°.]3．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD.以上四个命题中，正确命题的序号是________．①③[如图，①AB⊥EF，正确；②显然AB∥CM，所以不正确；③EF与MN是异面直线，所以正确；④MN与CD异面，并且垂直，所以不正确，则正确的是①③.]4．(2019·上海高考改编)如图，在正三棱锥P­ABC中，PA＝PB＝PC＝2，AB＝BC＝AC＝eq\r(3).(1)若PB的中点为M，BC的中点为N，求AC与MN夹角的余弦值；(2)求P­ABC的体积．[解](1)∵M，N分别为PB，BC的中点，∴MN∥PC，则∠PCA为AC与MN所成角，在△PAC中，由PA＝PC＝2，AC＝eq\r(3)，可得cos∠PCA＝eq\f(PC2＋AC2－PA2,2PC·AC)＝eq\f(3,2×2×\r(3))＝eq\f(\r(3),4)，∴AC与MN夹角的余弦值为eq\f(\r(3),4).(2)过P作底面垂线，垂足为O，则O为底面三角形的中心，连接AO并延长，交BC于N，则AN＝eq\f(3,2)，AO＝eq\f(2,3)AN＝1.∴PO＝eq\r(22－12)＝eq\r(3).∴VP­ABC＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\r(3)×eq\f(3,2)×eq\r(3)＝eq\f(3,4).1.在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑ABCD中，AB⊥平面BCD，且AB＝BC＝CD，则异面直线AC与BD所成的角的余弦值为()A.eq\f(1,2) B．－eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),2) D．－eq\f(\r(3),2)A[如图所示，分别取AB，AD，BC，BD的中点E，F，G，O，连接EF，FO，OG，GE，GF，则EF∥BD，EG∥AC，FO⊥OG，∴∠FEG或其补角为异面直线AC与BD所成的角．设AB＝2a，则EG＝EF＝eq\r(2)a，FG＝eq\r(a2＋a2)＝eq\r(2)a，∴△EFG是等边三角形，∴∠FEG＝60°，∴异面直线AC与BD所成角的余弦值为eq\f(1,2)，故选A.]2.如图所示，正方形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，将此正方形沿EF折成直二面角后，异面直线AF与BE所成角的余弦值为________．eq\f(1,2)[如图，取BC的中点H，连接FH，AH，所以BE∥FH，所以∠AFH即为异面直线AF与BE所成的角．过A作AG⊥EF于G，则G为EF的中点．连接HG，HE，则△HGE是直角三角形．设正方形边长为2，则EF＝eq