2021高考数学一轮复习课后限时集训27正弦定理余弦定理理

PAGE课后限时集训27正弦定理、余弦定理建议用时：45分钟一、选择题1．已知△ABC中，A＝eq\f(π,6)，B＝eq\f(π,4)，a＝1，则b等于()A．2 B．1C.eq\r(3) D.eq\r(2)D[由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，得eq\f(1,sin\f(π,6))＝eq\f(b,sin\f(π,4))，所以eq\f(1,\f(1,2))＝eq\f(b,\f(\r(2),2))，所以b＝eq\r(2).]2．(2019·成都模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若asinBcosC＋csinBcosA＝eq\f(1,2)b，且a＞b，则B＝()A.eq\f(π,6) B.eq\f(π,3)C.eq\f(2π,3) D.eq\f(5π,6)A[由正弦定理得，sinAsinBcosC＋sinCsinBcosA＝eq\f(1,2)sinB，因为sinB≠0，所以sinAcosC＋sinCcosA＝eq\f(1,2)，即sin(A＋C)＝eq\f(1,2)，所以sinB＝eq\f(1,2).已知a＞b，所以B不是最大角，所以B＝eq\f(π,6).]3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若eq\f(b,\r(3)cosB)＝eq\f(a,sinA)，则cosB等于()A．－eq\f(1,2) B.eq\f(1,2)C．－eq\f(\r(3),2) D.eq\f(\r(3),2)B[由正弦定理知eq\f(sinB,\r(3)cosB)＝eq\f(sinA,sinA)＝1，即tanB＝eq\r(3)，由B∈(0，π)，所以B＝eq\f(π,3)，所以cosB＝coseq\f(π,3)＝eq\f(1,2)，故选B.]4．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为eq\f(a2＋b2－c2,4)，则C＝()A.eq\f(π,2) B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,4) D.eq\f(π,6)C[由题可知S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(a2＋b2－c2,4)，所以a2＋b2－c2＝2absinC，由余弦定理a2＋b2－c2＝2abcosC，所以sinC＝cosC．因为C∈(0，π)，所以C＝eq\f(π,4).故选C.]5．在△ABC中，若eq\f(bcosC,ccosB)＝eq\f(1＋cos2C,1＋cos2B)，则△ABC的形状是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形D[由已知eq\f(1＋cos2C,1＋cos2B)＝eq\f(2cos2C,2cos2B)＝eq\f(cos2C,cos2B)＝eq\f(bcosC,ccosB)，所以eq\f(cosC,cosB)＝eq\f(b,c)或eq\f(cosC,cosB)＝0，即C＝90°或eq\f(cosC,cosB)＝eq\f(b,c).当C＝90°时，△ABC为直角三角形．当eq\f(cosC,cosB)＝eq\f(b,c)时，由正弦定理，得eq\f(b,c)＝eq\f(sinB,sinC)，所以eq\f(cosC,cosB)＝eq\f(sinB,sinC)，即sinCcosC＝sinBcosB，即sin2C＝sin2B.因为B，C均为△ABC的内角，所以2C＝2B或2C＋2B＝180°，所以B＝C或B＋C＝90°，所以△ABC为等腰三角形或直角三角形，故选D.]二、填空题6．在锐角△ABC中，角A，B所对的边分别为a，b，若2asinB＝eq\r(3)b，则角A＝________.eq\f(π,3)[因为2asinB＝eq\r(3)b，所以2sinAsinB＝eq\r(3)sinB，得sinA＝eq\f(\r(3),2)，所以A＝eq\f(π,3)或A＝eq\f(2π,3).因为△ABC为锐角三角形，所以A＝eq\f(π,3).]7．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA＝eq\f(4,5)，cosC＝eq\f(5,13)，a＝1，则b＝________.eq\f(21,13)[在△ABC中，由cosA＝eq\f(4,5)，cosC＝eq\f(5,13)，可得sinA＝eq\f(3,5)，sinC＝eq\f(12,13)，sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosA·sinC＝eq\f(63,65)，由正弦定理得b＝eq\f(asinB,sinA)＝eq\f(21,13).]8．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2，B＝eq\f(π,6)，C＝eq\f(π,4)，则△ABC的面积为________．eq\r(3)＋1[∵b＝2，B＝eq\f(π,6)，C＝eq\f(π,4)，由正弦定理eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，得c＝eq\f(bsinC,sinB)＝eq\f(2×\f(\r(2),2),\f(1,2))＝2eq\r(2)，A＝π－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋\f(π,4)))＝eq\f(7π,12)，∴sinA＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋\f(π,3)))＝sineq\f(π,4)coseq\f(π,3)＋coseq\f(π,4)sineq\f(π,3)＝eq\f(\r(6)＋\r(2),4).则S△ABC＝eq\f(1,2)bc·sinA＝eq\f(1,2)×2×2eq\r(2)×eq\f(\r(6)＋\r(2),4)＝eq\r(3)＋1.]三、解答题9．(2019·北京高考)在△ABC中，a＝3，b－c＝2，cosB＝－eq\f(1,2).(1)求b，c的值；(2)求sin(B－C)的值．[解](1)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得b2＝32＋c2－2×3×c×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))).因为b＝c＋2，所以(c＋2)2＝32＋c2－2×3×c×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))).解得c＝5.所以b＝7.(2)由cosB＝－eq\f(1,2)得sinB＝eq\f(\r(3),2).由正弦定理得sinC＝eq\f(c,b)sinB＝eq\f(5\r(3),14).在△ABC中，∠B是钝角，所以∠C为锐角．所以cosC＝eq\r(1－sin2C)＝eq\f(11,14).所以sin(B－C)＝sinBcosC－cosBsinC＝eq\f(4\r(3),7).10．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为eq\f(a2,3sinA).(1)求sinBsinC；(2)若6cosBcosC＝1，a＝3，求△ABC的周长．[解](1)由题设得eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(a2,3sinA)，即eq\f(1,2)csinB＝eq\f(a,3sinA).由正弦定理，得eq\f(1,2)sinCsinB＝eq\f(sinA,3sinA)，故sinBsinC＝eq\f(2,3).(2)由题设及(1)，得cosBcosC－sinBsinC＝－eq\f(1,2)，即cos(B＋C)＝－eq\f(1,2).所以B＋C＝eq\f(2π,3)，故A＝eq\f(π,3).由题意得eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(a2,3sinA)，a＝3，所以bc＝8.由余弦定理，得b2＋c2－bc＝9，即(b＋c)2－3bc＝9.由bc＝8，得b＋c＝eq\r(33).故△ABC的周长为3＋eq\r(33).1．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosB－c－eq\f(b,2)＝0，a2＝eq\f(7,2)bc，b＞c，则eq\f(b,c)＝()A．eq\f(3,2) B．2C．3 D．eq\f(5,2)B[由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB可得acosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2c)，又acosB－c－eq\f(b,2)＝0，a2＝eq\f(7,2)bc，所以c＋eq\f(b,2)＝eq\f(\f(7,2)bc＋c2－b2,2c)，即2b2－5bc＋2c2＝0，所以有(b－2c)·(2b－c)＝0.所以b＝2c或c＝2b，又b＞c，所以eq\f(b,c)＝2.故选B.]2．在△ABC中，B＝30°，AC＝2eq\r(5)，D是AB边上的一点，CD＝2，若∠ACD为锐角，△ACD的面积为4，则sinA＝________，BC＝________.eq\f(\r(5),5)4[依题意得S△ACD＝eq\f(1,2)CD·AC·sin∠ACD＝2eq\r(5)·sin∠ACD＝4，解得sin∠ACD＝eq\f(2\r(5),5).又∠ACD是锐角，所以cos∠ACD＝eq\f(\r(5),5).在△ACD中，AD＝eq\r(CD2＋AC2－2CD·AC·cos∠ACD)＝4.由正弦定理得，eq\f(AD,sin∠ACD)＝eq\f(CD,sinA)，即sinA＝eq\f(CD·sin∠ACD,AD)＝eq\f(\r(5),5).在△ABC中，eq\f(AC,sinB)＝eq\f(BC,sinA)，即BC＝eq\f(AC·sinA,sinB)＝4.]3．(2019·西安质检)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，已知2acos2eq\f(C,2)＋2ccos2eq\f(A,2)＝eq\f(5,2)b.(1)求证：2(a＋c)＝3b；(2)若cosB＝eq\f(1,4)，S＝eq\r(15)，求b.[解](1)证明：由已知得，a(1＋cosC)＋c(1＋cosA)＝eq\f(5,2)b.在△ABC中，过B作BD⊥AC，垂足为D，则acosC＋ccosA＝b.所以a＋c＝eq\f(3,2)b，即2(a＋c)＝3b.(2)因为cosB＝eq\f(1,4)，所以sinB＝eq\f(\r(15),4).因为S＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(\r(15),8)ac＝eq\r(15)，所以ac＝8.又b2＝a2＋c2－2accosB＝(a＋c)2－2ac(1＋cosB)，2(a＋c)＝3b所以b2＝eq\f(9b2,4)－16×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,4)))，所以b＝4.1．在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若S△ABC＝2eq\r(3)，a＋b＝6，eq\f(acosB＋bcosA,c)＝2cosC，则c等于()A．2eq\r(7) B．4C．2eq\r(3) D．3eq\r(3)C[∵eq\f(acosB＋bcosA,c)＝2cosC，由正弦定理，得sinAcosB＋cosAsinB＝2sinCcosC，∴sin(A＋B)＝sinC＝2sinCcosC，由于0＜C＜π，sinC≠0，∴cosC＝eq\f(1,2)，∴C＝eq\f(π,3)，∵S△ABC＝2eq\r(3)＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(\r(3),4)ab，∴ab＝8，又a＋b＝6，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝4))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4，,b＝2，))c2＝a2＋b2－2abcosC＝4＋16－8＝12，∴c＝2eq\r(3)，故选C.]2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2－(b－c)2＝(2－eq\r(3))bc，sinAsinB＝cos2eq\f(C,2)，BC边上的中线AM的长为eq\r(7).(1)求角A和角B的大小；(2)求△ABC的面积．[解](1)由a2－(b－c)2＝(2－eq\r(3))bc，得a2－b2－c2＝－eq\r(3)bc，∴cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(\r(3),2)，又0＜A＜π，∴A＝eq\f(π,6).由sinAsinB＝cos2eq\f(C,2)，得eq\f(1,2)sinB＝eq\f(1＋cosC,2)，即sinB＝1＋cosC，则cosC＜0，即C为钝角，∴B为锐角，且B＋C＝eq\f(5π,6)，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)－C