函数专题简单函数值域的求法（6大题型）

简单函数值域的求法一、函数的最大（小）值1、最大值：对于函数y＝f(x)，其定义域为D，如果存在x0∈D，f(x)＝M，使得对于任意的x∈D，都有f(x)≤M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值，即当x＝x0时，f(x0)是函数y＝f(x)的最大值，记作ymax＝f(x0)．2、最小值：对于函数y＝f(x)，其定义域为D，如果存在x0∈D，f(x)＝M，使得对于任意的x∈D，都有f(x)≥M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最小值，即当x＝x0时，f(x0)是函数y＝f(x)的最小值，记作ymin＝f(x0)．3、几何意义：函数最大值对应图象中的最高点，最小值对应图象中的最低点，它们不一定只有一个．二、求函数值域的6种常用求法1、单调性法：如果一个函数为单调函数，则由定义域结合单调性可快速求出函数的最值(值域)．（1）若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则ymax＝f(b)，ymin＝f(a)．（2）若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，则ymax＝f(a)，ymin＝f(b)．（3）若函数y＝f(x)有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决定出最大(小)值．函数的最大(小)值是整个值域范围内的最大(小)值．2、图象法：作出函数的图象，通过观察曲线所覆盖函数值的区域确定值域，以下函数常会考虑进行数形结合．（1）分段函数：尽管分段函数可以通过求出每段解析式的范围再取并集的方式解得值域，但对于一些便于作图的分段函数，数形结合也可很方便的计算值域．（2）的函数值为多个函数中函数值的最大值或最小值，此时需将多个函数作于同一坐标系中，然后确定靠下(或靠上)的部分为该函数的图象，从而利用图象求得函数的值域．3、配方法：主要用于二次函数或可化为二次函数的函数，要特别注意自变量的取值范围.4、换元法：换元法是将函数解析式中关于x的部分表达式视为一个整体，并用新元t代替，将解析式化归为熟悉的函数，进而解出最值(值域)．（1）在换元的过程中，因为最后是要用新元解决值域，所以一旦换元，后面紧跟新元的取值范围．（2）换元的作用有两个：①通过换元可将函数解析式简化，例如当解析式中含有根式时，通过将根式视为一个整体，换元后即可“消灭”根式，达到简化解析式的目的．②可将不熟悉的函数转化为会求值域的函数进行处理5、分离常数法：主要用于含有一次的分式函数，形如或（，至少有一个不为零）的函数，求其值域可用此法以为例，解题步骤如下：第一步，用分子配凑出分母的形式，将函数变形成的形式，第二步，求出函数在定义域范围内的值域，进而求出的值域。6、判别式法：主要用于含有二次的分式函数，形如：将函数式化成关于x的方程，且方程有解，用根的判别式求出参数y的取值范围，即得函数的值域。应用判别式法时必须考虑原函数的定义域，并且注意变形过程中的等价性。另外，此种形式还可使用分离常数法解法。题型一单调性求函数的值域【例1】（2023·全国·高三专题练习）函数在上的最小值为，最大值为.【答案】【解析】由函数，可得函数在上为单调递减函数，所以，.故答案为：；.【变式11】（2024·全国·高三专题练习）函数在区间[1，2]上的最大值与最小值分别是（）A．B．2，5C．1，2D．【答案】A【解析】∵y＝x2+1在（0，+∞）上单调递增，且y＞1，∴在区间[1，2]上单调递减，∴函数在区间[1，2]上的最大值与最小值分别是f（1），f（2），故选：A．【变式12】（2022秋·北京海淀·高一校考期中）函数的值域为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为在单调递减，在单调递增，故，又，故，故的值域为.故选：C.【变式13】（2022·高一课时练习）函数的值域为．【答案】【解析】因为，所以，所以此函数的定义域为，又因为是减函数，当当所以值域为【变式14】（2023秋·湖北武汉·高一校考阶段练习）函数的最小值为.【答案】【解析】因为，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以.题型二图象法求函数的值域【例2】（2023秋·高一课时练习）函数f（x）在[－2，2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是（）A．－1，0B．0，2C．－1，2D．，2【答案】C【解析】根据图象观察知，故选：【变式21】（2023·高一单元测试）用分段函数表示，并作出其图象，指出函数的定义域与值域．【答案】图象见解析，定义域为，值域为．【解析】，图象如图所示，函数的定义域为，值域为．【变式22】（2023秋·湖南娄底·高一统考期末）给定函数，用表示中的较大者，记为，例如当时，，则的最小值为（）A．B．0C．1D．4【答案】B【解析】令，可得，即，解得；令，可得，即，解得或.所以.作出的图象如图所示：由图象可得的最小值为0.故选:B.【变式23】（2023·全国·高一专题练习）规定表示取、中的较大者，例如，，则函数的最小值为.【答案】【解析】在同一直角坐标系中分别画出与的图象如图，两个函数的图象有四个交点A，B，C，D．由图可知，B为函数图象的最低点，联立方程组，解得或（舍去），所以的最小值为．故答案为：．【变式24】（2022秋·黑龙江哈尔滨·高一校考阶段练习）已知函数，，其中表示不超过的最大整数，例，．则函数的值域是．【答案】【解析】当时，，所以，当时，，所以，当时，，所以，综上;图象如图所示:函数的值域是.题型三配方法求函数的值域【例3】函数的值域是【答案】【解析】因为，故的值域为.【变式31】（2022秋·湖北鄂州·高一校联考期中）函数的值域是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，所以.故选：A.【变式32】（2023秋·贵州·高一校联考阶段练习）已知函数，则的取值范围（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，所以当时，，当时，，.故选：B【变式33】（2022秋·江西萍乡·高三芦溪中学校考开学考试）函数的值域为.【答案】【解析】由题得且.因为,且.所以原函数的值域为.故答案为：题型四换元法求函数的值域【例4】（2023·全国·高一专题练习）函数的值域为（）A．[0,1）B．C．D．【答案】D【解析】令，则，可得，且开口向上，对称轴为，可得在上单调递增，可知当时，取到最小值2，所以的值域为，即函数的值域为.故选：D.【变式41】（2023秋·四川内江·高一校考开学考试）函数的最大值为（）A．8B．C．2D．4【答案】A【解析】设，则，即，所以，因为，所以当时，函数取得最大值为.故选：A【变式42】求函数的值域【答案】【答案】令，则，当时，取到最大值5，无最小值，故的值域为.【变式43】（2021秋·河南濮阳·高一濮阳一高校考期中）已知函数的值域为，则函数的值域为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，则，令，则，则转化为，开口向下，对称轴为，所以的最大值为，最小值为，所以的值域为.故选：C题型五分离常数法求函数的值域【例5】（2023秋·江苏镇江·高一统考阶段练习）若，则函数的值域为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，因为，所以，所以，所以，所以函数的值域为.故选：A.【变式51】（2023秋·河南南阳·高一校考阶段练习）函数的值域为.【答案】,,【解析】函数的定义域为,,∵；又，；函数的值域为,,.故答案为：,,.【变式52】（2023秋·浙江·高一校联考阶段练习）若集合的值域为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由可得，由于函数，所以，故，故选：B【变式53】（2023秋·浙江宁波·高一校考阶段练习）函数在上的值域是.【答案】【解析】函数，当时，；当时，，根据对勾函数的性质可知：当时，，则，所以，当时，，则，所以，综上所述，函数在上的值域是.故答案为：【变式54】（2022秋·辽宁·高一校考阶段练习）已知函数，则函数的值域是.【答案】【解析】因为，因为，所以，则有，当且仅当，即时取等号，所以，因为，所以，则函数的值域为.题型六判别式法求函数的值域【例6】（2022·高一单元测试）求函数的值域【答案】【解析】将函数化为①时，方程不成立；②时，由得，解得：综上：所以函数的值域为.【变式61】（2022秋·浙江衢州·高一校考阶段练习）函数的值域是．【答案】【解析】由题知函数的定义域为，所以，将整理得，所以，当时，