备战2020年高考数学一轮复习第10单元空间向量在立体几何中的应用单元训练A卷理含解析

此卷只装订不密封班级姓名准考证号此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号第10单元空间向量在立体几何中的应用注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射影的方向向量分别是，，那么这条斜线与平面所成的角是（）A．90° B．30° C．45° D．60°2．平面QUOTE经过三点QUOTE，QUOTE，QUOTE，则平面QUOTE的法向量可以是（）A．QUOTE B．QUOTE C．QUOTE D．QUOTE3．若直线QUOTE的方向向量为，平面QUOTE的法向量为，则（）A． B． C． D．与相交4．如图，在平行六面体QUOTE中，QUOTE为QUOTE的中点，设，，，则（）A． B． C． D．5．在长方体中，，，点为的中点，则异面直线与所成角的正切值为（）A． B． C． D．6．正方体中，直线与平面所成角的正弦值为（）A． B． C． D．7．对于空间任意一点QUOTE和不共线的三点QUOTE，QUOTE，QUOTE，且有，则QUOTE，QUOTE，QUOTE是QUOTE四点共面的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件8．已知二面角QUOTE，其中平面QUOTE的一个法向量，平面QUOTE的一个法向量，则二面角QUOTE的大小可能为（）A．QUOTE B．QUOTE C．QUOTE或QUOTE D．QUOTE9．已知在平行六面体QUOTE中，QUOTE，QUOTE，QUOTE，QUOTE，QUOTE，则QUOTE的长为（）A．QUOTE B．QUOTE C．QUOTE D．QUOTE10．如图，已知矩形QUOTE与矩形QUOTE全等，二面角QUOTE为直二面角，QUOTE为QUOTE中点，QUOTE与QUOTE所成角为QUOTE，且，则（）A．1 B． C． D．11．在空间直角坐标系QUOTE中，四面体QUOTE各顶点坐标分别为，，QUOTE，则该四面体外接球的表面积是（）A．QUOTE B．QUOTE C．QUOTE D．QUOTE12．如图，四边形QUOTE，QUOTE，QUOTE，现将QUOTE沿QUOTE折起，当二面角QUOTE的大小在时，直线QUOTE和QUOTE所成角为QUOTE，则QUOTE的最大值为（）A． B． C． D．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知点关于坐标原点的对称点为，关于平面的对称点为，关于轴的对称点为，则线段的中点的坐标为_______．14．在直三棱柱QUOTE中，QUOTE，则异面直线QUOTE与QUOTE所成角的余弦值为__________．15．如图，在正方体QUOTE中，QUOTE、QUOTE分别为QUOTE的中点，则平面QUOTE和平面QUOTE所成二面角的正弦值为__________．16．将直角三角形QUOTE沿斜边上的高QUOTE折成QUOTE的二面角，已知直角边QUOTE，那么下面说法正确的是_________．（1）平面QUOTE平面QUOTE；（2）四面体QUOTE的体积是QUOTE；（3）二面角QUOTE的正切值是；（4）QUOTE与平面QUOTE所成角的正弦值是，三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）如图，在正四棱柱中，分别为棱的中点，．（1）证明：平面平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．18．（12分）如图，是以为直径的半圆上异于的点，矩形所在的平面垂直于半圆所在的平面，且，．（1）求证：平面平面；（2）若的长度为，求二面角的正弦值．19．（12分）如图，在多面体中，四边形是边长为的菱形，，与交于点，平面平面，，，．（1）求证：平面；（2）若为等边三角形，点为的中点，求二面角的余弦值．20．（12分）已知四棱锥QUOTE的底面QUOTE是菱形，，QUOTE底面QUOTE，QUOTE是QUOTE上的任意一点．（1）求证：平面QUOTE平面QUOTE；（2）设QUOTE，是否存在点QUOTE使平面QUOTE与平面QUOTE所成的锐二面角的大小为QUOTE？如果存在，求出点QUOTE的位置，如果不存在，请说明理由．21．（12分）如图所示，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=AB=BC=1，CD=2，E为CD中点，AE与BD交于点O，将△ADE沿AE折起，使点D到达点P的位置（P∉平面ABCE）．（1）证明：平面POB⊥平面ABCE；（2）若直线PB与平面ABCE所成的角为，求二面角的余弦值．22．（12分）如图，已知四棱锥QUOTE的底面为边长为QUOTE的菱形，为QUOTE中点，连接QUOTE．（1）求证：平面QUOTE平面QUOTE；（2）若平面QUOTE平面QUOTE，且二面角QUOTE的余弦值为，求四棱锥QUOTE的体积．单元训练金卷▪高三▪数学卷（A）第10单元空间向量在立体几何中的应用答案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】D【解析】∵，又由题意知，∴．答案D．2．【答案】D【解析】设平面QUOTE的法向量为，对于A选项，，故A选项错误；对于B选项，，故B选项错误；对于C选项，，故C选项错误；对于D选项，由于，，故D选项符合题意．所以本题选D．3．【答案】C【解析】∵直线l的方向向量为，平面QUOTE的法向量为，∴，∴，∴QUOTE，故选C．4．【答案】A【解析】根据向量的三角形法则得到．故选A．5．【答案】A【解析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，，设异面直线与所成角为，则，，，异面直线与所成角正切值为，故选A．6．【答案】A【解析】如图，以点为坐标原点，以，，方向分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，设棱长2，则，，，，所以，，因为在正方体中，，平面，所以，又，所以平面，因此向量为平面的一个法向量，设直线与平面所成的角为，则．故选A．7．【答案】B【解析】空间任意一点QUOTE和不共线的三点QUOTE，QUOTE，QUOTE，且，则QUOTE四点共面等价于QUOTE，若QUOTE，QUOTE，QUOTE，则QUOTE，所以QUOTE四点共面，若QUOTE四点共面，则QUOTE，不能得到QUOTE，QUOTE，QUOTE，所以QUOTE，QUOTE，QUOTE是QUOTE四点共面的充分不必要条件，故选B．8．【答案】C【解析】∵，，设与之间的夹角为QUOTE，，QUOTE，QUOTE，QUOTE二面角QUOTE的大小可能为QUOTE和QUOTE．9．【答案】D【解析】在平行六面体QUOTE中，QUOTE，QUOTE，QUOTE，QUOTE，QUOTE，，QUOTE，则，故选D．10．【答案】C【解析】以A为原点，AF为x轴，AB为y轴，AD为z轴，建立空间直角坐标系，设AB＝2a，BC＝2b，则F（2b，0，0），M（0，a，0），B（0，2a，0），D（0，0，2b），QUOTE（﹣2b，a，0），QUOTE（0，﹣2a，2b），∵FM与BD所成角为θ，且，∴，整理得，∴，解得，或（舍），∴，故选C．11．【答案】B【解析】如图，在空间坐标系里画出QUOTE四个点，可得QUOTE面QUOTE，因此可以把四面体QUOTE补成一个长方体，其外接球的半径，所以外接球的表面积为QUOTE，故选B项．12．【答案】C【解析】取BD中点O，连结AO，CO，∵AB＝BD＝DA＝4．BC＝CDQUOTE，∴CO⊥BD，AO⊥BD，且CO＝2，AOQUOTE，∴∠AOC是二面角的平面角，以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，过点O作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，B（0，﹣2，0），C（2，0，0），D（0，2，0），设二面角的平面角为θ，则，连AO、BO，则∠AOC＝θ，，∴，，设AB、CD的夹角为α，则，∵，∴，∴．∴cosQUOTE的最大值为．故选C．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．【答案】【解析】点关于坐标原点的对称点A1的坐标为，点关于xOz平面的对称点A2的坐标为，点关于z轴的对称点A3的坐标为，∴线段AA3的中点M的坐标为．14．【答案】【解析】因为QUOTE，所以角QUOTE为直角，又直棱柱中，侧棱与底面垂直，所以QUOTE两两垂直，以QUOTE点为坐标原点，以QUOTE方向分别为QUOTE轴，QUOTE轴，QUOTE轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则QUOTE，QUOTE，QUOTE，QUOTE，所以QUOTE，QUOTE，设异面直线QUOTE与QUOTE所成角为QUOTE，则．故答案为．15．【答案】【解析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体QUOTE的棱长为2，则E(1，0，0)，F(0，0，1)，B(2，2，0)，C1(0，2，2)，，，设平面EFC1B的法向量，则，取QUOTE，得，平面BCC1的法向量，设平面EFC1B和平面BCC1所成二面角为QUOTE，则，所以，故填．16．【答案】（3）（4）【解析】画出图像如下图所示，由图可知（1）的判断显然错误；由于QUOTE，故QUOTE是二面角QUOTE的平面角且QUOTE平面QUOTE，故QUOTE．过QUOTE作QUOTE交QUOTE的延长线于QUOTE，由于QUOTE，故QUOTE是三棱锥QUOTE的高．在原图中，QUOTE，，，，，所以，故（2）错误；以QUOTE为坐标原点，分别为QUOTE轴建立空间直角坐标系．，，，，，设平面QUOTE的法向量为，则，令QUOTE，则，即．平面QUOTE的法向量是．设二面角QUOTE的平面角为QUOTE，由图可知QUOTE为锐角，故，则其正切值为．故（3）判断正确；平面QUOTE的法向量为QUOTE，，设直线QUOTE和平面QUOTE所成的角为QUOTE，则，故（4）判断正确．综上所述，正确的有（3），（4）．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】（1）证明：在正四棱柱中，，底面，，又，平面，则，，，，，则，，平面．又平面，∴平面平面．（2）以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，则，．设是平面的法向量，，即，令，得，由（1）知，平面ABE的一个法向量为，，故平面与平面ABE所成锐二面角的余弦值为．18．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】（1）证明：平面平面，两平面交线为，平面，，平面，平面，，是直角，，平面，平面，平面平面．（2）如图，连结，以点为坐标原点，在平面中，过作的垂线为轴，所在的直线为轴，在平面中，过作的垂线为轴，建立空间直角坐标系．的长度为，，则，，，，，，，，设平面的一个法向量为，则，令，解得，，，平面的一个法向量，，，二面角的正弦值为．19．【答案】（1）见证明；（2）．【解析】（1）证明：取的中点，连结、、，因为，所以，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，因为、分别为、的中点，所以且．又，，所以，所以四边形为平行四边形，所以，所以平面．（2）因为菱形，所以．所以，，两两垂直，建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，所以，所以，，设平面的法向量为，由，得，取，可得，平面的一个法向量为，设二面角的平面角为，则，因为二面角的平面角为锐角，所以二面角的余弦值为．20．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）证明：∵QUOTE平面QUOTE，QUOTE平面QUOTE，∴QUOTE．∵四边形QUOTE是菱形，∴QUOTE．∵QUOTE，∴QUOTE平面QUOTE．∵QUOTE平面QUOTE，∴平面QUOTE平面QUOTE．（2）设QUOTE与QUOTE的交点为QUOTE，以QUOTE、QUOTE所在直线分别为QUOTE、QUOTE轴，以过QUOTE垂直平面QUOTE的直线为QUOTE轴建立空间直角坐标系（如图），则QUOTE，QUOTE，QUOTE，QUOTE，QUOTE．设QUOTE，则，设，∴，∴，∴，，设平面QUOTE的法向量，∵，∴．求得为平面QUOTE的一个法向量．同理可得平面QUOTE的一个法向量为，∵平面QUOTE与平面QUOTE所成的锐二面角的大小为QUOTE，∴，解得QUOTE．∴QUOTE为QUOTE的中点．21．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】（1）证明：在等腰梯形ABCD中，易知△DAE为等边三角形，所以OD⊥AE，OB⊥AE，即在△PAE中，OP⊥AE，∴AE⊥平面POB，AE⊂平面ABCE，所