高中数学《分类加法计数原理与分步乘法计数原理》教案与分层同步练习

第六章计数原理

《6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理》教案

第一课时分类加法计数原理与分步乘法计数原理

课标要求素养要求

1.通过实例，了解分类加法计数原理、分

步乘法计数原理及其意义.通过两个计数原理的学习，提

2.理解分类加法计数原理与分步乘法计数升数学抽象及逻辑推理素养.

原理.

【课前预习】

新知探究

A情境引入

2017年3月3日政协十二届第5次会议在北京举行，某政协委员3月2日要从

泉城济南前往北京参加会议，他有两类快捷途径可供选择：一是乘飞机，二是

乘坐动车组，假如这天飞机有3个航班可乘，动车组有4个班次可乘.

问题这个政协委员这一天从济南到北京共有多少种快捷途径可选？

提示该政协委员共有3+4=7（种）快捷途径可选.

/口识梳理

1.分类加法计数原理

正确运用分类加法计数原理的关键是明确分类的标准并做到不重不漏

完成一件事有两类不同的方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类

方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法.

2.分步乘法计数原理

完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同

的方法，那么完成这件事共有N=mXn种不同的方法.

拓展深化

［微判断］

1.在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同.（X）

提示在分类加法计数原理中，两类不同的方案中，每一种方法都不相同.

2.在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能完成这件事.（J）

3.在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同

的.3

4.在分步乘法计数原理中，事情若是分两步完成的，那么其中任何一个单独的

步骤都不能完成这件事，只有两个步骤都完成后，这件事情才算完成.（J）

［微训练］

1.从3名女同学和2名男同学中选出一人主持本班一次班会，则不同的选法种

数为（）

A.6B.5

C.3D.2

解析由分类加法计数原理知，共有3+2=5（种）不同的选法.

答案B

2.一^1b袋子里放有6个球，另一个袋子里放有8个球，每个球各不相同，从两

个袋子里各取一个球，共有种不同的取法.

解析由分步乘法计数原理知，共有6X8=48（种）不同的取法.

答案48

［微思考］

用一个大写的英文字母或0〜9这10个阿拉伯数字中的一个给教室里的座位编

号，总共能编出多少种不同的号码？

提示因为英文字母共有26个，阿拉伯数字0〜9共有10个，所以总共可以编

出26+10=36（种）不同的号码.

【课堂互动】

题型一分类加法计数原理的应用

【例1】在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数为一.

解析法一根据题意，将十位上的数字按1,2,3,4,5,6,7,8的情况分

成8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别有8个，7个，6个，5个，4

个，3个，2个，1个.由分类加法计数原理知，符合条件的两位数共有8+7+

6+5+4+3+2+1=36（个）.

法二分析个位数字，可分以下几类：

个位数字是9,则十位数字可以是1,2,3,…，8中的一个，故共有8个;

个位数字是8,则十位数字可以是1,2,3,…，7中的一个，故共有7个;

同理，个位数字是7的有6个；

个位数字是2的有1个.

由分类加法计数原理知，符合条件的两位数共有8+7+6+5+4+3+2+1=

36（个）.

答案36

【迁移1】（变条件）若本例条件变为个位数字小于十位数字且为偶数，那么

这样的两位数有多少个.

解当个位数字是8时，十位数字取9,只有1个.

当个位数字是6时，十位数字可取7,8,9,共3个.

当个位数字是4时，十位数字可取5,6,7,8,9,共5个.

同理可知，当个位数字是2时，共7个，

当个位数字是0时，共9个.

由分类加法计数原理知，符合条件的两位数共有1+3+5+7+9=25（个）.

【迁移2】（变条件，变设问）用1,2,3这3个数字可以组成没有重复数字

的整数个.

解析分三类：第一类为一位整数，有3个；

第二类为两位整数，有12,21,23,32,13,31,共6个；

第三类为三位整数，有123,132,231,213,321,312,共6个，

•••由分类加法计数原理知共可组成没有重复数字的整数3+6+6=15（个）.

答案15

规律方法利用分类加法计数原理计数时的解题流程

<^>~（将完成这件事的方法分成若干冢］

<^>~~］求出每一类的方法数一）

［将每一类的方法数相加得出结果）

【训练1】满足a,be{-1,0,1,2},且关于x的方程ax'+2x+b=0有

实数解的有序数对(a,b)的个数为()

A.14B.13

C.12D.10

解析由关于x的方程ax?+2x+b=0有实数解，得a=0,b£R或aWO时，

abWl.

又a,b6{-1,0,1,2},故

若a=-l时，b=-l,0,1,2,有4种可能；

若a=0时，b=-l,0,1,2,有4种可能；

若a=l时，b=-1,0,1,有3种可能；

若a=2时，b=—1,0,有2种可能.

...由分类加法计数原理知共有(a,b)的个数为4+4+3+2=13.

答案B

题型二分步乘法计数原理

【例2】在平面直角坐标系内，若点P(x,y)的横、纵坐标均在{0,1,2,3)

内取值，则可以组成多少个不同的点P?

解确定点P的坐标必须分两步，即分步确定点P的横坐标与纵坐标.

第一步，确定横坐标，从0,1,2,3四个数字中选一个，有4种方法；

第二步，确定纵坐标，从0,1,2,3四个数字中选一个，也有4种方法.

根据分步乘法计数原理，所有不同的点P的个数为4X4=16.故可以组成16个

不同的点P.

规律方法应用分步乘法计数原理应注意如下问题：

(1)明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，单独用题目中所给的某种方法

是不是能完成这件事，也就是说要经过几步才能完成这件事.

(2)完成这件事要分若干个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事，缺

少哪一步，这件事都不可能完成，即各步之间是关联的，相互依存的，只有前

步完成后步才能进行.

(3)根据题意正确分步，要求各步之间必须连续，只有按照这几步逐步地去做，

才能完成这件事，缺少任何一步也不能完成这件事，即分步要做到步骤完整.

【训练2】用0,1,2,3,4,5,6这七个数字共能组成多少个两位数？

解第一步，确定十位数字，1,2,3,4,5,6六个数字都可以选择，有6种

方法；

第二步，确定个位数字，0,1,2,3,4,5,6七个数字都可以选择，有7种

选法.

根据分步乘法计数原理，不同的两位数共有6*7=42（个）.

故可以组成42个两位数.

题型三两个计数原理的简单应用

【例3】现有高一年级的四个班的学生34人，其中一、二、三、四班各7

人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组.

⑴选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？

（2）每班选一名组长，有多少种不同的选法？

（3）推选两人做中心发言，这两人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？

解（1）分四类：第一类，从一班学生中选1人，有7种选法；第二类，从二班

学生中选1人，有8种选法；第三类，从三班学生中选1人，有9种选法；第

四类，从四班学生中选1人，有10种选法.所以，共有不同的选法N=7+8+

9+10=34（种）.

⑵分四步：第一、二、三、四步分别从一、二、三、四班学生中选一人任组

长.

所以，共有不同的选法N=7X8X9X10=5040（种）.

（3）分六类，每类又分两步：从一、二班学生中各选1人，有7X8种不同的选

法；从一、三班学生中各选1人，有7X9种不同的选法；从一、四班学生中

各选1人，有7义10种不同的选法；从二、三班学生中各选1人，有8X9种不

同的选法；从二、四班学生中各选1人，有8X10种不同的选法；从三、四班

学生中各选1人，有9X10种不同的选法.

所以，共有不同的选法N=7X8+7X9+7X10+8X9+8X10+9X10=

431（种）.

规律方法（1）在处理具体的应用题时，首先必须弄清是“分类”还是“分

步”，其次要搞清“分类”或“分步”的具体标准是什么，选择合理的标准处

理事件，关键是看能否独立完成这件事，避免计数的重复或遗漏.

（2）对于一些比较复杂的既要运用分类加法计数原理又要运用分步乘法计数原理

的问题，我们可以恰当地画出示意图或列出表格，使问题更加直观、清晰.

【训练3】某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会

英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人到边远地区支教，有多少

种不同的选法？

解由题意，知有1人既会英语又会日语，6人只会英语，2人只会日语.

法一分两类.

第一类：从只会英语的6人中选1人说英语、有6种选法，则说日语的有2+1

=3（种）选法.此时共有6X3=18（种）选法.

第二类：从不只会英语的1人中选1人说英语，有1种选法，则选会日语的有

2种选法，止匕时有IX2=2（种）选法.

所以由分类加法计算原理知，共有18+2=20（种）选法.

法二设既会英语又会日语的人为甲，则甲有入选、不入选两类情形，入选后

又要分两种：（D教英语；（2）教日语.

第一类：甲入选.

（1）甲教英语，再从只会日语的2人中选1人，由分步乘法计数原理，有1X2

=2（种）选法；

（2）甲教日语，再从只会英语的6人中选1人，由分步乘法计数原理，有1X6

=6（种）选法.

故甲入选的不同选法共有2+6=8（种）.

第二类：甲不入选.可分两步.

第一步，从只会英语的6人中选1人有6种选法：第二步，从只会日语的2人

中选1人有2种选法.由分步乘法计数原理知，有6X2=12（种）不同的选法.

综上，共有8+12=20（种）不同选法.

【素养达成】

一、素养落地

1.通过本节课的学习，进一步提升数学抽象及逻辑推理素养.

2.应用两个原理时，要仔细区分原理的不同，分类加法计数原理关键在于分

类，不同类之间互相排斥，互相独立；分步乘法计数原理关键在于分步，各步

之间互相依存，互相联系.

3.通过对这两个原理的学习，要进一步体会分类讨论思想及等价转化思想在解

题中的应用.

二、素养训练

1.从A地到B地，可乘汽车、火车、轮船三种交通工具，如果一天内汽车发3

次，火车发4次，轮船发2次，那么一天内乘坐这三种交通工具从A地到B地

的不同走法的种数为（）

A.1+1+1=3B.34-4+2=9

C.3X4X2=24D.以上都不对

解析分三类：第一类，乘汽车，从3次中选1次有3种走法；第二类，乘火

车，从4次中选1次有4种走法；第三类乘轮船，从2次中选1次有2种走

法.所以，由分类加法计数原理知共有3+4+2=9（种）不同的走法.

答案B

2.现有3名老师、8名男生和5名女生共16人.若需1名老师和1名学生参

加评选会议，则不同的选法种数为（）

A.39B.24

C.15D.16

解析先从3名老师中任选1名，有3种选法，再从13名学生中任选1名，有

13种选法.由分步乘法计数原理知，不同的选法种数为3X13=39.

答案A

3.如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的

老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为

C.12D.9

解析由题意可知E-F共有6条最短路径，F-G共有3条最短路径，由分步

乘法计数原理知，共有6X3=18（条）最短路径，故选B.

答案B

4.从集合｛0,1,2,3,4,5,6｝中任取两个互不相等的数a,b组成复数a+

bi,其中虚数有个.

解析第一步取b的数，有6种方法，第二步取a的数，也有6种方法，根据

分步乘法计数原理，共有6X6=36（种）方法，即共组成36个虚数.

答案36

5.从-1,0,1,2这四个数中选三个不同的数作为函数f（x）=ax?+bx+c的

各项的系数，可组成不同的二次函数共有个，其中不同的偶函数共

有个.

解析一个二次函数对应着a,b,c（a70）的一组取值，a的取法有3种，b的

取法有3种，c的取法有2种，由分步乘法计数原理知，共有二次函数的个数

为3X3X2=18.其中不同的偶函数的个数为3X2=6.

答案186

【课后作业】

基础达标

一、选择题

1.某同学从4本不同的科普杂志，3本不同的文摘杂志，2本不同的娱乐新闻

杂志中任选一本阅读，则不同的选法共有（）

A.24种B.9种

C.3种D.26种

解析不同的杂志本数为4+3+2=9,从其中任选一本阅读，共有9种选法.

答案B

2.已知xe｛2,3,7｝,yG｛-31,-24,4｝,则（x,y）可表示不同的点的个

数是（）

A.1B.3

C.6D.9

解析可分为两步完成：第一步，在集合｛2,3,7｝中任取一个值x有3种方

法；第二步，在集合｛-31,-24,4｝中任取一个值y有3种方法.根据分步乘

法计数原理知，有3X3=9（个）不同的点.

答案D

3.某体育场南侧有4个大门，北侧有3个大门，小李到体育场看比赛，则他

进、出门的方案有（）

A.12种B.7种

C.14种D.49种

解析完成进、出体育场门这件事，需要分两步，第一步进体育场，第二步出

体育场.

第一步进门共有4+3=7（种）方法，

第二步出门共有4+3=7（种）方法.

由分步乘法计数原理知，进、出门的方案有7X7=49（种）.

答案D

4.5名同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不

同的报名方法共有（）

A.10种B.20种

C.25种D.32种

解析每位同学限报其中的一个小组，各有2种报名方法，根据分步乘法计数

原理，不同的报名方法共有2，=32（种）.

答案D

5.如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面

组”.在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的

“平行线面组”的个数是（）

A.60B.48

C.36D.24

解析长方体的6个表面构成的“平行线面组”有6X6=36（个），另外含4个

顶点的6个面（非表面）构成的“平行线面组”有6X2=12（个），所以共有36+

12=48（个）.

答案B

二、填空题

6.已知a£{2,4,6,8},be{3,5,7,9},则能使log,,b>l的对数值有

__________个.

解析分四类，当a=2时，b取3,5,7,9四种情况；

当a=4时，b取5,7,9三种情况；

当a=6时，b取7,9两种情况；

当a=8时，b取9一种情况，

所以总共有4+3+2+1=10种,又log23=log,9,

所以对数值有9个.

答案9

7.用0到9这十个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为

解析由题意知本题是一个分类计数问题.

若个位数字为0,前两位的排法种数为9X8=72；

若个位数字不为0,则确定个位数字有4种方法，

确定百位数字有8种方法，确定十位数字有8种方法，

所以排法种数为4X8X8=256.

所以可以组成256+72=328(个)没有重复数字的三位偶数.

答案328

8.如图所示，在A,B间有四个焊接点，若焊接点脱落，则可能导致电路不

通.今发现A,B之间线路不通，则焊接点脱落的不同情况有种.

解析按照焊接点脱落的个数进行分类：

第1类，脱落1个，有1,4,共2种；

第2类，脱落2个，有(1,4),(2,3),(1,2),(1,3),(4,2),(4,3),

共6种；

第3类，脱落3个，有(1,2,3),(1,2,4),(2,3,4),(1,3,4),共4

种；

第4类，脱落4个，有(1,2,3,4),共1种.

根据分类加法计数原理，共有2+6+4+1=13(种)焊接点脱落的情况.

答案13

三、解答题

9.用0,1,2,3,4,5这6个数字组成无重复数字的四位数，若把每位数字

比其左邻的数字小的数叫做“渐降数”，求上述四位数中“渐降数”的个数.

解分三类：

第一类，千位数字为3时，要使四位数为“渐降数”，则四位数只有3210,

共1个；

第二类，千位数字为4时，“渐降数”有4321,4320,4310,4210,共4

个；

第三类，千位数字为5时，“渐降数”有5432,5431,5430,5421,5

420,5410,5321,5320,5310,5210,共10个.

由分类加法计数原理，得共有1+4+10=15个“渐降数”.

10.王华同学有课外参考书若干本，其中有5本不同的外语书，4本不同的数

学书，3本不同的物理书，他欲带参考书到图书馆阅读.

(1)若他从这些参考书中带1本去图书馆，则有多少种不同的带法？

(2)若带外语、数学、物理参考书各1本，则有多少种不同的带法？

(3)若从这些参考书中选2本不同学科的参考书带到图书馆，则有多少种不同的

带法？

解(1)完成的事情是带一本书，无论带外语书，还是数学书、物理书，事情都

已完成，从而确定应用分类加法计数原理，共有5+4+3=12(种)不同的带

法.

(2)完成的事情是带3本不同学科的参考书，只有从外语、数学、物理书中各选

1本后，才能完成这件事，因此应用分步乘法计数原理，共有5X4X3=60(种)

不同的带法.

(3)选1本外语书和选1本数学书应用分步乘法计数原理，有5X4=20种选

法；同样，选外语书、物理书各1本，有5义3=15种选法；选数学书、物理书

各1本，有4X3=12种选法.即有三类情况，应用分类加法计数原理，共有

20+15+12=47(种)不同的带法.

能力提升

11.如图所示，在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中与正八边形有公共

边的三角形有个.

解析满足条件的有两类：

第一类：与正八边形有两条公共边的三角形有®=8（个）；

第二类：与正八边形有一条公共边的三角形有m2=8X4=32（个），

所以满足条件的三角形共有8+32=40（个）.

答案40

12.已知集合八={2,4,6,8,10）,B={1,3,5,7,9）,在A中任取一元

素m和在B中任取一元素n,组成数对（m,n）,问：（1）有多少个不同的数对？

（2）其中所取两数满足m>n的数对有多少个？

解（1）•.•集合A={2,4,6,8,10},B={1,3,5,7,9）,在A中任取一元

素m和在B中任取一元素n,组成数对（m,n）,先选出m有5种结果，再选出n

有5种结果，根据分步乘法计数原理知共有5X5=25（个）不同的数对.

（2）在（1）中的25个数对中所取两数满足m>n的数对可以分类来解，当m=2

时，n=l,有1种结果；当m=4时，n=l,3有2种结果；当m=6时，n=

1,3,5有3种结果；当m=8时，n=l,3,5,7有4种结果；当m=10时，n

=1,3,5,7,9有5种结果.综上所述共有1+2+3+4+5=15（个）不同的数

对.

创新猜想

13.（多空题）在如图1的电路中，只合上一个开关可以接通电路，有

种不同的方法；在如图2的电路中，合上两个开关可以接通电路，

有种不同的方法.

图1图2

解析对于图1，按要求接通电路，只要在A中的两个开关或B中的三个开关

中合上一个即可，故有2+3=5（种）不同的方法.

对于图2,按要求接通电路必须分两步进行：

第一步，合上A中的一个开关；

第二步，合上B中的一个开关，

故有2X3=6（种）不同的方法.

答案56

14.（多空题）一个科技小组中有4名女同学、5名男同学，从中任选1名同学

参加学科竞赛，共有不同的选派方法种；若从中任选1名女同学和

1名男同学参加学科竞赛，共有不同的选派方法种.

解析根据分类加法计数原理，从中任选1名同学参加学科竞赛共有5+4=

9（种）选派方法.根据分步乘法计数原理，从中任选1名女同学和1名男同学参

加学科竞赛共有4X5=20（种）选派方法.

答案920

第二课时两个计数原理的综合应用

课标要求素养要求

1.进一步理解分类加法计数原理和分步

通过进一步应用两个计数原理，提

乘法计数原理的区别.

升数学抽象及数学运算素养.

2.会正确应用这两个计数原理计数.

【课前预习】

新知探究

A情境引入

青岛是一座美丽的滨海城市，空气良好，城市生活也很悠闲，海水清澈漂亮，

能看到美丽的海岸线，青岛的海鲜很便宜，海滨城市边吃海鲜边吹海风很惬

意，小新决定“五一”期间从枣庄乘火车到济南办事，再于次日从济南乘汽车

到青岛旅游，一天中火车有3班，汽车有2班，他将如何安排行程？

问题上述情境中，小新从枣庄到济南共有多少种不同的走法？

提示因为乘火车有3种走法，乘汽车有2种走法，所以从枣庄到青岛需乘一

次火车再接着乘1次汽车就可以了，因此共有3X2=6（种）不同的走法.

上知识梳理

两个计数原理的区别与联系

用两个计数原理解决问题时，要明确是需要分类还是需要分步，有时，可能既

要分类又要分步

分类加法计数原理分步乘法计数原理

相同点用来计算完成一件事的方法种类

分类完成，类类相加分步完成，步步相乘

每步依次完成才算完成这件事

不同点每类方案中的每一种方法都能

（每步中的一种方法不能独立完

独立完成这件事

成这件事）

注意点类类独立，不重不漏步步相依，步骤完整

拓展深化

［微判断］

1.分类计数是指将完成这件事的所有方式进行分类，每一类都能独立完成该事

件.（J）

2.分步计数是指将完成这件事分解成若干步骤，当完成所有的步骤时，这个事

件才算完成.（J）

3.当一个事件既需要分步又需要分类时，分步和分类没有先后之分.（X）

提示当一个事件既需要分步又需要分类时，通常要明确是先分类后分步还是

先分步后分类，并且要明确分类的标准和分步的程序问题.

［微训练］

1.有A,B两种类型的车床各一台，现有甲、乙、丙三名工人，其中甲、乙都

会操作两种车床，丙只会操作A种车床，要从这三名工人中选两名分别去操作

这两种车床，则不同的选派方法有（）

A.6种B.5种

C.4种D.3种

解析不同的选派情况可分为3类：若选甲、乙，有2种方法；若选甲、丙，

有1种方法；若选乙、丙，有1种方法.根据分类加法计数原理知，不同的选

派方法有2+1+1=4（种）.

答案C

2.某班有3名学生准备参加校运会的100米、200米、跳高、跳远四项比赛，

如果每班每项限报1人，则这3名学生的参赛的不同方法有（）

A.24种B.48种

C.64种D.81种

解析由于每班每项限报1人，故当前面的学生选了某项之后，后面的学生不

能再报，由分步乘法计数原理，共有4X3X2=24（种）不同的参赛方法.

答案A

［微思考］

用前6个大写英文字母和1〜9九个阿拉伯数字，以A”A2,B”B?,…的

方式给教室里的座位编号，总共能编出多少个不同的号码？

提示编写一个号码要先确定一个英文字母，后确定一个阿拉伯数字，我们可

以用树形图列出所有可能的号码.如图：

由于前6个英文字母中的任意一个都能与9个数字中的任何一个组成一个号

码，而且它们各不相同，因此共有6X9=54（个）不同的号码.

【课堂互动】

题型一两个计数原理在排数中的应用

[例1]用0,1,2,3,4五个数字，

（1）可以排成多少个三位数字的电话号码？

（2）可以排成多少个三位数？

（3）可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数？

解（1）三位数字的电话号码，首位可以是0,数字也可以重复，每个位置都有

5种排法，共有5X5X5=5』125（种），即可以排成125个三位数字的电话号

码.

（2）三位数的首位不能为0,但可以有重复数字，首先考虑首位的排法，除0外

共有4种方法，第二、三位可以排0,因此，共有4X5X5=100（种），即可以

排成100个三位数.

⑶被2整除的数即偶数，末位数字可取0,2,4,因此，可以分两类，一类是

末位数字是0,则有4X3=12（种）排法；一类是末位数字不是0,则末位有2

种排法，即2或4,再排首位，因0不能在首位，所以有3种排法，十位有3

种排法，因此有2X3X3=18（种）排法.因而有12+18=30（种）排法,即可以

排成30个能被2整除的无重复数字的三位数.

【迁移】（变设问）由本例中的五个数字可组成多少个无重复数字的四位奇

数？

解完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事，可以分四步：第一步定个

位，只能从1,3中任取一个，有2种方法；第二步定首位，把1,2,3,4中

除去用过的一个剩下的3个中任取一个，有3种方法；第三步，第四步把剩下

的包括0在内的3个数字先排百位有3种方法，再排十位有2种方法.由分步

乘法计数原理知共有2X3X3X2=36（个）.

规律方法对于组数问题，应掌握以下原则：

（1）明确特殊位置或特殊数字，是我们采用“分类”还是“分步”的关键.一般

按特殊位置（末位或首位）分类，分类中再按特殊位置（或特殊元素）优先的策略

分步完成；如果正面分类较多，可采用间接法求解.

（2）要注意数字“0”不能排在两位数字或两位数字以上的数的最高位.

【训练1】从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数

字的三位数，其中奇数的个数为（）

A.24B.18

C.12D.6

解析由于题目要求是奇数，那么对于此三位数可以分成两种情况；奇偶奇，

偶奇奇.如果是第一种奇偶奇的情况，可以从个位开始分析（3种情况），之后

十位（2种情况），最后百位（2种情况），共12种；如果是第二种情况偶奇奇：

个位（3种情况），十位（2种情况），百位（不能是0,一种情况），共6种，因此

总共有12+6=18（种）情况.故选B.

答案B

题型二分配问题

【例2】高三年级的四个班到甲、乙、丙、丁、戊五个工厂进行社会实践，

其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有

（）

A.360种B.420种

C.369种D.396种

解析法一（直接法）

以甲工厂分配班级情况进行分类，共分为四类：

第一类，四个班级都去甲工厂，此时分配方案只有1种情况；

第二类，有三个班级去甲工厂，剩下的班级去另外四个工厂，其分配方案共有

4X4=16（种）;

第三类，有两个班级去甲工厂，另外两个班级去其他四个工厂，其分配方案共

有6X4X4=96（种）；

第四类，有一个班级去甲工厂，其他班级去另外四个工厂，其分配方案有

4X4X4X4=256（种）.

综上所述，不同的分配方案有1+16+96+256=369（种）.

法二（间接法）

先计算四个班自由选择去何工厂的总数，再扣除甲工厂无人去的情况，即：

5X5X5X5-4X4X4X4=369（种）方案.

答案C

规律方法选（抽）取与分配问题的常见类型及其解法

（1）当涉及对象数目不大时，一般选用枚举法、树形图法、框图法或者图表法.

（2）当涉及对象数目很大时，一般有两种方法：

①直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理.一般地，若抽取是有顺序

的就按分步进行；若按对象特征抽取的，则按分类进行.

②间接法：去掉限制条件计算所有的抽取方法数，然后减去所有不符合条件的

抽取方法数即可.

【训练2]（1）有4位老师在同一年级的4个班级中各教一个班的数学，在数

学考试时，要求每位老师均不在本班监考，则安排监考的方法种数是（）

A.11B.10

C.9D.8

（2）从6名志愿者中选4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，

若其中甲、乙两名志愿者不能从事翻译工作，则选派方案共有（）

A.280种B.240种

C.180种D.96种

解析（1）法一设四个班级分别是A,B,C,D,它们的老师分别是a,b,c,

d,并设a监考的是B,则剩下的三个老师分别监考剩下的三个班级，共有3种

不同的方法；同理当a监考C,D时，剩下的三个老师分别监考剩下的三个班级

也各有3种不同的方法.这样，由分类加法计数原理知共有3+3+3=9（种）不

同的安排方法.

法二让a先选，可从B,C,D中选一个，即有3种选法.若选的是B,则b

从剩下的3个班级中任选一个，也有3种选法，剩下的两个老师都只有一种选

法，根据分步乘法计数原理知，共有3X3X1X1=9（种）不同安排方法.

（2）由于甲、乙不能从事翻译工作，因此翻译工作从余下的4名志愿者中选1

人，有4种选法.后面三项工作的选法有5X4X3种，因此共有4X5X4X3=

240（种）选派方案.

答案（DC（2）B

题型三涂色问题

【例3】如图所示，要给“创”、“新”、“设”、“计”四个区域分别涂

上3种不同颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不

同的颜色，有多少种不同的涂色方法？

解创、新、设、计四个区域依次涂色，分四步.

第1步，涂“创"区域，有3种选择.

第2步，涂“新”区域，有2种选择.

第3步，涂“设”区域，由于它与“创”、“新”区域颜色不同，有1种选

择.

第4步，涂“计”区域，由于它与“创”“设”区域颜色不同，有1种选择.

所以根据分步乘法计数原理，得不同的涂色方法共有3X2X1X1=6（种）.

规律方法求解涂色（种植）问题一般是直接利用两个计数原理求解，常用方法

有：

（1）按区域的不同以区域为主分步计数，用分步乘法计数原理分析；

（2）以颜色（种植作物）为主分类讨论，适用于“区域、点、线段”问题，用分类

加法计数原理分析；

⑶对于涂色（立方体）问题将空间问题平面化，转化为平面区域涂色问题.

【训练3】如图所示，一环形花坛分成A,B,C,D四块，现有四种不同的花

供选种，要求在每块里种一种花，且相邻的两块种不同的花，则不同的种法种

数为（）

A.96B.84

C.60D.48

解析依次种A,B,C,D4块，当C与A种同一种花时，有4X3X1X3=

36（种）种法；当C与A所种的花不同时，有4X3X2X2=48（种）种法.由分类

加法计数原理知，不同的种法种数为36+48=84.

答案B

【素养达成】

一、素养落地

1.通过本节课的学习重点提升数学抽象及数学运算素养.

2.分类加法计数原理与分步乘法计数原理是两个最基本，也是最重要的原理，

是解答排列、组合问题，尤其是较复杂的排列、组合问题的基础.

3.应用分类加法计数原理要求分类的每一种方法都能把事件独立完成；应用分

步乘法计数原理要求各步均是完成事件必须经过的若干彼此独立的步骤.一般

是先分类再分步，分类时要设计好标准，设计好分类方案，防止重复和遗

漏.若正面分类种类比较多，而问题的反面种类比较少时，则使用间接法会简

单一些.

二、素养训练

1.已知函数y=ax?+bx+c为二次函数，其中a,b,cG{0,1,2,3,4）,则

不同的二次函数的个数为（）

A.125B.15

C.100D.10

解析若y=ax2+bx+c为二次函数，则aWO,要完成该事件，需分步进行：

第一步，对于系数a有4种不同的选法；

第二步，对于系数b有5种不同的选法；

第三步，对于系数c有5种不同的选法.

由分步乘法计数原理知，共有4X5X5=100（个）.

答案C

2.6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为（）

A.144B.120

C.72D.24

解析剩余的3个座位共有4个空隙供3人（不妨记为甲、乙、丙）选择就座,

因此，可分三步：甲从4个空隙中任选一个空隙，有4种不同的选择；乙从余

下的3个空隙中任选一个空隙，有3种不同的选择；丙从余下的2个空隙中任

选一个空隙，有2种不同的选择.根据分步乘法计数原理，任何两人不相邻的

坐法种数为4X3X2=24.故选D.

答案D

3.两人进行乒乓球比赛，采取五局三胜制，即先赢三局者获胜，决出胜负为

止，则所有可能出现的情形（各人输赢局次的不同视为不同情形）共有（）

A.10种B.15种

C.20种D.30种

解析由题意知，比赛局数最少为3局，至多为5局.当比赛局数为3局时，

情形为甲或乙连赢3局，共2种；当比赛局数为4局时，若甲赢，则前3局中

甲赢2局，最后一局甲赢，共有3种情形；同理，若乙赢，则也有3种情形，

所以共有6种情形；当比赛局数为5局时，前4局，甲、乙双方各赢2局，最

后一局胜出的人赢，若甲前4局赢2局，共有赢取第1、2局，1、3局，1、4

局，2、3局，2、4局，3、4局六种情形，所以比赛局数为5局时共有2X6=

12（种），综上可知,共有2+6+12=20（种）.故选C.

答案C

4.（ai+a2）•（bi+b^+b：）,（ci+cz+cs+cj的展开式中有项.

解析要得到项数分三步：

第一步，从第一个因式中取一个因子，有2种取法；

第二步，从第二个因式中取一个因子，有3种取法；

第三步，从第三个因式中取一个因子，有4种取法.

由分步乘法计数原理知，共有2X3X4=24（项）.

答案24

5.将3种作物全部种植在如图所示的5块试验田里，每块种植一种作物且相邻

的试验田不能种植同一种作物，不同的种植方法共有种.

解析分别用a,b,c代表3种作物，先安排第一块田，有3种方法，不妨设

放入a,再安排第二块田，有2种方法b或c,不妨设放入b,第三块也有2种

方法a或c.

（1）若第三块田放c：

abc

第四、五块田分别有2种方法，共有2X2=4（种）方法.

（2）若第三块田放a：

aba

第四块有b或c2种方法：

①若第四块放c：

abac

第五块有2种方法；

②若第四块放b：

abab

第五块只能种作物c,共1种方法.

综上，共有3X2X（2X2+2+l）=42（种）方法.

答案42

【课后作业】

基础达标

一、选择题

1.由数字1,2,3组成的无重复数字的整数中，偶数的个数为（）

A.15B.12

C.10D.5

解析分三类，第一类组成一位整数，偶数有1个；第二类组成两位整数，其

中偶数有2个；第三类组成3位整数，其中偶数有2个.由分类加法计数原理

知共有偶数1+2+2=5（个）.

答案D

2.甲、乙、丙三人踢健子，互相传递，每人每次只能踢一下.由甲开始踢，经

过4次传递后，键子又被踢回甲，则不同的传递方式共有（）

A.4种B.5种

C.6种D.12种

解析若甲先传给乙，则有甲f乙f甲f乙f甲，甲f乙f甲一丙f甲，甲f

乙f丙f乙f甲3种不同的传法；同理，甲先传给丙也有3种不同的传法，故

共有3+3=6（种）不同的传法.

答案C

3.若三角形的三边长均为正整数，其中一边长为4,另外两边长分别为b,c,

且满足bW4Wc,则这样的三角形有（）

A.10个B.14个

C.15个D.21个

解析当b=l时，c=4；当b=2时，c=4,5；当b=3时，c=4,5,6；当

b=4时，c=4,5,6,7.故共有1+2+3+4=10（个）这样的三角形.

答案A

4.已知集合M={1,-2,3},N={-4,5,6,-7）,从两个集合中各取一个

元素作为点的坐标，则在直角坐标系中，第一、二象限不同点的个数为（）

A.18B.16

C.14D.10

解析分两类：一是以集合M中的元素为横坐标，以集合N中的元素为纵坐

标，有3X2=6（个）不同的点，二是以集合N中的元素为横坐标，以集合M中

的元素为纵坐标，有4X2=8（个）不同的点，故由分类加法计数原理得共有6+

8=14（个）不同的点.

答案C

5.有6种不同的颜色，给图中的6个区域涂色，要求相邻区域不同色，则不同

的涂色方法共有（）

A.4320种B.2880种

C.1440种D.720种

解析第1个区域有6种不同的涂色方法，第2个区域有5种不同的涂色方

法，第3个区域有4种不同的涂色方法，第4个区域有3种不同的涂色方法，

第5个区域有4种不同的涂色方法，第6个区域有3种不同的涂色方法，根据

分步乘法计数原理，共有6X5X4X3X4X3=4320（种）不同的涂色方法.

答案A

二、填空题

6.如图所示为一电路图，则从A到B共有条不同的单支线路可通

电.

解析按上、中、下三条线路可分为三类：上线路中有3条，中线路中有1

条，下线路中有2义2=4（条）.根据分类加法计数原理，共有3+1+4=

8（条）.

答案8

7.古人用天干、地支来表示年、月、日、时的次序.用天干的“甲、丙、戊、

庚、壬”和地支的“子、寅、辰、午、申、戌”相配，用天干的“乙、丁、

己、辛、癸”和地支的“丑、卯、巳、未、酉、亥”相配，共可配成

组.

解析分两类：第一类，由天干的‘'甲、丙、戊、庚、壬”和地支的“子、

寅、辰、午、申、戌”相配，则有5*6=30（组）不同的结果；同理，第二类也

有30组不同的结果，共可得到30+30=60（组）.

答案60

8.4名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中的

一个运动队，则不同的报法有种.

解析由于每个同学报哪个运动队没有限制，因此，每个同学都有3种报名方

法，4个同学全部报完，才算完成这件事，故共有3X3X3X3=81（种）不同的

报法.

答案81

三、解答题

9.将三个分别标有A,B,C的球随机放入编号为1,2,3,4的四个盒子中.

求：（1）1号盒中无球的不同方法种数；

（2）1号盒中有球的不同放法种数.

解（1）1号盒中无球即A,B,C三球只能放入2,3,4号盒子中，有3?=

27（种）放法；

（2）1号盒中有球可分三类：一类是1号盒中有一个球，共有3X32=27（种）放

法，一类是1号盒中有两个球，共有3X3=9（种）放法，一类是1号盒中有三

个球，有1种放法.共有27+9+1=37（种）放法.

10.若直线方程Ax+By=0中的A,B可以从0,1,2,3,5这五个数字中任取

两个不同的数字，则方程所表示的不同直线共有多少条？

解分两类完成.

第1类，当A或B中有一个为。时，表示的直线为x=0或y=0,共2条.

第2类，当A,B都不为0时，直线Ax+By=0被确定需分两步完成.

第1步，确定A的值，有4种不同的方法；

第2步，确定B的值，有3种不同的方法.

由分步乘法计数原理知，共可确定4X3=12（条）直线.

由分类加法计数原理知，方程所表示的不同直线共有2+12=14（条）.

能力提升

11.方程ay=b-'x'+c中的a,b,cG{—3,—2,0,1,2,3},且a,b,c互

不相同.在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（）

A.60条B.62条

C.71条D.80条

解析利用两个计数原理结合分类讨论思想求解.

当a=l时：若c=0,则b?有2个取值，共2条抛物线；若cWO,则c有4个

取值，b?有2个取值，共有2X4=8（条）抛物线.

当a=2时：若c=0,则b?有3个取值，共有3条抛物线；若cWO,当c取1

时，b?有2个取值，共有2条抛物线；当c取一2时，旨有2个取值，共有2条

抛物线；当c取3时，有3个取值，共有3条抛物线；当c取一3时，b?有3

个取值，共有3条抛物线.

/.a=2时共有3+2+2+3+3=13（条）抛物线.

同理，a=-2,-3,3时，共有抛物线3X13=39（条）.

由分类加法计数原理知，共有抛物线39+13+8+2=62（条）.

答案B

12.某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如

下表：（单位：人）

参加书法社团未参加书法社团

参加演讲社团85

未参加演讲社团230

（1）从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；

⑵在既参加书法社团又参加演讲社团的8