高三数学复习：函数导数不等式解三角形逻辑语言等五大试题汇编及详解答案

高考数学专题函数导数不等式解三角形三角函数逻辑语言

高考数学总复习：常用逻辑用语

知识网络

目标认知

考试大纲要求：

1.理解命题的概念；了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.

2.了解命题“若p,则q”的形式及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的

相互关系.

3.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.

4.理解全称量词与存在量词的意义；能正确地对含有一个量词的命题进行否定.

重点：

充分条件与必要条件的判定.

难点：

根据命题关系或充分（或必要）条件进行逻辑推理。

知识要点梳理

知识点一：命题

1.定义：

一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的语句叫做命题.

(1)命题由题设和结论两部分构成.命题通常用小写英文字母表示，如p,q,r,m,n等.

(2)命题有真假之分，正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题.数学中的定

义、公理、定理

等都是真命题；

(3)命题的真假判定方式：

①若要判断命题是一个真命题，需要严格的逻辑推理；有时在推导

时加上语气词“一

定”能帮助判断。如：「一定推出

②若要判断命题“霰冷”是一个假命题，只需要找到一个反例即可.

注意：不一定等于3"不能判定真假，它不是命题.

2.逻辑联结词：

“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词.

(1)不含逻辑联结词的命题叫做简单命题，由简单命题与逻辑联结词构成的命题叫做

复合命题.

(2)复合命题的构成形式：

①P或q；②P且q；③非P(即命题P的否定).

(3)复合命题的真假判断(利用真值表)：

fl非V而加

真真假真真

真假假真假

假真真真假

假假真假假

①当p、q同时为假时，“p或q”为假，其它情况时为真，可简称为“一真必真”；

②当p、q同时为真时，“p且q”为真，其它情况时为假，可简称为“一假必假”o

③“非p”与p的真假相反.

注意：

(1)逻辑连结词“或”的理解是难点，“或”有三层含义，以“p或q”为例：一是p

成立且q不成立，

二是P不成立但q成立,三是P成立且Q也成立。可以类比于集合中或

转弱”.

(2)“或”、“且”联结的命题的否定形式：

“P或q”的否定是“rp且rq”；“p且q”的否定是“p或rq”.

(3)对命题的否定只是否定命题的结论；否命题，既否定题设，又否定结论。

知识点二：四种命题

1.四种命题的形式：

用P和q分别表示原命题的条件和结论，用「P和rq分别表示p和q的否定，则四种

命题的形式为：

原命题：若P则q；逆命题：若q则P;

否命题：若rp则-iq；逆否命题：若-«q则-ip.

2.四种命题的关系

①原命题=逆否命题.它们具有相同的真假性，是命题转化的依据和途径之一.

②逆命题—否命题，它们之间互为逆否关系，具有相同的真假性，是命题转化的另一

依据和途径.

除①、②之外，四种命题中其它两个命题的真伪无必然联系.

知识点三：充分条件与必要条件

1.定义：

对于“若P则q”形式的命题：

①若piq,则P是q的充分条件，q是P的必要条件；

②若P=iq，但qep,则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件；

③若既有P—q,又有q—p，记作p—q,则P是q的充分必要条件(充要条件).

2.理解认知:

(1)在判断充分条件与必要条件时，首先要分清哪是条件，哪是结论；然后用条件推

结论，再用结论

推条件，最后进行判断.

(2)充要条件即等价条件，也是完成命题转化的理论依据.

“当且仅当”.“有且仅有”.“必须且只须”.“等价于”“…反过来也成立”等

均为充要条件的

同义词语.

3.判断命题充要条件的三种方法

(1)定义法：

(2)等价法：由于原命题与它的逆否命题等价，否命题与逆命题等价，因此，如果原

命题与逆命题真

假不好判断时，还可以转化为逆否命题与否命题来判断.即利用

与.犍I的等价关系，对于条件或结

论是不等关系

(或否定式)的命题，一般运用等价法.

(3)利用集合间的包含关系判断，比如AQB可判断为AaB；A=B可判断为AnB,且

B=*A,即A-B.

必要条件.

是的充分必要条件.

知识点四：全称量词与存在量词

1.全称量词与存在量词

(D全称量词及表示：表示全体的量词称为全称量词。表示形式为“所有”、“任意”、

“每一个”等，通常用符号“v”表示，读作“对任意”。

含有全称量词的命题，叫做全称称命题。

全称命题“对M中任意一个X,有p(x)成立”可表示为“傕•，蜜@用崎”，其中M为

给定的集合，p(x)是关于x的命题.

(II)存在量词及表示：表示部分的量称为存在量词。表示形式为“有一个”，“存在

一个”，“至少有一个”，“有点”，“有些”等，通常用符号“q”表示，读作“存在”。

含有存在量词的命题，叫做特称命题。

特称命题“存在M中的一个x,使p(x)成立”可表示为“矗•鹫^8”，其中M为

给定的集合，p(x)是关于x的命题.

2.对含有一个量词的命题进行否定

(I)对含有一个量词的全称命题的否定

全称命题P：嗨盘■尊瞬，他的否定r?全称命题的否定

是特称命题。

(II)对含有一个量词的特称命题的否定

特称命题P：他的否定~。特称命题的否

定是全称命题。

注意：

(1)命题的否定与命题的否命题是不同的.命题的否定只对命题的结论进行否定(否定

一次)，而命题

的否命题则需要对命题的条件和结论同时进行否定(否定二次)。

(2)一些常见的词的否定:

正面词等于大于小于是都是一定是至少一个至多一个

否定词不等于不大于不小于不是不都是一定不是一个也没有至少两个

规律方法指导

1.解答命题及其真假判断问题时，首先要理解命题及相关概念，特别是互为逆否命题

的真假性一致.

2.要注意区分命题的否定与否命题.

3.要注意逻辑联结词“或”“且”“非”与集合中的“并”“交”“补”是相关的，

将二者相互对照

可加深认识和理解.

4.处理充要条件问题时，首先必须分清条件和结论。对于充要条件的证明，必须证明

充分性，又要证

明必要性；判断充要条件一般有三种方法：用集合的观点、用定义和利用命题的等

价性；求充要条

件的思路是：先求必要条件，再证明这个必要条件是充分条件.

5.特别重视数形结合思想与分类讨论思想的运用。

2009届新课标数学考点预测一不等式

不等式是高中数学的重点和难点内容，它渗透到了中学数学课本的各个章节，在实际问

题中被广泛应用，可以说是解决其它数学问题的一种有利工具.单纯考查不等式的考题，一

般是中低档难度题，内容多涉及不等式的性质、解法、均值不等式的应用以及含有参数的不

等式，在解答题中一般与函数、数列、导数等知识结合，属于中高档难度题.预侧2009年

高考不等式的命题趋向：仍会继续保持2008年的命题特点，淡化独立性，突出工具性，以

客观题考查不等式的性质和不等式的解法，解答题突出不等式与函数、数列、导数等知识的

综合考查，深人考查不等式的证明和逻辑演绎推理能力

一、考点分析

（一）考试内容：

不等式的基本性质；不等式的证明；不等式的解法；含绝对值的不等式.

（二）不等式知识要点

1.不等式的基本概念

不等（等）号的定义：a-b>0a>b',a-b=0<^>a=h\a-b<0a<b.

不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式.

同向不等式与异向不等式.

同解不等式与不等式的同解变形.

2.不等式的基本性质

（1）a>bob〈a（对称性）

（2）a>b,h>c=>a>c（传递性）

（3）a>b^a+c>b+c（加法单调性）

（4）a>b,c>d^>a+ob+d（同向彳、等式相加）

（5）a>h,c<d=>a—c>b—d（异向不等式相减）

（6）a.>h,c>0=>ac>he

（7）a>/>,c<0=>ac<bc（乘法单调性）

（8）a>h>0,c>d>0=>ac>bd（同向不等式相乘）

（9）。>6>0,0<,<"=@>2（异向不等式相除）

cd

（10）a>b,ah>0^-<-（倒数关系）

ah

（11）a>b>0^a">h"（neZ,S.n>\）（平方法则）

（12）a>b>0=>标>底（〃€Z,且">1）（开方法则）

3.几个重要不等式

（1）若ae火，则\a|>0,a2>0

（2）若a、力e则a?+力2?2。力（或a?+A?22|2时）（当仅当a=b

时取等号）

（3）如果a,b都是正数，那么“石4出（当仅当a=b时取等号）

2

极值定理：若x,yeR*,x+y=S,^=P，则：

①如果P是定值，那么当x=y时，S的值最小；

②如果S是定值，那么当x=y时，P的值最大.

利用极值定理求最值的必要条件：一正、二定、三相等.

（4）若如b、ce陵,则“+1+c2必乐（当仅当a=b=c时取等号）

3

（5）若>0,则幺+322（当仅当a=b时取等号）

ab

2

（6）a>00寸,|x|>a=x?>42或x>q；|x|<a<=»x<cr<^>-a<x<a

(7)若a、6eH,则||a|-|6||<|a+b\<\a\+\b\

4.几个著名不等式

（1）平均不等式：如果a,b都是正数，那么[2].而”+叱（当

------1"-

ab

仅当a=b时取等号）即：平方平均》算术平均》几何平均》调和平均（a、b为正数）：特别

地，ab<(——)"<―--(当a=b时、(—~~)3=皿

2

a2+b2+c2f(7+4-6+C^PH*前笺、

----------->----------(a,b,c£7?,Q=6=c日寸取寺)

3y3J

n基平均不等式：a；+Q；+...+a：>—(^i+%+…+a〃)2

n

注：例如：(ac+bd)2<(a2+b2)(c2+d2).

常用不等式的放缩法：①‘一一-LY±Y―'-=-^---(7?>2)

nn+in(n+1)nn(n-1)n-\n

②V«+i-4n=,厂一'I—Y—Y..厂一)_=/n-Vw-i(/7>1)

Vw+Vw+l2，"A/W+A/W-1

、._若q,%%，…，%€R,bb,by,bGR;则

)打西不、「式：(〃向+〃24+%4+…x+,。2〃2)2W(nQ：+/+…+4)(々2+片+M+…片)

当且仅当包="="=••・=”时取等号

瓦b2byb„

(3)琴生不等式(特例)与凸函数、凹函数

若定义在某区间上的函数f(x),对于定义域中任意两点西,王(司。毛),有

士卫/'(小/⑷或工土强2/区)+/(W)则称f(x)为凸(或凹)函数.

2222

5.不等式证明的几种常用方法

比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法.

6.不等式的解法

(1)整式不等式的解法(根轴法).

步骤：正化，求根，标轴，穿线(偶重根打结)，定解.

特例①一元一次不等式ax>b解的讨论；②一元二次不等式ax'bx+cXKa#。)解的讨

(2)分式不等式的解法：先移项通分标准化，则

盘>0=/(x)g(x)>0;320=[/(加('"°

g(x)g(x)lg(x)-O

(3)无不等理式：转化为有理不等式求解

./(x)201

①J/(x)>Jg(x)Q-g(x)>oj'

/(x)>g(x)

,一[/(xRO/*>0,一f/(x)>0

©J/(x)>#)=虱xRO网点/@77^<g(x)og(x”0

/(x)>[g(x)fU(x)<[g(x)]2

(4)指数不等式：转化为代数不等式

af(x)>ag(x\a>1)<=>f(x)>g(x);af(x)>ag(x)(0<a<!)<=>/(%)<g(x)

af(x}>b(a>0,b>0)=/(x)lga>lgb

（5）对数不等式：转化为代数不等式

7（x）＞07w>o

logJ（X）＞log.g（x）（a＞1）og（x）＞0log„/(x)>log“g(x)(0<a<1)og(x)>0

/（x）＞g（x）/'(x)<g(x)

（6）含绝对值不等式

应用分类讨论思想去绝对值；应用数形思想：应用化归思想等价转化.

"(x)|<g(x)o[gC'?：2r(\(\

171s-g(x)</(X)<g(x)

"(x)|>g(x)Qg(x)<0(/(x),g(x)不同时为0)或｛闻<°_g(x)或/(x)>g(x)

注：常用不等式的解法举例(X为正数)：

1124

①x(l-x)2=-2X(1-X)(1-X)<—(—)3=~

②Dn产2加丁*)弓勺=:”等

类似于丁=5沦》（：052彳=5沦》（1一5布々），③|x+L|=|x|+|1|（X与！同号，故取等）22

XXX

（三）高考考纲对不等式的要求：

（1）理解不等式的性质及其证明：（2）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数

不小于它们的几何平均数的定理及其变形，并会简单的应用；（3）掌握分析法、综合法、比

较法证明简单的不等式；切实掌握上述三种方法证明不等式的方法步骤及使用范围,提高数

学式的变形能力；（4）掌握简单不等式的解法；掌握含参数不等式的解法及它在函数等方面

的应用；（5）理解不等式|a|-b|W|a+b|W|a|+b.对不等式重点考查的有四种题型：解

不等式、证明不等式、不等式的应用、不等式的综合.

（四）高考对不等式的考查侧重以下几个方面：

1.不等式性质的考查常与幕函数、指数函数和对数函数的性质的考查结合起来，一般

多以选择题的形式出现，有时与充要条件的知识联系在一起.解答此类题目要求考生要有较

好、较全面的基础知识，一般难度不大.

2.高考试卷中，单纯不等式的考题，一般是中档难度题，内容多涉及不等式的性质和

解法，以及重要不等式的应用.解不等式的考题常以填空题和解答题的形式出现.在解答题

中，含字母参数的不等式问题较多，需要对字母参数进行分类讨论，这类考题多出现在文科

试卷上.

3.证明不等式近年来逐渐淡化，但若考试卷中出现不等式证明，则往往不是单独的纯

不等式证明，而是与函数、三角、解析几何、数列、导数等知识综合考查，这时有可能是压

轴题或倒数第二题.此类考题区分度高，综合性强，与同学们平时联系的差距较大，考生要

有较强的逻辑思维能力和较高的数学素质才能取得较好的成绩.这类考题往往是理科试卷中

经常出现的题型.

4.应用问题是近年数学高考命题的热点，近些年高考试题带动了一大批“以实际问题

为背景，以函数模型，以重要不等式为解题工具”的应用题问世.解此类考题在合理地建立

不等关系后，判别式、重要不等式是常用的解题工具.

5.含有绝对值的不等式经常出现在高考试卷中，有关内容在教材中安排较少，考生解

此类问题大多感觉困难，这与平时练习量不足有关，对此应有所加强.

6.解不等式的基本思想是转化，解题思路是利用不等式的性质及结合有关函数的性质

把问题转化为一元一次不等式、一元二次不等式、含有基本初等函数的最基本不等式，然后

求解.在这里着重强调的是，解不等式是在不等式有意义的前提下求出满足不等式的未知数

取值的集合，在解无理不等式、对数不等式时，要注意其定义域.

二.应试对策与考题展望

1.在复习不等式的解法时，要加强等价转化思想的训练，以便快速、准确求解.在解

或证明含有参数不等式的过程中，一般要对参数进行分类讨论，因此，还要加强分类讨论思

想的训练，做到分类合理、不重不漏.由于不等式、函数、方程三者密不可分，相互联系、

互相转化，所以，强化函数与方程思想在不等式中的应用训练十分必要.

2.高考中，对不等式的考查不是单一的，所以此类考题往往综合性强，难度也较大，

应用极其广泛，诸如求最值、比较大小、函数性质（定义域、值域、单调性、有界性、最值）

的研究、方程解的讨论、曲线类型和两曲线位置关系的判定等等.因此，复习时应强化理解

不等式的应用，注意多知识点的相互渗透.

3.在复习不等式时，一要注意强化含参数不等式的解法与证明的训练，尤其是理科考

生更应注意到这一点；二要加强以函数为载体的不等式练习，如果以函数为背景考题出现在

试卷上，一定与高等数学知识及思想方法相衔接，立意新颖，抽象程度高；三要灵活处理以

导数为载体的导数、不等式、函数大型综合问题，这类代数推理考题在复习时一定要倍加关

注.

三.经典例题剖析

考点一：不等式的性质

不等式的性质是解不等式与证明不等式的理论根据，必须透彻理解，且要注意性质使用

的条件；比较两个实数的大小，一般用作差法，有时也可用作商法，其实质上是不等式性质

的应用，当然它也是不等式证明的一种方法.

例L设实数b,满足下列三个条件：d>c；a+b=c+d；a+dvb+c。请

将按从小到大的顺序排列，并证明你的结论。

解：

a+d<b+c=d-b<c-a

1tf[d-h<h-d[d<h

a+b=c+d=>c-a=b-d=><又因为

[a-c<c-a[a<c

d>c,所以a<c<d<b.

点评：正确找到一个合理的解题程序，可大大提高解题速度.

例2.设/(幻=。，+次,且一1)W2,2W/(1)<4,求/(—2)的取值范围.

解：因为f(-l)=a-b,f(l)=a+b,所以，

。=；[/(1)+/(-1)]，。=；[/(1)一/(一1)]，则/(一2)=4。—2b=3/(-1)+/(1)

又因为，1</(一1)《2,2</(1)<4,所以5«3/(-1)+/(1)<10,故54/(—2)410.

点评：严格依据不等式的基本性质和运算法则是正确解答此类题目的保证.

例3.(宁夏银川一中2008届高三年级第三次模拟考试)设aER且比较

7

7=-与痣-a的大小.

J2+4

02

解：—j=(&-a)--j=---,

V2+av2+a

2)

当a>—力且aWO时，:——>0,—五-a.

>/2+aA/2+a

2,

当。=0时，—=0,：.-j=—=y/2-a.

j2+a>/2+a

22

当q<_双时，；——<0,—y/2-a.

A/2+QJ2+Q

点评：比较大小的常用方法是：作差比较与作商比较.在数的比较大小过程中，要遵循

这样的规律，异中求同即先将这些数的部分因式化成相同的部分，再去比较它们剩余部分，

就会很轻易啦.一般在数的比较大小中有如下几种方法：(1)作差比较法和作商比较法，前

者和零比较，后者和1比较大小；(2)找中间量,往往是1,在这些数中，有的比1大，有的

比1小；(3)计算所有数的值；(4)选用数形结合的方法，画出相应的图形；(5)利用函数的单

调性等等.

考点二：含参数的不等式问题

含有参数的不等式问题是高考常考题型，求解过程中要利用不等式的性质将不等式进行

变形转化，化为一元二次不等式等问题去解决，注意参数在转化过程中对问题的影响.

例4.(福建德化一中2008年秋季高三第二次质量监控考试)已知/(X)对一切实数

都有/(x+y)=/(x)+/(y),且当x>0时，/(x)<0(1)证明/")为奇函数且是R上

的减函数；(2)若关于x的不等式/[cos2(x+2)]—/[sin2(x+生)]</(加)对一切

66

xeL0,2-J恒成立，求m的取值范围.

(1)证明:依题意取x=y=0有/'(0)=2/(0),.•./(())=0.

又取y=—X可得/(x-x)=/(x)+f(-x)=/(0)(xeR),/(-X)=eR)

由x的任意性可知f(x)为奇函数，又设项<%2,则%2=X\+(%2_/)，其中%2_演>0

•l-f(x2)=/[石+(%2一7)]=，(石)+f(x2-x1),,：f(x2-xi)<0,.,•/(%!)>f(x2)

：.f(x)在R上减函数.

(2)解：•.•函数f(x)是奇函数，.•.由/[cos2(x+-)]-/[sin2(x+-)]<〃加)得

66

/[cos2(x+£)]+/[-sin2(x+y)]</(w)

66

/[cos2(x+—)-sin2(x+—)]<f(加)即/[cos(2x+—)]<f(m),又,:/(x)是R上的

663

jrTT

减函数，，COS(2x+§)>加对于一切0,—恒成立，

,故此时cos(2x+令的最小值为一1,二加<一1.

当xw0,—时,2x+

2r

点评：在确定恒成立不等式中参数的取值范围时，需要在函数思想的指引下，灵活地进

行代数变形、综合地运用多科知识，方可取得较好的效益，因此此类问题的求解当属学习过

程中的难点.对于不等式恒成立问题，除了运用分类讨论的方法外，还可采用分离参数的方

法，即对于一些含参数的不等式恒成立问题，如果能够将不等式进行同解变形，将不等式中

的变量和参数进行剥离，即使变量和参数分别位于不等式的左、右两边，然后通过求函数的

值域的方法将问题化归为解关于参数的不等式的问题.

例5.（山东省泰安市2008年高三11月教学质量检测）设命题p：函数

/（处=也（以2-》+,4）的定义域为心命题q：不等式3、—9*<4对一切正实数均成立,

16

（1）如果p是真命题，求实数a的取值范围；（2）如果命题"p或q”为真命题，且“p且

q”为假命题，求实数a的取值范围.

解：（1）若命题P为真，即。/一%+'_。>（）恒成立

16

a>0

__a>0

①当a=0时，—x>0不合题意，②当时，可得《即<1、，，a>2

V<01——a2<0

（2）令歹=3"-9'=一（3'—；）+；,由x>0得3'>1,.•/=3'-9、的值域为

（-8,0）,若命题q为真，则。2°.由命题“p或q”为真且“p且q”为假，得

命题p、q一真一假，①当p真q假时，a不存在；②当p假q真时，0WaW2.

/.0<a<2.

点评：对于含参数问题，常常用分类讨论的方法.在解答有关不等式问题时，有时会遇

到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法.分

类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了

化整为零、各个击破的解题策略.有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、

探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在高考试题中占有重要的位置.解答分类讨

论问题的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定

分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不漏不重、分类互斥（没有重复）；再对所分

类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论.

2X-1

例6.（广东省深圳中学2008—2009学年度高三第一学段考试）已知函数/'（x）=,

（1）试判断函数的单调性并加以证明；（2）当/（x）<a恒成立时，求实数a的取值范围.

2X-x

解：（1）函数/（x）：］口7的定义域为R,函数/（x）在R上是增函数，

设七广2是R内任意两个值，并且玉则/'（/）一/'（》2）=贮■二一”二

T'+222+1

_(2为—1)(2*+1)—(2*2—1)(2"+1)_2(2，'-2*2)

(2*+1)(2,+1)一(2-+1)(2-+1)

1

2'<2七，，/3)-/(x2)=2(2"»)<0

123*(2为+1)(2应+1)

即.­../■(%))</(x2)，，/(x)是R上的增函数.

2r-1

⑵/(X)=・・・2、>0,・・.2A+1>1

2、+1

222

0>-------<2,-2<-------<0,-1<1----------<1

1+2X1+2Y1+2”

即一1</(x)<1,当/(x)<。恒成立时,a>1

点评：一般地对不等式恒成立有下列几种情形：①f(x)》g(k)<==>[f(x)]min》g(k)

②f(x)>g(k)<==>g(k)<[f(x)]min③f(x)Wg(k)<==>[f(x)]maxWg(k),④f(x)W

g(k)<=>[f(x)]max<g(k).

例7.(福建省八闽高中2008年教学协作组织联考)设/(x)=px—幺-21nx,且

X

f(e)=qe-2-2(e为自然对数的底数)(1)求o与q的关系；(2)若/'(x)在其定义

e

域内为单调递增函数，求〃的取值范围；(3)设g(x)=之且P>0,若在[l,e]上至少存

X

在一点使得/(Xo)>g(xo)成立，求实数夕的取值范围.

解：(1)由题意得f(e)=pe—~—21ne=qe—­—2

n(p—q)(e+-)=0.而e+，WO,/.p=q,

ee

(2)由(1)知f(x)=px---21nx,f7(x)=p+A-2=-----2j+夕,

xxxx

要使f(x)在其定义域(0,+oo)内为单调增函数，只需『(x)在(0,+oo)内满

足：f7(x)20恒成立.即px1-2x4-/?>0(p>0)对(0,+oo)恒成立，因此

(-2)2-4〃24O=pNl.

(3),/g(X)二,在[1,6]上是减函数，・・.X=e时，g(x)min=2,X=1时，

g(X)皿=2e即g(x)G⑵2e].

①0<p<1时，由xw[l,e]=>x—-20,/.f(x)=p(x—-)—21nx<x

xx

—~—21nx,当p=1时，f(x)=x—~—21nx在［l,e］递增.

xx

/.f(x)<x--—21nxWe—'—21ne=e—~—2<2,不合题意.

xee

②pel时，由(2)知f(x)在［l,e］连续递增，f(1)=0<2,又g(x)在

［1,e］上是减函数.，本命题of(x)max>g(x).in=2,xG［1,e］,

14e

=>f(x)aax=f(e)=p(e_-)-21ne>2=>p>—~r，

ee—1

综上，p的取值范围是(-m~r,+°°).

e—1

考点三：解不等式问题

例8.解不等式(/一3x+2)Q2-2x—3)<0.

解：(第一步)将不等式左边分解为几个一次因式(每个因式工的系数为正)，得

(x—l)(x—2)(x+l)(x—3)<0.

(第二步)如图1,在实数轴上标出每个因式为0的实根的对应点.

k___4

1图1x

(第三步)这四个实数根将实数轴分为五个区间.在从右到左的第一个区间(3,+8)内，每

个因式均为正，故其积为正；在从右到左的第二个区间(2,3)内，只有一个因式为负，其

余因式均为正，故其积为负；在从右到左的第三个区间(1,2)内，有两个因式同时为负，

其余因式为正，故其积为正；在从右到左的第四个区间(一1,1)内，有三个因式均为负，

其余因式为正，故其积为负；在从右到左的第五个区间内，四个因式同时为负，

故其积为正.因此，可将其解集直观地标在数轴上，即用弧线从右到左(第一个区间内弧线

恒在数轴上方)，将这五个区间连结起来，弧线经过数轴上方的区间就是这些因式的积大于

。的解集；弧线经过数轴下方的区间就是这些因式的积小于。的解集.故原不等式的解集为

(-1,1)u(2,3).

点评：解实系数一元高次不等式，可先把最高次项的系数化为正数，并使右边为0,再

通过因式分解，将左边变形，最后用数轴标根法求解集.对于分式不等式也可采类似的方法.

例9.(广东省深圳中学2008-2009学年度高三第一学段考试)解不等式

-2.《严>正.

解：2X+2-(1)4-2x>V2,/.2X+2-22X-4>2"即23、-2>22,得8>g,

所以原不等式的解集为{x|x>|}.

点评：本题是指数型的不等式，尽可能化同底.

例10.已知。〉0且a声1,试解关于1的不等式Jlog“x-1<7log?x.

解：令1=Jlog,l(r>0),则原不等式

<=>/2+/-6<0<=>(/+3)(r-2)<0、八八

,八).vz+3>0,.-./-2<0,

即0WJlogax-1<2,/.1<log(,x<5.

故当a>l时，原不等式的解集是MaWxv/}当。<。<1时，原不等式的解是

{r|a5<x<a\.

点评：本题是利用换元法求解.换元法是指解数学题时，把某个式子看成一个整体，

用一个变量去代替它，从而使问题得到简化.换元的实质是转化，关键是构造元和设

元.换元法是一种重要的解题方法，它可以化高次为低次、化无理式为有理式、化超越

式为代数式，它不仅在中学数学中有广泛应用，而且在高等数学中也有广泛应用.复习

中必须给予充分的重视，有意识、有目的地加强这方面的训练和运用.

考点四：均值不等式问题

(一)知识梳理

1.把巴甘称为a、b的算术平均数，称J法为a、b的几何平均数。因而，二元均值

2

定理可以叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。如果把看作是正

2

数a、b的等差中项，J益看作是正数a、b的等比中项，那么二元均值定理还可以叙述为:

两个正数的等差中项不小于它们的等比中项

2.一般的数学中的定理、公式揭示了若干量之间的本质关系，但不能定格于某一种特

殊形式，因此不等式Y+b222ab的形式可以是a222ab—b2,也可以是ab比"，

2

r212

还可以是a+幺22b（a>0）,222b—a等。解题时不仅要利用原来的形式，而且要掌

aa

握它的几种变形形式及公式的逆用等，以便灵活运用.

3.尽管二元均值定理的应用范围极广，推论和相关结论也很多，但其本身终究是由不

等式的意义、性质推导出来的.凡是用它可以获证的不等式，均可以直接根据不等式的意义、

性质证得.因此，在算术平均数与几何平均数定理的应用中，不可忽视不等式的意义、性质

等概念在处理有关不等式论证方面的根本作用.

4.二元均值不等式不但可以处理两个正数的和与积结构的不等式，结合不等式的性质

还可以处理两个正数的平方和、倒数和与其它变形式的结构，由公式a?+b222ab和巴S

2

，而可以得到以下几个重要结论：

①a2+b2>-2ab（当且仅当a=-b时取"=”号）;

②a2+b2221ab1（当且仅当|a|=Ib|时取“=”号）;

③a2+b2>-2|ab|（当且仅当a=b=0时取"="号）;

④：二W/益忘七吆^[^士生（a、b都是正数，当且仅当a=b时等号成

2V2

ah

立）.

5.二元均值不等式还能处理几个正数的平方和与和结构，倒数和与和结构，根式和与

和结构及两两之积与和结构等不等式问题，但在处理这些结构型的不等式时，要注意与其它

依据相结合来处理。常见结构的不等式的处理方法归纳如下：

（Dab+bc+ca与a+b+c型

利用（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca与a?+b2+c22ab+bc+

ca相结合；

（2）a2+b2+c2-^a+b+cS

利用a2+b2+c2>ab+bc+ca乘以2再加上a?+b2+c?即可;

（3）yfa+y/b+y/c与a+b+c型

只要在⑵中每个字母开方代换即可.

6.利用均值定理可以求函数或代数式的最值问题：

⑴当a,b都为正数，且ab为定值时，有a+b22j石（定值），当且仅当a=b时取

“=”号，此时a+b有最小值；

⑵当a,b都为正数，且a+b为定值时，有abW（a+b]（定值），当且仅当

4

a=b时取“=”号，此时ab有最大值.

以上两类问题可简称为“积大和小”问题.

7.创设应用算术平均数与几何平均数定理使用的条件，合理拆分项或配凑

因式是经常用的解题技巧，而拆与凑的过程中，一要考虑定理使用的条件（两数都为正）；二

要考虑必须使和或积为定值；三要考虑等号成立的条件（当且仅当a=b时取"=”号），它

具有一定的灵活性和变形技巧，高考中常被设计为一个难点.

8.二元均值定理具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和

式”的放缩功能，若所证不等式可变形成一边为和，另一边为积的形式，则可以考虑使用这

一定理把问题转化.其中''一正二定三相等”在解题中具有双重功能，即对条件的制约作用，

又有解题的导向作用.

（二）特别提示：

1.在使用公式a2+b222ab和空2》，石时，要注意这两者成立的条件

2

是不相同的，前者只要求a、b都是实数，而后者要求a、b都是正数.

2.在使用二元均值定理求最值时，必须具备三个条件：①在所求最值的代

数式中，各变数均应是正数（如不是，则进行变号转换）；②各变数的和或积必须为常数，以

确保不等式一边为定值（如不是，则进行拆项或分解，务必使不等式的一端的和或积为常数）；

③各变数有相等的可能（即相等时，变量字母有实数解，且在定义域内，如无，则说明拆项、

分解不当，此时，应重新拆项、分解或改用其它方法，比如，已知x[2,3],求函数y=x

的最小值，从形式上看可以使用二元均值定理，但等号成立的条件不具备，因此，要

x

考虑函数的单调性把问题解决）.

3.在使用均值定理证明问题时，要注意它们反复使用后，再相加相乘时字

母应满足的条件及多次使用后等号成立的条件是否一致，若不一致，则不等式中的等号不能

成立.

例11.有一组数据：玉,马,…，猫（为<》2<…〈4），它们的算术平均值为1°，若去

掉其中最大的一个，余下的数据的算术平均值为9;若去掉其中最小的一个，余下数据的算

术平均值为11.（I）求出第一个数不关于n的表达式及第n个数x“关于n的表达式，（II）

若天,々,…,您都是正整数，试求第n个数的最大值，并举出满足题目要求且X,取到最

大值的一组数据.

%!+X2H---Xn=1Ow(1)

解：依条件：,再+》2H---Fxit_}=9(/7-1)⑵

X2+X3+•••+Xz/=11(〃-1)(3)

(I)由(1)—(2)得：xfl=n+9再(1)—(3)得：-¥i-l1—n.

(II);汨是正整数，.\XF11—n^l,=^>1</7<10,/.AiFn+9^19.

当n=10时，x,=l,xI0=19x2+x3+••-4-x9=80.

此时，取当=6,X3=7,X4=8,X5=9,x6=1l,x7=12,X8=13,x9=14即口J,

・••当n=10时，Xn的最大值是19.

点评：注意掌握均值不等式成立的条件及其变形；注意掌握“凑”的技巧，创造应用均

值不等式的情境；注意掌握均值不等式等号成立的条件.

例12.（山东省聊城市2007-2008学年度第一学期高三期末统考）某投资商到一开发区

投资72万元建起一座蔬菜加工厂，第一年共支出12万元，以后每年支出增加4万元，从第

一年起每年蔬菜销售收入50万元.设/（〃）表示前n年的纯利润总和（/（〃）=前n年的总

收入一前n年的总支出一投资额）.（1）该厂从第几年开始盈利？（2）若干年后，投资商为

开发新项目，对该厂有两种处理方案：①年平均纯利润达到最大时，以48万元出售该厂；

②纯利润总和达到最大时，以16万元出售该厂，问哪种方案更合算？

解：由题意知/（〃）=50〃—[12〃+^^x4]—72=-2〃2+40〃—72

⑴由/（〃）>0,即一2/72+40/7-72>0,解得2<〃<18,

由〃wN*知，从经三年开始盈利.

（2）方案①：年平均纯利润小。=40-2（〃+—）<16,当且仅当n=6时等号成立.

nn

故方案①共获利6X16+48=144(万元)，此时n=6.

方案②：/(〃)=一2(〃-10)2+128.当"10,/(«)max=128.

故方案②共获利128+16、144(万元).

比较两种方案，获利都是144万元，但由于第①种方案只需6年，而第②种方案需10

年，故选择第①种方案更合算.

点评：不等式的应用问题，综合性强，是高考应用命题的重点之一，不等式的应用题大

部分以函数的面目出现，在解决范围问题或求最值时，均值不等式为主要工具，从而解决实

际问题。解题步骤：1、先理解题意，设