苏教版必修第二册9 .4 向量应用-2 同步练习

【精挑】9.4向量应用-2同步练习

一.填空题

1.

在△的（；中，若点E满足3£=3£C,AE=4AB+4AG则4+%=.

2.

若点M是AABC所在平面内的一点,且满足5AM=AB+3AC,贝iQABM与AABC的面积比为

3.在钝角^ABC中，NA为钝角，令@=嘉，b=AC,若AD=xa+yb（x,y€R）.现给出下

面结论：

11

x=-y=-

①当33时，点D是aABC的重心；

430AABD3

csx~,y=-；=7

②记aABD,4ACD的面积分别为%BD,%CD,当55时，%CD匕

y+11

---（一,1）

③若点D在aABC内部（不含边界），贝iJx+2的取值范围是3.

23厂

-+-的最值为5+2J6

④若点D在线段BC上（不在端点），贝”y

⑤若AD=AAE,其中点E在直线BC上，则当x=4,y=3时，入=5.

其中正确的有（写出所有正确结论的序号）.

4.

已知作用于原点的两个力Fl=（3,4）,F2=（2,-5）,现增加一个力F,使这三个力FL

F2,F的合力为0,则F=.

5.

如图，在平行四边形.4BCD中，43=120°,.15=2,.10=1.,若题强，

怔JD,贝！）实数：的值为

6.

如图所示，两条成120°角的等长的绳子悬挂一个灯具，已知灯具的重量为10N,则每

根绳子的拉力大小是

7.

已知向量〃与向量〃平行，其中加=（2,8）,〃=（-4,/）,贝h=.

8.

已知。为的外心，且=+

①若NC=90°,则4+〃=；

②若NABC=60°,则4+〃的最大值为.

9.

已知向量。=（加，加一1）,。=（2,1）,且a_L。，则时=.

10.

（2014•绵阳高一检测）两个大小相等的共点力FLF2,当它们间的夹角为90。时合力

大小为20N,则当它们夹角为120。时，合力的大小为N.

11.

如图，已知边长为4的正方形48。，E是8c边上一动点（与8.C不重合），连结

AE,作即，AE交N8CO的外角平分线于F.设8£=尤，记/（x）=ECC尸，则

函数.f（x）的值域是.

12.

若正方形ABCD的边长为1,点P在线段AC上运动,则AP^（PB+PD）的最大值是

13.

已知两个平面向量内〃满足时=1,卜-2。卜"f,且a与方的夹角为120。，则忖=

14.

已知A4BC的面积为16,BC=8,则AB•AC的取值范围是.

15.

已知。，匕是夹角为60。的两个单位向量，则当实数「目-1』时，|。+仍|的最大值

为

参考答案与试题解析

1.【答案】1

【解析】

—>■—•,—-—>3—"—*3（'—>—>\1—►3—"

试题分析：AE=AB+BE=AB+-BC=AB^-\AC-AB]=-AB+-AC,所以

44''44

]3

4+42=----1—=1,故填：L

-44

考点：平面向量基本定理

3

2.【答案】5

【解析】

【分析】

连接AM,BM,延长AC至D使AD=3AC,延长AM至E使AE=5AM,连接BE,则四边形ABED

11

是平行四边形，利用‘弥寸/'SAAMB^AABE，三角形ABD面积=三角形ABE面

积=平行四边形ABED面积一半，即可求得结论.

【详解】

M是AABC所在平面内的一点，连接AM,BM,

延长AC至D使AD=3AC,延长AM至E使AE=5AM,

如图示：•・,5AM=AB+3AC,•*-AB=5AM-3AC=DE,

连接BE,则四边形ABED是平行四边形（向量AB和向量DE平行且模相等）

111

△SS

由于Ab=3AC,所以S"ABC=3,ABD，AAMB=5AABE'所以SAAMB=/&ABE，

在平行四边形中，三角形ABD面积=三角形ABE面积=平行四边形ABED面积一半

1

-S

5°△ABE3

一，

15

故△ABM与△ABC的面积比3&ABD

3

故答案为5

【点睛】

本题考查向量知识的运用，考查三角形面积的计算，解题的关键是确定三角形的面积,

属于中档题.

3.【答案】①②③④

【解析】【分析】

①由共面向量基本定理，结合向量加法的平行四边形法则，判定即可。

②根据向量加法运算并结合等底等高三角形的面积，求得即可判断。

③根据点D在三角形内部，可求得x.y的取值范围，根据斜率的意义并结合线性规划

的内容，综合求得斜率的取值范围。

④根据点D在BC上，求得x与y的关系，结合基本不等式即可求得最值。

⑤根据平面向量基本定理，求得人的值。

【详解】

当x=y=-AD=-AF

①AD=a+b=AF33时，3,所以D为靠近A的三等分点，即为4ABC

的重心。所以①正确

-4--3-

AP=-a,AQ=-b

②设55

4343

s=-SJZJsSAACD=­s

,AAPDAABDZkAQD7即5$AABD5AACD

则rl5c

^△ABD3

所以SAACD4,所以②正确

/x>0

y>o

③因为D在aABC内部，所以［o<x+y<l

y+i

x+2即为（x,y）与（-2,-1）连线斜率的取值范围，由求线性规划的线性目标函数的

1y+1

k=l,k.=-----E21

取值方法可知，maxmm3所以x+2,所以③正确。

④若D在BC上，则x+y=l所以

23/23\

-+-=-+-(x+y)

xy\xy/

2y3x

=5+—+——

xy

2y3x

25+2市当且仅当xy时取得等号，所以④正确

⑤当x=4,y=3时，AD=4a+3b

-1-4-3i

-AE=-AD=-a+-b

因为AD二XAE，所以入入入

43

—+—=1

因为E在BC上，所以入人

所以入=7,所以⑤错误

综上，正确答案为①②③④

【点睛】

本题考了平面向量的综合应用，及其相应的结合知识点，考查内容综合性强，对综合能

力要求较高，属于难题。

4.【答案】(-5,1)

【解析】•"+K+QO,.'.尸=一＞一£=(-3,-4)+(-2,5)=(-5,1).

答案为(-5,1)

5.【答案】5

【解析】：-30,森S-=颐，又m=应-应=tDC-瓦=,£逋;乳藏,

JD=AD2AB,?(XD?AB)

.嘶”=喇..，:•=£

考点：向量在几何中的应用.

6.【答案】10N

【解析】由题意知以两根绳子AB,BC为邻边构成菱形ABCD.

B

其中BD|=10N,由NABC=120°,得/ABD=60°.

所以AABD为等边三角形，所以|BA|=|BC|=|BD|=10N.

7.【答案】-16

【解析】试题分析：由向量m与向量〃平行得2/=-32,.1=-16.

考点：向量的平行.

8.【答案】!1

23

。__।11

【解析】①若NC=90,则。为AB边的中点，8。=/84,即丸=展〃=0,故填］；

②设的三边长分别为a,b,c,因为。为的外心，且80=2BA+所

1，,21,11

.2.—c-=Ac~+—uacZc+—Lia=一

BO'BAABA+uBA*BC

以｛,，即｛:]，化简得：§;

B0・BC=2BA・BC+pBC'—ci——Acic+u.ci~-Ac+UCl——

2222

2a

A

；3“，则"〃=三4ac422工…2

解得：｛一十一<]一]=§,故填

2c33c3a

3~3a

9.【答案】

3

【解析】

_1]__2

试题分析：展b=2m+m—l=0,解得m=-那么

33-3

,故填：。

考点：向量数量积的坐标表示

10.【答案】106

【解析】当两个力之间的夹角为90。时合力大小为20N,根据平行四边形法则，知

同=同=10应N.（如图1）

当两个力之间的夹角为120。时，如图2,根据平行四边形法则知，合力的大小为106

N.

11.【答案】（0,4]

【解析】如图，作FG_L3C,交8C延长线于G,则CG=FG,易证得

ADRF

：.——=——，设FG=CG=m,贝ijEG=EC+CG=4-x+m,Z.

EGFG

4x

----------=—=>m=x,

4-x+mm

：./（x）=ECCF=（4-x）-V2x-cos^=x（4-x）,由题知0<x<4,所以

0</（x）<4,

故〃x）的值域是（0,4],故答案为（0,4].

⑵【答案】5

【解析】如图，以［为原点建立平面直角坐标系,

则加0,0),8(1,0),〃(0,1),可设P(x,x)(0<xWl).

则有APAx,x),PB=(1-x,-x),PD=(-x,1-x),从而AP•(PB+PD)=/^友矛二^

11

故当，时，”・(如町取最大值“

13.【答案】2

【解析】试题分析：

卜—24=历=>42—4。力+462=21=1+2忖+4/=21=忖=2(负舍)

考点：向量数量积

【方法点睛】平面向量数量积的类型及求法

(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式a・b=|a||b|cos0；二是坐标公式

a•b=x^+yiy2；三是利用数量积的几何意义.

(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公

式进行化简.

14.【答案】［0,田)

【解析】由于BC=8为定值，故A点到8C的距离力为定值，由面积得

--5C/?=16,/z=4.A点在平行于BC的直线上运动.当A位于BC的垂直平分线上

2

7T

时，由于。B=OC=OA,此时三角形为等腰直角三角形，且N84'C=—.A点在其

2

它位置时NBAC<3.故AC=•cos/BAC>0.

f

AA

【点睛】本题主要考查三角形的面积公式，考查向量的数量积运算.由于在三角形ABC

中，一边8C=8为定值，而三角形ABC的面积也为定值，故