高中数学函数学案

第三章函数

学案（1）映射（选讲）

心目标

1.理解函数的定义；函数的定义域、值域（陪域）和对应法则三个要素;

2.理解静与动的辩证关系，激发学习数学的兴趣和积极性.

复习

初中（传统）的函数的定义是什么？初中学过哪些函数？

，口新遽

什么叫做映射？___________________________________________

象_____________________________________

原象_____________________________________

定义域，值域（陪域），对应法则

例1判断下列对应是否是映射？

例3判断下列两个对应是否是集合A到集合B的映射？

(1)设人={1,2,3,4},B={3,4,5,6,7,8,9),

对应法则/：X-»2%+1

(2)设—=>*,8={0,1},对应法则/：XTX除以2得的余数

(3)A=N,8={0,1,2},和IWf彳触余数

(4)设*={1,2,3,4},丫={1，:二,，}广,3%取倒数

(5)A-{x\x>2,xeN},B-N,7:xT小于龙的最大质数

辔爻练习

1.设A={1,2,3,4},B={3,4,5,6,7,8,9},集合A中的元素x按照对应法则“乘2

加1”和集合B中的元素2x+l对应.这个对应是不是映射？

2.设人=",B={0,1},集合A中的元素x按照对应法则“x除以2得的余数”和集

合B中的元素对应.这个对应是不是映射？

3.A=Z,B=N*,集合A中的元素x按照对应法则“求绝对值”和集合B中的元素对

应，这个对应是不是映射?

4.A={0,1,2,4},B={0,1,4,9,64},集合A中的元素x按照对应法则

“f：a-»b=伍-1)2”和集合B中的元素对应.这个对应是不是映射？

5.下面说法正确的是()

(A)B中的某一个元素b的原象可能不止一个

(B)A中的某一个元素a的象可能不止一个

(C)A中的两个不同元素所对应的象必不相同

(D)B中的两个不同元素的原象可能相同

6.下面哪一个说法正确？()

(A)对于任意两个集合A与B,都可以建立一个从集合A到集合B的映射

(B)对于两个无限集合A与B,一定不能建立一个从集合A到集合B的映射

(C)如果集合A中只有一个元素，B为任一非空集合，那么从集合A到集合B只能

建立•个映射

(D)如果集合B只有一个元素，A为任一非空集合，则从集合A到集合B只能建立

一个映射

2n-1?x-l

7.集合A=N,B={mI----,nEN},f:x-*y=------，xeA,y£B.请计算在f作用

2〃+l2x4-1

下，象二9，二11的原象分别是多少？

1113

学案(2)函数的三要素

目标

1.巩固定义域、值域、对应法则；

2.了解复合函数的意义.

复习

已学函数的定义域和值域

1.一次函数)，=分+/?(。。0):定义域R,值域R;

2.反比例函y=公伙。0):定义域{x|xwO},值域{y|y。0};

3.二次函数y=a》2+bx+ch0)：定义域R

4ac—4ac—

值域：当a>0时，b|y>k当a<0时，f\y\y<

4a[4a

Z新课

函数的三要素：____________________

例1求下列函数的定义域：

①/(x)=―-一：②/(x)=j3x+2；③/(x)=Jx+1+一!一

x-22-x

例2已知函数/(1)=3以2-5X+2,求f(3),f(-V2),f(a+1).

例3已知函数〃劝=2/+3%+4,试求其值域.

例4已知函数/(X)=2/+3X+4(-1<X<2),试求其值域.

例5下列函数中哪个与函数y=x是同一个函数?

(1)y-(Vx)'；(2)y-；(3)y=

例6下列各组中的两个函数是否为相同的函数？

,、(x+3)(x-5).

⑴必—为=1

x+3

(2)y1=Jx+lJx-ly2=-y/(x+l)(x-1)

(3)力(x)=(j2x-5-%(x)=2x-5

例7已知/(J7+1)=x+2J7,试求f(x)的解析式.

学案（3）函数的表示法

*0目标

1.掌握函数的解析法、列表法、图象法三种主要表示方法；

2.培养数形结合、分类讨论的数学思想方法，掌握分段函数的概念.

函数的表示方法：

（1）解析法：______________________________________

（2）列表法：_____________________________________

（3）图象法：_____________________________________

例1某种笔记本每个5元，买xe{1,2,3,4}个笔记本的钱数记为y（元），试写出以

x为自变量的函数y的解析式，并画出这个函数的图像.

例2国内投寄信函（外埠），每封信函不超过20g付邮资80分，超过20g而不超过

40g付邮资160分，依次类推，每封xg（0<xW100）的信函应付邮资为（单位：分），试

写出以x为自变量的函数y的解析式，并画出这个函数的图像.

X20

一的图象.

-xx<0

例4（选讲）作出分段函数y=k-1|+k+2|的图像.

例5(选讲)作出函数y=x+』的图象.

x

例6.求下列函数的值域.

①y=3x+2(TWxWl)②/(x)=2+，4-x

X1

③y=±④(选做)y=x+2

x+1x

例7求下列函数的最大值、最小值与值域.

®y=x2-4x+l;

=x2-4x+l,xe[3,4]；

@y=x2+[0,1]：

=x2-4x+1,XG[0,5]

例8.（选讲）求函数y=|x+l+婕-2|的值域.

学案(4)函数的单调性

目标

(1)了解单调函数、单调区间的概念；

(2)根据函数的图象指出单调性、写出单调区间；

(3)掌握运用函数的单调性定义解决一些具体问题；能运用函数的单调性定义证明

简单函数的单调性.

区白复习

i.比较两个数或两个整式大小的方法是什么；

2.试理解“单调”的含义；

3.一次函数与反比例函数、二次函数的图象是什么样的，观察图象，理解这些函数

的单调性.

新课

增函数与减函数_____________________________________________

单调性与单调区间___________________________

例1如图，是定义在闭区间15,5］上的函数

y=/(x)的图象，根据图象说出y=/(x)的单调区

间，以及在每一单调区间上，函数y=/(x)是增函数

还是减函数.

例2证明函数/(x)=3x+2在R上是增函数.

例3证明函数/1)=上在(0,+8)上是减函数.

X

ss正练习

1.函数y=x、x+2单调减区间是()

A、［—―,+°o)(-1,+8)

C、(-00,一D、(-8,+oo)

2.下面说法正确的选项()

A.函数的单调区间可以是函数的定义域

B.函数的多个单调增区间的并集也是其单调增区间

C.具有奇偶性的函数的定义域定关于原点对称

D.关于原点对称的图象一定是奇函数的图象

3.函数f(x)=2x?—mx+3,当xW［-2,+8)时,增函数，当xw(-8,-2阳，是减函数，则f(l)

等于()

A.-3B.13

C.7D.由m而定的其它常数

4.如果函数f(x)=x2+2(d-l)x+2在区间(-8,4］上是减函数，那么实数a的取值范围

是()

A.a》一"3B.aW-3

C.D.a23

5.函数旷=(2左+1次+8在实数集上是增函数，则

()

,1,1

A..k>----B.k<----

22

C.b>0D.h>0

1,

6.已知函数y=,x--2x求：

(1)当0<xW3时，函数的最值；

(2)当3Wx<5时，函数的最值.

型作业

试讨论函数广幻=-2ax+3在(-2,2)内的单调性.

学案（5）函数的奇偶性

目标

1.理解函数的奇偶性及其几何意义；学会运用函数图象理解和研究函数的性质；学

会判断函数的奇偶性;

2.通过函数奇偶性概念的形成过程,培养观察、归纳、抽象的能力，渗透数形结合

的数学思想;

3.通过函数的奇偶性学习，培养从特殊到一般的概括归纳问题的能力.

新课

观察下列函数的图象，总结各函数之间的共性.

f(x)=x2

偶函数：_______________________________________________

奇函数：_______________________________________________

例1.判断下列函数的奇偶性

(1)/(x)=x2xe[-1,2]

r3-r2

(2)〃X)=--

x-1

-x2+l(x>0)

g(x)=<

-1x2-l(x<0)

例2.判断下列函数的奇偶性

⑴小)=/⑵小)“⑶/(，)=，+;⑷小)=/

例3.已知/(x)是奇函数，在(0,+8)上是增函数.

证明：/(x)在(-8,0)上也是增函数.

练习

1.判断下列函数的奇偶性，并说明理由.

①〃x)=0,xe[—6,—2]U[2,6]

②/(x)=|x-2|+|x+2|

2.设/(x)在R上是奇函数，当x>0时，/(x)=x(l-x)

试问：当x<0时，/(x)的表达式是什么？

学案（6）反函数（一）（选讲）

..f目标

1.了解反函数的实际背景，理解并掌握反函数的定义、图像性质，会求解反函数；

2.通过对反函数的概念、性质的归纳、抽象和概括，体验数学知识的产生和形成的

过程，培养抽象概括能力；在解决一些简单的数学问题的过程中，培养应用意识.进而知

道生活中很多事物都有••正一反两个方面，有一个全局的思想会对生活的理解有帮助.

成白复习

观图回答：

」的意义是什么？

alb

2x+3

1.试求函数y=的值域.

（提示：利用分离常数法与反解法，在这里我们突出利用反解法）

2.反函数的定义:

试利用定义填写下表:

函数y=/(x)反函数y=/-'(x)

定义域A

值域B

3.试讨论原函数与其反函数的图象关系:

4.试求（l）y=2x+l（2）y=2x+l（xN-』）的反函数，并对比有何不同.

5.求解反函数的步骤：

例求下列函数的反函数

2x4-1

(Dy=3x-l(xGR)(2)y=-----

x-2

(3)y=x3+l(xGR)(4)y=y/~x+l(x>0)

6.思考：是不是所有的函数都有反函数?并举例说明.

练习

1.已知函数y=9二（xeR且xwl）,那么它的反函数为（）

x-1

A、y=+5(xGR且xW1)B、y=-+5(x£R月xW6)

x-lx—6

D、y=--R月/W-5)

C、y=———|XG||(XG

■6x+516)

Ix2（x<0）

2.函数y=11的反函数是（）

卜-<x0）

i-2M九0)i-2x(x0)

A、y=|V7(x>0)B、y=1厂,

f-4x(x>0)

D、」M。)

C、。)

|\[x(x>0)4x(x>0)

3.已知点（a,b）在kf（x）的图像上，则下列各点中位于其反函数图像上的点是（）

A、3JT（。））B、（尸⑸⑹C、（尸（心）D、（仇广炳）

4,若函数/*）=/一1（天〈一1）,则广十4）的值为（）

A、V5B、—5/5C、15D、V3

5.函数y=41+♦awRjlxW-c)的反函数为y=――,求。,b,c的值

x+cx+2

6.已知/“(X)=2j^—3,x>1,求f(x)

学案(7)反函数(二)(选讲)

目标:

1.了解互为反函数的函数图象间的关系的定理及其证明;

2.会利用互为反函数的函数图象间的关系解决有关问题.

复习：

1.反函数的定义：

2.互为反函数的两个函数)=/(X)与)，=/T(x)间的关系:

函数y=/(x)反函数y=/-'(%)

定义域AB

值域BA

3.反函数的求法：一反解、二互换、三标明;

4.原函数与其反函数的图象关于y=x对称.

新课:

例1.求函数y=x2(x<0)的反函数，并利用对称关系作出其反函数的图象.

CIO

例2.求函数y=*r2的值域.

3x—2

例3已知/(x)=—(X<-1),求/T(—1).

1-x-3

例4若点A(l,2)既在函数/(x)=Jax+6的图象上，又在/(x)的反函数的图象上,

求a,b的值.

例5若/(4+1)=X+24(X20),试求反函数y=

练习：

1.求下列函数的反函数：

(1)y-』X，-3(x<-V3)；

(2)y=/-6x+12(xW3);

(3)y=J_x_2(xW-2).

2.已知函数尸。x+2的反函数是y=3x+b,求a,b的值.

3.函数取)=川6-9/是否有反函数?_________；当xw0,-时，反函数

_3_

-4'

为,定义域为；当xe--,0时，反函数为,定义域

为o

4.设皿)的反函数为广心)，/T(X)=3X+2,则广|(3)=,f(3)=—

5.若点(1,2)既在函数“X)=Nax+b的图象上，又在函数f(x)的反函数f-'(x)的图象

上，贝IIQ=,b=

6.f(x)在(0,+8)上为递增函数，则/'I)与/t⑶的大小关系是

解答题

7.函数产f(x)的图象是过点(2,1)的直线，其反函数的图象经过点(-2,-1),求函数f(x)

学案(8)函数图象变换

目标

根据函数解析式作出它们的图象，并且能根据图象分析函数的性质；同时了解图象

的简单变换(平移变换和对称变换).

1.根据所给定义域，画出函数y=x2-2x+2的图象,并确定其最值.

(1)XER(2)XG(-1,2](3)XE(-1,2]且xcZ

2.函数y=(x+l>-2和y=。-(尸+1的图象分别是由y=/函数的图象经过如何

变化得到的.

练习

1.已知二次函数y=x?+4x+l,不求值比较f(—3)和f(5)的大小关系.

2.方程X2—2QX+4=0的两根均大于1,求实数。的取值范围.

3.已知二次函数f(x)=x2+x+a(a>0),若f(m)<0,则f(m+1)的值是()

(A)正数(B)负数(C)零(D)符号与。有关

4.不等式(a—2)X2+2(a-2)x-4<0对xeR恒成立，则a的取值范围是

5.已知二次函数y=x?+(3。+6)x+2是偶函数，则。的取值范围是—

6.二次函数y=ax'+bx+c满足f(4)=f(1),那么()

(A)f(2)>f(3)(B)f(2)<f(3)

(C)f(2)=f(3)(D)f(2)与f(3)的大小关系不能确定

7.已知二次函数y=2x?+4(a—3)x+5在区间(一8,3)上是减函数，则a的取值

范围是.

25

8.若二次函数y=(—3x—4的定义域为[0,m],值域为[一三，-4],则m的取值范

4

围是()

333

(A)[0,4](B)[-,4](C)[-,3](D)[-,

222

9.设二次函数y=a/+bx+c,对任意的实数t都有f(2+t)=f(2—t)成立，在函

数值f(2)、f(1)、f(一1)、f(5)中，最小的一个不可能是()

(A)f(2)(B)f(1)(C)f(-1)(D)f(5)

10.已知函数丫=(^+6和yuax'+bx+c,那么它们的图象是()

学案(9)待定系数法求函数解析式

目标

了解待定系数法及其应用

乩㈠新课

例1：-次函数图像在y轴上的纵截距为1,且过(-1,2),求该函数的解析式.

例2：一次函数/(X)满足/"(x)]=4x+5,求该函数的解析式.

例3.二次函数例x)的图像的顶点为的,-2),且过(3,1),求〃x)的解析式.

例4.已知二次函数/(x),/(0)=-5,/(-1)=-4,/(2)=—5,求函数/(x).

例5.已知多项式/(X)=ax+7,g(x)=x2+42x+b2,且

/(x)+g(x)=x?+2近犬+9.试求a、b的值.

例6.已知f(x)是二次函数，且f(0)=2,f(x+l)—f(x)=x—1,求f(x)的解析式.

d连练习

1.已知一次函数通过点A(2,1),B(-1,4),求这个函数的表达式.

2.已知二次函数的图象过(0,1)、(2,4)、(3,10)三点，求这个二次函数的解

析式.

3.已知二次函数f(x)=x?—bx+c满足f(1+x)=f(1—