考研数学数一历年真题(1987-2012年)

1987年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)

⑴当x=____________时,函数y=x•2'取得极小值.

(2)由曲线y=Inx与两直线y=e+1-x及y=0所围成的平面图形的面积是.

'x=l

⑶与两直，y=-1+f及四=212=3都平行且过原点的平面方程为.

=2+t

(4)设L为取正向的圆周》2+y2=9,则曲线积分j(2xy-2yg+(x2-4x)dy=.

⑸已知三维向量空间的基底为%=(1,1,0),&2=(1,0,1),&3=(0,1,1),则向量0=(2,0,0)在此基底下的坐标是

二、(本题满分8分)

求正的常数a与b,使等式lim-i一[',dt=1成立.

bx-sinxy/a+t2

三、(本题满分7分)

⑴设f、g为连续可微函数,“=/(x,q),v=g(x+xy),求”,

oxox

-30r

(2)设矩阵A和B满足关系式AB=A+2B,其中A=110，求矩阵B.

014

四、(本题满分8分)

求微分方程)产+6y”+(9+a2)/=1的通解,其中常数。＞0.

五、选择题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项

前的字母填在题后的括号内)

⑴设lim,⑴一/，)=一1,则在x=a处

XT。(x-a)

(A)/(x)的导数存在,且/'(a)丰0(B)fix')取得极大值

(0/(%)取得极小值(D)/(%)的导数不存在

⑵设/(x)为已知连续函数,/=，口f(tx)dx,其中，＞(),s＞0,则/的值

(A)依赖于s和，(B)依赖于S、7和X

(C)依赖于八x,不依赖于s(D)依赖于s,不依赖于f

⑶设常数k>0,则级数工(-1)"皆

(A)发散(B)绝对收敛

(C)条件收敛(D)散敛性与k的取值有关

(4)设A为〃阶方阵，且A的行列式IA1=#0,而A*是A的伴随矩阵，贝等于

(A)a(B)—

a

(0a"-1(D)a"

六、(本题满分10分)

求蹇级8数»1=£1的收敛域，并求其和函数.

七、(本题满分10分)

求曲面积分

I-|jx(8y+V)dydz+2(1-y2}dzdx-4yzdxdy,

£

其中Z是由曲线/(尤)=尸=:'"3绕丫轴旋转一周而成的曲面,其法向量与y轴正向的夹角恒大于千

八、(本题满分10分)

设函数/(x)在闭区间［0,1］上可微,对于［0,1］上的每一个x,函数/(x)的值都在开区间(0,1)内，且f\x)丰1,

证明在(0,1)内有且仅有一个x,使得/(x)=x.

九、(本题满分8分)

问a,b为何值时,现线性方程组

'X1+x,+x3+x4=0

x2+2x3+2X4-1

-x2+(a-3)X3-2X4=b

、3%+2X2+£+ax4-—1

有唯一解,无解,有无穷多解?并求出有无穷多解时的通解.

十、填空题(本题共3小题,每小题2分，满分6分.把答案填在题中横线上)

(1)设在一次实验中,事件A发生的概率为p,现进行n次独立试验,则A至少发生一次的概率为

而事件A至多发生一次的概率为.

(2)有两个箱子,第1个箱子有3个白球,2个红球，第2个箱子有4个白球,4个红球.现从第1个箱子中随机地

取1个球放到第2个箱子里,再从第2个箱子中取出1个球,此球是白球的概率为..已知上述从第2个箱

子中取出的球是白球，则从第一个箱子中取出的球是白球的概率为.

已连随机X的概率密度数为则x

⑶知续变量函/(x)=J=e4+2i,的数学期望为,X的方差

yj7T

为

十一、(本题满分6分)

设随机变量X,Y相互独立,其概率密度函数分别为

10<%<1e-yy>0

AGO，A(3)

0其它o”0'

求z=2x+丫的概率密度函数.

1988年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、(本题共3小题,每小题5分，满分15分)

(1)求蹇级数手的收敛域.

⑵设“X)=e,=1-x且(p(x)20,求e(x)及其定义域.

23

(3)设Z为曲面F+/+z=l的外侧,计算曲面积分I=W^dydz+ydzdx+/dxdy.

二、填空题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.把答案填在题中横线上)

(1)若/QXlimMl+Ly",则/'«)=_____________.

XT8X

(2)设/(%)连续且［'=x,则/(7)=.

(3)设周期为2的周期函数，它在区间(-1,1］上定义为“X)［?T<x"。，则的傅里叶任。〃,.〃)级数在

、x20<x<l

x=1处收敛于.

(4)设4阶矩阵A=［a,y2，Y3，Y4］，B=［P，Y2，Y3，Y4］，其中%0,丫2，丫3，丫4均为4维列向量，且已知行列式

|A|=4,冏=1,则行列式|A+B|=.

三、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项

前的字母填在题后的括号内)

(1)设/(%)可导且广❷)=；,则八30时,/(x)在/处的微分dy是

(A)与以等价的无穷小(B)与Ax同阶的无穷小

(0比Ar低阶的无穷小(D)比Z高阶的无穷小

ff

(2)设y=/(x)是方程y-2y'+4y=0的一个解且/(x0)>0,/7%0)=0,则函数/(x)在点不处

(A)取得极大值(B)取得极小值

(C)某邻域内单调增加(D)某邻域内单调减少

(3)设空间区域R:-+y2+/<R2,z20，a：/+y2+4R2,X20,y20,Z20,则

(A)肝小=4jj「v(B)肚小=4m必

a%A%

©JJJzdv=4jJJzdv(D)^xyzdv=A^xyzdv

aqna

(4)设塞级数f(x-1)"在x=-1处收敛,则此级数在x=2处

“=|

(A)条件收敛(B)绝对收敛

(C)发散(D)收敛性不能确定

(5)〃维向量组四,a2,…,%(3Ws<n)线性无关的充要条件是

(A)存在一组不全为零的数匕也，…人，使+&a2+…+/0

(B)叫,a2,…,风中任意两个向量均线性无关

(0%,a2,…,见中存在一个向量不能用其余向量线性表示

(D)叫,a?,…,见中存在一个向量都不能用其余向量线性表示

四、(本题满分6分)

设〃=W(£)+xgg),其中函数f、g具有二阶连续导数,求刀注+)，£=.

yxoxdxdy

五、(本题满分8分)

设函数Y=y(x)满足微分方程)，"-3y'+2y=2e\其图形在点(0,1)处的切线与曲线y=炉一%—1在该点处的

切线重合,求函数y=y(x).

六、(本题满分9分)

设位于点(0,1)的质点A对质点M的引力大小为二伏〉0为常数，为A质点与M之间的距离)，质点M沿直

r

线y二行工7自8(2,0)运动到。(0,0),求在此运动过程中质点A对质点例的引力所作的功.

七、（本题满分6分）

'100''10o-

已知人「=8「,其中8=000,P=2-10，求A,A5.

00-1211

八、（本题满分8分）

-200--200-

已知矩阵人=001与B二0y0相似.

01x00-1

⑴求x与y.

（2）求一个满足P।AP=B的可逆阵P.

九、（本题满分9分）

设函数/（x）在区间［凡回上连续,且在（凡。）内有/'（X）＞0,证明:在①,份内存在唯一的。，使曲线y=/（x）与

两直线y=fq）,x=a所围平面图形面积5；是曲线y=/（x）与两直线y==h所围平面图形面积S2的3

倍.

十、填空题(本题共3小题,每小题2分，满分6分.把答案填在题中横线上)

19

(1)设在三次独立试验中，事件4出现的概率相等,若已知A至少出现一次的概率等于—,则事件A在一次试验

中出现的概率是.

(2)若在区间(0,1)内任取两个数，则事件”两数之和小于的概率为1

(3)设随机变量X服从均值为10,均方差为0.02的正态分布,已知

0(x)=力，,0(2.5)=0.9938,

则X落在区间(9.95,10.05)内的概率为____________.

十一、(本题满分6分)

设随机变量X的概率密度函数为人(外=布勺，求随机变量丫=1-收的概率密度函数人0)

1989年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)

⑴已知八3)=2,则lim：0f(3)=_____________.

2。2/1

⑵设f(x)是连续函数，且/,(x)=x+2f/⑺力，贝f(x)=.

(3)设平面曲线L为下半圆周y=-Jf.则曲线积分［(%2+y2)ds=.

(4)向量场divu在点P(l,l,0)处的散度divu=.

300100

(5)设矩阵A=140,1010，则矩阵(A—2I)T=

003001

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项

前的字母填在题后的括号内)

(1)当x>0时,曲线y=xsin,

x

(A)有且仅有水平渐近线(B)有且仅有铅直渐近线

(O既有水平渐近线,又有铅直渐近线(D)既无水平渐近线,又无铅直渐近线

(2)已知曲面z=4-/一>2上点p处的切平面平行于平面2x+2j+z-l=0,则点的坐标是

(A)(1,-1,2)(B)(-1,1,2)

(0(1,1,2)(D)(-1,-1,2)

(3)设线性无关的函数都是二阶非齐次线性方程的解是任意常数,则该非齐次方程的通解是

(A)eg+，2%+%⑻cj+c2y2-(c,+c2)y3

(C)qy,+c2y2-U-G-c2)y3(D)q%+c2y2+(l-c,-c2)y3

(4)设函数/(x)=4x<1,而S(x)=sinnnx,-^<x<+oo,其中

/J=1

bn=2(x)sinn4xdx,〃=1,2,3,…，贝！jS(—J)等于

(A)——(B)-■-

24

(C)—(D)—

42

(5)设A是n阶矩阵,且A的行列式|A|=0,则A中

(A)必有一列元素全为0(B)必有两列元素对应成比例

(0必有一列向量是其余列向量的线性组合(D)任一列向量是其余列向量的线性组合

三、(本题共3小题,每小题5分，满分15分)

⑴设Z=/(2x-y)+g(x,盯)，其中函数二阶可导,g(“,v)具有连续二阶偏导数，求存.

dxdy

(2)设曲线积分［xy2dx+y(pMdy与路径无关,其中刎外具有连续的导数,且以0)=0,计算

J.l)„

9y(p(x)dy的直

⑶计算三重积分JJJ(x+z)力，其中。是由曲面Z=G+y2与z=J——y2所围成的区域.

Q

四、(本题满分6分)

将函数f(x)=arctan—1+X展为x的塞级数.

1-x

五、(本题满分7分)

设/(x)=sinx—［：(XT)/⑺力，其中f为连续函数,求/(X).

六、（本题满分7分）

证明方程ln.r=--FJl—cos2xdx在区间（0,+oo）内有且仅有两个不同实根.

e上

七、（本题满分6分）

问A为何值时，线性方程组

r

X,+x3=2

4xt+x2+2X3=2+2

有解,并求出解的一般形式.

八、（本题满分8分）

假设X为〃阶可逆矩阵A的一个特征值,证明

（1），为A-的特征值.

⑵国为A的伴随矩阵A"的特征值.

A

九、(本题满分9分)

设半径为R的球面Z的球心在定球面d+y2+e=a\a>0)上，问当R为何值时，球面Z在定球面内部的那

部分的面积最大？

十、填空题(本题共3小题,每小题2分，满分6分.把答案填在题中横线上)

⑴已知随机事件A的概率P(A)=0.5.随机事件B的概率P(8)=0.6及条件概率P(BIA)=0.8,则和事件

AU8的概率尸(AUB)=.

(2)甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5,现已知目标被命中，则它是甲射中的概

率为.

(3)若随机变量自在(1,6)上服从均匀分布,则方程V+京+1=0有实根的概率是.

十一、(本题满分6分)

设随机变量X与丫独立，且X服从均值为1、标准差(均方差)为V2的正态分布,而Y服从标准正态分布.试求

随机变量Z=2X-Y+3的概率密度函数.

1990年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)

'x=-t+2

(1)过点M(1,2-1)且与直线iy=3,-4垂直的平面方程是.

、z=r-l

(2)设a为非零常数,贝him(Y士-\-n)'=_____________.

18X-a

fl|x|<l

⑶设函数，则/"(x)]=___________.

0|x|>1

(4)积分fdxfeidy的值等于.

(5)已知向量组%=(1,2,3,4),%=(2,3,4,5),a3=(3,4,5,6),a4=(4,5,6,7),

则该向量组的秩是，

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项

前的字母填在题后的括号内)

(1)设/(x)是连续函数,且F(x)=£'则F'(x)等于

(A)—e、(B)-e-*+

(0er(D)erf(e-^+f(x)

⑵已知函数,〃x)具有任意阶导数,且/'(X)=则当n为大于2的正整数时,f(幻的n阶导数f(n)(x)是

(A)〃!"(x)严(B)n[f(x)r'

(C)"(x)]2"(D)»![/(<-

(3)设a为常数,则级数V[则丝

»=in-

(A)绝对收敛(B)条件收敛

(0发散(D)收敛性与a的取值有关

(4)已知f(x)在x=0的某个邻域内连续,且/(0)=0,lim/(V)=2,则在点x=0处/(%)

101-cosX

(A)不可导(B)可导，且/'(0)h0

(C)取得极大值(D)取得极小值

(5)已知口、也是非齐次线性方程组AX=》的两个不同的解，叫、%是对应其次线性方程组AX=0的基础解

析,匕、k2为任意常数,则方程组AX=》的通解(一般解)必是

(A)占叫+^2(«,+%)+*2"(B)%%+右(％—%)+A；国"

(0占叫+勺(也+也)+殳善⑻匕%+勺他—叼+良兽

三、(本题共3小题,每小题5分，满分15分)

⑴求”•

⑵设z=f(2x-y,ysinx),其中/(M,v)具有连续的二阶偏导数,求存.

dxdy

⑶求微分方程y"+4y'+4y=不，的通解(一般解).

四、(本题满分6分)

求零级数名(2”+1)£’的收敛域,并求其和函数.

”=0

五、(本题满分8分)

求曲面积分/=Jjyzdzdx+2dxdy其中S是球面x2+y2+z2=4夕卜侧在z>0的部分.

六、(本题满分7分)

设不恒为常数的函数/(%)在闭区间［a,。］上连续,在开区间(a,b)内可导,且/(a)=f(b).证明在(凡㈤内至少

存在一点,使得/'e)>().

七、(本题满分6分)

设四阶矩阵

一1-10o-一2134

01-100213

B=,c=

001-10021

00010002

且矩阵A满足关系式

A(E-C'B)C=E

其中E为四阶单位矩阵,C1表示C的逆矩阵,C'表示C的转置矩阵.将上述关系式化简并求矩阵A.

八、(本题满分8分)

求一个正交变换化二次型/=X：+4x1+4x；-4.r,x2+4xtx3-8x2x3成标准型.

九、(本题满分8分)

质点P沿着以A3为直径的半圆周,从点A(l,2)运动到点5(3,4)的过程中

受变力F作用(见图).F的大小等于点P与原点。之间的距离,其方向垂直于线

段。尸且与y轴正向的夹角小于求变力F对质点P所作的功.

十、填空题(本题共3小题,每小题2分，满分6分.把答案填在题中横线上)

(1)已知随机变量X的概率密度函数/(x)=1e+l,-oo<x<+8则X的概率分布函数F(x)=.

(2)设随机事件A、B及其和事件的概率分别是0.4、0.3和0.6,若后表示8的对立事件,那么积事件48的概

率P(A豆)=.

2*e-2

(3)已知离散型随机变量X服从参数为2的泊松(Poisson)分布，即P{X=6=—^,k=0,1,2,…，则随机变

k!

SZ=3X-2的数学期望E(Z)=.

十一、(本题满分6分)

设二维随机变量(乂,丫)在区域。：0<8<1,况<8内服从均匀分布,求关于乂的边缘概率密度函数及随机变量

2=2*+1的方差。《).

1991年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)

(1)设[x=]+则夕=_____________.

y=cosrdx^

⑵由方程xyz+ylx2+y2+z2=及所确定的函数z=z(x,y)在点处的全微分dz=.

⑶已知两条直线的方程是乙：七L匕匚=2口;/2："2=)匚=±则过4且平行于4的平面方程是

'10-1221112

(4)已知当x-0时,(1+办?户-1与cosx-1是等价无穷小,则常数a=.

一5200_

2100

⑸设4阶方阵A=,则A的逆阵A-'=____________

001-2

0011

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项

前的字母填在题后的括号内)

1+b一

(1)曲线y=-----:

l-e-x

(A)没有渐近线(B)仅有水平渐近线

(0仅有铅直渐近线(D)既有水平渐近线又有铅直渐近线

⑵若连续函数f(x)满足关系式f(x)=「+In2,则/(x)等于

出2

(A)evIn2(B)e2vIn2

(C)el+ln2(D)e2x+ln2

⑶已知级数£(一1尸4=2,，＞2I=5,则级数等于

n=\n=\〃=1

(A)3(B)7

(C)8(D)9

(4)设D是平面双)，上以(1,1).(-1,1)和(-1,-1)为顶点的三角形区域,2是。在第一象限的部分,则

JJ(孙+cosxsiny)dxdy等于

D

(A)2jjcosxsinydxdy(B)2^xydxdy

44

(C)4JJ(xy+cosxsiny)dxdy(D)0

D,

⑸设〃阶方阵A、B、C满足关系式ABC=E，其中E是〃阶单位阵,则必有

(A)ACB=E(B)CBA=E

(C)BAC=E(D)BCA=E

三、(本题共3小题,每小题5分，满分15分)

_乃

⑴求lim(cosy/xy.

XT0+

⑵设万是曲面2/+3y2+=6在点p(i,i,i)处的指向外侧的法向量,求函数"=击二+8)’-在点p处沿方

Z

向n的方向导数.

>，2

⑶川1(x2+y2+z)小，其中Q是由曲类=2z绕，轴旋转一周而成的曲面与平面7=4所围城的立体.

Cx=0

四、(本题满分6分)

过点。(0,0)和A(4,0)的曲线族y=asinx(a>0)中,求一条曲线L,使沿该曲线。从到A的积分

1(1+y3)今+(2x+y)dy的值最小.

五、(本题满分8分)

8I

将函数/(x)=2+凶(-1W1)展开成以2为周期的傅里叶级数,并由此求级数£小的和.

n=l〃

六、(本题满分7分)

设函数/(%)在［0,1］上连续,(0,1)内可导,且3^f(x)dx=/(0),证明在(0,1)内存在一点c,使/'(c)=0.

七、(本题满分8分)

已知a】=(1,0,2,3),«2=(1,1,3,5),a3=(1,-1,a+2,1),=(1,2,4,a+8)及(J=(1,+3,5).

⑴a、h为何值时,p不能表示成a,,a2,ava4的线性组合？

(2)a、b为何值时邛有a1,a?,a?,a4的唯一的线性表示式?写出该表示式.

八、(本题满分6分)

设A是〃阶正定阵,E是〃阶单位阵,证明A+E的行列式大于1.

九、(本题满分8分)

在上半平面求一条向上凹的曲线，其上任一点P(x,y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段P。长度的倒数(Q

是法线与x轴的交点)，且曲线在点(1,1)处的切线与x轴平行.

十、填空题(本题共2小题,每小题3分，满分6分.把答案填在题中横线上)

(1)若随机变量X服从均值为2、方差为er2的正态分布,且P{2<X<4}=0.3,则P{X<0}=.

(2)随机地向半圆0<y<yj2ax-x\a为正常数)内掷一点,点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比,

则原点和该点的连线与x轴的夹角小于工的概率为.

十一、(本题满分6分)

设二维随机变量(X,Y)的密度函数为

2e-(x+2j)x>0,y>0

/(x，,)=

0其它

求随机变量Z=X+2Y的分布函数.

1992年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)

⑴设函数v=y(x)由方程ef'+cos(孙)=0确定,贝4也=_____________.

dx

2

⑵函数〃=ln(x+y2+[2)在点M(1,2,-2)处的梯度gradu\M=.

(3)设，(x)=l,一，则其以2万为周期的傅里叶级数在点x=%处收敛于_____________.

1+x0<xW%

(4)微分方程y'+ytanx=cosx的通解为y=.

哂…哂

a?b[612bl・・•ab

⑸设A=2n，其中。产0,b,W0,(i=1,2,…贝随阵A的秩r(A)=

a,hanb2…anbn

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项

前的字母填在题后的括号内)

⑴当》f1时,函数^--e-1的极限

x-1

(A)等于2(B)等于0

。为8(D)不存在但不为s

(2)级数名(-1)"(1-cos巴)(常数a>0)

(A)发散(B)条件收敛

(C)绝对收敛(D)收敛性与a有关

(3)在曲线x=f,y=-产,z=尸的所有切线中,与平面x+2y+z=4平行的切线

(A)只有1条(B)只有2条

(C)至少有3条(D)不存在

(4)设/(x)=3x3+x2|x|,则使尸">(0)存在的最高阶数〃为

(A)0(B)l

(02(D)3

，1、

⑸要使G=0当1都是线性方程组AX=0的解,只要系数矩阵A为

20-1

(A)[-212](B)

011

01-1

02

(0(D)4-2-2

01-1

011

三、(本题共3小题,每小题5分，满分15分)

..„ex—sinx-1

⑴求hm----7-.

-o1-7137

先

(2)设？=/(e(siny,x2+V),其中f具有二阶连续偏导数,求

dxdy

1+x2x<0

⑶设/(*)=<,求ff(x-2)dx.

9x>0

四、(本题满分6分)

求微分方程y”+2y'-3)，=e与*的通解.

五、(本题满分8分)

计算曲面积分||(x3+az2)dydz+()?，+ax2)dzdx+(z3+ay2)dxdy,其中Z为上半球面j=-^a1-x1-y2的上

侧.

六、(本题满分7分)

设f\x)<0,/(0)=0,证明对任何内〉0,X2>0,有/(x,+x2)</(%,)+/(x2).

七、（本题满分8分）

222

在变力户=放:+4+町/的作用下，质点由原点沿直线运动到椭球面=+与+==1上第一卦限的点

abc

M（4，〃，G，问当€、"、〈取何值时，力户所做的功印最大?并求出W的最大值.

八、（本题满分7分）

设向量组叫,%,%线性相关,向量组%线性无关，问:

（1）%能否由a2,叫线性表出?证明你的结论.

⑵a4能否由%,a?,</3线性表出?证明你的结论.

九、（本题满分7分）

设3阶矩阵A的特征值为4=1,否=2,4=3,对应的特征向量依次为

⑴将0用&GG线性表出.

(2)求A"0(〃为自然数).

十、填空题(本题共2小题,每小题3分，满分6分.把答案填在题中横线上)

(1)已知「(4)=75(8)=p(。)=工,73(48)=0,7}(4。)=7}(80=1，则事件4、B、C全不发生的概率为

46

(2)设随机变量X服从参数为1的指数分布,则数学期望E{X+e-2X}=.

十一、(本题满分6分)

设随机变量x与y独立,x服从正态分布N(〃,〃),y服从［-7T,4］上的均匀分布,试求z=x+y的概率分布

1上

密度(计算结果用标准正态分布函数中表示,其中①(x)=7A［e?dt).

1993年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)

(1)函数F(x)=f(2-9)力(x>0)的单调减少区间为.

⑵由曲线]3/+2/=12绕y轴旋转一周得到的旋转面在点(0,73,72)处的指向外侧的单位法向量为

z=0

⑶设函数/(X)=乃工+X?(-万<X<乃)的傅里叶级数展开式为出+£(%cosnx+hnsinnx),则其中系数么的

2n=l

值为.

(4)设数量场u-Iny]x*2+y2+z2,则div(gradu)=.

(5)设n阶矩阵A的各行元素之和均为零,且A的秩为〃-L则线性方程组AX=0的通解为.

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项

前的字母填在题后的括号内)

⑴设/(x)=0*sin(『)力,g(x)=■?+/,则当x->0时,/(x)是g(x)的

(A)等价无穷小(B)同价但非等价的无穷小

(C)高阶无穷小(D)低价无穷小

(2)双纽线+y2)2=x2-y2所围成的区域面积可用定积分表示为

(A)2『cos2%e(B)45cos2ed6

1支

(C)2fVcos2^(D)-F(cos26)2布

⑶设有直线=W=半与匕-x-y=6

.。则4与L的夹角为

一2y+z=3

(A)-(B)-

64

(0-(D)-

32

(4)设曲线积分[[/(/)-6'园”公-/(幻85必，与路径无关,其中f(x)具有一阶连续导数，且/(0)=0,则

/(X)等于

e-ee-e

(A)(B)

2

e¥+e-xe'+e-x

(0(D