2020-2021年张家口市宣化县九年级上期末数学试卷含答案解析

2020-2021年张家口市宣化县九年级上期末数学试卷含答

案解析

一、选择题（本大题共14个小题，1-5小题每小题2分，6-14小题每小题2分，共37分，在每小

题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.已知。。的半径为5,点P到圆心O的距离为6,那么点P与。O的位置关系是.（）

A.点P在00,上B.点P在00内C.点P在OO外D.无法确定

2.下列四幅图的质地大小、背面图案都一样，把它们充分洗匀后翻放在桌面上，则从中任意抽取一

0张，抽到的图案是。中心对称图形的概X率是（也）

A.1B.1C.D.1

424

3.抛物线y=（x-2）2+3的顶点坐标是（）

A.（2,3）B.（-2,3）C.（2,-3）D.（-2,-3）

4.下列说法中错误的是（）

A.篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中是随机事件

B."任意画出一个平行四边形，它是中心对称图形”是必定事件

C."抛一枚硬币，正面向上的概率为工，表示每抛两次就有一次正面朝上

2

D."抛一枚平均的正方体骰子，朝上的点数是6的概率为工”表示随着抛掷次数的增加，"抛出朝上的

6

点数是6"这一事件发生的频率稳固在工邻近

6

5.若一元二次方程x2+2x+a=0的有实数解，则a的取值范畴是（）

A.a<lB.a<4C.a<lD.a>l

6.如图，△ABC中，AB=AC,ZABC=70°,点O是△ABC的外心，则NBOC的度数为（）

BC

A.40°B.60°C.70°D.80°

7.用配方法解一元二次方程X2-6X-4=0,下列变形正确的是()

A.(x-6)2=-4+36B.(x-6)2=4+36C.(x-3)2=-4+9D.(x-3)2=4+9

8.如图，已知四边形ABCD内接于00,AB是的直径，EC与相切于点C,NECB=35。,

则ND的度数是（）

9.如图，在方格纸上建立的平面直角坐标系中，将△ABO绕点O按顺时针方向旋转90°,得^A'B'O',

则点A，的坐标为（）

A.(3,1)B.(3,2)C.(2,3)D.(1,3)

10.抛物线y=-x2+bx+c的部分图象如图所示，则一元二次方程-x2+bx+c=0的根为（)

11.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中错误的是（

A.函数有最小值B.当-l<x<2时，y>0

C.a+b+c<0D.当x<l,y随x的增大而减小

2

12.如图，AB是的直径，弦CD交AB于点E,且E为0B的中点，NCDB=30。，CD=4日,

则阴影部分的面积为（）

13.学校要组织足球竞赛.赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）.打算安排21场竞赛，应邀请

多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛.依照题意，下面所列方程正确的是（）

A.X2=21B.1x（x-1）=21C.1X2=21D.x（x-1）=21

22

14.设计师以y=2x2-4x+8的图形为灵感设计杯子如图所示，若AB=4,DE=3,则杯子的高CE=（）

二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）

15.已知△ABC的三边长a=3,b=4,c=5,则它的内切圆半径是.

16.如图，正五边形ABCD内接于。0,连接对角线AC,AD,则下列结论：①BCIIAD；

②NBAE=3ZCAD；(?)△BAC2△EAD；④AC=2CD.其中判定正确的是..（填序号）

B

CD

17.已知关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分别为xi=-2,X2=4,则

m+n=.

18.如图是一个圆环形黄花梨木摆件的残片，为求其外圆半径，小林在外圆上任取一点A,然后过

点A作AB与残片的内圆相切于点D,作CD_LAB交外圆于点C,测得CD=15cm,AB=60cm,则

那个摆件的外圆半径是cm.

19.如图，点A,B的坐标分别为(1,4)和(4,4),抛物线y=a(x-m)2+n的顶点在线段AB

上运动，与x轴交于C、D两点(C在D的左侧)，点C的横坐标最小值为-3,则点D的横坐标最

大值为.

三、解答题(本大题共7个小题，共68分，解承诺写出文字说明、证明过程或演算步骤)

20.解方程：

(1)x2-6x-6=0

(2)2x2-7x+6=0.

21.如图，△ABC中，AB=AC=2,ZBAC=45°,△AEF是由△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到

的，连接BE、CF相交于点D.

(1)求证：BE=CF；

(2)当四边形ABDF为菱形时，求CD的长.

22.如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标是(2\石，2),将线段OB绕点O顺时针旋转120。，

点B的对应点是点B.

(1)①求点B绕点O旋转到点Bi所通过的路程长；

②在图中画出前;并直截了当写出点Bi的坐标是；

(2)有7个球除了编号不同外，其他均相同，李南和王易设计了如下的一个规则：4岳月玲

0-1-2-6

装入不透亮的甲袋玲装入不透亮的乙袋，李南从甲袋中，王易从乙袋中，各自

随机地摸出一个球(不放回)，把李南摸出的球的编号作为横坐标x,把王易摸出的球的编号作为纵

坐标y,用列表法或画树状图法表示出(x,y)的所有可能显现的结果；

(3)李南和王易各取一次小球所确定的点(x,y)落在瓯上的概率是.

23.关于x的方程kx?+(3k+l)x+3=0.

(1)求证：不管k取任何实数时，方程总有实数根；

(2)当二次函数y=kx2+(3k+l)x+3的图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为负整数时,

求出函数的最大(或最小)值，并画出函数图象；

(3)若P(a,yi),Q(2,y2)是(2)中抛物线上的两点，且yi>y2,请你结合函数图象确定实

数a的取值范畴.

24.如图，△ABC是等边三角形，AO±BC,垂足为点0,。。与AC相切于点D,BE_LAB交AC

的延长线于点E,与。0相交于G,F两点.

(1)求证：AB与。0相切；

(2)若AB=4,求线段GF的长.

25.一个批发商销售成本为20元/千克的某产品，依照物价部门规定：该产品每千克售价不得超过

90元，在销售过程中发觉的售量y(千克)与售价x(元/千克)满足一次函数关系，对应关系如下

表：

售价x(元/千克)...50607080...

销售量y(千克)…100908070...

(1)求y与x的函数关系式；

(2)该批发商若想获得4000元的利润，应将售价定为多少元？

(3)该产品每千克售价为多少元时，批发商获得的利润w(元)最大？现在的最大利润为多少元？

26.在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板(AABC)按如图所示放置，若AO=2,OC=1,

ZACB=90°.

(1)直截了当写出点B的坐标是；

(2)假如抛物线1：y=ax2-ax-2通过点B,试求抛物线1的解析式；

(3)把△ABC绕着点C逆时针旋转90。后，顶点A的对应点Ai是否在抛物线1上？什么缘故？

(4)在x轴上方，抛物线1上是否存在一点P,使由点A,C,B,P构成的四边形为中心对称图形？

若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

20202021学年河北省张家口市宣化县九年级(上)期末数学

试卷

参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共14个小题，1-5小题每小题2分，6-14小题每小题2分，共37分，在每小

题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1.已知。。的半径为5,点P到圆心O的距离为6,那么点P与的位置关系是()

A.点P在。。上B.点P在。。内C.点P在。。外D.无法确定

【考点】点与圆的位置关系.

【分析】直截了当依照点与圆的位置关系的判定方法进行判定.

【解答】解：的半径为5,点P到圆心O的距离为6,

二点P到圆心O的距离大于圆的半径，

.•.点P在00外.

故选C.

【点评】本题考查了点与圆的位置关系：点与圆的位置关系有3种.设的半径为r,点P到圆心

的距离OP=d,则有：点P在圆外=d>r；点P在圆上od=r；点P在圆内=d<r.

2.下列四幅图的质地大小、背面图案都一样，把它们充分洗匀后翻放在桌面上，则从中任意抽取一

张，抽到的图案是中心对称图形的概率是()

0。区奇

A.AB.Ac.aD.1

424

【考点】概率公式；中心对称图形.

【分析】先判定出几个图形中的中心对称图形，再依照概率公式解答即可.

【解答】解：由图形可得出：第1,2,3,个图形差不多上中心对称图形，

.•・从中任意抽取一张，抽到的图案是中心对称图形的概率是：旦

4

故选：C.

【点评】此题考查了概率公式和中心对称图形的定义，假如一个事件有n种可能，而且这些事件的

可能性相同，其中事件A显现m种结果，那么事件A的概率P(A)=三

3.抛物线y=(x-2)2+3的顶点坐标是()

A.(2,3)B.(-2,3)C.(2,-3)D.(-2,-3)

【考点】二次函数的性质.

【分析】己知解析式为顶点式，可直截了当依照顶点式的坐标特点，求顶点坐标，从而得出对称轴.

【解答】解：y=(x-2)2+3是抛物线的顶点式方程，

依照顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为(2,3).

故选：c.

【点评】此题要紧考查了二次函数的性质，关键是熟记：顶点式y=a（x-h）2+k,顶点坐标是（h,

k）,对称轴是x=h.

4.下列说法中错误的是（）

A.篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中是随机事件

B."任意画出一个平行四边形，它是中心对称图形"是必定事件

C."抛一枚硬币，正面向上的概率为工'表示每抛两次就有一次正面朝上

2

D."抛一枚平均的正方体骰子，朝上的点数是6的概率为1■"表示随着抛掷次数的增加，"抛出朝上的

6

点数是6”这一事件发生的频率稳固在1邻近

6

【考点】随机事件：概率的意义.

【分析】直截了当利用随机事件的定义结合概率的意义分别分析得出答案.

【解答】解：A.篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中是随机事件，正确，不合题意；

B."任意画出一个平行四边形，它是中心对称图形”是必定事件，正确，不合题意；

C."抛一枚硬币，正面向上的概率为工"表示随着抛掷次数的增加，"正面向上”这一事件发生的频率

2

稳固在工邻近，此选项错误，符合题意；

2

D."抛一枚平均的正方体骰子，朝上的点数是6的概率为工'表示随着抛掷次数的增加，"抛出朝上的

6

点数是6"这一事件发生的频率稳固在1邻近，正确.

6

故选：C.

【点评】此题要紧考查了随机事件的定义和概率的意义，正确把握相关定义是解题关键.

5.若一元二次方程x2+2x+a=0的有实数解，则a的取值范畴是（）

A.a<lB.a<4C.a<lD.a>l

【考点】根的判别式.

【分析】若一元二次方程x2+2x+a=0的有实数解，则根的判别式△20,据此能够列出关于a的不等

式，通过解不等式即可求得a的值.

【解答】解：因为关于x的一元二次方程有实根，

因此△=b2-4ac=4-4a>0,

解之得aS1.

故选C.

【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a#0,a,b,c为常数）根的判别式.当△>0,方

程有两个不相等的实数根；当4=0,方程有两个相等的实数根；当4<0,方程没有实数根.

6.如图，△ABC中，AB=AC,NABC=70。，点O是△ABC的外心，则NBOC的度数为（)

【考点】三角形的外接圆与外心.

【分析】第一依照等腰三角形的性质可得NA的度数，然后依照圆周角定理可得N0=2NA,进而可

得答案.

【解答】解：AB=AC,

ZABC=NACB=70°,

ZA=180°-70°x2=40%

■.•点O是小ABC的外心，

ZBOC=40°X2=80°,

故选：D.

【点评】此题要紧考查了三角形的外接圆和外心，关键是把握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧

所对的圆周角等于圆心角的一半.

7.用配方法解一元二次方程X2-6X-4=0,下列变形正确的是()

A.(x-6)2=-4+36B.(x-6)2=4+36C.(x-3)2=-4+9D.(x-3)2=4+9

【考点】解一元二次方程-配方法.

【分析】依照配方法，可得方程的解.

【解答】解：x2-6x-4=0,

移项，得x?-6x=4,

配方，得(x-3)2=4+9.

故选：D.

【点评】本题考查了解一元一次方程，利用配方法解一元一次方程：移项、二次项系数化为I,配

方，开方.

8.如图，已知四边形ABCD内接于AB是。O的直径，EC与。。相切于点C,NECB=35。，

【考点】切线的性质.

【分析】连接BD,由AB是OO的直径，得NADB=90。，再由EC与OO相切于点C,NECB=35。,

知NBDC=35。，从而得出ND的度数.

【解答】解：连接BD,

AB是。0的直径，

ZADB=90°,

rEC与0O相切，NECB=35。，

ZBDC=35°,

ZD=NADB+ZBDC=90°+35°=125°,

故选B.

【点评】本题考查了切线的性质，以及弦切角定理和应用，解题时要认真审题，认真解答，合理进

行等价转化.

9.如图，在方格纸上建立的平面直角坐标系中，将△ABO绕点0按顺时针方向旋转90。,得4A-BV,

则点A，的坐标为()

y八

A.(3,1)B.(3,2)C.(2,3)D.(1,3)

【考点】坐标与图形变化-旋转.

【分析】依照网格结构找出点A、B旋转后的对应点A\B，的位置，然后与点O顺次连接即可，再

依照平面直角坐标系写出点A，的坐标.

【解答】解：如图，点A，的坐标为(1,3).

【点评】本题考查了坐标与图形变化-旋转，熟练把握网格结构作出旋转后的三角形，利用数形结

合的思想求解更简便.

10.抛物线y=-x2+bx+c的部分图象如图所示，则一元二次方程-x2+bx+c=0的根为()

A.x=lB.xi=l,X2=-1C.xi=l,X2=-2D.xi=l,X2=-3

【考点】抛物线与X轴的交点.

【分析】直截了当观看图象，抛物线与X轴交于1,对称轴是X=-1,因此依照抛物线的对称性能够

求得抛物线与X轴的另一交点坐标，从而求得关于X的一元二次方程-x2+bx+c=0的解.

【解答】解：观看图象可知，抛物线y=-x2+bx+c与X轴的一个交点为（1,0）,对称轴为x=-l,

二抛物线与x轴的另一交点坐标为（-3,0）,

一元二次方程2x2-4x+m=0的解为xi=l,X2=-3.

故选：D.

【点评】本题考查了用函数观点解一元二次方程的方法.一元二次方程-x2+bx+c=0的解实质上是

抛物线y=-x2+bx+c与x轴交点的横坐标的值.

11.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中错误的是（）

A.函数有最小值B.当-l<x<2时，y>0

C.a+b+c<0D.当x<—,y随x的增大而减小

2

【考点】二次函数的图象.

【分析】A、观看可判定函数有最小值；B、由抛物线可知当-l<x<2时，可判定函数值的符号；

C、观看当x=l时，函数值的符号，可判定a+b+c的符号；D、由抛物线对称轴和开口方向可知y随

x的增大而减小，可判定结，论.

【解答】解：A、由图象可知函数有最小值，故正确；

B、由抛物线可知当-l<x<2时，y<0,故错误；

C、当x=l时，y<0,B|Ja+b+c<0,故正确；

D、由图象可知在对称轴的左侧y随x的增大而减小，故正确.

故选B.

【点评】本题考查了二次函数图象的性质与解析式的系数的关系.关键是熟悉各项系数与抛物线的

各性质的联系.

12.如图，AB是00的直径，弦CD交AB于点E,且E为OB的中点，NCDB=30。，CD=4«,

则阴影部分的面积为（）

D.当

33

【考点】扇形面积的运算.

【分析】第一证明OE=2OC=1OB,则能够证得△OEC合△BED,则S阴影=半圆-S国形OCB,利用扇

22

形的面积公式即可求解.

【解答】解：；NCOB=2ZCDB=60°,

又；CD±AB,

ZOCE=30°,CE=DE,

OE=.10C=-1OB=2V3>0C=4.

0

1on2=16兀

s阴影十x兀x4

3603

故选D.

【点评】本题考查了扇形的面积公式，证明AOEC2△BED,得至US阴影=半圆-S扇形OCB是本题的关

键.

13.学校要组织足球竞赛.赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）.打算安排21场竞赛，应邀请

多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛.依照题意，下面所列方程正确的是（）

A.X2=21B.-lx（x-1）=21C.-1x2=21D.x（x-I）=21

22

【考点】由实际问题抽象出一元二次方程.

【分析】赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），x个球队竞赛总场数=*（x-1）.即可列方

2

程.

【解答】解：设有X个队，每个队都要赛（X-1）场，但两队之间只有一场竞赛，由题意得：

Ax（X-1）=21,

2

故选：B.

【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是读明白题意，得到总场数

的等量关系.

14.设计师以y=2x2-4x+8的图形为灵感设计杯子如图所示，若AB=4,DE=3,则杯子的高CE=（)

A.17B.11C.8D.7

【考点】二次函数的应用.

【分析】第一由y=2x?-4x+8求出D点的坐标为（1,6）,然后依照AB=4,可知B点的横坐标为

x=3,代入y=2x?-4x+8,得到y=14,因此CD=14-6=8,又DE=3,因此可知杯子高度.

【解答】解：y=2x2-4x+8=2（x-1）2+6,

二抛物线顶点D的坐标为（1,6）,

•••AB=4,

二B点的横坐标为x=3,

把x=3代入y=2x2-4x+8,得到y=14,

CD=14-6=8,

CE=CD+DE=8+3=11.

故选：B.

【点评】本题要紧考查了数形结合求点的坐标，求出顶点D和点B的坐标是解决问题的关键.

二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）

15.已知△ABC的三边长a=3,b=4,c=5,则它的内切圆半径是1.

【考点】三角形的内切圆与内心；勾股定理的逆定理.

【分析】依照勾股定理的逆定理求出△ACB是直角三角形，设△ABC的内切圆切AC于E,切AB

于F,切BC于D,连接OE、OF、OD、OA、OC、0B,内切圆的半径为R,则OE=OF=OD=R,

依照SAACB=SAA0C+SAAOB+SABOC代入即可求出答案.

a2+b2=c2,

zACB=90°,

设△ABC的内切圆切AC于E,切AB于F,切BC于D,连接OE、OF、OD、OA、OC、OB,内

切圆的半径为R,则OE=OF=OD=R,

SAACB=SAAOC+SAAOB+SABOC,

lxACxBC=lxACxOE+lxABxOF+i<BCxOD,

2222

3x4=4R+5R+3R,

解得：R=l.

故答案为：1.

【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的面积，三角形的内切圆等知识点的应用，解此题

的关键是能得出关于R的方程，题目比较典型，难度适中.

16.如图，正五边形ABCD内接于OO,连接对角线AC,AD,则下列结论：①BCIIAD；

②NBAE=3NCAD；(3)ABAC年4EAD：④AC=2CD.其中判定正确的是①②③).(填序号)

【考点】正多边形和圆.

【分析】①分别求出NBCD和NADC的度数，得到NBCD+ZADC=180°,判定出BCIIAD：

②运算出NBAE的度数和ZCAD的度数，判定出NBAE=3ZCAD；

③依照AB=CB,AE=DE,AC=AD,判定出③△BAC2△EAD；

④依照"三角形的两边之和大于第三边"和"正五边形的各边相等"解答.

【解答】解：①..合BCD=180°-72°=D8°,ZE=108%

zADE=lx(180°-108°)=36°,

2

ZADC=108°-36°=72°,

ZBCD+ZADC=108°+72°=180°,

BCIIAD,故本选项正确；

②•••NBAE=108°,ZCAD=36QOxl=36o,

52

ZBAE=3NCAD,故本选项正确；

'AB=AE

③在△BAC和4EAD中，，BC=DE，

AC二AD

△BAC2AEAD(SSS),故本选项正确；

④AB+BOAC,

2CD>AC,

故本选项错误.

故答案为：①②③.

【点评】本题考查了正多边形和圆，熟悉正多边形的性质和正五边形的性质是解题的关键.

17.已知关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分别为xi=-2,X2=4,则m+n=-10

【考点】根与系数的关系.

【分析】依照根与系数的关系得出-2+4=-m,-2x4=n,求出即可..

【解答】解：..・关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分别为xi=-2,X2=4,

-2+4=-m,-2x4=n,

解得：m=-2,n=-8,

m+n=-10,

故答案为：-10.

【点评】本题考查了根与系数的关系的应用，能依照根与系数的关系得出-2+4=-m,-2、4』是

解此题的关键.

18.如图是一个圆环形黄花梨木摆件的残片，为求其外圆半径，小林在外圆上任取一点A,然后过

点A作AB与残片的内圆相切于点D,作CD_LAB交外圆于点C,测得CD=15cm,AB=60cm,则

那个摆件的外圆半径是37.5cm.

【考点】垂径定理的应用；勾股定理.

【分析】依照垂径定理求得AD=30cm,然后依照勾股定理得出方程，解方程即可求得半径.

【解答】解：如图，设点O为外圆的圆心，连接OA和OC,

CD=15cm,AB=60cm,

CD±AB,

OCXAB,

AD=AAB=30cm,

2

设半径为rem,则OD=(r-15)cm,

依照题意得:?=(r-15)2+302,

解得:r=37.5.

・•・那个摆件的外圆半径长为37.5cm；

故答案为：37.5.

【点评】本题考查了垂径定理的应用以及勾股定理的应用，作出辅助线构建直角三角形是本题的关

键.

19.如图，点A,B的坐标分别为(1,4)和(4,4),抛物线y=a(x-m)?+n的顶点在线段AB

上运动，与x轴交于C、D两点(C在D的左侧)，点C的横坐标最小值为-3,则点D的横坐标最

大值为8.

【考点】二次函数综合题；解一元二次方程-直截了当开平方法；二次函数的性质；待定系数法求二

次函数解析式.

【专题】运算题；压轴题.

【分析】当C点横坐标最小时，抛物线顶点必为A(1,4),依照现在抛物线的对称轴，可判定出

CD间的距离；

当D点横坐标最大时，抛物线顶点为B(4,4),再依照现在抛物线的对称轴及CD的长，可判定出

D点横坐标最大值.

L解答】解：当点C横坐标为-3时，抛物线顶点为A(1,4),对称轴为x=l,现在D点横坐标为

5,则CD=8：

当抛物线顶点为B(4,4)时，抛物线对称轴为x=4,且CD=8,故C(0,0),D(8,0)；

由于现在D点横坐标最大，

故点D的横坐标最大值为8；

故答案为：8.

【点评】本题要紧考查了二次函数的性质，用待定.系数法求二次函数的解析式，用直截了当开平方

法解一元二次方程等知识点，明白得题意并依照已知求二次函数的解析式是解此题的关键，此题是

一个比较典型的题目.

三、解答题(本大题共7个小题，共68分，解承诺写出文字说明、证明过程或演算步骤)

20.解方程：

(1)x2-6x-6=0

(2)2x2-7x+6=0.

【考点】解一元二次方程-公式法；解一元二次方程-配方法.

【分析】(1)求出b?-4ac的值，代入公式求出即可；

(2)先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可.

【解答】解：(1)X?-6x-6=0,

b2-4ac=(-6)2-4xlx(-6)=60,

6±V60

x-------，

2X1_

XI=3+A/15.X2=3--/15；

(2)2x2-7x+6=0,

(2x-3)(x-2)=0.

2x-3=0,x-2=0,

3

xi=—,X2=2.

2

【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，要紧考查学生能否选择适当的方法解一元二次方程，

难度适中.

21.如图，△ABC中，AB=AC=2,ZBAC=45°,△AEF是由△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到

的，连接BE、CF相交于点D.

(1)求证：BE=CF；

(2)当四边形ABDF为菱形时，求CD的长.

E

D

------------C

【考点】旋转的性质；菱形的性质.

【专题】证明题.

【分析】（1）依照旋转的性质得AE=AF=AB=AC=2,ZEAF=ZBAC=45°,然后依照“SAS"证明

△ABE2△ACF,因此依照全等三角形的性质即可得到结论；

（2）依照菱形的性质得DF=AF=2,DFIIAB,再利用平行线的性质得N1=NBAC=45。，则可判定

△ACF为等腰直角三角形，因此CF=MAF=2我,然后运算CF-DF即可.

【解答】（1）证明：:AAEF是由△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到的，

AE=AF=AB=AC=2,ZEAF=NBAO45°,

ZBAC+Z3=ZEAF+Z3,即NBAE=ZCAF,

在^ABE和4ACF中

'AB=AC

<ZBAE=ZCAF，

AE=AF

△ABE2△ACF,

・•.BE=CF；

（2）解：；四边形ABDF为菱形，

DF=AF=2,DFIIAB,

Z1=NBAC=45°,

・•・AACF为等腰直角三角形，

CF=V^AF=2&,

CD=CF-DF=2&-2.

【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹

角等于旋转角；旋转前、后的图形全等.也考查了菱形的性质.

22.如图「，在平面直角坐标系中，点B的坐标是（2愿，2）,将线段0B绕点。顺时针旋转120。,

点B的对应点是点B.

（1）①求点B绕点O旋转到点Bi所通过的路程长；

②在图中画出画，并直截了当写出点Bi的坐标是（0,-4）；

（2）有7个球除了编号不同外，其他均相同，李南和王易设计了如下的一个规则：4麻后玲

0-1-2-6

装入不透亮的甲袋好装入不透亮的乙袋，李南从甲袋中，王易从乙袋中，各自

随机地摸出一个球（不放回），把李南摸出的球的编号作为横坐标x,把王易摸出的球的编号作为纵

坐标y,用列表法或画树状图法表示出（x,y）的所有可能显现的结果；

（3）李南和王易各取一次小球所确定的点（x,y）落在血上的概率是

16

【分析】（1）①先利用勾股定理运算出0B,然后依照弧长公式运算点B绕点0旋转到点Bi所通

过的路程长；

②由①得NBOH=30°,则线段0B绕点O顺时针旋转120。，点B的对应点是点Bi在y轴的负半轴

上，因此可得到瓯，再写出点Bi的坐标；

（2）利用树状图展现所有12种等可能的结果数；

（3）运算各点到原点的距离可判定点（x,y）落在西上的结果数为2,然后依照概率公式求解.

【解答】解：（1）①作BH_Lx轴于点H,

点B的坐标是（273，2）,

BH=2,OH=2百，

=2

OB72+（273）2=41

B绕点O旋转到点Bi所通过的路程长=120・71"4二空;

1803

②如图，画■为所作，点Bi的坐标是（0,-4）；

（2）画树状图为:

4JlT万

0Q44

共有12种等可能的结果数；

(3)点(x,y)落在箱上的结果数为2,

因此点(x,y)落在前;t.的概率=噌:|.

故答案为(0,-4),A.

6

■x>

【点评】本题考查了作图-旋转变换：依照旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线

段也相等，由此能够通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接

得出旋转后的图形.也考查了弧长公式和树状图法.

23.关于x的方程kx2+(3k+l)x+3=0.

(1)求证：不管k取任何实数时，方程总有实数根；

(2)当二次函数y=kx?+(3k+l)x+3的图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为负整数时,

求出函数的最大(或最小)值，并画出函数图象；

(3)若P(a,yi),Q(2,y2)是(2)中抛物线上的两点，且yi>y2,请你结合函数图象确定实

数a的取值范畴.

■»

X

【考点】抛物线与X轴的交点；根的判别式；二次函数图象上点的坐标特点；二次函数的最值.

【分析】(1)分类讨论：当k=0时，方程变形为一元一次方程，有一个实数解；当kM时，运算判

别式得到△=(3k-1)2,由此得到ANO,由此判定当kxO时，方程有两个实数根；

(2)先由因式分解得到kx?+(3k+l)x+3=0(k#0)的解为xi=-工，x2=-3,则二次函数y=kx?+

(3k+l)x+3的图象与x轴两个交点的横坐标分别为-器和一3,然后依照整数的整除性可确定整数

k的值；

(3)代入点Q(2,y2)得出y2,进一步求得点Q的对称性得出对称点，结合(2)中的图象得出

答案即可.

【解答】(1)证明：当k=0时，方程变形为x+3=0,解得x=-3；

当kwO时，△=(3k+l)2-4・k・3=(3k-1)2,

•••(3k-1)2>0,

△>0,

・•・当kwO时，方程有实数根，

不管k取任何实数时，方程总有实数根；

(2)解：kx2+(3k+l)x+3=0(kwO)

(kx+1)(x+3)=0,

解得：X1=-A,X2=-3,

因此二次函数y=kx2+(3k+l)x+3的图象与x轴两个交点的横坐标分别为-%口-3,

依照题意得-工为整数，且k为负整数

因此整数k=-1；

二次函数为y=-x2-2x+3；

函数图象如下：

(3)解：把点Q(2,y2)代入y=-x2-2x+3得y2=-5,

则点Q的对称点为(-4,-5),

由图象可知：当-4<a<2时，yi>y2.

【点评】此题考查了抛物线与x轴的交点，一元二次方程ax?+bx+c=O(a#0)的根的判别式△=b?-

4ac,二次函数的对称性，以及利用二次函数图象解决二次函数与不等式的关系.

24.如图，△ABC是等边三角形，AO±BC,垂足为点O,00与AC相切于点D,BELAB交AC

的延长线于点E,与。0相交于G,F两点.

(1)求证：AB与。0相切；

(2)若AB=4,求线段GF的长.

【考点】切线的判定与性质.

【分析】(1)过点0作0M_LAB,垂足是M,证明0M等于圆的半径0D即可；

(2)过点0作0NJ_BE,垂足是N,连接0F,由垂径定理得出NG=NF=」GF,证出四边形0MBN

2

是矩形，在直角△0BM利用三角函数求得0M和BM的长，则BN和ON即可求得，在直角△ONF

中利用勾股定理求得NF,即可得出GF的长.

【解答】(1)证明：过点O作OM_LAB,垂足是M.如图1所示：

••1与AC相切于点D.

OD±AC,

ZADO=ZAMO=90°.

V△ABC是等边三角形，

ZDAO=ZNAO,

0M=0D.

AB与。O相切：

(2)解：过点O作ONJ_BE,垂足是N,连接OF.如图：2所示：

则NG=NF=1GF,

2

•rO是BC的中点，

OB=2.

在直角AOBM中，ZMBO=60°,

OM=OB«sin60o=V3-BM=OB«cos600=l.

BE_LAB,

四边形OMBN是矩形.

J.ON=BM=1,BN=OM=6

1.'OF=OM=V3-

由勾股定理得：NF=J（病）2_产&,

GF=2NF=2&.

【点评】本题考查了切线的判定与性质、等边三角形的性质、勾股定理、垂径定理；熟练把握切线

的判定和等边三角形的性质，正确作出辅助线构造矩形是解决本题的关键.

25.一个批发商销售成本为20元/千克的某产品，依照物价部门规定：该产品每千克售价不得超过

90元，在销售过程中发觉的售量y（千克）与售价x（元/千克）满足一次函数关系，对应关系如下

表：

售价X（元/千克）...50607080

销售量y（千克）...100908070

（1）求y与x的函数关系式；

（2）该批发商若想获得4000元的利润，应将售价定为多少元？

（3）该产品每千克售价为多少元时，批发商获得的利润w（元）最大？现在的最大利润为多少元？

【考点】二次函数的应用.

【分析】（1）依照图表中的各数可得出y与x成一次函数关系，从而结合图表的数可得出y与x的

关系式.

（2）依照想获得4000元的利润，列出方程求解即可；

（3）依照批发商获得的总利润w（元）=售量x每件利润可表示出w与x之间的函数表达式，再利

用二次函数的最值可得出利润最大值.

【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为丫=1«+6（kM）,依照题.意得

f50k+b=100（

l60k+b=90'

解得严-1.

b=150

故y与x的函数关系式为y=-x+150；

(2)依照