2016-2017学年上海市松江区高一（下）学期期末数学试卷 （解析版）

2016.2017学年上海市松江区高一第二学期期末数学试卷

一、填空题：本大题共12小题，共54分)

1.方程3-4・3"+3=0的解为.

2.已知一扇形的半径为5,弧长为2m则该扇形的圆心角大小为.

3.若角a的终边经过点尸(-2,1),则sin(a+^)=.

4.若tana、tan0分别是方程炉+x-2=0的两个根，则tan(a+p)=.

5.三角形的三边之比为3：5：7,则此三角形的最大内角是.

6.函数y=log0(x+2)+2的图象过定点.

7.函数f(x)=siarcosx-V5cos2式的单调递减区间为.

8.若数列｛〃〃｝的前〃项和为S"=/-3〃+l(〃WN*),则该数列的通项公式为〃，尸

9.函数/(x)=sinx-/gx的零点的个数是.

10.不等式cos2x-4sinx-4Vo有解，则实数。的取值范围是.

11.设尸(x)为八x)=，inx,X曰一方寸的反函数，则y=/(x)tr(x)的值域为.

12.给出下列四个命题：

①在△ABC中，若O%则sinAVcosB；

②已知点A(0,3),则函数y=V5cosx-situ•的图象上存在一点P,使得|PA|=1；

③函数y=cos2x+28cosx+c是周期函数，且周期与6有关，与c无关；

④设方程x+sinx=g的解是Xi，方程x+arcsiiw=5的解是X2,则Xi+X2=it.

其中真命题的序号是.(把你认为是真命题的序号都填上)

二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

77

13.将函数y=cos2x的图象向左平移工个单位，所得的函数为()

6

7T71

A.y=cos(2x4-)B.y=cos(2%+小)

TC7T

C.y=cos(2x—可)D.y=cos(2r—q)

14.若等差数列｛。〃｝和｛仇｝的公差均为d(d=0),则下列数列中不为等差数列的是()

A.｛M〃｝(人为常数)B.｛an+b„｝

C.(小2_儿2｝D.｛｛如也｝｝

7T7T

15.如图，函数y=|tanx|cosx(x€[0,—)U(-,IT])的图象是()

16.以圆形摩天轮的轴心。为原点，水平方向为x轴，在摩天轮所在的平面建立直角坐标

系，设摩天轮的半径为20米，把摩天轮上的一个吊篮看作一个点Po,起始时点Po在-看

TT

的终边上，OPo绕。按逆时针方向作匀速旋转运动，其角速度为g(弧度/分)，经过t

分钟后，OPo到达OP,记P点的横坐标为加，则巾关于时间f的函数图象为()

三、解答题：本大题共5题，共76分.解答写出文字说明、证明过程或演算过程.

17.已知函数/(x)=log——.

%2+2

(1)求函数/(X)的定义域；

(2)当x为何值时，等式/(x)+log2(x-4)=1成立？

18.已知函数/（外=2sin（工一1）.

（1）用五点法作出函数y=/（x）在区间声，石］上的大致图象（列表、描点、连线）；

33

■JT

（2）若sina=打，a£（一，冗）求f（a+可）+sec2a-tana的

32

值

乙

2-

1

IIi।।.

0nn35-

-1--yn2nyn

-2-

19.如图，某广场中间有一块绿地OAB,扇形OAB所在圆的圆心为0,半径为r,ZAOB=今，

广场管理部门欲在绿地上修建观光小路；在AB上选一点C,过C修建与。8平行的小路

CD,与0A平行的小路CE,设所修建的小路CD与CE的总长为s,ZCOD=G.

（1）试将s表示成。的函数s=/（。）；

（2）当0取何值时，s取最大值？求出s的最大值.

E二

20.（16分）数列｛如｝中，a吊…笛1（吒N）,数列⑻满足*表.

（1）求数列｛d｝中前四项；

（2）求证:数列｛瓦｝是等差数列;

in

（3）若5=（嬴+2）堂"’试判断数列©｝是否有最小值，若有最小项，求出最小项•

21.（18分）若函数/（x）满足f（x）=/（x+孚）且/（工+x）=f（三一x）（xeR）,则

，44

称函数/（x）为“M函数”.

4

（1）试判断f（幻=siqx是否为“M函数”,并说明理由；

71

（2）函数/（%）为函数”，且当工［一，TT］时，f（x）=siiu,求（x）的解析式,

4

并写出在［0,上的单调递增区间；

2

（3）在（2）条件下，当X€［—冬—+TT］（依N）时，关于x的方程八外=〃Q为常数）

有解，记该方程所有解的和为S（女），求S（*）.

2016-2017学年上海市松江区高一第二学期期末数学试

卷

参考答案

一、填空题：本大题共12小题，共54分)

1.方程9'-4・3'+3=0的解为x=l,x=0.

【分析】设¥=，，则原方程为户-4/+3=0,解得f,然后还原，求出x值.

解：设3，=f,则原方程为祥-4f+3=0,解得f=3或f=l,

所以3*=3或3*=1；

解得x=l或x=0；

故答案为：x—1,x=0.

27r

2.已知一扇形的半径为5,弧长为211,则该扇形的圆心角大小为—・

-5—

【分析】设扇形的圆心角为a,运用扇形的弧长公式/=ar,计算即可得到所求值.

解：扇形的半径为5,弧长为2n,

设扇形的圆心角为a,

可得2n=5a,

解得a=手

故答案为：—-

5

3.若角a的终边经过点P(-2,1),则sin(a+3)=一挛.

2—5-

【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得sin(a+J)的值.

解：•.•角a的终边经过点尸(-2,1),-2,y=l,r=|OP|=遍，

则sin(a+*)=cosa=

故答案为：一竽.

4.若tana、tanR分别是方程N+x-2=0的两个根，则tan(a+0)=_.

【分析】利用查韦达定理求得tana+tan0和lana・tan0的值，再利用I两角和的正切公式求得

tan(a+p)的值.

解：,ana、tan0分别是方程/+九-2=0的两个根,

/.tana+tanp=-1,tana,tan0=-2,

tana+tanS__1

则tan(a+P)

l-tana-tanp-3'

故答案为：J

5.三角形的三边之比为3：5：7,则此三角形的最大内角是120°.

【分析】根据三角形三边设出三边分别为3x,5x,7x,且设出最大边7x对的角为a,利用

余弦定理表示出cosa,将三边长代入求出cosa的值，即可确定出a的度数.

解：根据题意设三角形三边分别为3x,5x,lx,且7x所对的角为a,

...c°sa=(3%)2+(5x)2—(7x)2="

2-3x-5x2

为三角形内角，

...三角形最大内角a=120。.

故答案为：120。

6.函数y=log“(x+2)+2的图象过定点(-1,的.

【分析】根据对数函数的性质，求出定点的坐标即可.

解：令x+2=l,解得：X--1,

此时y—2,

故函数过(-1,2),

故答案为：(-1,2).

7.函数/(x)=sinxcosx-V^cos2x的单调递减区间为1五+八1)~*~后"("口)

【分析】首先，借助于辅助角公式化简所给函数的解析式，然后，结合三角函数的基本性质,

确定单调递减区间.

2

解：>•=siavcosx-V3cosx=^sin2x-竽(1+cos2x)

=sin(2x-5)——

32

,71TC371,

由一+2kn<2%——<—+2/CTT，依Z,

232

得且［_|_kn<x<+kn,kcZ.

1212

.••该函数的减区间为：I—+kn,—+kn］,(kez),

1212

故答案为：［二47r+加，上1l/匕r+加］,(依Z),

1212

8.若数列｛z｝的前n项和为S,=〃2-3〃+1(aeN*),则该数列的通项公式为a„=

f-1/n=1

(2n—4,n>2一

【分析】首先根据S尸"2-3〃+I求出g的值，然后利用%=%-斗一1求出当")2时，斯的

表达式，然后验证0的值，最后写出所的通项公式.

2

解：'：Sn=n-3n+l,

当”=1时，“1=51=1-3+1=-1,

2

.'.an=Sn-Sn-\=n-3〃+1-[(〃-1)2-3(〃-1)+l]=2/z-4(〃22),

•..当〃=1时，a\=-1^2,

.(-1,n=1

..a=s,

n(2n—4,n>2

,.“(—1fH—1

故答案2fcs为：]

(2n—4,n>2

9.函数f(x)=sinx-Igx的零点的个数是3.

【分析】在同一坐标系内画出函数)=5]似与丫=四》的图象，利用图象得结论.

解：因为函数的零点个数就是找对应两个函数的图象的交点个数.

在同一坐标系内画出函数)，=sior与y=lgx的图象，

由图得交点3个

故函数f(x)=sior-/gx的零点的个数是3.

故答案为3.

VA

y=©x

10.不等式cos2A,-4siar-a<0有解，则实数a的取值范围是(-5,+8).

【分析】问题等价于〃大于cos2x-4sin%的最小值，由三角函数和二次函数区间的最值可得.

解：不等式cos2x-4sinx-a<0有解，等价于存在实数x,使得关于x的不等式“>cos2x-

4siar成立,

故只需a大于cos2x-4sinx的最小值即可，

令y=cos2x-4siru=-2sin2x-4siru+l=-2(sinx+1)2+3,

由二次函数可知当siax=l时，y取最小值-5,

二〃的取值范围为：(-5,+8),

故答案为：(-5,+8).

11.设广(x)为/(x)=》inx,xe［-5,三］的反函数，则y=/(x)4/1(x)的值域为_

S—,

【分析】求出原函数的值域可得其反函数的定义域，取交集可得函数y=f(x)"I(x)的

定义域，再由单调性求得y=/(x)V(x)的值域.

解：•.丁(x)=［sinx在［一.,刍上为增函数，

：.f(%)的值域为［一看，白,则其反函数的定义域为［-1,刍,

：.y=f(x)+f1(x)的定义域为［-?1］,

又y=/r(x)的单调性相同，

可得y=/(x)+f1(x)在［―看，自上为增函数.

.•.当x=Y时函数有最小值为(二)一巴=一卫；

66k27212

当x=覆寸函数有最大值为一X-+—=—.

662212

•♦•>=/⑴V1U)的值域为［_需，笥.

故答案为：［—居，碧］.

12.给出下列四个命题：

①在△ABC中，若O%则sinACcosB；

②已知点A(0,3),则函数y=V5cosx-sinx的图象上存在一点P,使得|尸4|=1；

③函数、=(：。$2户2氏0$苫+。是周期函数，且周期与6有关，与c无关；

④设方程x+sinx=夕的解是xi,方程x+arcsinx=%的解是尤2,则x\+x2—n.

其中真命题的序号是①③.(把你认为是真命题的序号都填上)

【分析】①利用三角形的内角和定理以及正弦函数的单调性判断；

②根据余弦函数的有界性解答；

③利用周期函数的定义，结合余弦函数的周期性判断;

④根据互为反函数图象的对称性解答.

解：①在△A8C中，若。>夕贝IJA+8V夕即AV58V*,所以sinAVsin(1—8,)sin4

<cosB；故①正确；

②已知点A(0,3),则函数y=V5cosx-sior=2cos(%+卷)曰-2,2],所以它的图象上

不存在一点P,使得|%|=1；故②错误；

③函数>=852工+2旅001+。是周期函数，且周期与6有关，与C无关；正确

④设方程x+sinx=冬的解是xi,方程x+arcsinx=?的解是必设arcsinA2=r,则sinf=i2,则

jy兀

x+arcsinv=2变形为sint+t=于

观察得到xi+siiLvi=r+sinr=*则"xi是方程x+sinx=今的两根，

又因为，Sim=X2,故XI,X2是方程的两根，故Xl+X2=*.故④错误；

故答案为：①③

二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

7T

13.将函数y=cos2x的图象向左平移三个单位，所得的函数为()

6

7T71

A.y=cos(2x+@)B.y=cos(2x+^)

7T71

C.y=cos(2x-D.y=cos(2x—)

【分析】根据三角函数的图象的平移变换得到所求.

解：由已知将函数y=cos2x的图象向左平移，个单位，所得的函数为尸cos2(x+看)=cos

(ix+百)；

故选：A.

14.若等差数列｛〃”)和｛5｝的公差均为4(dWO),则下列数列中不为等差数列的是()

A.｛人”“｝(人为常数)B.[an+bn]

C.｛“J-62｝D.｛｛a„>hn｝]

【分析】运用等差数列的定义和通项公式，对选项一一判断差是否为常数，即与〃无关，即

可判断.

解：等差数列｛如｝和｛5｝的公差均为d(dWO),

对于A,由于,+i-初“=入(a”+i-a.)="为常数,则该数列为等差数列；

=

对于B,由afi+\+bn+\~an-bn=(a〃+i-斯)+(bn+\~bn)2d为常数，则该数列为等差数列；

对于C,由-为+/-(4广-bn~)=(Cln+1-Un)(如+1+。〃)-(仇+1-bn)(瓦+1+为)

=d(2m+(2H-1)d)-d(2/71+(2/7-1)d)=2d(a】-6)为常数，则该数列为等差数

列；

1

对于。，由知+也+i-4伍=(a〃+d)(b〃+d)-anbn=d+d(即+/?“)不为常数，则该数列不

为等差数列.

故选：D.

Jl71

15.如图，函数y=|tanx|cosx(xe[O,")U(­,n])的图象是()

【分析】根据x的取值情况分类讨论，去掉Itairtl中的绝对值符号，转化为分段函数，利用正

弦函数的图象即可得解.

解：当x€[0,])时，y=tanxcosx=siax,

n

当(-,n]时'，y=-tanxcosx=-sinx,

故选：B.

16.以圆形摩天轮的轴心。为原点，水平方向为x轴，在摩天轮所在的平面建立直角坐标

系，设摩天轮的半径为20米，把摩天轮上的一个吊篮看作一个点Po,起始时点Po在-看

71

的终边上，。局绕。按逆时针方向作匀速旋转运动，其角速度为g(弧度/分)，经过t

分钟后，OPo到达。尸，记P点的横坐标为加，则相关于时间f的函数图象为()

【分析】根据题意，点P的横坐标，〃=20cos（VJ）,由此通过特殊点的坐标，判断所给

的图象是否满足条件，从而得出结论.

解:根据题意可得，振幅A=20,角速度3=I，初相<p=.%点、P的横坐标帆=20cos令一看），

故当f=0时，机=10k，当f/时，机=20,为机的最大值，

结合所给的选项，

故选：B.

三、解答题：本大题共5题，共76分.解答写出文字说明、证明过程或演算过程.

x—3

17.已知函数/'（X）=log2一工.

（1）求函数/（X）的定义域；

（2）当x为何值时，等式/（x）+log2（x-4）=1成立？

【分析】（1）根据对数函数的性质，得到关于X的不等式，解出即可；

（2）根据对数的运算得到关于x的方程组，解出即可.

解：（1）由题意得：—>0,

%+2

即(x-3)(x+2)>0,

解得：x>3或x<-2,

故函数的定义域是(-8,-2)U(3,+8)；

(2)f(x)+log2(x-4)=1,

x—3

B|jlog2-j-^+log2(x-4)=1,

e^x—>30

x+2

即<x-4>0,

Q—3)(1)一

Ix+2一乙

解得：x=8.

18.已知函数/(x)=2sin(x-1).

(1)用五点法作出函数y=/(x)在区间卢，卫J上的大致图象(列表、描点、连线)；

33

(2)若sina=1,aG(-,IT),求/(a+?)+sec2a-tana的

J2J

值.

【分析】(1)将彳一亨的取值，X的取值及/(X)的取值情况列表，利用五点法画图;

(2)由已知求出cosa,根据三角函数公式求值.

解：⑴将x一与的取值，

x的取值及f(x)的取值情况列表如下：

71

0IT37r2n

22

71

x~3

7157r471117T77r

X———

36363

y020-20

作图如下:

在I、I/，/i\i24.c，1129y/2.43+6>/^

所以/(a+5)+sec2a-tana=2sina+——H——^=3+G+>=~—・

scos乙a2V23o424

19.如图，某广场中间有一块绿地OAB,扇形OAB所在圆的圆心为0,半径为r,NAOB=不

广场管理部门欲在绿地上修建观光小路；在A8上选一点C,过C修建与。8平行的小路

CD,与0A平行的小路CE,设所修建的小路CD与CE的总长为s,ZCOD=Q.

（1）试将s表示成6的函数s=f（0）；

（2）当0取何值时，s取最大值？求出s的最大值.

【分析】⑴由扇形的半径为八在△OOC中，ZAOB=贝！|/。0=等利用正弦定

rCD

理--------=---------,可求得CQ与CE,从而可得函数s=f（8）；

sin乙CD0sinZ.COD

（2）利用三角恒等变换，可求得s=^rsine+孥与in彳一。）=^-rsind+rcosd=

竽rsinG+。），9G（0,,利用正弦函数的单调性与最值即可求得s的最大值.

解：（1）由扇形的半径为r,在△OOC中，ZAOB=则/CQO=号

rCD

由正弦定理得一--=,

sin乙CD0sin乙COD

•••CD=孥rsin。，同理CE=竽rs讥弓-。)，

：.s=f(0)=越小山0+纽”访(--6),06(0,-)；

3333

为

/1察

7T出

nXI---X

33S02SI

x/3.Q2门.x7T.zjxAufn—)

=-^-rsinaO+rcosG=-^-rsinf^4-up&匕<u，;，

n

V6G(0,-),

3

n112Ti、

4-06(一,—),

333

・•・当g+e=*,即e=看时，s〃g=/仁)=当?厂.

20.(16分)数列｛〃〃｝中，a\=L加=型二i(nGN*),数列｛瓦｝满足历尸Jp

3即即一1

(1)求数列｛儿｝中前四项；

(2)求证：数列仍“｝是等差数列；

10

(3)若Cn=3+2)(―)〃，试判断数列｛Cn｝是否有最小值，若有最小项，求出最小项.

9

【分析】(1)由代入法，分别求出。2,。3,04,即可得到从，bl,fe,Z?4；

1

(2)当〃22,〃WN*,将〃换为〃-1,可得,由等差数列的定义，

即可得证;

⑶求得瓦=〃［即有昨矩I,♦=鼎•(B)”•计算葭T，讨论〃的取值，

即可得到所求最小值.

解：(1)。用=竺二1(”eN*),

Qn

b„=Qp

Qn-1

113

m=5，可得⑦=匚7=一方

J3

42=2-3=-1,

11

bi=砺彳二一下

。3=2-(-1)=3,

,11

丘时=2,

04-2—i

1二3

Z?4=^4—12,

(2)证明：出+|=也二1(“€N*),

Qn

当〃22,

=1-11

b

~即一1-2-^--1味1一1

an-l

]

=1+=l+bn-

味1一1

则数列｛九｝是首项为一去公差为1的等差数列;

⑶由⑵可得"尸表=一5+〃7="标

即有如=1+万白=2九一3

2nz5,

10

Cn=(a+2)(—)〃=

n9(襄>苧“=弁•苧”

^±l-l_6n-7.(10)„+l.2n-5.(_9_),一

Cn2n-396n-1310

12n2—44n—1

9(2九一3)(6注-13)'

当〃=1时，—<1,而Cl>0,则C2〈C1,

Cl

当〃=2时，--1>0,由C2>0,则C3>C2,

C2

当〃=3时，--K0,由。3>0,则C4<C3,

C3

当〃=4时，--1>0,由C4>0,则C4<C5,

C4

Cy74t.i

当〃25时，——-1>0,即有CnVa+i.

cn

则Cl>C2<C3>C4<C5<C6<***<Cn<Cn+l.

由C2-C4=苧T・与y。,

即有C2<C4.

则数列｛/｝有最小值，且为02=钙.

o±

21.(18分)若函数/(x)满足f(x)=f(x+孚)且/(二+x)=f(--X)(xER)，则

乙44

称函数/(x)为“M函数”.

4

(1)试判断/(x)=sinr是否为函数”，并说明理由；

3

jr

(2)函数/(x)为函数”，且当3日一，n］时，f(x)=sirLv,求y=/(x)的解析式,

4

37r

并写出在［0,上的单调递增区间；

2

(3)在(2)条件下，当在［一3，科+n］(依N)时，关于x的方程/CO=。(”为常数)

42

有解，记该方程所有解的和为S(k),求S(k).

717r4

【分析】(1)由不满足了(一+/)壬/'(一-X)(XER),得/(x)=sin-x不是“M函数”，

443

(2)可得函数/(x)的周期7=擎，/(%)=/(--x)(xeR),

Z2

①当花［|/(:兀+今，|左加+兀］时，f(x)=f(X-|/CTT)=sin(x-|fc/r)

,37T3TC,71q7

②当彳国一而一一，一攵兀+-］时，f(x)=j［--(X-女7T)］=COS

2